10年川大高等代数及答案

四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题

一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化

即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1

，A 的特征值为n λλλ,,,21 （R k ∈λ）

)())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλ

由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆.

2.设函数f ：R R R n

n →⨯为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅

当存在n

R X ∈0使得0),(00≠X X f

证明：充分性：

由存在n

R X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数

必要性：

由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化 令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1 =）

即存在正交矩阵),,,(21n Q ααα =，使得)0,,0,,,,('21

个

r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα

3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵.

证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化

即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1

，A 的特征值为n λλλ,,,21 （R k ∈λ）

)())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=-- ①

)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ②

由①、②，得b n ====λλλ 21，则n bE AP P =-1

，有n bE A =，即A 是数量矩阵. 注：关于)()('x f x f 的充分必要条件为n

b x a x f )()(-= （0>n ）的证明

证明：充分性：由n b x a x f )()(-=，有1

)()('--=n b x na x f 有)(1

)()()(')(1

b x n

b x na b x a x f x f n n -=--=-，则)()('x f x f 必要性：待定系数法，设011

1)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 有12

11)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---

由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ，有))((')(d cx x f x f += 比较)(x f 、)('x f 系数，有n c 1=

，有

))(('1

)(b x x f n

x f -= （其中nd b -=） 有)('1))('),((x f na x f x f n =，则)()

('1)

)(('1

))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n

-=-= 由))

('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式，则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍，故)(x f 的形式为n

b x a x f )()(-=.

4.设A 的秩为r A r =)(，设}0'{=∈=AX X R X V n ，证明：V 包含n

R 的一个维数为r n -的

子空间. V 是n

R 的子空间吗？说明你的理由.

证明：令}{θ=∈=AX R X W n ，有n

R W ⊂

由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解，有V W ⊂且n

R W ⊂ ①

θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成，则r n W -=dim ② 由①、②，得V 包含n

R 的一个维数为r n -的子空间

由

}0'{=∈=AX X R X V n

，得n R V ⊂，则V 是n R 的子空间 5.进一步假设A 正定，而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明：如果CB AC =，那么必然有

O C =.

证明：把C 看作由列向量构成，即),,,(21n C ααα =

),,,(),,,(2121n n A A A A AC αααααα ==

)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB αααααα ====

由CB AC =，得i i B A αα'= （n i ,,2,1 =）即θα=-i B A )'(

由B 负定，得'B 负定，又A 正定，得0'≠-B A 那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解，则θα=i ，即O C =

二、设A 为数域F 上的n 阶方阵，它的秩为r .解答下列各题，每小题满分10分.

1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=O O

O E PA r ”的一个充分必要条件，并证明你的结论.

证明：存在可逆矩阵P 使得⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=O O

O E PA r

”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性：

由⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡=O O

O E PA r

，则r PA r =)(，又P 可逆，则r A r PA r ==)()( 充分性：

由r A r =)(，则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m 21，其中m P P P ,,,21 为初等矩阵 取m P P P P 21=，由m P P P ,,,21 可逆，则P 可逆

故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21 是n

F 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββ =.求向量组

n βββ,,,21 的秩，并给出它的一个极大无关组.

解：令n ααα,,,21 、n βββ,,,21 构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21 是n

F 的一个基，则n A r =)(1，则1A 可逆

由r A r B r A A r ===)()()(11，则n βββ,,,21 的秩为r

在n βββ,,,21 中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21 就构成了n βββ,,,21 的一个极大无关组

3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明：)(A P 是F 上的无穷维线性空间；并且，如果)()(A P x g ∈的次数大于n ，那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明：令A 的特征多项式为)(x h ，有O A h =)(