10年川大高等代数及答案

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高等代数习题答案

《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。

川大线性代数习题册答案4

二次型的基本概念一．如果不要求二次型的矩阵是对称的，那么它的矩阵表示唯一吗？解：不唯一二．是，其矩阵为n 阶单位阵三．写出下列二次型的矩阵1．121242121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩为一 2．0004001401014410⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭秩为四四．写出下列矩阵对应的二次型：１．2212311213223(,,)2236f x x x x x x x x x x x =-+--２．1234121314232434(,,,)f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++五．填空题．１．22212344y y y -++ ２．r 化二次型为标准形一．分别用配方法和初等变换化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换．１．2222123112*********(,,)434443f x x x x x x x x x x x x x x x =+-=++--2222122233322212233399(2)4()4641639(2)4()816x x x x x x x x x x x x =+-+++=+-++令11222333238y x x y x x y x =+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ ，则11232233332438x y y y x y y x y ⎧=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩为可逆线性变换使：2221231239(,,)416f x x x y y y =-+ 2．222123123121323(,,)254484f x x x x x x x x x x x x =+++--()()()2221121323232221121323232222211232323232324854422454422(2)(2)(2)544x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++-=+-++-=+-+---++-22221232323232(2)2(2)544x x x x x x x x x =+---++-22222123223323232(2)2(44)544x x x x x x x x x x x =+---+++- 22212323232(2)334x x x x x x x =+-+-+2221232332132(2)3()39x x x x x x =+-++- 令：112322333223y x x x y x x y x =+-⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ ，所以可逆变换为：1123223334323x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩22212312313(,,)239f x x x y y y =+- 3．令：11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ，写成矩阵形式为X CY =，其中：110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则：22123121323(,,)24f x x x y y y y y y =--+ 22213233()(2)3y y y y y =---+令：113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，变换为：113223332y z z y z z y z=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩，写成矩阵形式为：Y PZ =，其中：101012001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则：2221233f z z z =-+ 变换为：X CY CPZ ==，其中：113111001CP ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭二．用正交变换化下列二次型为标准形，并写出所用的正交变换．１．解：120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，其特征值为：－１，２，５1λ=-时，对应特征向量为：()221T，2λ=时，对应特征向量为：()212T-，5λ=时，对应特征向量为：()122T-作正交变换为：221333212333122333X Y ⎛⎫-⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，22212325f y y y =-++ ２．解：0041001441001400A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，特征值为：－３，－５，３，５ 3λ=-时，对应特征向量为：()1111T--， 5λ=-时，对应特征向量为：()1111T--， 3λ=时，对应特征向量为：()1111T --， 5λ=时，对应特征向量为：()1111T．作正交变换：11112222111122221111222211112222X Y ⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪--⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，222212343535f y y y y =--++ 三．解：2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2003(2)(3)(3)03E A a a a aλλλλλλλ--=--=--+---- 特征值为：2,3,3a a λλλ==-=+有A 的特征值分别为：１，２，５和0a >知：2a =1λ=时，对应特征向量为：()011T-， 2λ=时，对应特征向量为：()100T，5λ=时，对应特征向量为：()011T。

(完整)10年川大高等代数及答案

四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλΛ由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆.2.设函数f ：R R R nn →⨯为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅当存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f证明：充分性：由存在nR X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数必要性：由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1Λ=）即存在正交矩阵),,,(21n Q αααΛ=，使得)0,,0,,,,('21321ΛΛ个r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵.证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ）)())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=--Λ ①)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ②由①、②，得b n ====λλλΛ21，则n bE AP P =-1，有n bE A =，即A 是数量矩阵. n证明：充分性：由n b x a x f )()(-=，有1)()('--=n b x na x f有)(1)()()(')(1b x nb x na b x a x f x f n n -=--=-，则)()('x f x f 必要性：待定系数法，设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 有1211)1()('a x a n x na x f n n n n ++-+=---Λ由)()('x f x f 及1))('())((+∂=∂x f x f ，有))((')(d cx x f x f +=比较)(x f 、)('x f 系数，有n c 1=，有))(('1)(b x x f nx f -= （其中nd b -=）有)('1))('),((x f na x f x f n =，则)()('1))(('1))('),(()(b x a x f na b x x f n x f x f x f n n-=-= 由))('),(()(x f x f x f 包含了)(x f 的全部不可约因式，则)(x f 的不可约因式只能是b x -和它的非零常数倍，故)(x f 的形式为nb x a x f )()(-=.4.设A 的秩为r A r =)(，设}0'{=∈=AX X R X V n，证明：V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间. V 是n R 的子空间吗？说明你的理由.证明：令}{θ=∈=AX R X W n ，有nR W ⊂由方程θ=AX 的解一定是0'=AX X 的解，有V W ⊂且nR W ⊂ ①θ=AX 的基础解系由r n A r n -=-)(个线性无关的向量构成，则r n W -=dim ②由①、②，得V 包含n R 的一个维数为r n -的子空间由}0'{=∈=AX X R X V n ，得nR V ⊂，则V 是n R 的子空间5.进一步假设A 正定，而B 是一个负定的n 阶矩阵.证明：如果CB AC =，那么必然有O C =.证明：把C 看作由列向量构成，即),,,(21n C αααΛ=),,,(),,,(2121n n A A A A AC ααααααΛΛ==)',,','(]')',,,('[)'''(')'(2121n n B B B B C B CB CB ααααααΛΛ==== 由CB AC =，得i i B A αα'= （n i ,,2,1Λ=）即θα=-i B A )'(由B 负定，得'B 负定，又A 正定，得0'≠-B A那么关于i α的方程θα=-i B A )'(只有零解，则θα=i ，即O C =二、设A 为数域F 上的n 阶方阵，它的秩为r .解答下列各题，每小题满分10分.1.设r E 是r 阶单位阵.写出“存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件，并证明你的结论.证明：存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r”的一个充分必要条件为r A r =)( 必要性：由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O OO E PA r，则r PA r =)(，又P 可逆，则r A r PA r ==)()( 充分性：由r A r =)(，则A 可通过有限次初等变换为⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O E r 则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E A P P P r m Λ21，其中m P P P ,,,21Λ为初等矩阵取m P P P P Λ21=，由m P P P ,,,21Λ可逆，则P 可逆故存在可逆矩阵P 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=O O O E PA r 2.设n ααα,,,21Λ是n F 的一个基.令A n n ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=.求向量组n βββ,,,21Λ的秩，并给出它的一个极大无关组.解：令n ααα,,,21Λ、n βββ,,,21Λ构成的矩阵分别为1A 、1B 由n ααα,,,21Λ是n F 的一个基，则n A r =)(1，则1A 可逆由r A r B r A A r ===)()()(11，则n βββ,,,21Λ的秩为r在n βββ,,,21Λ中取r 个线性无关的向量ir i i βββ,,,21Λ就构成了n βββ,,,21Λ的一个极大无关组3.设)(A P 是满足O A f =)(的F 上的所有多项式)(x f 组成的集合.证明：)(A P 是F 上的无穷维线性空间；并且，如果)()(A P x g ∈的次数大于n ，那么)(x g 是在F 上是可约的. 证明：令A 的特征多项式为)(x h ，有O A h =)(根据题意)(A P 中的任意多项式含有因式)(x h取k x x x ,,,,12Λ（n k ≥），由kx x x ,,,,12Λ线性无关，又k 为大于n 的任意整数故)(A P 是F 上的无穷维线性空间取)()(A P x g ∈且n x g >∂))((，总有)()()(x h x q x g =（1))((≥∂x q ）故)(x g 是在F 上是可约的4.设n λλλ,,,21Λ是A 的全部复特征值.证明：对任意非负整数k ，数∑==ni ki k S 1λ属于F .证明：A 的特征多项式为02211)(a x a x a x x f n n n n n ++++=----Λ 由A 是F 上的矩阵，有)(x f 为F 上的多项式，则F a k ∈（1,,1,0-=n k Λ）由根与系数的关系有∑=-=-n i i n a 11)1(λ、∑∑==-=-ni ji nj n a 1122)1(λλ（j i ≠）、……、∏==-ni i na 10)1(λk S 为对阵多项式，则k S 可由110,,,-n a a a Λ表示，则F S k ∈三、设β=AX 是数域F 上的一个n 元线性方程组，其系数矩阵A 的秩r A r =)(.设S 为它的解集.1.（5分）给出“S 是n F 的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论.2.（10分）假设S 不是空集且不是n F 的子空间。

川大版高等数学(第一册)部分课后题答案

高数第一册第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，）（4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-1 2222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -==偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xxxf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x R ϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠-- （3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=-++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.22。

四川大学2010年高等代数考研试题整理版

二、设A是数域F上n阶方阵，它的秩为r。 E 0 1、设E r 是r阶单位矩阵，写出“存在可逆矩阵P使得PA= r ”的一个充分 0 0 必要条件，并证明你的结论。 2、设α1，α 2， ⋯ , α n 是Fn的一个基，令（β1 ,β 2 , ⋯,β n）=(α1，α 2， ⋯ , α n )A,求向量组β1 ,β 2 , ⋯,β n的秩并给出它的一个极大线性无关组。
3、设P(A)是满足f(A)=0的F上所有多项式f（x）组成的集合，证明：P(A)是 F上的无穷线性空间，并且如果g（x） ∈ P（A）的次数大于n，那么，g（x）在F上是可约的。 4、设λ1 , λ2 , ⋯ λn是A的全部复特征值，证明：对任何非负整数k,数s k = ∑ λi k
i=1 n
属于F。 5、设V是F上的线性空间，ε1 , ε 2 ,⋯ , ε n 是V的一个基，设V上的一个线性变换A 满足A（ε1 , ε 2 , ⋯ , ε n）（ = ε1 , ε 2 ,⋯ , ε n）A且A 2 =A。证明：kerA+ImA是直和。这里，kerA和ImA分别是A的核和像。
四川大学 2010 年高等代数考研试题
一、A为实数域R上的n阶是对称矩阵。 1、证明矩阵 -1E n +A是可逆的，这里E n 是n阶单位矩阵。 2、设函数f：R n × R n → R为f（X,Y） =X'AY.X,Y ∈ R n。证明f不是零函数当且仅当存在X 0 ∈ R n 使得f（X 0 ,X 0） ≠0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、设AX=B是数域F上的一个n元线性方程组，其系数矩阵A的秩为r(A)=r, 设S是它的解集。 1、给出“S是F的子空间”的充分必要条件，并证明你的结论。 2、假设S不是空集且不是F n的子空间，求S的秩，并给出它的一个极大无关组。

2010年高代期末考试题

1. (24 points). Solve the following problems. (1) (8 points). Let f (x) = x4 − 15x3 +75x2 − 135x +45, g (x) = x4 − 15x3 +60x2 − 90x +45. Compute (f (x), g (x)). (2) (8 points). Let α1 , . . . , αn be complex roots of f (x) =
本题2页, 本页为第1页
(4) (8 points). Assume that A = (aij )n×n is a square matrix over F. Prove that A is invertible if and only if, for any column vector β = (b1 , · · · , bn )T in Fn , the determinant bi b1 ··· bn is zero for each 1 ≤ i ≤ n. 3. (32 points). Solve the following problems. 1 3 1 . Compute the determinant det((A∗ )∗ ). Here X ∗ (1) (10 points). Let A = 1 0 1 11 9 8 stands for the associated matrix of a square matrix X . (2) (10 points). Assume that each column vector of a nonzero (n + 1) × (n + 1) matrix x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 = 0 x + 2x + · · · + nx + λx = 0 1 2 n n+1 . Find the A is a solution to the system ········· x1 + 2n x2 + · · · + nn xn + λn xn+1 = 0 value(s) of λ and prove that |A| = 0. (3) (6 points). Assume that A is an n × n matrix over F and f (A) = 0 for a nonzero polynomial f (x) in F[x]. Assume that g (x) ∈ F[x] and (g (x), f (x)) = 1. Prove that g (A) is invertible and (g (A))−1 is also a polynomial of A. (3) (6 points). Assume that A = (aij )m×n , B = (bij )n×m are matrices over F and m > n. Prove that there exist nonzero m × s matrix C such that ABC = 0. 4. (10 points). Assume that a 2n × 2n matrix A over F satisﬁes that ( ) ( ) 0 En 0 E n A AT = , −En 0 −En 0 where En is the identity matrix of order n. Let E2n be the identity matrix of order 2n. (1) (3 points). Assume that |aE2n − A| = 0. Prove that a ̸= 0. (2) (7 points). Prove that |aE2n − A| = 0 if and only if

川大版高等数学(第一册)部分课后题答案

高数第一册第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，）（4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -==偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xxxf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x R ϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠-- （3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=-++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.22。

2010年中科院高等代数真题及答案解析[1]

∴ξ T (H − xIn )ξ = ξ T (−K + iyIn )ξ = 0
设 H = (hij ), K = (kij ) ∈ ℂn×n ，则由上式可得
hk1ε12
+
hk
2ε
2 2
+⋯ + (hkk
−
x)ε
2 k
+⋯ +
hknε
2 n
=
0
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ + (kkk
−
iy)ε
+
hk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 n
≤
hk1
⋅
ε
2 k
+
hk 2
⋅
ε
2 k
+⋯ + hkn
⋅
ε
2 k
≤
nh
ε
2 k
y ⋅ εk
2=
iyε
2 k
=
kk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯ +
kknε
2 n
≤
hk1ε12
+
kk
2ε
2 2
+⋯+
kknε
2 n
=
kk1
⋅ ε12
+
kk 2
⋅
ε
2 2
+⋯ +
n
n
n
n
= ai ⋅ xi + ai + xi − n ai xi +1 .

川大版高等数学(第一册)部分课后题答案

高数第一册第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，）（4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -==偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xxxf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x R ϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠-- （3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.22。

2010高等代数考研真题.856答案

2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称：高等代数一.（40分）答：1.(D)2.(D)3.(A)4.(D)5.(B)6.(C)7.(B)8.(D)9.(D) 10.(C)二.（20分）证明下列命题：(1). 如果多项式(),()f x g x 不全为零，证明：()((),())f x f xg x 与()((),())g x f x g x 互素。

(2). 证明：0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠.答：(1).证：存在多项式(),()u x v x , 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+. (4分)因而()()()()1((),())((),())f x g x u x v x f x g x f x g x +=. (7分)由定理3,()(),1.((),())((),())()f x g x f x g x f x g x = (10分)(2). 必要性：设0x 是()f x 的k 重根。

那么0x 是()f x '的1k -重根，……，是1()k fx -的1重根，是()k f x 的0重根，即不是()k f x 的根，（3分）所以 1000()()()0k f x f x fx -'==== 而0()0kf x ≠. （5分）充分性：设1000()()()0k f x f x f x -'==== 而0()0kf x ≠. 设0x 是()f x 的l 重根。

由必要性的证明 1000()()()0l f x f x fx -'==== 而0()0lf x ≠. 从而l k =.(10分)三.（15分）已知行列式12114126211214783D --=. 求13233343A A A A +++，其中ij A 是元素ija 的代数余子式。

川大版高等数学(第一册)部分课后题详细答案

高数第一册第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，）（4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -=+=偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xx xf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x Rϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠--（3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.2 2。

《高等代数》习题与参考答案

《高等代数》习题与参考答案数学系第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

2010年高等代数(A)卷参考答案

2010高等代数1（A 卷）参考答案一、填空题 1．n <; 2. 0; 3. 1627-; 4. 0λ≠且3λ≠-; 5. 6,16a b =-= 二、判断题 6.⨯7.⨯8.√9.⨯ 10. √三、单项选择11. (D) 12. (B) 13. (A) 14. (B) 15 (B)四、解答题 16. 解： x+1∴ （f(x),g(x)）=x-3 （7分）17. 解：（4分）2131415143r r r r r r r r ---+−−−→3242523r r r r r r +-+−−−→1234511231111133542563157A ααααα⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪----⎝⎭1213141511123021202120636402123ααααααααα⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪---- ⎪ ⎪+⎝⎭12132142152111230212000020000300002αααααααααααα⎛⎫⎪---- ⎪⎪+- ⎪-- ⎪ ⎪++⎝⎭∴12345()2,r α,α,α,α,α=12α,α是它的一个极大无关组，（6分）且3124125123α=2α-α,α=α+α,α=-2α-α （7分） 18．解：方程组的系数行列式为（1分）（1）当2k ≠-且1k ≠ 时，方程组有唯一解; （2分）（2）2k =-时，（3）()3()2R A R A =≠=，此时，方程组无解; （4分）（3）1k =，此时方程组有无穷多解，（6分）通解为：1212111010,,001k k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

（7分）19．解：因为A = ，所以A 可逆，（2分）则（3分） 21111(2)(1)11k k k k k=+-111111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2131r r r r --−−−→()()13R A R A n ==<=015153522321≠=1123123x x A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112121124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭13112412122111r r ↔-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭21212112403360339r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭2132112403360003r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪⎪⎝⎭()123100123100123100123100225010021210018301018301351001018301021210001541211221201005551381010151515412001151515A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∣E =→---→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎪⎪ ⎪→---→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭31341515151381010151515412001151515⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭即 1231341515151381151515412151515A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（6分）则（7分）20．解：二次型的矩阵为（1分）()21311212213113111221122400110110100221100112240211002110042211011201010201010010022110001210001200001r r r r r r c c c c c c r r c A -+++-+←−→←→--⎛⎫- ⎪⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∣E =-−−−→-−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭3111110011001222211110100010022220041111001022c −----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123231341515151113812015151530412151515x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭则非退化线性变换X CY == （6分）把二次型()123,,f x x x 化222123x x x +- 。

川大版高等数学(第一册)部分课后题详细答案

高数第一册第一章习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，）（4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -=+=偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xx xf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x Rϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠--（3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.2 2。

2010年四川卷文科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B等于（）A．{3，4，5，6，7，8}B．{3，6}C．{4，7}D．{5，8}2．（5分）函数y=log2x的图象大致是（）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．84．（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12，24，15，9B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8，16，10，65．（5分）函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（）A．m=﹣2B．m=2C．m=﹣1D．m=16．（5分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则=（）A．8B．4C．2D．17．（5分）将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（x﹣）D．y=sin（x﹣）8．（5分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱9．（5分）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（）A．36B．32C．28D．2410．（5分）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）11．（5分）设a＞b＞0，则的最小值是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）半径为R的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间的球面距离是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（x﹣）4的展开式中的常数项为24（用数字作答）14．（4分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．15．（4分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是．16．（4分）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中真命题是①②．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．18．（12分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点．（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M﹣BC′﹣B′的大小．19．（12分）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．（Ⅱ）已知，求cos （α+β）．20．（12分）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知定点A（﹣1，0），F（2，0），定直线l：x=，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．22．（14分）设（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（1）求g（x）；（2）当x∈[2，6]时，恒有成立，求t的取值范围；（3）当0＜a≤时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，并说明理由．2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学(参考答案)1.【解答】解：∵集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，又∵集合A与集合B中的公共元素为5，8，∴A∩B={5，8}，故选D．2.【解答】解：函数y=log2x为对数函数，且2＞1故选C．3.【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选C．4.【解答】解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是=8，=16，=10，=6，故选D．5.【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的对称轴为x=﹣⇔﹣=1⇒m=﹣2．答案：A．6.【解答】解：由=16，得||=4，∵=||=4，而∴=2故选C．7.【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（x﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（x﹣）．故选C．8.【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z=280x+200y结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．故选B．9.【解答】解：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A32A22=24种，如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，首先排5，有=3种，然后排1和2，有A22A22=12种，3×A22A22=12种，共计12+24=36种；故选A．10.【解答】解：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等而|FA|=|PF|∈[a﹣c，a+c]于是∈[a﹣c，a+c]即ac﹣c2≤b2≤ac+c2∴又e∈（0，1）故e∈．11.【解答】解：=≥4当且仅当取等号即取等号．∴的最小值为4故选：D12.【解答】解：由已知，AB=2R，BC=R，故tan∠BAC=cos∠BAC=连接OM，则△OAM为等腰三角形AM=2AOcos∠BAC=，同理AN=，且MN∥CD而AC=R，CD=R故MN：CD=AM：ACMN=，连接OM、ON，有OM=ON=R于是cos∠MON=所以M、N两点间的球面距离是．故选A．13.【解答】解：展开式的通项公式为T r+1==（﹣2）r C4r x4﹣2r令4﹣2r=0得r=2得常数项为C42（﹣2）2=24．故答案为24．14.【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15.【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=；故答案为．16.【解答】解：两个复数的和是复数，两个复数的差也是复数，所以集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集，①正确．当S为封闭集时，因为x﹣y∈S，取x=y，得0∈S，②正确对于集合S={0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误取S={0}，T={0，1}，满足S⊆T⊆C，但由于0﹣1=﹣1不属于T，故T不是封闭集，④错误．17.【解答】解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，则P（A）=P（B）=P（C）=，甲、乙、丙没中奖的事件分别为、、，则P（）P=（）=P（）=，（Ⅰ）由于“三位同学都没有中奖”是三个相互独立事件，∴P（）=P（）P（）P（）=答：三位同学都没有中奖的概率为；（Ⅱ）“三位同学中至少有两位没有中奖”的对立事件为“至少有两位中奖”∴1﹣P（•B•C+A••C+A•B•+A•B•C）=1﹣3×答：三位同学至少两位没有中奖的概率为．18.【解答】解：法一（1）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点所以AM所以MO由AA′⊥AK，得MO⊥AA′因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′所以AK⊥BD′所以MO⊥BD′又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；（2）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′过点N作NH⊥BC′于H，连接MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而，∠MHN为二面角M﹣BC′﹣B′的平面角MN=1，NH=Bnsin45°=在Rt△MNH中，tan∠MHN=故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arctan2．法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）（1）因为点M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点所以M（1，0，），O（，，），=（0，0，1），=（﹣1，﹣1，1）=0，+0=0所以OM⊥AA′，OM⊥BD′又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（2）设平面BMC'的一个法向量为=（x，y，z）=（0，﹣1，），=（﹣1，0，1）即取z=2，则x=2，y=1，从而=（2，1，2）取平面BC′B′的一个法向量为=（0，1，0）cos由图可知，二面角M﹣BC′﹣B′的平面角为锐角故二面角M﹣BC′﹣B′的大小为arccos．19.【解答】解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与﹣β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角﹣β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．则P1（1，0），P2（cosα，sinα）P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（﹣β），sin（﹣β））由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得[cos（α+β）﹣1]2+sin2（α+β）=[cos（﹣β）﹣cosα]2+[sin（﹣β）﹣sinα]2展开并整理得：2﹣2cos（α+β）=2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（4分）②由①易得cos（﹣α）=sinα，sin（﹣α）=cosαsin（α+β）=cos[﹣（α+β）]=cos[（﹣α）+（﹣β）]=cos（﹣α）cos（﹣β）﹣sin（﹣α）sin（﹣β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（6分）（Ⅱ）∵α∈（π，），cosα=﹣∴sinα=﹣∵β∈（，π），tanβ=﹣∴cosβ=﹣，sinβ=cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=（﹣）×（﹣）﹣（﹣）×=．20.【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由已知得解得a1=3，d=﹣1故a n=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；（2）由（1）的解答得，b n=n•q n﹣1，于是S n=1•q0+2•q1+3•q2+…+n•q n﹣1．若q≠1，将上式两边同乘以q，得qS n=1•q1+2•q2+3•q3+…+n•q n．将上面两式相减得到（q﹣1）S n=nq n﹣（1+q+q2+…+q n﹣1）=nq n﹣于是S n=若q=1，则S n=1+2+3+…+n=所以，S n=．21.【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则化简得x2﹣=1（y≠0）；（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）与双曲线x2﹣=1联立消去y得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0由题意知3﹣k2≠0且△＞0设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k2（+4）=因为x1、x2≠﹣1，所以直线AB的方程为y=（x+1）因此M点的坐标为（），同理可得因此==0②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为（），同理可得因此=0综上=0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F．22.【解答】解：（1）由题意得：a x=＞0故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3分）（2）由得①当a＞1时，＞0又因为x∈[2，6]，所以0＜t＜（x﹣1）2（7﹣x）令h（x）=（x﹣1）2（7﹣x）=﹣x3+9x2﹣15x+7，x∈[2，6]则h'（x）=﹣3x2+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）所以h（x）最小值=5，所以0＜t＜5②当0＜a＜1时，0＜又因为x∈[2，6]，所以t＞（x﹣1）2（7﹣x）＞0令h（x）=（x﹣1）2（7﹣x）=﹣x3+9x2﹣15x+7，x∈[2，6]由①知h（x）最大值=32，x∈[2，6]所以t＞32综上，当a＞1时，0＜t＜5；当0＜a＜1时，t＞32；（9分）（3）设a=，则p≥1当n=1时，f（1）=1+≤3＜5当n≥2时设k≥2，k∈N*时则f（k）=所以f（k）≤1+=1+=1+从而f（2）+f（3）+…+f（n）≤n﹣1+＜n+1所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜f（1）+n+1≤n+4综上，总有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）＜n+4．（14分）。

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