第4章连续域-离散化设计计算机控制

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4.2 各种离散化方法

离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传 递函数D(z) 。 “等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性： ---零极点个数； •离散化方法很多 ---系统的频带； • 数值积分法（置换法） ---稳态增益； ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---相位及增益裕度； ---双线性变换法 ---阶跃响应或 ---修正双线性变换法 脉冲响应形状； • 零极点匹配法 • 保持器等价法 ---频率响应特性。 • z变换法(脉冲响应不 注意：不同的离散化方法特性不 变法) 同. D(z)与D(s)相比，并不能保持 全部特性，并且不同特性的接近 程度也不一致。

T2 2 z (2 0.8T ) z (1 0.8T T 2 )
0 T 0.8s
•若取T=1s，则D(s)的极点将落在以(-1/T,0) 为圆心， 以r=1/T为半径的圆外 .
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4.2.3 双线性变换法(突斯汀变换 )
1. 离散化公式
D( z ) D( s)
D(e j1T ) D( j1 )
1 1 A 2 tan 1T
2 z 1 Tustin变换式 s T z 1
T
2
1 2 z 1 1 z 1 s 为实现上述要求，需将 A T z 1 tan(1T / 2) z 1 D(s/ω1)平移到D(s/ωA)处，

例4-1
10
4.2.2 一阶向前差分法
1. 离散化公式
D( z ) D( s)
s z 1 T
实质是将连续域中的微分用 一阶向前差分替换。
D(s) U (s) / E (s) 1/ s
du(t ) / dt e(t ), u(t ) e(t )dt
0 t
du(t ) / dt {u[(k 1)T ] u(kT )}/ T
计算机控制系统
第4章 连续域-离散化设计
1
本章主要内容

4.1 连续域—离散化设计原理与步骤 4.2 各种离散化方法 4.3 数字PID控制器设计 本章小结
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4.1连续域—离散化设计原理与步骤

连续域—离散化设计是一种间接设计法，实质是将数字控 制器部分看成是一个整体，输入r(t)和输出y(t)都是模拟量 因而可等效为连续传递函数De(s) 。
图4-7 向前差分矩形积分法
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4.2.2 一阶向前差分法
2. 主要特性
1) s平面与z平面映射关系 •只有当D(s)的所有极点位于 左半平面的以点（-1/T，0) 为圆心、1/T为半径的圆内， 离散化后D(z)的极点才位于 z平面单位圆内
z 1 Ts (1 T ) jT
•计算机实现算法D(z)的计算表示： D (e jT ) •D/A的频率特性： G( j ) T sin(T / 2) e jT /2 Te jT /2 T / 2 •等效连续 传递函数：
De ( j ) 1 D(e jT )Te jT /2 D(e jT )e jT /2 T
z (1 T ) 2 (T ) 2
2
令 z 1 （单位圆）
1 (1 T )2 (T )2
1 1 2 T2 T 2) 若D(s)稳定，采用向前 差分法离散化，D(z)不一 定稳定。只有采用较小的 采样周期T，方能保证D(z) 稳定。
2 z 1 s T z 1
•相当于数学的梯形积分法， 即以梯形面积近似代替积分
D(s) U (s) / E (s) 1/ s
du(t ) / dt e(t ), u(t ) e(t )dt
t
T u (k ) u (k 1) [e(k ) e(k 1)] 2
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2
图4-8 向前差分法的映射关系
4.2.2 一阶向前差分法
3. 应用
映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定稳定。 使用简单方便，如若采样周期较小，亦可使用。 例4-2 试用向前差分法离散下述传递函数 稳定性判断：要求 1 D( s ) 2 (0) 1 0.8T T 2 1 s 0.8s 1 。 (1) 1 (2 0.8T ) (1 0.8T T 2 ) 0 1 D( z) 2 s ( z 1)/T s 0.8s 1 (1) 1 (2 0.8T ) (1 0.8T T 2 ) 0
A
图4-12双线性变换频率特性失真
2 DT D T 2
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4.2.3 双线性变换法(突斯汀变换 )
4) 双线性变换后环节的稳态增益不变
D( s )
s 0
D( z )
z 1
5)双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：
D(e jT )

s
e z (Ts / 2) e
(Ts / 2)
T z 1 s 2
T 1 s 2
2 ( z 1) s T ( z 1)
2 T j 2 j
T
的单位圆周。 •当> 0（s右半平面），映射到z 平面单位圆外 。 •当< 0（s左半平面），映射到z 平面单位圆内 。
1. 离散化公式 •实质是将连续域中的微分 用一阶向后差分替换．
1 z 1 s T
D( z ) Dຫໍສະໝຸດ Baidus)
D(s) U (s) / E (s) 1/ s
du(t ) / dt e(t ), u(t ) e(t )dt
0 t
du(t )/ dt {u(kT ) u[(k 1)T ]}/ T
设计时常近似为 1 e sT / 2 1 sT / 2 数字算法D(z)的等效 传递函数
De ( s ) Ddc ( s )e sT / 2
图4-2计算机控制系统等效连续结构
4
4.1连续域—离散化设计原理与步骤
连续域—离散化设计的步骤如下： 第1步：根据系统的性能选择采样频率，设计抗混叠前置滤 波器。 第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据性能指标和连续域设计方 法，设计数字控制算法的等效传递函数Ddc(s) 。 ----如所取采样频率较高，可略去ZOH的影响。 第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉冲 传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。 第4步：检验计算机控制系统的闭环性能。如满足指标要求， 进行下一步；否则，重新设计。改进设计的途径有： ----选择更合适的离散化方法。 ----提高采样频率。 ----修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。 第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。
u(kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
U ( z ) z 1U ( z ) TE ( z )
D( z ) U ( z ) / E ( z ) T /(1 z 1 )
s与z之间的变换关系
s (1 z 1 ) / T
1 z 1 sT
•矩形积分法，即以矩形面积近似 代替积分，矩形面积是Te(k) 。
u[(k 1)T ] u(kT ) Te(kT )
( z 1)U ( z) TE( z)
s与z之间的变换关系 z 1 1 z 1 s z 1 Ts 1 T Tz
D( z) U ( z) / E( z) T /( z 1)
•这种方法也是一种矩形积分近 似,但所累加的矩形面积是 Te(k-1)，与向后差分不同。
z域角频率
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4.2.3 双线性变换法(突斯汀变换 )
2) 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。 3) 频率畸变：双线性变换的一对 一映射，保证了离散频率特性不产 生频率混叠现象，但产生了频率畸变。
图4-11双 线性 变换的频 率关系
DT 2 A tan T 2
当采样频 率较高
足够小
DT
2
0
3.应用
1) 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好 的特性，工程上应用较为普遍。 2) 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用 于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。

例4-3
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4.2.4 修正双线性变换
4.2.4 修正双线性变换 1. 离散化方法
• 预修正的目的是满足在 某个选定的关键频率ω1上:
图4-1计算机控制系统典型组成
•De(s)中的3个环节可近似描述如下：
•
A/D输出与输入关系：
1 R ( j ) R ( j jns ) T n
*
系统低通特性
R* ( j )
1 R( j ) T
采样频率较高
R *( j ) / R( j )
1 T
3
4.1连续域—离散化设计原理与步骤

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4.2.1 一阶向后差分法
② 若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。 ③ 变换前后，稳态增益不变。
D( s )
s 0
D( z )
z 1
④ 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控 制器相比有相当大的畸变。
3.应用
•变换较为方便,变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
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4.2 各种离散化方法

本节主要内容
4.2.1 一阶向后差分法 4.2.2 一阶向前差分法 4.2.3 双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法） 4.2.4 修正双线性变换 4.2.5零极点匹配法 4.2.6 其他方法 4.2.7 连续域-离散化方法小结 4.2.8 应用举例
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4.2.1 一阶向后差分法
s与z之间的变换关系
0
T U ( z ) z U ( z ) [ E ( z ) z 1E ( z )] 2
1
2 ( z 1) s T ( z 1)
T (1 z 1 ) U ( z) 2 1 D( z ) 2 ( z 1) E( z) 1 z 1 T ( z 1)
图4-3向后 差分法
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4.2.1 一阶向后差分法
一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似 1 1 sT 1 z 1 z e sT s e 1 sT T 1 1 1 (1 Ts) 2.主要特性 z 1 Ts 2 2 (1 Ts) ① s平面与z平面映射关系 s j •当=0 （s平面虚轴）， s平面虚轴映射到z平面 2 1 1 (1 T ) 2 (T ) 2 z 为该小圆的圆周。 2 4 (1 T ) 2 (T ) 2 •当> 0（s右半平面）， 映射到z平面为上述小圆 的外部。 •当< 0（s左半平面）， 映射到z平面为上述小圆 的内部。 图4-4向后差分法的映射
图4-9 梯形积分法
T 1 s 2 z T 1 s 2
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4.2.3 双线性变换法(突斯汀变换 )
•变换也是z变换的一种近似
2.主要特性
T T 1 s 1 2 2 1） s平面与z平面的映射关系 z T T 1 s 1 2 •当=0（s平面虚轴)映射为z平面 2
s j
T T 1 2 2 2 z 2 2 T T 1 2 2
2
2
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4.2.3 双线性变换法(突斯汀变换 )
•双线性变换将 --整个s平面左半部到z平面单 位圆内。 --整个s平面右半部映射到单 位圆外。 --s平面虚轴映射为单位圆。 --映射是一对一的非线性映射。
2 ( z 1) s T ( z 1)
图4-10 双线性变换映射关系
s域角频率
DT 2 A tan T 2
2 1 e jDT 2 e jDT /2 e jDT /2 jA jDT T 1 e T e jDT /2 e jDT /2 DT 2 2 jsin(DT / 2) 2 j tan T 2 cos(DT / 2) T 2