(1)圆的有关定义和概念1
圆的第一定义第二定义第三定义
圆的第一定义第二定义第三定义1. 圆的第一定义：数学中的“圆”说到“圆”，大家首先想到的肯定是数学课上那个神秘的东西。
记得我第一次看到圆的定义，心里就想：“这是什么鬼？”其实，圆在数学上是一个简单又不简单的概念。
简单说，就是平面上所有距离某个固定点（也就是圆心）相同的点的集合。
哎，听起来是不是有点像谈恋爱？你我之间的距离总是那么近，嘿嘿，感觉到了吧？圆的半径就是从圆心到圆上任意一点的那条线。
想象一下，就像是你和你的朋友手拉手，围成一个圈。
这样一来，大家的距离都是一样的，哦，这种均匀感真让人开心。
不过，圆的定义可不仅仅是数学上的抽象东西。
它在我们生活中处处可见：披萨、车轮、游泳圈，甚至是那颗你喜欢的葡萄，都能归为圆的大家庭。
想想看，哪一个圆形的东西能让你忍不住想咬一口？哈哈！1.1 圆的特点说到圆的特点，大家肯定会想：“哦，它不就是个圆吗？”不不不，圆可不仅仅是个“圆”那么简单。
首先，圆是对称的，无论你从哪个方向看，它都是一模一样的，简直就是完美的代名词。
就像你心中那位完美的偶像，光环四射，让人无法抵挡。
再者，圆的周长和面积计算起来也很有趣，周长是 (2pi r)，面积是 (pi r^2)。
听起来是不是有点复杂？别担心，反正只要记住 (pi) 这个神奇的数字就行了，嘿，生活中的小妙招。
2. 圆的第二定义：生活中的圆好吧，我们不再沉迷于数学的海洋，咱们聊聊生活中的圆。
圆在我们的日常生活中到处都是，就像那种你永远也躲不开的追求者，哈哈！无论是节日里的圆月，还是团圆饭上的大圆桌，圆都是团聚和和谐的象征。
看，过年回家时，和亲戚朋友围坐在一起，聊聊家长里短，心里暖暖的，整个气氛就像那颗圆圆的月亮，让人倍感亲切。
当然，生活中的圆也有点搞笑。
比如你在商场里转来转去，最后却迷了路，没想到自己又回到了原点。
那一刻，你就会感觉自己仿佛被生活的圆圈圈住了，真是哭笑不得。
不过，这种“圆”的感觉也挺不错，起码你知道自己是在“圆”里，找不到路的日子里，总能见到熟悉的风景，对吧？2.1 圆的象征意义说到象征，圆可是个不简单的角色。
圆的定义和有关概念
圆的定义和有关概念一、圆的定义和有关概念1、圆的有关概念（1）圆的定义：在一个平面内，线段$OA$绕它固定的一个端点$O$旋转一周，另一个端点$A$ 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点$O$叫做圆心，线段$OA$叫做半径。
以点$O$为圆心的圆，记作“$⊙O$”，读作“圆$O$”。
此外，圆心为$O$，半径为$r$的圆可以看成是所有到定点$O$的距离等于定长$r$的点的集合。
（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（3）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以$A$，$B$为端点的弧记作$\overset{\frown} {AB}$，读作“圆弧$AB$”或“弧$AB$”。
圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧。
（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。
容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
2、垂直于弦的直径（1）圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
圆有无数条对称轴。
圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆还具有旋转不变性。
（2）垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
（2）圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
同样还可以得到：① 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
② 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
（2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
22.1 (1)圆的有关概念(一)
22.1 (1)圆的有关概念(一)**********************************教学目标*************************************1.理解圆的定义，并能从集合的观点对圆加以理解2.掌握点和圆的位置关系，能判断点是否在圆上3.提高观察、分析和归纳问题的能力**********************************教学重点************************************* 圆的定义、点和圆的位置关系**********************************教学难点************************************* 从集合的观点对圆加以理解**********************************教学内容*************************************一、创设情境、引入新课1.小学学习过关于圆的知识都有哪些？2.实际生活中、都在什么地方用到圆的知识3.为什么车轮是圆形的呢？二、新课(一)1.如何在练习本上画一个圆？2.如何在操场上画一个半径为5米的圆？以上画圆的过程中有什么共同特点?都是在同一平面内固定线段一段，另一个端点随着线段旋转一周、形成一个圆.用数学语言描述：在一个平面内，线段OA绕它的固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫圆心线段OA叫做半径，记作⊙O，读作圆O3.定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.4.提问(1)篮球是圆吗？不是(圆必须是在一个平面内)(2)一个一元的硬币是圆吗？不是(圆是一条曲线)(3)以3cm为半径能画几个圆？为什么？(无数个，圆心不固定)(4)以点O为圆心，能画几个圆？(无数个，半径不固定)(5)定义说：圆上各点到点O的距离都相等反之：平面内到点O的距离等于OA的长的点都在圆上吗？(在、反例)得出定义①纯粹性：圆上各点到定点(O)的距离都等于定长r②完备性：到定点的距离等于定长的点都在圆上(二)点和圆的位置关系强调圆心与半径缺一不可用集合的概念得出圆是到定点距离等于定长的点的集合圆是一条封闭的曲线.圆把平面分成三部分.园内、圆上、圆外.练习：1.⊙O半径r=5cm，A为OP中点.当OP=6cm时，A在______.当OP=10cm时，A在______.当OP=14cm时，A在______.2.在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，以点C为圆心，以r为半径作圆.按下列条件分别判断A、B两点在OC的位置关系.(1)r=2.4 (2)r=43.已知：四边形ABCD为矩形，判断A、B、C、D四个点是否在同一个圆上，并说明理由.。
初三《圆》知识点及定理(1)
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；(补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线.二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内;2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:（1)平分弦（不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理:此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
24.1.1圆的定义与相关概念
24.1.1圆的定义及有关概念 一、学习目标1、探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别；2、体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系二、自学指导问题一：你接触过圆吗？生活中哪些物品是圆形的呢？你知道有关于圆的哪些知识呢?总结：（1）圆的描述性定义：在一个平面内，线段绕它的固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆.固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O”.说明：“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．（2）圆的集合性定义: 圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合.问题二：等圆和同心圆等圆：半径相等的圆叫做等圆同心圆：圆心相同半径不等的圆叫做同心圆问题三：弦、弧、直径弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A 、B 为端点的弧记作AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的ABC ；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的BC ．三、互动研讨：☆☆1. 如图，请用正确的方式表示出以点A 为端点的优弧及劣弧.FE DC B AO IA B C O☆☆☆2.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，求证：A 、B 、C 、D 四个点都在以点O 为圆心的圆上.☆☆3.如下图所示，回答问题：（1）请写出图中所有的弦；（2）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；（3）若∠ABC=30°，你能求出哪些角的度数？四、课堂练习：☆☆4. 判断：（1）直径是弦. （ ）（2）弦是直径. （ ）（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆.（ ）（4）半径相等的两个半圆是等弧. （ ）☆☆5.下列说法中，结论错误的是（ ）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧☆☆☆6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C =15°,则∠BOC的度数为（ ）A ．15° B. 30° C. 45° D ．60° ☆☆☆7. 平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6 cm ，最短为2 cm ，则⊙O 的半径为 ．☆☆☆8. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 是OB 上的任一点（不与O 、B 两点重合），CD 、EF 是过点P 的两条弦，则图中的弦和以点B 为端点的劣弧分别有（ ） A.3条，4个 B.4条，4个 C.5条，5个 D.5条，6个 A B C D E F P O。
(一) 圆的相关概念及垂径定理
AODBCAO（一） 圆的相关概念及垂径定理一、知识梳理（一）圆的有关概念1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）和圆有关的角：1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆的定义及有关概念
圆的定义及有关概念圆是一个具有特定形状的几何图形，它由一个平面上的一组点构成，这些点到其中一个给定点（圆心）的距离相等。
圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径，记作r。
圆的平坦部分称为圆周，它的长度称为圆的周长，记作C。
圆的面积叫做圆的面积，记作A。
以下是有关圆的概念的详细解释：1.圆的周长：圆的周长是围绕圆周的长度。
它可以通过圆的半径r可以用公式C = 2π r计算，其中π是一个著名的无理数，约为3.14159。
2.圆的面积：圆的面积是圆周围面积的大小。
它可以由圆的半径r使用公式A = πr²来计算。
3.弧：圆周上的一部分被称为弧，它由两个点组成。
在圆心上连接这些点，可以创建一个对角线，称为弦。
4. 弧长：弧的长度称为弧长，用L表示。
弧长可以用公式L = rθ计算，其中θ是弧的圆心角的度数。
5. 圆心角：将圆心作为顶点的角度称为圆心角。
圆心角的度数可以度量弧的圆心角所占的角度，也可以用角度制或弧度制表示。
6. 弧度：弧度是一种测量角的新方式，它只用于圆形中。
一个角的一弧长度正好是这个角的弧度度数。
它以弧长的长度除以半径r的结果为单位度量，并用符号rad表示。
7. 切线：通过圆周且仅与圆周相交于一个点的直线称为切线。
切线垂直于该点处的半径，并为该点提供切向加速度。
8.弦：在圆上连接任意两个点形成的线段称为弦。
9. 夹角：相交弦之间的角度称为夹角。
10.干涉：两个圆交叉时，它们在交点处有重叠的部分，称为干涉。
以上是有关圆的一些基本概念，这些概念在几何学中使用广泛，对于理解几何学中的其他概念和解决实际问题都非常重要。
圆的基本概念
圆的基本概念圆是几何学中的一种基本形状，它具有许多独特的特性和重要的应用。
本文将介绍圆的基本概念、性质和应用，以及与圆相关的一些重要定理和公式。
一、圆的定义圆是由平面上距离中心固定距离的所有点构成的图形。
其中，距离中心最远的点称为圆的边界，也称为圆周；距离中心的长度称为圆的半径，用字母r表示；直径是通过圆心并且两端点都在圆周上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。
二、圆的性质1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径是圆周长的两倍。
3. 圆的面积公式为S = π * r²，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的周长公式为C = 2 * π * r。
5. 在圆内任取一点A，与圆心连线，得到线段OA。
以OA为半径，做圆心在圆上作弦AB，与OA所关的扇形和三角形OAB的面积之和等于全圆的面积。
三、圆的重要定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切于点T，那么切线的斜率等于与圆心连线的斜率。
2. 弧长定理：弧所对的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。
3. 弦长定理：弦所对的两个圆心角的大小相等。
四、圆的应用1. 圆在几何图形的构建中具有重要作用，可以通过给定的半径和圆心画出一个确定的圆。
2. 圆的应用广泛，例如建筑设计中的圆形窗户和圆形拱门，以及机械工程中的圆锥和齿轮系统。
3. 圆的性质在计算机图形学和计算机编程中被广泛应用，例如设计和绘制圆形图标、圆形按钮等。
总结：圆作为几何学中的基本形状，具有着丰富的性质和重要的应用价值。
通过对圆的定义、性质和定理的理解，我们可以更好地认识和应用圆形图形。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到和使用圆，因此深入理解圆的基本概念对我们的学习和工作具有重要意义。
通过不断学习和探索，我们可以更好地利用圆的特性，将其应用于各个领域，促进我们的创新和发展。
圆的概念知识点总结
圆的概念知识点总结一、基本概念1. 圆的定义圆是一个平面上的一个点到另一个点距离相等的所有点的集合。
这个距离被称为圆的半径。
2. 圆的元素圆的元素有两个，一个是圆心，一个是半径。
圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上的任意一点的距离。
3. 圆的属性圆的属性有几个重要的特点，比如圆半径、圆心、圆直径、圆周长、圆面积等。
二、圆的相关公式1. 圆的周长圆的周长是指圆的边界长度，它可以通过公式2πr来计算，其中r表示圆的半径，π表示圆周率，它的值约为3.14。
2. 圆的面积圆的面积是指圆内部的部分，它可以通过公式πr^2来计算，其中r表示圆的半径。
3. 圆的直径圆的直径是指圆的两个相对的边界之间的距离，它可以通过圆的半径乘以2来计算。
4. 圆的弧长圆的弧长是指圆周上的一部分长度，它可以通过圆的半径乘以弧度来计算。
5. 圆的扇形面积圆的扇形面积是指圆的一部分面积，它可以通过圆的半径乘以弧长除以2来计算。
6. 圆的切线圆的切线是指与圆相切的一条直线，在接触点处与圆相切且与圆的半径垂直。
三、圆的相关定理1. 圆的同位角定理同位角是指平行线与一条直线相交时所成的对应角，对应角相等，角的度数相等。
2. 圆的相交角定理相交角是指两个相交直线所成的四个角，相邻角相等。
3. 圆的正切定理圆内一点的切线长度等于这个点到圆心的距离乘以切点到切线之间的夹角的正切值。
4. 圆的切线定理切于圆上的直线与半径的夹角等于直线与半径的切线夹角的一半。
5. 圆的弦切定理圆内一点的切线长的平方等于这个点到圆心的距离的平方减去弦长的平方。
四、圆的相关性质1. 圆的切线垂直定理相切于同一个圆的两条切线相互垂直。
2. 圆心角和弦定理圆心角是指以圆心为端点的两条半径所成的角，它的度数等于其所对的圆周弧所对的圆心角。
3. 圆的切线与半径定理切于圆的切线和该圆上的半径垂直。
4. 圆的内切定理在一个三角形中，内切圆的半径等于周长与半周长之差。
以上就是关于圆的基本概念、公式、定理和性质的一些知识点总结，希望对大家有所帮助。
圆的知识点总结
圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
1推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
高中-圆的有关概念和性质
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
圆的定义
圆的定义【知识要点】1.圆的定义：（1）圆的第一定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P随之旋转所形成的图形叫做圆(固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径)。
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。
（2）圆的第二定义：在平面内，到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆.定点叫做圆心，定长叫做半径从圆的定义可知，它有如下两条性质。
(1)纯粹性：圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径的长r)；(2)完备性：到定点的距离等于定长的点都在圆上，所以圆也可定义为：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的有关概念(1) 连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右下图BC．经过圆心的弦是直径，如图AB。
直径等于半径的2倍．（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做BC；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的BAC．(3) 半径相等的两个圆能够完全重合，因此我们把半径相等的两个圆叫做等圆．圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
3.确定圆的条件①已知圆心和半径，圆心三角形圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆．4.点与圆的位置关系一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d<r⇔P在圆内；d=r⇔P在圆上；d>r⇔P在圆外．【经典例题】例1. 如图，点A,D,G,M在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b, NH=C，则下列各式中正确的是( )A.a>b>cB.a=b=cC.c>a>bD.b>c>a例2.如图，AB是半圆O的直径，AC=AD,OC=2, ∠CAB=300，则点O到CD的距离OE= .例3 如图，点P 的坐标为（4,0), ⊙P 的半径为5，且OP 与x 轴交于点A,B ，与y 轴交于点 C,D, 试求出点A ,B,C,D 的坐标．例4 四边形ABCD 中,︒=∠=∠90D B .求证：A 、B 、C 、D 四个点在同一圆上.例5. 在Rt △ABC 中，∠C=900, CD ⊥AB, AC=2, BC=3，若以C 为圆心，以2为半径作⊙C ，则点A 、B 、D 与⊙C 的位置关系。
圆的有关概念总结
圆的有关概念1、圆的定义①描述性定义：如图在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一端点A随之旋转所形成的图形叫圆，记作⊙O，读作“圆O”．固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．注意：描述性定义直观形象地描述了圆的形成过程，由此可见，确定圆的条件是圆心和半径．②点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．注意：点集定义准确深刻地揭示了圆的本质属性，它包括两个方面的含义：一是圆上任意一点到圆心(定点)的距离都等于定长(半径)；二是所有和圆心的距离等于定长(半径)的点都在圆上．(2)弦与直径①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．②直径：经过圆心弦，称为直径．注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．(3)弧、优弧、劣弧、半圆①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．②半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．3、垂径定理及推论定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．4、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．6、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．与圆有关的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．3、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．注意：①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内．②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．(2)三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．4直线和圆的位置关系的定义及有关概念(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．6、切线(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．7、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．8、圆和圆的位置关系(1)图示定义法(交点数)①相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；②相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；③相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示．注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：(Ⅰ)没有公共点： (Ⅱ)有惟一公共点： (Ⅲ)有两个公共点：相交(2)用数量关系判断两圆的位置关系当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关，设两圆半径分别为R 和r(R ＞r)，圆心距为d ，则：(1)两圆外离d ＞R ＋r ； (2)两圆外切d=R ＋r ；(3)两圆相交R －r ＜d ＜R ＋r ；(4)两圆内切d=R －r ； (5)两圆内含d ＜R －r ．1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的周长C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。
圆的基本概念
圆的基本概念.知识整理1、圆的定义（1）形成性定义：在一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做，线段OA叫做．记作“⊙O”，读作“圆O”．（2）集合性定义：圆是平面内到定点的距离等于的点的集合，其中，定点是圆心，定长是圆的半径二．与圆有关的概念（1）弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心弦，称为直径．注意：是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A、B为端点的弧用“”表示．读作“弧AB”．能够重合的两条弧叫做．弧叫做劣弧，的弧叫做优弧．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．半径相等的两个圆是等圆．2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条都是它的对称轴．圆也是中心对称图形，是它的对称中心．注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．3、垂径定理及推论定理：垂直于弦的直径这条弦，并且平分这条弦所对的推论：平分弦(不是直径)的直径于这条弦，并且弦所对的两条弧；平分弧的垂直平分这条弧所对的弦。
4、圆心角圆心角：顶点在的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧也；相等的弦或相等的弧所对的相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别．注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．6、圆周角(1)圆周角：顶点在，两边和圆相交的角叫做圆周角．半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于（直角）．90°的圆周角所对的弦是圆的．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于该弧所对的圆心角的；相等的圆周角所对的弧．三、典例剖析例1、如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）A．CM=DM B．C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC分析：因为AB是⊙O的直径，且AB⊥CD，所以根据垂径定理可知CM=DM，。
数学圆的所有概念
数学圆的所有概念数学圆的所有概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等等。
下面将详细介绍这些概念。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。
这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。
二、圆的性质1. 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径，而圆上的点距离等于半径。
2. 圆的内部所有点的距离到圆心的距离都大于半径，而圆外的点到圆心的距离大于半径。
3. 圆是一个凸集，即圆上任意两点的连线都在圆内部。
三、圆心和半径1. 圆心是圆的中心点，用字母O表示。
2. 半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
四、直径和周长1. 直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段。
2. 直径的长度是半径长度的两倍，即直径=2r。
3. 周长是圆的边界的长度，用字母C表示，计算公式为C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。
五、面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域的大小，用字母A表示，计算公式为A=πr²。
六、弧长弧是圆上的一段曲线，弧长是弧所占有的圆的周长的长度比例。
1. 弧度制（radian）是计量弧长的单位，用符号rad表示。
一个圆周的弧长等于半径r的弧长是2πr，故一个圆的周长等于2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。
2. 利用弧长S、圆心角θ和半径r之间的关系可以得到公式S=rθ，其中θ用弧度制表示。
七、扇形扇形是圆内以圆心为顶点的两条半径和介于它们之间的弧所围成的区域。
1. 扇形的面积可以通过扇形的圆心角θ和半径r计算，公式为A=(θ/360)πr²。
2. 扇形的弧长与圆周长的比例等于圆心角与360的比例，即s=(θ/360)2πr。
总结：数学圆的概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等。
圆是由平面上距离一个固定点相等的所有点组成的集合，这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。
人教版初中数学九(下)第24章圆第1节圆
人教版初中数学九(下)第24章圆第一节、圆（一）圆的有关概念：(1)圆的定义：①在一个平面内，线段OA绕其固定的端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。
固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
【圆心定位置，半径定大小】以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作”圆O”. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；等圆：能够重合的两个圆。
②在平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
练习：有两个同心圆，小圆的半径为2cm，大圆的半径为3cm，大圆上一点P与小圆上一点Q的距离PQ的取值范围是 .(2)圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定．．一个圆。
【两点定线，三点定圆】(3)概念：①弦：连结圆上任意两点的线段。
其中，过圆心的弦叫直径。
如图中的弦AB、AC、BC.其中，弦AB经过了圆心O，为直径。
②弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，用“”表示。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC和BAC；小于半圆的弧叫劣弧，如图中的AC和BC。
*同圆或等圆（半径相等的圆）中，能够互相重合．．的弧叫等弧。
《弧的相等要区别于线段的相等；在同圆或等圆中，弧与弧之间才能加减。
》③弦心距：圆心到弦的距离，如图中的OM。
④圆心角：顶点在圆心的角，如图中的∠AOC,∠BOC等。
《圆心角的度数和它所对的弧的度数相等》⑤圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，如图∠ABC,∠BAC,∠ACB. （二）圆的有关性质：（1）对称性：★圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。
★圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（2）在一个圆中，①如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等；②如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等；③如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，圆心角．．．所对的弧相等《或者等弦所对的优弧和劣弧分别相等》。
圆的基本概念知识点总结
圆的基本概念知识点总结圆是几何学中的基本图形之一，具有许多独特的特性和应用。
本文将对圆的基本概念进行详细总结，包括圆的定义、元素、性质以及相关的公式和应用。
一、圆的定义圆是指平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
固定点被称为圆心，固定距离被称为半径。
二、圆的元素1. 圆心（Center）：圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。
2. 半径（Radius）：半径是从圆心到圆上任意点的距离，通常用字母r表示。
3. 直径（Diameter）：直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。
4. 弦（Chord）：弦是圆上两点之间的线段。
5. 弧（Arc）：弧是圆上两点之间的一段曲线。
三、圆的性质1. 圆上任意点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆上最长的弦，它同时也是圆的两条半径中的最长线段。
3. 任意圆上的弧都对应一个唯一的中心角，中心角的顶点是圆心，相应的弧上所有点到圆心的距离相等。
4. 圆上任意两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧的长度也相等。
5. 圆上的切线垂直于半径，且切点在半径的延长线上。
6. 圆内任意两点的连线都在圆的内部。
7. 圆内切正多边形的中心与圆心重合。
四、圆的公式1. 圆的周长（Circumference）公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14。
2. 圆的面积（Area）公式：A = πr²。
五、圆的应用1. 圆在几何学中常用于描述轮胎、光学透镜等物体的形状。
2. 圆的运动学应用包括描述物体的圆周运动和圆周速度的计算。
3. 圆在建筑设计中常用于设计圆形大厅、圆形会议室等空间。
4. 圆在工程领域中被广泛应用于设计管道、管线、道路等。
5. 圆在科学研究中还有许多其他的应用，如圆上的点的均匀分布等。
总结：本文对圆的基本概念进行了详细的总结，包括圆的定义、元素、性质、公式和应用。
圆作为几何学中的重要概念，不仅在理论研究中有着广泛的应用，也在日常生活和工程实践中发挥着重要的作用。
圆的概念大全及解释
圆的概念大全及解释圆是一种基础的几何图形，其概念涵盖了多个方面。
以下是对圆的概念的全面解释：1.定义：圆是在一个平面内，围绕一个点（称为圆心）并以一定长度为距离（称为半径）旋转一周所形成的封闭曲线。
在平面内，圆也可以定义为到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆心和半径：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个相等的距离就是半径。
圆心一般用字母O表示，半径一般用字母r表示。
3.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
在同一个圆内，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即d=2r。
4.圆的性质：圆具有旋转不变性，即无论圆如何旋转，其形状都不会改变。
此外，圆是轴对称和中心对称的图形，其对称轴是直径所在的直线。
5.圆的周长：圆形一周的长度，就是圆的周长。
圆的周长与直径的比值是一个固定的数，称为圆周率，用字母π表示。
在计算时，通常取π≈3.14。
因此，圆的周长C可以通过公式C=πd或C=2πr来计算。
6.圆的面积：圆所占平面的大小称为圆的面积。
圆的面积可以通过公式S=πr²来计算。
7.圆的方程：在平面直角坐标系中，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心，r是半径。
8.圆的应用：圆在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
例如，衣服上的扣子、吃饭的盘子、车轮、方向盘等都是圆形的。
此外，圆还象征着团圆、圆满等美好寓意，在体育赛事中也经常可以看到圆形的元素，如奥林匹克五环标志等。
总之，圆是一种基础且重要的几何图形，具有独特的性质和广泛的应用。
第一讲 圆的定义和相关概念
1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。
一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个不能比较变量的概念。
相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。
例2. 如图，在⊙O 中，A AB CDC AB CD ..⋂>⋂⋂=⋂22 分析：要比较AB ⋂ （）把的一半作出来，然后比较与的大小；12AB AB CD ⋂（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
222CD CD AB ⋂⋂⋂例4.例5. 如图，是等边三角形，是⊙直径，，、∆ABC AB O AE EF FB CE CF ⋂=⋂=⋂交AB 于M 、N 。
求证：AM ＝MN 解析由于、求得，知故问题得证。
E F AM BM =12一. 选择题。
1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ）A. AB A B ⋂=⋂'' B. AB A B ⋂>⋂''C. AB A B ⋂<⋂''D. AB A B ⋂⋂与''的大小无法比较2. 半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ） A. 5cmB. 43cmC. 6cmD. 33cm3. 在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ） A. AB CD =2B. AB CD ⋂>⋂2C. AB CD ⋂<⋂2D. AB CD ⋂=⋂24. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A. 42B. 82C. 24D. 165. 在⊙O 中，两弦AB ＜CD ，OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM 、ON 的关系是（ ）A. OM ON >B. OM ON =C. OM ON <D. 无法确定6.二.1. 2. 3. 4. 在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于E ，且∠AEC ＝30°，AE ＝1cm ，BE ＝5cm ，那么弦CD 的弦心距OF ＝_______cm ，弦CD 的长为________cm 。
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B
∙
E
D
C
B
A
O 20 题图
圆
一、选择题
1.过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C. 9 cm D ． √41 cm
2.如图,△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为 （ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70°
3.一条弦分圆为1∶5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 （ ） A ．300
B ．1500
C ．300
或1500
D ．不能确定
4.⊙O 的半径为R ，圆心到点A 的距离为d ，且R 、d 分别是方程x 2
－6x ＋8＝0的两根，则点A 与⊙O 的位置关系是 （ ）A ．点A 在⊙O 内部 B ．点A 在⊙O 上
C ．点A 在⊙O 外部
D ．点A 不在⊙O 上
5.已知:P (x ，y )是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x 、y 都是整数，猜想这样的P 点一共有 （ ）A.4个 B.8个 C.12个 D.16个
6.如图9，点P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP =4，在过P 点的所有⊙O 的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为 （ ） A.6条 B.5条 C.4条 D.2条
二、填空题(每小题3分,共30分)
7.在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是2、3，则∠BAC 的度数为____________. 8.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥BC ，∠OAC=20°，则∠AOB 的度数是______________.
9.已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC＝450。
给出以下五个结论：①∠EBC
＝22.50
，；②BD＝DC ；③AE＝2EC ；④劣弧⋂AE 是劣弧⋂
DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。
其中正确结论的序号是 . 三、解答题(每小题10分,共80分)
10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交弧BC 于D 。
（1）请写出四个不同类型的正确结论；（2）若BC=38，∠CBD=30°，求⊙O 的半径.
11.如图所示,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为60米,拱高18米, 当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施,若拱顶离水面只有4米,即PN=4米时是否要采取紧急措施?
13.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E
，且AE ＝1 cm
，EB ＝5 cm ，
∠DEB ＝60°，求CD 的长．
A
C D
B
O
E
14．如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A B ，重合），
设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=
时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
15.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AB 的延长线于点E ，连结
AD 、BD ．（1）求证：∠ADB =∠E ；（2）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径．
16． 如图9所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．
（1）求证：∠ACO =∠BCD ．（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
17、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆O 与斜边AB 交于点E ，连接DE 。
（1）求证：AC ＝AE ； （2）求AD 的长。
E
C A
B。