§9 用Mathematica求曲线积分与曲面积分练习解答

§7 用Mathematica 求曲线积分与曲面积分练习解答

1. 计算曲线积分ds xyz C ⎰，其中C 是)10(2

1,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段。 解 In[1]:= x[t_]:=t;

y[t_]:=2Sqrt[2t^3]/3;

z[t_]:=t^2/2;

dx=D[x[t],t];

dy=D[y[t],t];

dz=D[z[t],t];

ds=Sqrt[dx^2+dy^2+dz^2];

Integrate[x[t]*y[t]*z[t]*ds,{t,0,1}] Out[1]= 143

216 2. 计算曲线积分⎰++C zdz ydy xdx ，其中C 是从（1,1,1）到（2.3.4）的直线段。

解 In[1]:= x[t_]:=t+1;

y[t_]:=2t+1;

z[t_]:=3t+1;

dx=D[x[t],t];

dy=D[y[t],t];

dz=D[z[t],t];

Integrate[x[t]*dx+y[t]*dy+z[t]*dz,{t,0,1}]

Out[1]=13

3. 计算⎰⎰S zdS ,其中S 为旋转抛物面4

122≤

+=z y x z 在的部分。 解 In[1]:= ParametricPlot3D[{u*Cos[v],u*Sin[v],u^2},{u,-1,2},{v,-Pi,Pi},

AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”}]

Out[1]:= -Graphics-

In[2]:=ParametricPlot[{Sin[t]/2,Cos[t]/2},{t,0,2Pi},

AxesLabel->{“x ”,”y ”,”z ”},

AspectRatio->Automatic]

Out[2]= -Graphics-

In[3]:= z[x_,y_]=x^2+y^2;

dzx=D[z[x,y],x];

dzy=D[z[x,y],y];

sxy=z[x,y]*Sqrt[1+dzx^2+dzy^2]/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}; Integrate[sxy*r,{t,0,2Pi},{r,0,1/2}]

Out[3]= π)21(601

+

4. 计算曲面积分zdxdy y xy dzdx z y x dydz xz S

23222)(++-+⎰⎰，其中S 是由上半

球面222a y x ≤+和2220y x a z +-≤≤的表面外侧。

解 In[1]:= p[x_,y_,z_]:=x*z^2;

q[x_,y_,z_]:= x^2*y+y^2*z;

r[x_,y_,z_]=2x*y+y^2;

dpx=D[p[x,y,z],x];

dqy=D[q[x,y,z],y];

drz=D[r[x,y,z],z];

f=dpx+dqy+drz/.{x->t*Sin[u]*Cos[v],y->t*Sin[u]*Sin[v],

z->t*Cos[u];

Integrate[f*t^2*Sin[u],{v,0,2Pi},{t,0,a}] Out[1]= 5

25πa