高数第一章小结
高数大一知识点总结前四章
高数大一知识点总结前四章在大一的学习生活中，高等数学是一个非常重要的课程。
对于初学者来说，高数可能是一个挑战，因为它包含了许多新的概念和方法。
然而，只要我们掌握了一些基本的知识点，就能够更好地理解和应用高数。
下面，我将总结前四章的知识点，希望能够对大家的学习有所帮助。
第一章：数列与极限1. 数列的概念和表示方式：数列是按照一定规律排列的一组数，通常用通项公式表示。
2. 数列的分类：常数数列、等差数列、等比数列等。
常数数列的通项公式是恒等于一个常数；等差数列的通项公式是数列的第一个项加上公差与项数的乘积；等比数列的通项公式是数列的第一个项乘以公比的n-1次方。
3. 数列极限：当数列的项数逐渐增加时，数列可能会无限接近于某个数或取得无穷大的值。
这个无限接近的数被称为数列的极限。
第二章：函数与连续1. 函数的概念与性质：函数是一种描述两个变量之间关系的数学工具。
函数有定义域和值域两个重要的概念。
同时，函数有奇偶性、周期性等性质。
2. 基本初等函数：常见的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
3. 函数的图像与性质：通过研究函数的图像，我们可以了解函数的性质，如单调性、极值点、零点、拐点等。
4. 连续性与间断点：函数在某一点处的极限等于函数在该点处的取值时，我们称该函数在该点处连续。
函数的间断点有可去间断、跳跃间断和无穷间断三种情况。
第三章：导数与微分1. 导数的概念与计算：导数描述了函数在某一点附近的变化率。
导数的计算可以使用极限的方法，也可以使用导数的基本性质进行计算。
2. 导数的性质与应用：导数有用于判断函数的增减性、求解极值和绘制函数图像的重要作用。
导数可以用于线性逼近、速度、密度和最优化等实际问题的求解。
3. 高阶导数与微分：高阶导数是导数的导数，它描述了函数在某一点处的曲率和变化率。
微分是函数值的增量与自变量的增量之间的关系。
第四章：不定积分1. 不定积分的概念与性质：不定积分是求解原函数的过程，常用的记号是∫f(x)dx。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高数第一章 知识点总结
式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或xn →a (n →∞).（2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有 |f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞=）类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或显然有0lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f xA ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞→+∞==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞→-∞→+∞=?==2、极限的性质（1）唯一性若a x n n =∞→lim ，lim n n x b →∞=，则a b =若0()lim ()x x x f x A →∞→=0()lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =（2）有界性（i ）若a x n n =∞→lim ，则0M ?>使得对,n N+∈恒有n x M ≤（ii ）若0lim ()x x f x A →=，则0M ?>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤（iii ）若lim ()x f x A →∞=，则0,0M X ?>>当x X >时，有()f x M ≤（3）局部保号性（i ）若a x n n =∞→lim 且0(0)a a ><或则N N +?∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或（ii ）若0lim ()x x f xA →=，且0(0)A A ><或，则0δ?>当0:0x x x δ<-<时，有()0(()0)f x f x ><或3、极限存在的准则（i ）夹逼准则给定数列{},{},{}n n n x y z若①0,n N +∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤ ②lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=给定函数(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，则0()lim ()x x x f x A →∞→=（ii ）单调有界准则给定数列{}n x ，若①对n N +?∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ?使对n N +?∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim ()x x f x -→（或0lim ()x x f x +→）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim ()x x x f x A →∞→=，0()lim ()x x x g x B →∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±(ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→?=? (iii)0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=?（0B ≠）（2）设（i ）00()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0 0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠（iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→== 5、两个重要极限（1）0sin lim1x xx →=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin lim0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01 lim sin 0x x x→=（2）1lim 1xx e x →∞?+= )()(1lim 1;()x u u x e u x →∞??+= ??1lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量（2）若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ?>?>>或当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()f x M >则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim ()()(),lim()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=?=+=其中（2）00()()1lim ()0()0lim ()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠?=∞（）（3）00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞?= （4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5）0()lim ()00,x x x f x M →∞→=?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→?=（6）0()lim ()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→== 则01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim 0,()x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。
高数第一章知识点总结笔记
高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。
1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。
- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。
2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。
- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。
- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。
3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。
- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。
4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。
- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。
- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。
5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。
- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。
高数第一章 知识点总结
例 3. f (x) 在[a,b] 上连续，且恒为正，证明对于任意的 x1, x2 ∈ (a, b), x1 < x2 并存在一点
ξ ∈[a,b]使 f (ξ ) = f (x1) f (x2 ) .
sinϕ(x) ~ ϕ(x) ， arcsinϕ(x) ~ ϕ(x) ， tanϕ(x) ~ ϕ(x) ， arctanϕ(x) ~ ϕ(x) ，
1− cosϕ(x) ~ ϕ 2 (x) ， 2
ln
(1+
ϕ
(x))
~
ϕ
(x)
，loga
(1 +
ϕ
(x))
~
ϕ( ln
x) a
，eϕ
(x)
−1
~
ϕ
(
x)
，
极限，利用极限的四则运算将其转化为已知函数的极限。
往年考题:
ln⎜⎛1 + f (x)⎟⎞
(11-12) 已知 lim ⎝ x ⎠ = 7 ，求 lim
f (x)
x→0 2 x − 1
x→0 x sin x
( ) (10-11)
设
lim
x→0
x
−
sin x x4
+
f (x)
= 1，则 lim x→0
③ 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = 0 ，且两者是同阶无穷小； g(x)
④ 设 lim f (x)g(x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = 0 ⇔ lim f (x) = ∞ ；
⑤ 设 lim[ f (x) − g(x)] = A ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大。
高数第一章小结
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
西藏大学理学院数学系
高等数学
第一章 小 结
3、反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4、隐函数
y f 1( x) arsinh x
西藏大学理学院数学系
高等数学
第一章 小 结
5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当x U 0 ( x0 , r )(或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0
x x0
( x)
( x)
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 o 1
x
西藏大学理学院数学系
高等数学
第一章 小 结
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 ( x l) D.且 f(x+l)=f(x)
高等数学
1、函数的定义
高等数学第一章总结
高等数学第一章总结高等数学第一章总结高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要课程之一。
第一章主要介绍了函数概念、极限与连续等内容。
下面将对第一章的内容进行总结。
函数是高等数学的基础概念之一。
函数是一种量与量之间的对应关系，常表示为y = f(x)。
其中，x是自变量，y是因变量，f表示函数的规则。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量取值的集合。
在实际问题中，函数可以用来描述各种关系，如物体的运动、电路中的电流等。
函数可以分为代数函数、初等函数、三角函数等不同类型。
极限是数列和函数在某一点（或正无穷大、负无穷大）趋于的值。
数列的极限是其无穷项的极限，即数列的趋势或估计值。
而函数的极限是其自变量无限接近某一点时的极限值。
极限的概念与数学证明相关，对于计算极限需要掌握一些极限定理和运算法则。
常见的极限运算法则有四则运算法则、复合函数极限的运算法则、三角函数的极限运算法则、常数的极限运算法则等。
连续是函数在一定区间上无间断的性质。
对于某一点x=a来说，如果在x=a处函数f(x)的极限存在且等于f(a)，则称函数在x=a处连续。
连续函数具有许多有用的性质，如介值定理、零点定理、最值定理等。
这些性质在实际问题中有广泛的应用，能够帮助我们解决实际问题。
在高等数学的学习过程中，我们还需要掌握一些重要的基本技巧和方法。
求导是一种重要的计算技巧，用于求函数的导数。
导数是函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
求导的方法主要有基本求导法则和常见函数的导数运算法则。
导数在物理、工程和经济学等领域中有广泛的应用，如求速度、加速度、成本函数、效益函数等。
本章的内容比较基础，但为后续的学习打下了坚实的基础。
通过学习第一章的内容，我们了解了函数的概念和性质，掌握了求函数极限和连续的方法和技巧，熟悉了常见函数的导数运算法则。
这些知识和技能是我们进一步学习高等数学的基础，也是我们解决实际问题的必备工具。
高等数学第一章总结
高等数学第一章总结
高等数学是理工科学生必修的一门重要课程，它是建立在初等数学基础之上的
一门高等数学课程，包括微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等内容。
第一章主要介绍了极限与连续的概念，这些概念是后续学习微积分的基础，对于理解数学的发展历程和思维方式也具有重要的意义。
首先，我们来谈谈极限的概念。
在数学中，极限是一种重要的概念，它描述了
一个函数在某一点附近的表现，也可以理解为自变量无限接近某个值时，函数的取值趋于的一个确定的值。
极限的概念是微积分的基础，它在现实生活中也有着广泛的应用，比如在物理学、工程学等领域。
通过学习极限的概念，我们可以更好地理解函数的变化规律，为后续的微积分学习打下坚实的基础。
其次，连续的概念也是高等数学中的重要内容。
在数学中，连续是一种基本的
性质，它描述了函数图像的连贯性和平滑性。
一个函数在某一点连续意味着在这一点附近函数值的变化趋于连续，没有突变的现象。
通过学习连续的概念，我们可以更好地理解函数的性质，为后续的微积分学习提供基础。
总的来说，高等数学第一章主要介绍了极限与连续的概念，这些概念是微积分
学习的基础，也是数学发展的重要内容。
通过学习这些内容，我们可以更好地理解数学的发展历程和思维方式，也可以更好地应用数学知识解决实际问题。
因此，我们应该认真对待高等数学这门课程，努力学习，掌握其中的基本原理和方法，为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。
高等数学第一章复习总结
第一讲函数、极限与连续一、函数的概念与性质1、领域：设是一个正数，称开区间为点的领域，记作，即：2、函数：设x,y是两个变量，D是一个数集，如果对于每个x∈D，按照某一对应法则f,变量y均有唯一确定的值与x对应，则称y为x的函数，记作y=f(x),称x为自变量，y为应变量，数集D称为函数的定义域，数集R={y|y=f(x),x∈D}称为函数的值域。
函数的两个要素：对应关系f；定义域D。
3、函数的四种特性（1）有界性：则称函数f(x)在D上有界。
无界：（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，若对于任意的x∈D，有：①若f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数；②若f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
注：①f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]=g(x)+h(x),其中g(x)=1/2[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=1/2[f(x)-f(-x)]为奇函数。
②若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0；若偶函数f(x)在x=0处可导，则f’(0)=0.（3）单调性：设函数y=f(x)在D上有定义，对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，①若f(x1)<f(x2)，则称f(x)在D上单调增加；②若f(x1)>f(x2)，则称f(x)在D上单调减少。
（4）周期性：若函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)，则称函数y=f(x)是以T为周期的周期函数。
4、反函数：设函数y=f(x)是定义域为D，值域为R，如果对于每一个y∈R，必存在唯一的x∈D，使得y=f(x)成立，则由此定义了一个新的函数，这个函数就称为函数y=f(x)的反函数，记作x=,通常写成y=，它的定义域为R，值域为D。
注：①函数y=f(x)存在反函数的充要条件是y=f(x)一一对应(y=f(x)严格单调)。
②若函数y=f(x)单调增加（减少），则其反函数y=也单调增加（减少）。
高数大一知识点总结第一章
高数大一知识点总结第一章在大一的数学课程中，高等数学（简称高数）是一门重要的基础课程。
在高等数学的学习中，第一章涵盖了很多基础知识点，包括数列与极限、函数与极限以及连续性等内容。
接下来，我将对这些知识点进行总结和概述。
1. 数列与极限数列是由一系列有序的数所组成的序列。
在数列的学习中，我们需要了解等差数列和等比数列两种基本类型。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
极限是数列中的一个重要概念。
如果一个数列的前n项无限接近于某个常数a，那么我们称这个常数a为该数列的极限，记作lim(n→∞)an=a。
通过计算数列的极限，我们可以探讨数列的性质、趋势以及收敛性。
2. 函数与极限函数是一种关系，将一个自变量映射到一个因变量。
数学中有多种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
函数的图像反映了自变量和因变量之间的关系。
函数的极限是研究函数性质的重要内容。
如果一个函数在某个点处的自变量无限接近于某个常数x0时，其因变量也无限接近于某个常数a，我们称这个常数a为该函数在点x0处的极限。
记作lim(x→x0)f(x)=a。
通过研究函数的极限，我们可以了解函数在不同自变量值下的表现和趋势。
3. 连续性连续性是函数的一种性质，反映了函数在一定区间内的光滑程度。
如果一个函数在某个点处的极限等于该点处的函数值，那么我们称这个函数在该点处连续。
函数的连续性可以分为左连续、右连续和间断。
我们可以利用函数的连续性来探讨函数的变化情况和特性。
通过分析函数的连续性，可以判断函数是否在某一区间内单调增加或者单调减少。
4. 极大值与极小值极大值和极小值是函数图像上的特殊点。
对于定义在某个区间的函数，如果存在一个点x0使得在该点的某个领域内，函数值都小于等于f(x0)，那么我们称该点x0为函数的极大值点。
高等数学-上册-第一章总结
第一章 函数极限与连续（一） 本章重点（important points ）：1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N 与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。
2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。
3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。
4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good ！）。
5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。
（二） 知识点分析（analysis ）：常用不等式1） 绝对值不等式： ||x |−|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2） 三角不等式： |x −z |=|x −y +y −z |≤|xy |+|yz | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)：若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality （柯西不等式）：(∑x i y i ）n i=12≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x 7) (1+1n )n<(1+1n+1)n+1&& (1+1n)n+1>(1+1n)n+2即：数列{(1+1n )n } 单调递增， 数列{(1+1n )n+1} 单调递减。
8） 设 x ∈z +, 则 1x+1<ln (1+1n )<1x9) 设 x ∈z +, 则2√n<1∗3∗5∗...∗(2n−1)2∗4∗6∗.. (2)<√2n+1二． 不等式的运用案例eg1. 证明柯西不等式 (∑x i y i ）n i=12≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)证法一：（构造一个关于t 的二次方程，并利用其判别式）因为 x i, y i ∈R, i =1,2,3…..,n. 所以 ∀t ∈R ， 有(x i +ty i )2≥0.→f (t )=∑(x i +ty i )2n i=1=∑x i 2+(2∑x i y i n i=1)t +(∑y i 2n i=1)n i=1t 2≥0若∑y i 2=0,则。
大一高数知识点各章总结
大一高数知识点各章总结第一章：函数与极限在高数的第一章中，我们学习了函数与极限的概念与性质。
函数是自变量和因变量之间的关系，它可以用图像、表格或者公式来表示。
而极限则是函数在某个点上的趋近值，它描述了函数在接近某个点的情况。
我们研究了函数的连续性与间断点的性质。
连续函数在其定义域内的任意一点都具有连续性，而间断点则可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
我们还学习了导数的概念与计算方法。
导数可以理解为函数在某一点上的变化率，它可以用极限的方法来定义和计算。
我们学习了常见函数的导数公式，并通过求导技巧来简化计算过程。
第二章：导数的应用在第二章中，我们探讨了导数的应用。
导数可以用来研究函数的增减性、极值与凹凸性。
通过求导并分析导数的符号，我们可以确定函数的单调区间、极值点和拐点。
我们还学习了泰勒公式与函数的局部线性化近似。
泰勒公式可以将一个函数在某一点附近进行多项式展开，从而可以用多项式来近似原函数的值。
第三章：定积分在第三章中，我们学习了定积分的概念与计算方法。
定积分可以理解为曲线下的面积，它描述了函数在某一区间上的累积效应。
我们探讨了定积分的几何意义与性质。
通过定积分，我们可以计算曲线下的面积、曲线的弧长和旋转体的体积等问题。
我们还学习了定积分的计算方法，包括基本的积分法和换元积分法。
通过合理选择积分方法，我们可以简化计算过程，得到定积分的解析表达式。
第四章：微分方程在第四章中，我们研究了微分方程的基本概念与解法。
微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了未知函数的导数或微分。
我们学习了常微分方程的解法，包括可分离变量方程、一阶线性方程和一阶齐次方程等。
通过将微分方程转化为可积的形式，我们可以通过积分来求解微分方程。
我们还学习了常系数线性微分方程的解法，包括特征根法和常数变易法。
通过找到方程的特征根或者适当选取常数，我们可以得到线性微分方程的通解。
第五章：多元函数微分学在第五章中，我们讨论了多元函数的概念与性质。
高一数学第一章知识点总结
2.最大（小）值 当一个函数f(x)的图像上有最高（低）点时，我们就说函数 有最大（小）值。
A
高一（3）王明康 赵一凡
A⊇B
A（B） A=B=∅
B
A
A⊃B
A=B
2.真子集:若集合Ａ⊇Ｂ，存在元素x∈A且，x∉B则称集合B是A 的真子集。
B
A ⊇
空集为任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
பைடு நூலகம்
1.1.3 集合的基本运算 1.并集 一般的，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集。 A
2.交集 一般地，由属于集合A，且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集。 A A A∩B B
数 学 总 结
第一章 集合与函数的概念
1.1 集合
1.2 函数及其表示
1.3 函数的基本性质
1.1
集 合
1.1.1 集合的含义与表示
1.含义
一些能够确定的不同集合所构成的整体叫做集合。构 成集合的每个对象，叫做这个集合的元素。
2.集合中元素的性质 (1)确定性：对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的，依赖 主观感觉的判读不能构成集合。 (2)互异性：一个给定集合中的元素是彼此不同的。 (3)无序性：集合中的元素不考虑顺序
A∩B={x丨x∈A，且x∈B}
3.补集与全集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U。 补集：对于一个集合A，由全集中不属于集合A的所有元素组 成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。 A
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
3.区间 a，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端 点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表 示． A
高数第一章函数与极限知识点总结
1.2.1 数列极限的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2
数列的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7.2
...................................... 5
1.7.3
定 ......................................... 5
1.8 函数的
与
...................................... 5
1.8.1 函数的
映射的定义
映射 g
映射的
g 的值域 Rg
f f 的定
1
义域
Rg ∈ D f
则
映射 g f 的
义
g◦ f
义
义
映射 f ◦ g 与 g ◦ f
映射 的 f ◦g f ◦g 与 g◦ f
1.1.2 函数
函数的概念
定义 1.4. 设数集 D ∈ R，则称映射 f : D → R 为定 义在 D 上的函数，通常简记为 y = f (x)，x ∈ D， 其中 x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义 域，记作 D f , 即 D f = D。
). 如果
lim f (x) = a
x→x0
且 a > 0(或 a < 0), 所以 ∃(正整数 N), 当 n > N, 都有 xn > 0(或 xn < 0).
高数第一章知识点总结归纳
高数第一章知识点总结归纳
1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。
3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。
数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。
差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法打有准备之战，胜算才能更大。
希望各2015考研生抓紧时间复习，在考研中取得好成绩。
一分耕耘一分收获。
加油！
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《高等数学》-各章知识点总结——第1章
《高等数学》-各章知识点总结——第1章第1章 函数与极限总结1、极限的概念 （1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε ( ≡ H ), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x n -a |<ε a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x nn =∞→lim 或xn →a (n →∞).（2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时） 恒有 |f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为A x f xx =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（ 或lim ()x f x A →∞=） 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ∀>∃>当00:x x x x δ-<<（00xx x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或3、极限存在的准则 （i ）夹逼准则 给定数列{},{},{}nnnx y z若①0,n N +∃∈当0n n >时有nn ny x z ≤≤②lim lim nnn n y z a →∞→∞==，则lim nn xa→∞=∧⎬π(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈（或x X>）时，有()()()g x f x h x ≤≤②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A→∞→∞→→==，则0()lim()x x x f x A→∞→=（ii ）单调有界准则给定数列{}n x ，若①对n N +∀∈有11()n n nn x x x x ++≤≥或②()M m ∃使对n N +∀∈有()n nx M x m ≤≥或则lim nn x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim()x x f x -→（或0lim()x x f x +→）存在4、极限的运算法则 （1）若0()lim()x x x f x A→∞→=，0()lim()x x x g x B→∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±(ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→⋅=⋅(iii)0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=⋅（0B ≠）（2）设（i ）0()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠ （iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==5、两个重要极限 （1）0sin lim 1x xx→=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin limx xx ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01lim sin 0x x x→= （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭)()(1lim 1;()x u u x e u x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭10lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念 （1） 若0()lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ∀>∃>当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量 （2） 若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ∀>∃>>或当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()f x M>则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则 （1）00()()lim ()()(),lim ()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=⇔=+=其中（2）00()()1lim ()0()0lim()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠⇒=∞（）（3）00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞⇒=（4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞∃>且当0:0x x xδ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5）0()lim ()00,x x x f x M →∞→=∃>且当0:0x x xδ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→⋅=（6）0()lim()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→==则01()lim ()0,nkx k x x f x →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim0,()x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。
高数知识点总结(上册)
高数知识点总结(上册).doc 高等数学知识点总结（上册）第一章：函数、极限与连续性1.1 函数定义：变量之间的依赖关系。
性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。
1.2 极限定义：函数在某一点或无穷远处的趋势。
性质：唯一性、局部有界性、保号性。
1.3 无穷小与无穷大无穷小：当自变量趋于某一值时，函数值趋于零。
无穷大：函数值趋于无限。
1.4 连续性定义：在某点的极限值等于函数值。
性质：连续函数的四则运算结果仍连续。
第二章：导数与微分2.1 导数定义：函数在某一点的切线斜率。
几何意义：曲线在某点的瞬时速度。
2.2 基本导数公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数。
2.3 高阶导数定义：导数的导数，用于描述函数的凹凸性。
2.4 微分定义：函数在某点的线性主部。
第三章：导数的应用3.1 切线与法线几何意义：曲线在某点的切线和法线方程。
3.2 单调性与极值单调性：导数的符号与函数的增减性。
极值：导数为零的点可能是极大值或极小值。
3.3 曲线的凹凸性与拐点凹凸性：二阶导数的符号。
拐点：凹凸性改变的点。
第四章：不定积分4.1 不定积分的概念定义：原函数，即导数等于给定函数的函数。
4.2 基本积分公式幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的积分。
4.3 积分技巧换元积分法：凑微分法、代换法。
分部积分法：适用于积分中存在乘积形式的函数。
第五章：定积分5.1 定积分的概念定义：在区间上的积分，表示曲线与x轴围成的面积。
5.2 定积分的性质线性：可加性、可乘性。
区间可加性：积分区间的可加性。
5.3 定积分的计算数值计算：利用微积分基本定理计算定积分。
5.4 定积分的应用面积计算：曲线与x轴围成的面积。
物理意义：质量、功、平均值等。
第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性定义：多元函数在某点的极限和连续性。
6.2 偏导数与全微分偏导数：多元函数对某一变量的局部变化率。
全微分：多元函数的微分。
6.3 多元函数的极值定义：多元函数在某点的最大值或最小值。
高等数学第一章的总结
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
数列的有界性：
定义: 使得一切正 定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切 正 成立, 有界, 整数 n , 恒有 x n ≤ M 成立 则称数列 x n 有界 否则, 称为无界. 否则 称为无界
lim f ( x ) =
P ( x0 ) = lim Q ( x ) Q ( x 0 ) = f ( x 0 ). x→ x
x → x0
0
lim P ( x )
x → x0
若Q ( x 0 ) = 0, 则商的法则不能应用 .
例
4x − 1 . 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
x →1
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = − f ( x )
称 f ( x )为奇函数 ;
y
y = f ( x)
f ( x)
-x o
f (− x )
x
x
奇函数
函数的周期性: 函数的周期性
设函数 f ( x )的定义域为 D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x ∈ D, ( x ± l ) ∈ D.且 f ( x + l ) = f ( x )
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
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