第4讲函数的性质

形同质 异
例 5 （1）函数 g( x ) x 2 ax 3在 2, 上是单调增函数，求实数 a 的取值范围； （2） 函数 g( x ) x 2 ax 3的单调增区间 为 2, ，求实数 a 的取值.
a a 思路 1：由对称轴 ≤ 2和 2 即得． 2 2
问题研究
（1）怎样利用定义来证明函数的单调性？ （2）怎样利用定义来判定函数的奇偶性？ （3）怎样研究函数的单调性和奇偶性的综 合问题？
经典例题1
例 1 证明函数 f ( x ) x3 x 在 R 上是增函数.
思路分析
例 1 证明函数 f ( x ) x3 x 在 R 上是增函数.
思路 1:由 h( x ) x 3和 g ( x ) x 在 R 上是增函数,则
f ( x ) x x 在 R 上是增函数.
3
不是严格证明！
思路 2:由 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 x2 )( x12 x1 x2 x2 2 1) , 然后进行定号.
a x , 所以g( x )在 2, 上单调递增， 2 a 由图象可得 ≤ 2,即a ≤ 4． 2
y
x
a 2
所以 a 的取值范围是 a≤4 .
o
2
x
规范解题
例５（ 2）函数 g( x ) x 2 ax 3的单调增 区间为 2, ，求实数 a 的取值.
解析 （思路 1）（2） 因为函数 g( x ) x 2 ax 3 的单调增区间为 2, ，
f ( x2 ) f ( x2 ), f ( x1 ) f ( x1 ) .
回到定义
②
由①②得 f ( x2 ) f ( x1 ) 0,
即 F ( x1 ) F ( x2 ).
f ( x2 ) f ( x1 ) 于是 F ( x1 ) F ( x2 ) 0， f ( x1 ) f ( x2 )
基础知识
函数奇偶性的概念
函数 f ( x ) ，如果对于定义域内任意一个 x 都有
f ( x ) f ( x ) ，那么 f ( x ) 就叫做奇函数，如果对于
定义域内任意一个 x 都有，f ( x ) f ( x ) ， 那么 f ( x ) 就 叫做偶函数.若函数 y f ( x ) 是奇函数且 0 是定义域内 的值，则 f (0) 0 .
需结论.在研究不等式恒成立问题时,还应注意
端点的取舍.
破解难点：含参数函数性质的研究
问题研究
如何进行含参数函数性质的讨论？
经典例题5
例 5 （1）函数 g( x ) x ax 3在 2,
2
上是单调增函数，求实数 a 的取值范围； （2）函数 g( x ) x 2 ax 3的单调增区间 为 2, ，求实数 a 的取值.
思路分析
4 x2 例２ 判断函数 f ( x ) 的奇偶性. x2 2
4 ( x )2 思路 1：因为 f ( x ) ， x 2 2 不严格！ 所以 f ( x ) f ( x ) 且 f ( x ) f ( x ) ．
即 f ( x )为非奇非偶函数．
1 于是 F ( x ) 在( , 0) 上是减函数. f ( x)
回顾反思
（1）通性通法：单调性和奇偶性的判断要回到定义． （2）思想方法：转化思想，将求证区间转化到已知
区间上. （3）知能提升：奇函数在其对称区间上的单调性相
同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． （4）警示提醒：差式变形是否彻底是关系到符号判断 的关键.
思路 2:计算 f (1), f ( 1)得f (1) f ( 1),所以 f ( x )为奇函数.
思路 3:先化简函数的解析式,再利用定义判断.
规范解题
4 x2 例２ 判断函数 f ( x ) 的奇偶性. x2 2
注意函数的 定义域
4 x 2≥0, 解析（思路 3） 由 x 2 20
第 4 讲
函数的性质
主要内容
一、聚焦重点 函数的单调性、奇偶性． 二、廓清疑点 定义域对函数性质的影响． 三、破解难点 含参数函数性质的研究．
聚焦重点：函数的单调性、奇偶性
基础知识
单调性的定义
对于给定区间上的函数 f ( x )及属于这个区间的任意两个 自变量的值 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，如果都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那 么就说 f ( x )在给定区间上是单调增函数，这个区间就叫做这 个函数的单调增区间； 如果都有 f ( x1 ) f ( x2 )， 那么就说 f ( x ) 在给定区间上是单调减函数，这个区间就叫做这个函数的单 调减区间.
最大区间.
总结提炼
总结提炼
知识与内容
一、聚焦重点：函数的单调性、奇偶性． 二、廓清疑点：定义域对函数性质的影响．
三、破解难点：含参数函数性质的讨论．
总结提炼
思想与方法 （1）运用定义解题. （2）数形结合的思想．
（3）化归转化思想.
（4）分类讨论思想. （5）定义域优先思想.
再
见
同步练习
1 2 x 1, x 0, 1．判断函数 f ( x ) 2 的奇偶性． 1 x 2 1, x 0 2 2． （1）若函数 f ( x ) x 2 (3a 1) x a 2在1, 上单调递增，
思路分析
例３ 已知 y f ( x ) 是奇函数，它在 (0, ) 上 1 单调增， 且 f ( x) 0， 试问 F ( x ) 在( , 0) 上 f ( x) 是单调增函数还是减函数？证明你的结论.
思路 1：根据条件，可以任取 0 x1 x2 ,
可得f ( x1 ) f ( x2 ) 0，进而判定 1 1 f ( x2 ) f ( x1 ) 然后 F ( x1 ) F ( x2 ) 0， f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
规范解题
解析（思路 2） 任取 x1 , x2 ( , 0), 且x1 x2 ,，
则有 x1 x2 0 .
转化思想
y f ( x )在(0, ) 上 单 调 增 且 f ( x ) 0 ，
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 . ①
又
f ( x ) 是奇函数，
回顾反思
（1）基本方法 ①求出函数的定义域并判断是否关于原点对称．
②利用定义进行判断．
（2）思维误区
没有考虑函数定义域， 在没有化简 f ( x )的情况 下，直接求 f ( x ) ，并判断 f ( x ) 和 f ( x ) 的 关系．
经典例题3
例３ 已知 y f ( x ) 是奇函数，它在 (0, ) 上 1 单调增， 且 f ( x) 0， 试问 F ( x ) 在( , 0) 上 f ( x) 是单调增函数还是减函数？证明你的结论．
2 2
当 x 0时，恒有 f ( x ) 0，求实数 m的取值范围.
1 3 1 3 思路 1: f ( x ) ( x m )2 m ≥ m , 2 2 2 2
故要有 f ( x ) 0， 只需 m 0 即可.
1 2
3 2
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解得 m 3.
思路 2:求 f ( x )在 x 0时的最小值.
廓清疑点：定义域对函数性质的影响
问题研究
定义域在利用函数单调性求极值问题中的 作用如何？
经典例题4
1 3 例 4 已知函数 f ( x ) x 2mx m m ， 2 2
2 2
当 x 0时，恒有 f ( x ) 0，求实数 m的取值范围.
思路分析
1 3 例 4 已知函数 f ( x ) x 2mx m m ， 2 2
2 ≤ x ≤ 2 x0且x4

-2 ≤ x 0 或 0 x ≤ 2．
4 x2 f ( x) x 22
4 ( x )2 f ( x ) x f ( x )是奇函数.
4 x2 . x
解析式合理化简
4 x2 f ( x) x
2
综上可知 m 3或m≥3 . 2
回顾反思
（1）思想方法：从单调性的角度,求最小值. （2）基本策略：根据对称轴与区间的位置关系来 进行分类讨论. （3）思维误区：对给定的区间不引起重视． （4）知能提升：含参数二次函数在区间上的取值
范围问题,一般是根据对称轴与闭区间的位置
关系来进行分类讨论,最后再综合归纳得出所
符号不确定！
思路3:(思路２改良)进一步配方变形,然后定号.
定义法 证明！
规范解题
解析（思路 3） 设 x1 x2 ，则 x1 x2 0．
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x13 x1 ) ( x23 x2 ) ( x13 x23 ) ( x1 x2 )
( x1 x2 )( x12 x1 x2 x2 2 ) ( x1 x2 )
( x1 x2 )( x12 x1 x2 x2 2 1)
x2 2 3 2 ( x1 x2 ) ( x1 ) x2 1 . 2 4
合理配方， 确定符号！
思路2错误
思路分析
a a 思路 2：由对称轴 2和 ≤ 2 即得. 2 2
思路 3: 作差 f ( x1 ) f ( x2 ).
没有必要
规范解题
例 5 （1） 函数 g( x ) x 2 ax 3在 2, 上是单调增函数，求实数 a 的取值范围．
解析（思路 1)（1）因为函数的对称轴为
（2）基本策略：单调性证明有四步：一是取值；
二是作差变形；三是定号；四是判断．其中
作差变形是关键，定号才是目的. （3）思维误区：一是由基本函数的单调性得出几
个函数和差的单调性；二是在作差变形的过
程中，不能化成几个最简单因式的乘积．
经典例题2
4 x2 例２ 判断函数 f ( x ) 的奇偶性． x2 2
进行结论判断.
此路不通！
思路分析
例３ 已知 y f ( x ) 是奇函数，它在 (0, ) 上 1 单调增， 且 f ( x) 0， 试问 F ( x ) 在( , 0) 上 f ( x) 是单调增函数还是减函数？证明你的结论.
思路 2：根据函数的单调性定义，可以任取 x1 x2 0 ，进 1 1 f ( x2 ) f ( x1 ) 而 需 要 判 定 F ( x1 ) F ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负，为此，应分别判定 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( x2 ) f ( x1 ) 的正 负，而这一点可以从奇函数中推出.
x2 2 3 2 ( x1 ) x2 1 0, x1 x2 0 ． 2 4
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 )．
f ( x ) x3 x 在 R 上是增函数．
有其 它配 方方 法吗？
回顾反思
（1）思想方法：从定义出发证明单调性.
分类讨论 思想
规范解题
2
1 3 解析（思路 2） f ( x ) ( x m ) m ， 2 2
当－m≤0，即 m≥0 时， f (0) ≥ 0
区间端点的取 值要注意 当－m>0，即 m<0 时， 1 m 3 0,m 3. 2 2
1 3 m m ≥ 0,m≥ 3 . 2 2 2
y
x
a 由图象可得则有 2 ，所以 a 4 . 2
o
2
a 2
x
回顾反思
（1）思想方法：数形结合思想. （2）思维误区：增(减)函数与增(减)区间的误读. （3）思维瑕点：区间端点的取值与否. （4）知能提升：一个函数在某区间上是单调增(减） 函数,则此区间是这个函数增（减）区间的子集 ; 单调增（减）区间是指这个函数递增（减）的