地下水运动数学模型(杨金忠,蔡树英,王旭升编著)思维导图
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2全
z(1 n) 固体厚度(常数）
H z p
其中s ( n )
(nz ) (z ) t t
p H t t
d p p H t dp t t t
地下水动力学-靳 13
2.2.2 地下水流动基本微分方程（续1）
p
'
Terzaghi 有效应效应力原
当上覆荷载变化d时，p和 ’就 必然要发生相应的变化来建立新 的平衡。
p ' d d dp
'
2
地下水动力学-靳
2.1.1 含水层弹性变形和弹性释水（续） 当上覆荷载不变，d =0 时有：
0 d dp ' d dp (1)
第二章 地下水运动的微分方程 及数学模型
Differential equation and mathematical model of GW flow
2.1 水和多孔介质的压缩性 2.2 渗流基本微分方程
第四讲
2.3 地下水运动的数学模型
2.1 水和多孔介质的压缩性
2.1.1 含水层弹性变形和弹性释水 无补给条件下，从潜水和承压含水层 中抽水，表现上有什么区别？ 潜水位下降，含水层厚度变薄； 承压水测压水位下降（仍保持承压 状态）， 含水层仍然保持原来体积 ，水从哪里来？
(7)
H H H K ( H m Z ) hm K ( H m Z ) W d x x y y t
(8)
地下水动力学-靳
18
2.3 地下水运动的数学模型
数学模型
微分方程
定解条件 边界条件 初始条件
已知t=0时的因变 量， H(x,y,z,0)=H0(x,y,z)
H z p
其中s ( n )
(nz ) (z ) t t
p H t t
d p p H t dp t t t
地下水动力学-靳 13
2.2.2 地下水流动基本微分方程（续1）
p
'
Terzaghi 有效应效应力原
当上覆荷载变化d时，p和 ’就 必然要发生相应的变化来建立新 的平衡。
p ' d d dp
'
2
地下水动力学-靳
2.1.1 含水层弹性变形和弹性释水（续） 当上覆荷载不变，d =0 时有：
0 d dp ' d dp (1)
第二章 地下水运动的微分方程 及数学模型
Differential equation and mathematical model of GW flow
2.1 水和多孔介质的压缩性 2.2 渗流基本微分方程
第四讲
2.3 地下水运动的数学模型
2.1 水和多孔介质的压缩性
2.1.1 含水层弹性变形和弹性释水 无补给条件下，从潜水和承压含水层 中抽水，表现上有什么区别？ 潜水位下降，含水层厚度变薄； 承压水测压水位下降（仍保持承压 状态）， 含水层仍然保持原来体积 ，水从哪里来？
(7)
H H H K ( H m Z ) hm K ( H m Z ) W d x x y y t
(8)
地下水动力学-靳
18
2.3 地下水运动的数学模型
数学模型
微分方程
定解条件 边界条件 初始条件
已知t=0时的因变 量， H(x,y,z,0)=H0(x,y,z)
地下水动力学概念总结
地下水动力学概念总结---- King Of Black Spider 说明：带下划线的是重点，重点116个，次重点22个，共138个。
第0章地下水动力学：Groundwater dynamics研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石和岩溶（喀斯特）岩石中运动规律的科学，它是模拟地下水流基本状态和地下水中溶质运移过程，对地下水从数量上和质量进行定量评价和合理开发利用，以及兴利除害的理论基础。
主要研究重力水的运动规律。
第1章渗流：Seepage flow是一种代替真实地下水流的、充满整个岩石截面的假想水流，其性质（密度、粘滞性等）与真实地下水相同，充满整个含水层空间（包括空隙空间和岩石颗粒所占据的空间），流动时所受的阻力等于真实地下水流所受的阻力，通过任一断面及任一点的压力或水头均与实际水流相同。
越流：Leakage 当承压含水层与相邻含水层存在水头差时，地下水便会从水头高的含水层流向水头低的含水层的现象。
对于指定含水层来说，水流可能流入也可能流出该含水层。
贮水系数：storativity又称释水系数或储水系数，指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。
μ* = μs M。
既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。
导水系数：Transmisivity 是描述含水层出水能力的参数；水力坡度等于1时，通过整个含水层厚度上的单宽流量；亦即含水层的渗透系数与含水层厚度之积，T=KM。
它是定义在一维或二维流中的水文地质参数。
单位：m2/d。
非均质介质：如果在渗流场中，所有点不都具有相同的渗透系数，则称该岩层是非均质的。
各向异性介质：渗流场中某一点的渗透系数取决于方向，渗透系数随渗流方向不同而不同。
达西定律：Darcy’s Law 是描述以粘滞力为主、雷诺数Re< 1~10的层流状态下的地下水渗流基本定律，指出渗流速度V与水力梯度J成线性关系，V=KJ，或Q=KAJ，为水力梯度等于1时的渗流速度。
地下水渗流基本方程及数学模型总结
p减少 有效应力增大会引起固体颗粒的压缩变形。固 体颗粒的压缩变形比多孔介质中空隙的变形小得多，通
常可忽略。
（二）含水层的状态方程
含水层弹性存储的概念： 弹性储存：当地下水水头（水压）降低（或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质。 含水层弹性存储的物理意义：
（承压含水层）弹性储存与（潜水）重力储存不同；
第一步：化简方程左端项： 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有：
H v x K xx x
H v y K yy y
H v z K zz z
( v x ) H H H ( K xx ) [ K xx (K xx )] x x x x x x x
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流的基本微 分方程的推导 二、地下水运动微分方程的各种形式 三、地下水运动数学模型的建立及求解
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导 为反映含水层地下水运动的普遍规律，研究选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 水均衡的基本思想，对某一研究对象：
描述地下水运动的数学模型及解算方法二地下水运动微分方程的各种形式zzyyxxzzyyxx使潜水面边界处理的简单化直接近似地在微分方程中处理dsdh此时1潜水面比较平缓等水头面呈铅直水流基本水平可忽略渗流速度的垂直分量v2隔水底板水平铅垂剖面上各点的水头都相等各点的水力坡度和渗流速度都相等sin可以近似地用tg代替此即著名的dupuit假设
m d( )
m
1 d d ( )
常可忽略。
（二）含水层的状态方程
含水层弹性存储的概念： 弹性储存：当地下水水头（水压）降低（或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质。 含水层弹性存储的物理意义：
（承压含水层）弹性储存与（潜水）重力储存不同；
第一步：化简方程左端项： 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有：
H v x K xx x
H v y K yy y
H v z K zz z
( v x ) H H H ( K xx ) [ K xx (K xx )] x x x x x x x
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流的基本微 分方程的推导 二、地下水运动微分方程的各种形式 三、地下水运动数学模型的建立及求解
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导 为反映含水层地下水运动的普遍规律，研究选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 水均衡的基本思想，对某一研究对象：
描述地下水运动的数学模型及解算方法二地下水运动微分方程的各种形式zzyyxxzzyyxx使潜水面边界处理的简单化直接近似地在微分方程中处理dsdh此时1潜水面比较平缓等水头面呈铅直水流基本水平可忽略渗流速度的垂直分量v2隔水底板水平铅垂剖面上各点的水头都相等各点的水力坡度和渗流速度都相等sin可以近似地用tg代替此即著名的dupuit假设
m d( )
m
1 d d ( )
第十章-溶质运移基本理论
2.1 水动力弥散现象
实验结果：在砂柱末端测出的示踪剂浓度C(t), 画出示踪剂 浓度C(t)与时间t 之间的关系曲线，如果没有水动力弥散作 用，浓度曲线应是中间的理论曲线，而实际上，由于水动 力弥散作用，浓度曲线是实测的S形曲线。
2.2 水动力弥散的机理
溶质在多孔介质中的运移可由两种 过程进行描述：
6
四、水动力弥散方程
均衡的含义：在Δt时段内从x, y, z三 个方向共6个单元界面上流入流出 溶质的净总质量等于单元体内溶质 储存量的变化。
流体力学/水力学中， 将动力黏度与密度的 比值称为运动黏度：
υ=μ ρ
基本参数
（3）溶质浓度：对于多组分流体而言，某一组分α的浓度 就是该组分的密度ρα ，习惯上用Cα表示，对于只有溶质和 溶剂的二元体系的流体，常用C表示该溶质的浓度。
在多孔介质中，溶质r即可存在于固相中，也可存 在于液相中，用C α, r表示α相中含溶质r的浓度， 根据空间平均方法， α相中溶质r的平均浓度可以 表示为：
……
二、多孔介质中的水 动力弥散
2.1 水动力弥散现象
在多孔介质中当存在两种或两种以上可溶混的溶 体时，在流体运动作用下，其间会出现过渡带，并 使不同流体浓度趋于均一化，这种现象称为多孔介 质水动力弥散现象。
弥散实验：用装满均质砂的圆柱状设备，饱水后 来研究其中的稳定流动。 在初始时（t=0)，用有颜色的示踪剂开始驱替砂柱 中的水。
第十章 溶质运移基本理论
文章 博士
2012春季学期
wenzhangcau@
第十章 溶质运移基本理论
参考书 （1）杨金忠，蔡树英，王旭升. 地下
水运动数学模型. 科学出版社，2009 （2）陈崇希, 李国敏. 地下水溶质运
第四章 地下水的运动 yl
第四章 地下水的运动
第一节 水力学基础知识 第二节 地下水运动的基本概念 第三节 渗流基本定律
第四节 地下水在均质各向同性含水层中的稳定单向流 及剖面上的平面流
第五节 地下水流向集水井的稳定运动 第六节 地下水向完整井的非稳定运动
一、静止液体的位置高度、测压管高度、测压管水 头及其关系
第 一 节 水 力 学 基 础 知 识
pA pB Z A ZB C
（4-1）
γ γ
由于Ａ、Ｂ两点是任意的，得结论： 静止液体中各点的测压管水头为一常 数，其数值等于液面到基准面的距离。
图4-1 测压管水头关系
二、流线、流速、流量
在水体中，若某两点的测压管水头 不相等时，水便会流动，把流动的水体 所占有的连续空间称为流速场。 水的运动要素:流速场中水流的特征用流速、流 量、动水压强等物理量描述，并称其为 水的运动要素。 在应用中或实验室研究时，常用（流网 ）流线和等水位线来直观描述水流特征
特点是：
一维流任意点的水力坡度均相
等 （ 图 4 - 6 ａ ） ； 二维流中所有的流线都与某一 固定平面平行，与这平面平行 的各个平面特点均相同，研究 了某一个平面上渗流的变化时， 整个渗流场的变化就掌握了。 如果这个平面是铅直的面则称 为剖面二维流（图ｂ）；如果 这个平面是水平的则为平面二 维 流 （ 图 ｃ ） ； 三维流中找不到任何一个固定 平面能与所有流线平行。如在 河转弯处的潜水运动（图ｄ）。
箱向金属筒内注入，在砂土中渗流，渗流通过砂土的能量 损失，可由与筒内壁连通的测压管测得。在注水箱内设有 溢水口来保证供水水位不变，稳压溢流。通过调节器2改 变注水箱高度进行多次实验，单位时间接水器皿量出水量 获得流量，每次实验流出的水量不同时，测压管上反映出 的水头差也不相同。分析实验结果得出如下直线关系式，
第一节 水力学基础知识 第二节 地下水运动的基本概念 第三节 渗流基本定律
第四节 地下水在均质各向同性含水层中的稳定单向流 及剖面上的平面流
第五节 地下水流向集水井的稳定运动 第六节 地下水向完整井的非稳定运动
一、静止液体的位置高度、测压管高度、测压管水 头及其关系
第 一 节 水 力 学 基 础 知 识
pA pB Z A ZB C
（4-1）
γ γ
由于Ａ、Ｂ两点是任意的，得结论： 静止液体中各点的测压管水头为一常 数，其数值等于液面到基准面的距离。
图4-1 测压管水头关系
二、流线、流速、流量
在水体中，若某两点的测压管水头 不相等时，水便会流动，把流动的水体 所占有的连续空间称为流速场。 水的运动要素:流速场中水流的特征用流速、流 量、动水压强等物理量描述，并称其为 水的运动要素。 在应用中或实验室研究时，常用（流网 ）流线和等水位线来直观描述水流特征
特点是：
一维流任意点的水力坡度均相
等 （ 图 4 - 6 ａ ） ； 二维流中所有的流线都与某一 固定平面平行，与这平面平行 的各个平面特点均相同，研究 了某一个平面上渗流的变化时， 整个渗流场的变化就掌握了。 如果这个平面是铅直的面则称 为剖面二维流（图ｂ）；如果 这个平面是水平的则为平面二 维 流 （ 图 ｃ ） ； 三维流中找不到任何一个固定 平面能与所有流线平行。如在 河转弯处的潜水运动（图ｄ）。
箱向金属筒内注入，在砂土中渗流，渗流通过砂土的能量 损失，可由与筒内壁连通的测压管测得。在注水箱内设有 溢水口来保证供水水位不变，稳压溢流。通过调节器2改 变注水箱高度进行多次实验，单位时间接水器皿量出水量 获得流量，每次实验流出的水量不同时，测压管上反映出 的水头差也不相同。分析实验结果得出如下直线关系式，
地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型
第二节 数学模型
导水系数T
当水力坡度为1时，通过整个含水层上 的单位宽度流量。即：
T=K·M
第二节 数学模型
水的状态方程 对于给定质量的水体积，增加一个压力
dPw，水体积产生一定的压缩，根据质量守 恒定律：
ρVw=常数 取全微分有：
ρdVw+Vwdρ=0
由于dPw=dH
第二节 数学模型
达西定律的实质是水流在流动过程中消耗的 能量与流速和渗流长度成正比，与含水层的 渗透系数成反比。
HH1H2
vL K
达西定律的适用范围
Re ud
第一节 达西定律
当雷诺数Re<100时，适用； 当雷诺数Re>100时，不适用； 在天然情况下，绝大多数地下水运动服从达西定律。
第二节 数学模型
地下水渗流连续性方程 表示：在渗流场中的 任何局部，都必须满足质量守恒和能量守恒。
第二节 数学模型
对于稳定渗流，且假定n、ρ不变，则为地
下水稳定流的连续性方程：
x(K x H x) y(K y H y) z(K z H z) 0
第二节 数学模型
形式相似，意义有所差别
x(Tx H x) y(Ty H y)* H t
承压水二维流的微分方程：
第二节 数学模型
当水头变化很小时，即ΔH<0.1h时，对均质 各向同性的潜水有
2xH2 2yH2 T THt
T=Kh h为潜水含水层平均厚度
第二节 数学模型
H(x,y),t0 z,H t0(x,y),z
第二节 数学模型
注：对于稳定流来说，定解条件中没有初始条 件，因为地下水作稳定流时其运动要素是不随 时间而变化的。
地下水数值模拟02_地下水运动的数学模型
2
H 0
n 2
——隔水边界
第三类边界条件 H aH b n
例：弱透水边界
K H Hn H 0 n m1 / K1
溶质运移问题的边界条件
第一类边界条件
c(x,
y, z,t) 1
c1(x,
y, z,t)
——给定浓度边界
第二类边界条件 c
Di, j x j ni 2 f2 (xi , t)
u(x, y, z,t) t0 0(x, y, z)
• 2、边界条件
第一类边界条件 u(x, y, z,t) 1 1(x, y, z,t)
第二类边界条件
u n
2
1(x, y, z,t)
第三类边界条件
u
u n
3
3x,
y, z,t
水流问题的边界条件
Reynolds数小于1~10
• 有些情况下，用液体压强表示更为方便
– 例如：油水两相流动
vx
K
H x
vy
K
H y
vz
K
H z
K g k
H z p
g
k p
vx
x
v y
k
p y
vz
k
K ( d
)
dhc
C
t
x
K( )
x
y
K
(
)
y
z
K (
地下水动力学-精选
（3）注水井和补给井
承压水井：
潜水井：
Q2.73KMhw H0
lgR rw
Q1.366K hw2 H02 lg R rw
33
§3-2 地下水向承压水井和潜水井 的稳定运动
三、Dupuit公式的应用
（1）求含水层参数 无观测孔时，需已知Q、sw、R 承压井：
K0.366Q lgR Mws rw
10
§3-1 概 述
3. 井径和水井内外的水位降深 一般抽水井有三种类型：未下过滤器、下过滤器和
下过滤器并在过滤器外填砾。如P62图3-2。 (1) 未下过滤器的井：井的半径就是钻孔的半径，
井壁和井中的水位降深一致。 (2) 下过滤器的井：井的直径为过滤器的直径，井
内水位比井壁水位低。 (3) 过滤器周围填砾的井：井周围的渗透性增大，
12
§3-1 概 述
4. 假设条件
本章以后几节中共有的假设条件： (1) 含水层均质、各向同性，产状水平，厚度不变，
分布面积很大，可视为无限延伸； (2) 抽水前的地下水面是水平的，并视为稳定的； (3) 含水层中的水流服从Darcy定律，并在水头下
降的瞬间水就释放出来。如有弱透水层，则忽略其弹 性释水量。
在第一节假设条件的基础上，再做如下假设：
(1) 流向井的潜水流是近似水平的；
(2) 通过不同过水断面的流量处处相等，并等于井的
流量。 2. 数学模型及其解
d dr
r
dh dr
2
0
h rR H 0
h r rw hW
23
§3-2 地下水向承压水井和潜水井 的稳定运动
24
38
§3-2 地下水向承压水井和潜水井 的稳定运动
地下水动力学(第二章 地下水向河渠的运动专)课件
所以
i 1
n
h2 x,t
h2 x,0
h2 0,i
h2 0 ,i 1
F
x, t ti1
h2 l ,i
xdx C1dx
1 h2 2
W K
1 2
x2
C1x C2
得：
h2
W K
x2
C1x C2
当x=0时，h=h1，代入上式得：C2=h12
当x=l时，h=h2，代入上式得：
C1
h22
h12 l
W K
l
将C1、C2代入上式，得
h2
h12
h22
h12 l
xW K
lx x2
此式为河渠有入渗或蒸发时的潜水流的浸润曲线方程。
M H 0 x x
H x0 H1
H xl H2
将微分方程变为：d
M
H x
0Leabharlann 积分，得：MH x
C1
再积分： MH C1x C2
MH C1x C2
当x=0时，H=H1 ，得：C2=MH1
当x=l时，H=H2 ，并将C2=MH1代入，得：
C1
M
H 2
l
H1
将C1、C2代入方程，得：
此式为河渠水位迅速上升后保持不变，计算河渠任 一断面任一时刻水位的公式。
说明：h02,t F x,t 是一个小于h02,t的数，故河渠间任一
断面的水位变幅总是小于河渠的水位变幅。
任一断面单宽流量：
上式对x求导，并代入Darcy定律
q Kh h x
得：
qx,t
K qx,0 2l
H
H1
H1
l
H2 x
此式为承压水一维稳定流的水头线方程。
地下水运动的数学模型
第四章 地下水运动的数值模型解析解虽然具有精确可靠的特点，但采用解析解反映自然状态和复杂人类活动干扰下的地下水运动是相当困难的。
因此，当含水层的条件严重偏离现有解析模型的简化假设时，人们通过数值模型来获得近似的地下水流场及演变趋势。
第一节 地下水流数值方法概述地下水流的数学模型采用偏微分方程描述地下水流的时间和空间连续状态，而数值模型则是采用离散（非连续）时空模型中水头的分布与演变对数学模型进行近似描述。
从精确数学模型到近似数值模型的转化，虽然会损失一些精度，但使复杂地下水流问题的分析得以通过机械计算实现，而且误差也是可控的。
把偏微分方程求解的数值方法引入到地下水流问题的求解始于20世纪70年代，主要方法包括有限差分法、有限元法和边界元法，此后又发展了有限分析法、多重网格法和无网格法等。
这些方法的共同特点是将模型空间及边界离散为由一系列的节点以及联系这些节点的单元（无网格法除外），含水层的水头在这些节点上定义，从而实现了水头分布空间连续函数向离散变量的转化，表示为2121211122111221202()02()02()002(0)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk f f f f a b c e x L x x t t t t f x f f f f a b c e x L x x t t f f f f a b c x L e x xd f dfe ef a b f c x L dx dx t t f x u---------∂∂-++=<<∂∂∆∆=-∂∂-++=<<∂∂∆∆∂∂=+++<<∂∂+-++=<<∆∆==，，，，{}(,,);1,2,3,,p H x y z H p M ⇒=⋅⋅⋅ （4.1.1）式中；H 为含水层的水头；x 、y 、z 为空间坐标；p 为数值模型的节点；M 为节点的数目。
1-7描述地下水运动的数学模型及其解法
2020/4/15
12
三、建立数学模型的实例
例１ 潜水非稳定流方程
(Kh H ) (Kh H ) W H
x
x y
y
t
H c1 H(t)
H c2 z(t)(位置水头)
H c3 z(t（) 渗出面）
H c4 hw (t（) 定水头边界）
H n
c5 （ 0 隔水边界）
H (x, y,t) t0 (x, y)
➢区域的抽水井、注水井或疏干巷道也可作为 给定水头边界处理；
➢无限边界 H(x, y,t)
x2 y2
H
亦为第一类边界；
0
➢潜水面任一点的水位已知时，抽水井井壁水
位为一类边界。
2020/4/15
9
（2）第二类边界条件
当已知渗流区某部分边界上的流量分布时，称这 部分边界为第二类边界或给定流量边界。相应的边界 条件表示为：
（1）第一类边界条件
若在渗流区的某部分边界上各点在每一时刻的水头是已知
的，则称这部分边界为第一类边界或给定水头边界，常表
示为：
H(x, y, z,t) S1
1(x, y, z,t),
H (x, y,t) 1 2 (x, y,t),
（x, y, z) S1
（x, y) 1
分别表示在三维和 二维条件下边界上 2的020点/4/1在5 t时刻的水头
H
K n
s2
q (x, y, z,t), 1
（x, y, z) S2
或
T H n
2
q (x, 2
y,t)， （x, y) 2
式中：n为边界 S2 或 2的外法线方向； q1和q2为已知函数，分别表示S2 上单位面积和 2上单位
地下水动力学第三章
1. 当W0,q1
Wl K2h12h22
2l
a
x
,该式为无入渗补给潜水剖面二维稳
定流动，此时河间地段呈图 单3向-1-流8 动河间 。地段潜水流动剖面图
h1h2时q， 10,水由 1向 河 2河 流动
h1h2时q， 10,水由 2向 河 1河 流动
2. 当W 0,且 h 1h2,q1 W 2 l,q2W 2 l,存在a分 2 l, 水 向两侧岭 河
H1 H1
h1
2
H H2
h2
整理课件
z1
0
z
X l
z2
0
12
流量方程和水头线方程推导
根据裘布依假定
q Kh dH dx
q 1 dx dH Kh
l q 1 dx H 2 dH
0K h
H1
q和K沿程不变
整理课件
13
运用积分中值定理近似求解
l 1dx l
0 h hm
hm
h1 h2 2
对（1）式两次不定积分，代入已知条件得：
h
h12
(h12
h22)
x l
整理课件
h2 (h22 h12)xh12 2 2l 2l 2
三、无入渗潜水向河渠二维稳定运动 ------(二)隔水底板倾斜
沿水平方向取x轴,它和底 板夹角为 ；H轴和井轴一 致。基准面可取在底板以下 任意高度水平（0－0）。当 <20o，渗流长度可以用以 水平孔距l来近似表示，水 力坡度 dH 。即引入裘布 依假设。dx
Q KA dH dx
A Bh
B
B1
B1
l
B2
x
底板水平，含 z 0 , 故 dH dh dx dx
地下水动力学课件
∂H （ ) ∂t
k +1 / 2
h −h = ∆t
k +1 i
k i
（8-11） ）
时间离散：将时间段[0， 时间离散：将时间段[0， [0 Tsum]用直线等分为m Tsum]用直线等分为m份， 时间步长△ 时间步长△t= Tsum /m； /m；
河流 l
河流
空间、 图8-2 空间、时间离散示意图
如离散网格图所示，任一结点的坐标为： xi=i△x (i=0,1,2…,l)； △ ； tk=k△t (k=0,1,2…,m)。 △ 。 简记为（ ， ， 简记为（i，k)，并以Hik表示 表示H(xi， tk）=H( i△x， △ ， k△t）,用hik 表示原方程的近似解，即差分方程的解。 △ ）用 下面以典型结点（ ， 下面以典型结点（i，k) 为例，说明有显式限差分方 程建立的思路、过程及求解方法。
hk +1i −1 − 2hk +1i + hk +1i +1 (∆x)
λ 若定义： =
∗
2
=
µ∗ hi k +1 − hi k
T ∆t
（8-9）
T ∆t µ ( ∆x )
2
，则（8-9）式可变为：
k +1 i
− λh
k +1 i −1
+ 1 + 2λ） h （
− λh
k +1 i +1
=h
k i
i=1,2,…,l-1 （8-10） K=1,2,…,m-1
2.数值法 数值法
数值法是把刻划地下水运动的数学模型离散化，把定界问 题化成代数方程，解出渗流区域内有限个结点上的数值解 题化成代数方程，解出渗流区域内有限个结点上的数值解 （近似解）。 （近似解）。 数值法适用性广（复杂的含水层、定解条件等），通用性强 （计算机模拟）、并可程序化，修改模型方便。目前，在求解 大型地下水流问题时被广泛应用。 数值法模拟计算过程没有物理模拟法逼真、直观，而且计 算工作量大，需要借助于计算机进行模拟计算。 数值法中，最常用的是有限差分法（ 数值法中，最常用的是有限差分法（FDM）和有限单元法 ） （FEM)。有限差分法是建立在用差商代替导数的基础上；而有 。有限差分法是建立在用差商代替导数的基础上；而有 限单元法是建立在直接求函数的近似解的基础上。 限单元法是建立在直接求函数的近似解的基础上。
k +1 / 2
h −h = ∆t
k +1 i
k i
（8-11） ）
时间离散：将时间段[0， 时间离散：将时间段[0， [0 Tsum]用直线等分为m Tsum]用直线等分为m份， 时间步长△ 时间步长△t= Tsum /m； /m；
河流 l
河流
空间、 图8-2 空间、时间离散示意图
如离散网格图所示，任一结点的坐标为： xi=i△x (i=0,1,2…,l)； △ ； tk=k△t (k=0,1,2…,m)。 △ 。 简记为（ ， ， 简记为（i，k)，并以Hik表示 表示H(xi， tk）=H( i△x， △ ， k△t）,用hik 表示原方程的近似解，即差分方程的解。 △ ）用 下面以典型结点（ ， 下面以典型结点（i，k) 为例，说明有显式限差分方 程建立的思路、过程及求解方法。
hk +1i −1 − 2hk +1i + hk +1i +1 (∆x)
λ 若定义： =
∗
2
=
µ∗ hi k +1 − hi k
T ∆t
（8-9）
T ∆t µ ( ∆x )
2
，则（8-9）式可变为：
k +1 i
− λh
k +1 i −1
+ 1 + 2λ） h （
− λh
k +1 i +1
=h
k i
i=1,2,…,l-1 （8-10） K=1,2,…,m-1
2.数值法 数值法
数值法是把刻划地下水运动的数学模型离散化，把定界问 题化成代数方程，解出渗流区域内有限个结点上的数值解 题化成代数方程，解出渗流区域内有限个结点上的数值解 （近似解）。 （近似解）。 数值法适用性广（复杂的含水层、定解条件等），通用性强 （计算机模拟）、并可程序化，修改模型方便。目前，在求解 大型地下水流问题时被广泛应用。 数值法模拟计算过程没有物理模拟法逼真、直观，而且计 算工作量大，需要借助于计算机进行模拟计算。 数值法中，最常用的是有限差分法（ 数值法中，最常用的是有限差分法（FDM）和有限单元法 ） （FEM)。有限差分法是建立在用差商代替导数的基础上；而有 。有限差分法是建立在用差商代替导数的基础上；而有 限单元法是建立在直接求函数的近似解的基础上。 限单元法是建立在直接求函数的近似解的基础上。
地下水动力学-第五讲
*
13
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（2）长时间抽水资料确定μ *1、μ *2、K1、K2 1）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例） 配线关系（降深-时间配线）
r 2 μ* 1 Q lg s lg t lg W (u, ) lg lg lg 4T u 4πT
* m1 μ1 t 5 K1
和
m2 μ* 2 t 10 K2
住含水层的降深近似公式
Q r s(r,t ) W (u3 , ) 4πT B1
式中： W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；
* * r 2(μ* μ1 / 3 2 ) u3 4Tt
市政系水资源与水工研究所
Q s (r,t ) W (u1 , ) 4πT
1 * 1 * r (μ μ1 2 ) 3 3 u1 4Tt
2 *
αr
1 1 2 2 B1 B2
9
市政系水资源与水工研究所
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
b）两相邻层为隔水层 当
* m1 μ1 和 m2 μ* 2 t 10 t 10 K1 K2
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章） 三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流
前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱 透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。 （一）模型 1、物理模型、基本假设与数学模型 （1）物理模型 1960年，M. S. Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性 释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。 1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层； 2）与两弱透水层相邻为隔水层； 3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层 相邻。
13
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
（2）长时间抽水资料确定μ *1、μ *2、K1、K2 1）相邻为定水头函水层（以第一种情况为例） 配线关系（降深-时间配线）
r 2 μ* 1 Q lg s lg t lg W (u, ) lg lg lg 4T u 4πT
* m1 μ1 t 5 K1
和
m2 μ* 2 t 10 K2
住含水层的降深近似公式
Q r s(r,t ) W (u3 , ) 4πT B1
式中： W(u3,r/B1)为不计弱含水层弹性释水越流系统井函数；
* * r 2(μ* μ1 / 3 2 ) u3 4Tt
市政系水资源与水工研究所
Q s (r,t ) W (u1 , ) 4πT
1 * 1 * r (μ μ1 2 ) 3 3 u1 4Tt
2 *
αr
1 1 2 2 B1 B2
9
市政系水资源与水工研究所
地下水动力学讲稿_第五讲
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章）
b）两相邻层为隔水层 当
* m1 μ1 和 m2 μ* 2 t 10 t 10 K1 K2
地下水向完整井的非稳定运动（续第四章） 三、考虑弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流
前述在研究越流补给时忽略了弱透水含水层的弹性释水补给，当弱 透水层较厚时，这种补给量是可观的，不能忽略不计。 （一）模型 1、物理模型、基本假设与数学模型 （1）物理模型 1960年，M. S. Hantush提出的三层结构模型，根据弱透水层弹性 释水与相邻含水层关系分三种情况进行了研究，如图4-16所示。 1）与两弱透水相邻的越流含水层为定水头含水层； 2）与两弱透水层相邻为隔水层； 3）上弱透水含水层与定水头含水层相邻，下弱透水含水层与隔水层 相邻。
第3章 地下水的运动
当I一定时，岩层的 K 愈大，则 V 也愈大， Q 也大。 因此，渗透系数 K 是表征岩石透水性的定量指标。
参见V—I关系图
3、渗透系数K
层流条件下，圆管中（图 A）过水断面的平均流速
第三章 地下水的运动
第一节 第二节 第三节
重力水的运动 结合水的运动规律 包气带水的运动规律
第一节 重力水的运动
一、概念
? 1.渗透与渗流 渗透—地下水在岩石中的运动。 渗流—假想岩石的空间全被水流充满的水流。
京
河套
桃
园
河
不 杭
河
寨
万
大
徐
大孤山水库
荆
运
马
新
废
闸
河
徐 州市 黄
云龙湖
牢
运
河
河
河
房
二、线性渗流定律
达西H.Darcy 是法国水力 学家，1856年通过大量的 室内实验得出的渗流定律. 实验条件：试验装置图
1）等径圆筒装入均匀砂样， 断面为 ω 2）上（下各）置一个稳定的 溢水装置 ——稳定水流 3）实验时上端进水，下端出 水测出水量 Q——示意流线 4）砂筒中安装了 2个测压管
?对于裂隙岩层，临界水力坡度 Ic： Ic=0.00252(1-0.96a 0.4)(1+6a1.5)/b b——裂隙宽度， cm；
a——裂隙相对粗糙度， a=e/b；
e——裂隙绝对粗糙度。
3.稳定流和非稳定流 稳定流： p=f1(x，y，z)；
v=f2(x，y，z)
非v=稳f2(定x，流y：，pz=，ft1)(x，?y?Vt，? z0 ，t)；??Pt ? 0
水力学研究水在管、渠（明流）——流速快
多孔介质，空隙细小，水流很缓慢——渗流 从流态来看—地下水多为层流（除岩溶管道外） ， 很少紊 流
参见V—I关系图
3、渗透系数K
层流条件下，圆管中（图 A）过水断面的平均流速
第三章 地下水的运动
第一节 第二节 第三节
重力水的运动 结合水的运动规律 包气带水的运动规律
第一节 重力水的运动
一、概念
? 1.渗透与渗流 渗透—地下水在岩石中的运动。 渗流—假想岩石的空间全被水流充满的水流。
京
河套
桃
园
河
不 杭
河
寨
万
大
徐
大孤山水库
荆
运
马
新
废
闸
河
徐 州市 黄
云龙湖
牢
运
河
河
河
房
二、线性渗流定律
达西H.Darcy 是法国水力 学家，1856年通过大量的 室内实验得出的渗流定律. 实验条件：试验装置图
1）等径圆筒装入均匀砂样， 断面为 ω 2）上（下各）置一个稳定的 溢水装置 ——稳定水流 3）实验时上端进水，下端出 水测出水量 Q——示意流线 4）砂筒中安装了 2个测压管
?对于裂隙岩层，临界水力坡度 Ic： Ic=0.00252(1-0.96a 0.4)(1+6a1.5)/b b——裂隙宽度， cm；
a——裂隙相对粗糙度， a=e/b；
e——裂隙绝对粗糙度。
3.稳定流和非稳定流 稳定流： p=f1(x，y，z)；
v=f2(x，y，z)
非v=稳f2(定x，流y：，pz=，ft1)(x，?y?Vt，? z0 ，t)；??Pt ? 0
水力学研究水在管、渠（明流）——流速快
多孔介质，空隙细小，水流很缓慢——渗流 从流态来看—地下水多为层流（除岩溶管道外） ， 很少紊 流
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