博迪金融学第七章套利和风险中性定价法等

假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初价值是 S0 ， S S1 S 期末价值是 S1 ，这里1 只可能取两个值：一是 = Su0= u ,u＞1, 二是 S1 Sd =S0 ,d＜1。我们现在想要确定的是依附于该股票的看 = d 涨期权的价值是多少？ 我们构造这样一个投资组合，以便使它与 看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B （相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。 该组合的成本是N S0 -B，到了期末，该组合的价值V是NS1 -RB，R是 S 利率因子。对应于S1 的两种可能，V有两个取值：如果1 = Su,则 S V=Vu= N Su-RB，如果 S1 =d , 则VVd = = Sd -RB。 N
(权力卖出)
损益
欧式看涨期权多头损益图
Payoff Max(ST K ,0) C
K
ST
-C
盈亏转折点
损益
欧式看涨期权空头损益图
C
Payoff C Max(ST K ,0)
K
ST
盈亏转折点
损益
欧式看跌期权多头损益图
Payoff Max( K ST ,0) P
K
无套利价格
无套利定价原理
无套利的价格是什么: 无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种 境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与 他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值 完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的 现金流量状况。

例子1 有两家公司A和B，税前收益都是1000万元,它们的资本构成如 下:
V u NS u er (T t ) B cu , V d NS d er (T t ) B cd .
N (cu c d ) /( S u S d ) ((cu c d ) /[(u d ) S0 ], B ( S d cu S u c d ) /[( S u S d )er (T t ) ] ( NS d c d )e r (T t ) (dcu uc d )er (T t ) /(u d )
A 公 司
100万股，A公司的预期收益 是10%，所以股价是 （1000万元/10%）/100万股 =100元/股
B 公 司
60万股，市价是90元/股 4000万企业债券，年利率 是8%，付息320万/年
套利方法如下:
头寸情况 1%A股票空头 1%B债券多头 1%B股票多头 净现金流 即期现金流
+10000股× 100元/股=100万元 -1%× 4000万元= -40万元 -6000股× 90元/股= -54万元 +6万元
金融工程分析方法
无套利分析法
分析方法
积木分析法
此外还有复制、组合、模块分析法、风险中性 定价法等。
无套利分析法

套利

在没有成本和风险的情况下，能够获取利润的交易活动。
无套利定价原则

无套利的定价原则

如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行 为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。


根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一 项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资 产进行套利的机会不复存在。 如果市场是有效率的话，市场价格必然
由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有N S0-B=c0,把N和B 代入本式中，得到看涨期权的价值公式
c0 =[pcu +(1-p)cd ]e-r(T-t)
r(T-t) r(T-t) -d)/(u-d) 其中 p=(e S0 -Sd )/(Su -Sd )=(e
风险中性定价法相关案例





假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知 道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。 假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出 一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期 权的价值。 在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P， 下跌的概率为1-P。 e-0.1*0.25【11p-9*(1-p)】=10，则得 P=0.6266 这样，根据风险中性定价原理，我们就可以就出该期 权的价值： f= e-0.1*0.25【0.5*0.6266-0*(1-p)】=0.31
PA = u u PA + d dPA 或 1= uu + d d
由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。 这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r
u d er (T t )
所以
ue r (T t ) 1 1 de r (T t ) u ， d ud ud
无套利定价法与风险中性定价法的关系
General case
假设一个无红利支付的股票，当前 时刻t股票价格为S，基于该股票的 某个期权的价值是f，期权的有效 期是T，在这个有效期内，股票价 格或者上升到Su，或者下降到Sd 。 当股票价格上升到Su时，我们假设 期权的收益为fu，如果股票的价 格下降到Sd时，期权的收益为fd。
6个月后现金流是0 +1000 万 -1000 万 借入1051 万 +1051 万 还款1000 万元和51 万利息 -1051 万
收回本息 1127万
签订一份远期利 率协议，规定按 11%的价格6个 月后从市场借入 资金1051万元
0
还本付息 1110万
无套利定价法的主要特征



(1)无套利定价原则首先要求套利活动在无风 险的状态下进行。 (2)无套利定价的关键技术是所谓“复制”技 术，即用一组证券来复制另外一组证券。 (3)无风险的套利活动从即时现金流看是零投 资组合 （自融资组合）。
e r (T t ) d P ud
f erT Pfu (1 P) fd

此外还有状态定价法等
状态价格指的是在特定的状态发生时回报 为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未 来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知 道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态 下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就
可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技
术。
A是有风险证券，其目前的价格是，一年后其价格要么上升到u，要么 下降到d。这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态 （概率是1-q）。 市场状态u时的值 市场状态d时的值 现值
基本证券1
基本证券2
1 0
0 1
u d
只要这两种基本证券存在,我们就能为A定价: P 购买u PA 份基本证券1和 Ad 份基本证券2组成一个假想的证券组合。 该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流
案例二
远期价格
一不分红股票的预期收益率为15%，现在的价格是 S0=100 元，1年期无风险利率是rf=5%。问现在该股票 的1年期远期价格应是多少？ F=100×(1+15%)=115
?
假如股票的远期价格是F=115元，我们设计如下交 易策略：
用远期合约和无风险证券来复制该股票
持仓量（头寸） 以无风险利率借入 100元 即期现金流

积木分析法


积木分析法也叫模块分析法，指的是将各种金 融工具进行分解或组合，以解决各种金融和财 务问题。 在了解积木分析法之前，我们先来看一下各种 金融工具的损益图：
（现货或远期、期货）多头损益 图
损益(V)
Vl ST K
0
K
ST
K:交割价格
ST:到期时现货价格
（现货或远期、期货）空头损益 图
+Leabharlann Baidu00
未来到期现金流 105
115 – S1 到期
S1 10
定价为 115 的 1股股票的 远期合约空头 以 100元 的价格购买 1 份股票现货（多头）
净现金流
0
100
0
股票 价格
复制了1份股票现货
股票的远期价格应是 105元
无风险套利
案例三运用无套利定价法为期权 定价

Case：假设一种不支付红利股票目前的市价 为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要 么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年 利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期 协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价 值。
ST
-P
盈亏转折点
损益
欧式看跌期权空头损益图
P
Payoff P Max( K ST ,0)
K
ST
盈亏转折点
积木分析法图解

积木分析法可用下图描述：
+
=
= +
金 融 工 程 的 积 木 图
=
+
看涨期权多头+看跌期权空头=
金 融 工 程 的 积 木 图
看跌期权多头+看涨期权空头=
=
+
续案例三


(1)构建一个由一单位看涨期权空头和 Δ单位的标的股 票多头组成的组合。 使该组合在期权到期时无风险， Δ必须满足下式： 11 Δ-0.5=9 Δ，所以Δ=0.25 该无风险组合的现值应为：2.25e-0.1*0.25 =2.19 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票 多头，而目前股票市场为10元，因此： 10 × 0.25 – f = 2.19 则有 f = 0.31
金 融 工 程 的 积 木 图
=
+
现货多头+看跌期权多头=
金 融 工 程 的 积 木 图
现货空头+看跌期权空头=
+ =
金 融 工 程 的 积 木 图
现货空头+看涨期权多头=
+
=
金 融 工 程 的 积 木 图
+
现货多头+看涨期权空头=
=
金 融 工 程 的 积 木 图
风险中性定价法


在对衍生证券定价时，我们可以假定所有 投资者都是风险中性的，此时所有证券的预期 收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流 量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。 这就是风险中性定价原理。 风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出 的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资 者厌恶风险的所有情况。
只要有具备上述性质的一对基本证券存在， 我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何 有价证券定价。 关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于 人们作出的主观判断，但是人们对p认识的分歧不 影响为有价证券定价的结论。 无套利分析（包括其应用状态价格定价技术） 的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。
股票价格和期权价格
1 无套利定价法的思路
首先，构造一个由Δ股股票多头和一个期权空头组成的 证券组合，并计算出该组合为无风险时的Δ值。
如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是 （SuΔ-fu）e-r（T-t）, 而构造该组合的成本是SΔ- f， 在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即SΔ- f = （SuΔ-fu）e-r ( T-t ) ，所以
损益(V)
VS K ST
0
K
ST
K:交割价格 ST:到期时现货价格
期权的四种头寸
看
看涨时才履行的期权
看涨期权 多 头
涨
S>X(盈利, 履行协议)
(买进权力)
买进标的资产
看涨期权 空 头
(权力卖出)
期权
S<X(盈利， 履行协议)
看
看跌时才履行的期权
跌
看跌期权 多 头
(买进权力)
卖出标的资产
看跌期权 空 头
未来每年现金流 -EBIT的1% 1%× 320万元=3.2万元 1%× （EBIT-320万元） 0
只有当B企业的股票价值是100元/股时,才不会引起套利活动。
假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期 利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试 问这样的市场行情能否产生套利活动？ 套利过程是： 期初：现金流是0 投 10%的利率借 资 入6个月资金 者 1000万元 12%的利率贷 出1年期资额 1000万元 一年后现金流是17万
r f e（T 1） Pfu (1 P) fd
e r (T t ) d P ud
2 风险中性定价的思路
假定风险中性世界中股票的上升概率为P， 由于股票未来期望值按无风险利率贴现的 现值必须等于该股票目前的价格，因此该 概率可通过下式求得：
r S e（T t ) [SuP Sd (1 P)]