2021年高考理科数学一轮复习阶段测试六十九分类加法计数原理与分步乘法计数原理

核心素养测评六十九分类加法计数原理与分步乘法计数原理

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.如图,从A到O的不同的走法(不重复过一点)有____________种( )

A.1

B.2

C.4

D.5

【解析】选D.分3类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O,有2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O,有2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5(种)不同的走法.

2.将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是( )

A.2 160

B.720

C.240

D.120

【解题指南】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数,根据分步乘法计数原理得到结果.

【解析】选B.分步来完成此事.第1张有10种分法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,共有

10×9×8=720(种)分法.

【变式备选】

用0到9这10个数字,可以组成____________个没有重复数字的三位奇数.

【解析】由题意,从1,3,5,7,9中任选一个数排在个位,共有5种方法,再从剩余的8个非零数字中任选一个数字排在首位,共有8种方法,从剩余的8个数字中任选一个数字排在十位数,共有8种方法,由分步乘法计数原理,知组成没有重复数字的三位奇数共有5×8×8=320(个).

答案:320

3.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )

A.10种

B.25种

C.52种

D.24种

【解析】选D.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理可知,共有24种不同的走法.

4.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有

( )

A.36种

B.48种

C.96种

D.192种

【解析】选C.设4门课程分别为1,2,3,4,甲选修2门,可有1,2;1,3;1,4;2,3;2,4;3,4共6种情况,同理乙,丙均可有1,2,3;1,2,4;2,3,4;1,3,4共4种情况,所以不同的选修方案共有6×4×4=96(种).

5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )

A.65

B.56

C.30

D.11

【解析】选B.每一位同学有5种不同的选择,则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是56.

6.《九章算术》中记载有“阳马,鳖臑(biēnào)”,阳马是底面为矩形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,鳖臑是四个面都是直角三角形的四面体.若以正方体的顶点为阳马的顶点,可以得到m个阳马,以正方体的顶点为鳖臑的顶点,可以得到n个鳖臑,则( )

A.m=12,n=24

B.m=36,n=24

C.m=12,n=72

D.m=36,n=72

【解析】选D.因为以正方体的一个顶点为四棱锥的顶点所得的阳马有3个,而正方体有12个顶点,所以阳马的个数m=36,因为每个阳马可以拆分为2个鳖臑,所以鳖臑的个数n=72.

【变式备选】

在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科,3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试,小丁同学理科成绩较好,决定至少选择两门理科学科,那么小丁同学的选科方案有________________种.

【解析】先分两类:(1)两理一文,分两步:从3门理科中,选择两门理科学科,有3种方法,从3门文科中选一门文科学科,有3种方法,所以共有3×3=9(种);

(2)选择三门理科学科,只有1种,

由分类加法计数原理得小丁同学的选科方案有10种.

答案:10

7.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演,原节目单上有9个节目已经排好顺序,又有3个新节目需要加进去,不改变原来的顺序,则新节目单的排法有____________种 ( )

A.12

B.27

C.729

D.1 320

【解题指南】可以考虑3个新节目逐一加入原来的节目单中去.

【解析】选D.第一步:9个节目空出10个位置,可以加入1个新来的节目,所以加入一个新节目有10种方法,

第二步:从排好的10个节目空出的11个位置中,加入第2个新节目,有11种方法,

第三步:从排好的11个节目空出的12个位置中,加入第3个新节目,有12种方法,

所以由分步乘法计数原理得加入3个新节目后的节目单的排法有10×11×12=

1 320(种).

【变式备选】

若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:32是“开心数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“开心数”的个数为( )

A.9

B.10

C.11

D.12

【解析】选D.根据题意个位数需要满足要求:

因为n+(n+1)+(n+2)<10,即n<2.,

所以个位数可取0,1,2三个数,

因为十位数需要满足:3n<10,所以n<3.,

所以十位可以取0,1,2,3四个数,

故小于100的“开心数”共有3×4=12(个).

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.小明计划在2019年的暑假从他居住的昆明到北京去游学,他可以坐动车,也可以乘高铁,还可以乘飞机,已知动车每日5班,高铁每日10班,飞机每日2班,则小明在某一天从昆明到北京有________________种出行方式.

【解析】出行方式分3类,动车有5种方式,高铁有10种方式,飞机有2种方式,这三类的每一种方式都可以达到出行目的,所以由分类加法计数原理得共有5+10+2=17种出行方式.

答案:17

9.甲组有4名男同学、2名女同学;乙组有5名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有____________种.

【解析】分两类:第一类,甲组1男1女,乙组2男0女,再分两个步骤,第一步甲组选1男1女,有4×2=8(种)方法,第二步乙组选2男0女,把5个男同学编号1,2,3,4,5,从中选2人,有

12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,有10种方法,所以第一类共有8×10=80种方法,第二类,甲组2男0女,乙组1男1女,再分两个步骤,第一步甲组选2男0女,把4个男同学编号1,2,3,4,从中选2人,有