假设检验与回归分析
统计学中的线性回归模型与假设检验
统计学中的线性回归模型与假设检验统计学作为一门研究数据收集、分析和解释的学科，扮演着重要的角色。
其中，线性回归模型和假设检验是统计学中常用的方法。
本文将介绍线性回归模型的基本概念和应用，以及假设检验的原理和实际意义。
一、线性回归模型线性回归模型是一种用于描述两个或多个变量之间关系的统计模型。
它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小化因变量与预测值之间的差异来估计回归系数。
在线性回归模型中，自变量通常表示为X，因变量表示为Y。
模型的基本形式可以表示为Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的随机变动。
线性回归模型的应用非常广泛。
例如，在经济学中，可以使用线性回归模型来研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，可以使用线性回归模型来分析药物剂量与治疗效果之间的关系。
通过对数据进行拟合和分析，线性回归模型可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和决策。
二、假设检验假设检验是一种统计推断方法，用于判断样本数据与某个假设之间是否存在显著差异。
在假设检验中，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后根据样本数据进行统计推断，判断是否拒绝原假设。
在假设检验中，我们通常使用一个统计量来衡量样本数据与原假设之间的差异。
常见的统计量包括t值、F值和卡方值等。
通过计算统计量的概率值（p值），我们可以判断样本数据是否支持原假设。
假设检验在科学研究和实际应用中具有重要意义。
例如，在药物研发中，可以使用假设检验来判断新药物是否比现有药物更有效；在市场营销中，可以使用假设检验来评估不同广告策略的效果。
通过假设检验，我们可以基于数据进行科学决策，提高研究和实践的可靠性。
三、线性回归模型与假设检验的关系线性回归模型和假设检验是统计学中紧密相关的方法。
在线性回归分析中，我们可以使用假设检验来评估回归系数的显著性。
在线性回归模型中，我们通常对回归系数进行假设检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。
数据分析中常用的假设检验方法
数据分析中常用的假设检验方法数据分析是现代社会中不可或缺的一项技能，它可以帮助我们从大量的数据中提取有用的信息和洞察。
而在数据分析的过程中，假设检验是一种常用的统计方法，用于验证研究者对数据的某种假设是否成立。
本文将介绍几种常用的假设检验方法，并探讨它们的应用领域和局限性。
一、单样本t检验单样本t检验是一种用于检验一个样本均值是否与一个已知的总体均值相等的方法。
例如，我们想要检验某个商品的平均评分是否显著高于总体评分。
在这种情况下，我们可以采集一定数量的样本数据，并使用单样本t检验来判断样本均值是否与总体均值有显著差异。
二、双样本t检验双样本t检验是一种用于比较两个独立样本均值是否有显著差异的方法。
例如，我们想要比较两个不同广告的点击率是否存在显著差异。
在这种情况下，我们可以采集两组数据，分别代表两个广告的点击率，并使用双样本t检验来判断两组数据的均值是否有显著差异。
三、方差分析方差分析是一种用于比较三个或三个以上样本均值是否有显著差异的方法。
例如，我们想要比较不同年龄段的消费者对某个产品的满意度是否存在显著差异。
在这种情况下，我们可以将消费者按照年龄段分组，收集每个组别的满意度数据，并使用方差分析来判断各组别之间的均值是否有显著差异。
四、卡方检验卡方检验是一种用于比较观察频数与期望频数之间是否存在显著差异的方法。
例如，我们想要研究两个变量之间是否存在相关性，例如性别和购买偏好之间的关系。
在这种情况下，我们可以收集一定数量的观察数据，并使用卡方检验来判断观察频数与期望频数之间是否存在显著差异。
五、回归分析回归分析是一种用于探究自变量与因变量之间关系的方法。
例如，我们想要研究广告投入与销售额之间的关系。
在这种情况下，我们可以收集广告投入和销售额的数据，并使用回归分析来判断两者之间的关系是否显著。
需要注意的是，假设检验方法虽然在数据分析中被广泛应用，但也存在一些局限性。
首先，假设检验是基于样本数据对总体进行推断，因此样本的选择和抽样方法可能会对结果产生影响。
假设检验-方差分析及回归分析
1.645 时，拒绝 H0。
率有显著提高，此时犯（第一类）错误的 5% 。 概率不会超过
若取 0.005 ， 查表得
z 0.005 2.57 ， 仍有 z 3.125 2.57 ， 所以在显著性水平 0.005 下
也拒绝 H0，从而可断定犯错误的概率 不会超过 0.5% 。
( n1 1) s ( n2 1) s ， n1 n2 2
2 1 2 2
若 t t ( n1 n 2 2) ，则拒绝 H0
2
右边检验
H 0 : 1 2 0 ， H 1 : 1 2 0
若 t t ( n1 n 2 2 ) ，则拒绝 H0
第八章 假设检验
第九章 方差分析及回归分析
第八章 假设检验
§1 假设检验
§2 正态总体均值的假设检验
§3 正态总体方差的假设检验
§5 分布拟合检验
§1 假设检验 实际推断原理 概率很小的事件在一
次试验中实际上可认为是不会发生的。本章 的内容，一是已知总体的分布类型，而对包 含的未知参数作某些假设，二是未知总体的 分布类型，而对总体的分布作出假设。 所谓假设检验就是提出假设后，根据实 际推断原理作出接受还是拒绝的判断。
2
均未知。 2 2 2 2 H0 : 1 2 ， H1 : 1 2
s 检验统计量 F ， s
若 F F ( n1 1, n 2 1)
2
2 1 2 2
或 F F1 ( n1 1, n 2 1) ，
2
则拒绝 H0。
若
2 2
F1 ( n1 1, n2 1) F F ( n1 1, n2 1) ，
第五章-假设检验与回归分析
件，得到拒绝域；
步骤 4：明确或计算样本均值 x ，得到U 变量的观测值 u x 0 n 0
若观测值 u 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设 H1 ，
否则不能拒绝零假设 H 0 。
第五章 假设检验与回归分析 例1、 已知某面粉自动装袋机包装面粉，每袋面粉重量 Xkg
服从正态分布 N(25,0.02) ，长期实践表明方差 2 比较稳定，从
第五章 假设检验与回归分析
U 检验的步骤：
步骤 1：提出零假设 H 0 ： 0 与备择假设 H1 ；
步骤 2：明确所给正态总体标准差 0 值、样本容量 n 的
值，当零假设 H 0 成立时，构造变量
U X 0 n ～ N(0,1) 0
第五章 假设检验与回归分析
步骤 3：由所给检验水平 的值查标准正态分布表求出对应 的双侧分位数 u 的值或上侧分位数 u 的值，构造小概率事
u
2
0.05， u 1.96 ，
2
第五章 假设检验与回归分析
x 0 n
12.5 12 1 100
5 u
2
1.96
故拒绝 H0 ，即认为产品平均质量有显著变化。
小结与提问：
理解假设检验的基本原理、概念；掌握假设检验的步骤。
课外作业：
P249 习题五 5.01, 5.02，5.03。
0.10，再在表中第一列找到自由度 m n 1 7 1 6 ，
其纵横交叉处的数值即为对应的 t 分布双侧分位数 t 1.943
2
，使得概率等式
PT 1.943 0.10
成立。这说明事件 T 1.943是一个小概率事件，于是得到
拒绝域
t 1.943
第五章 假设检验与回归分析
参数的假设检验抽样分布、参数估计、假设检验(回归分析)
z = -3.162 < 1.64 接受原假设
5% 1.64
假设检验的基本原理
2）相伴概率 P 检验统计量观察值以及所有所有比
它更为极端的可能值出现的概率之和 双侧检验：
P = P(Z < -3.162) + P(Z > 3.162) = 0.002
左侧检验：P = P(Z < -3.162) = 0.001
1
t分布两尾 概率分位点
P(x t / 2sx x t / 2sx ) 1
参数估计 - 区间估计
正态总体方差的区间估计
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2分布上尾 概率分位点
P(12
2
(n 1)s2
2
2
2)
1
P(
(n 1)s2
12 2
2
(n 1)s
2 2
2
)
1
参数估计 - 区间估计
n
Z x ~ N(0,1) 2 n
中心极限定理
➢ 无论样本所来自的总体是否服从正态分布， 只要样本足够大，样本平均数就近似服从正 态分布，样本越大，近似程度越好。
➢所需的样本含量随原总体的分布而异，但只 要样本含量 30，无论原总体是何分布，都 足以满足近似的要求。
➢设原总体的期望为，方差为 2，则样本平 均数的期望为，方差为 2 /n。
统计推断概述
抽样分布 参数估计简介 假设检验的基本原理
抽样分布的概念
样本统计量的概率分布称为抽样分布（sampling distribution）
样本是通过对总体的随机抽样获得的 样本统计量是随机变量，有一定的概率分布
简单随机样本
项目八假设检验回归分析与方差分析
项目八 假设检验、回归分析与方差分析实验2 回归分析实验目的 学习利用Mathematica 求解一元线性回归问题. 学会正确使用命令线性回归Regress, 并从输出表中读懂线性回归模型中各参数的估计, 回归方程, 线性假设的显著性检验结果, 因变量Y 在预察点0x 的预测区间等.基本命令1.调用线性回归软件包的命令<<Statistics\LinearRegression.m 输入并执行调用线性回归软件包的命令<<Statistics\LinearRegression.m或调用整个统计软件包的命令<<Statistics`2.线性回归的命令Regress一元和多元线性回归的命令都是Regress. 其格式是Regress[数据, 回归函数的简略形式, 自变量,RegressionReport(回归报告)->{选项1,选项2,选项3,…}]注: 回归报告中包含BestFit(最佳拟合,即回归函数), ParameterCITable(参数的置信区间表), PredictedResponse(因变量的预测值), SinglePredictionCITable(因变量的预测区间), FitResiduals(拟合的残差), SummaryReport(总结性报告)等.3.抹平“集合的集合”的命令Flatten命令Flatten[A]将集合的集合A 抹平为只有一个层次的集合. 例如, 输入Flatten[{{1,2,3},{1,{3}}}]则输出{1,2,3,1,3}.4.非线性拟合的命令NonlinearFit 使用的基本格式为NonlinearFit [数据, 拟合函数, (拟合函数中的)变量集, (拟合函数中的)参数, 选项] 注: 拟合函数中既有变量又有参数, 变量的个数要与数据的形式相应. 参数集中往往需 要给出各参数的初值. 选项的内容主要是指定拟合算法、迭代次数和精度.实验举例例2.1 (教材 例2.1) 某建材实验室做陶粒混凝土实验室中, 考察每立方米)(3m 混凝土的水泥用量(kg)对混凝土抗压强度)/(2cm kg 的影响, 测得下列数据:7.894.866.822.804.771.742602502402302202103.711.686.646.613.589.56200190180170160150yx y x 抗压强度水泥用量抗压强度水泥用量(1) 画出散点图;(2) 求y 关于x 的线性回归方程,ˆˆˆx b a y+=并作回归分析; (3) 设2250=x kg, 求y 的预测值及置信水平为0.95的预测区间.先输入数据:aa = {{150,56.9},{160,58.3},{170,61.6},{180,64.6},{190,68.1},{200,71.3},{210,74.1},{220,77.4},{230,80.2},{240,82.6},{250,86.4},{260,89.7}};(1) 作出数据表的散点图. 输入ListPlot[aa,PlotRange->{{140,270},{50,90}}]则输出图2.1.图2.1(2) 作一元回归分析, 输入Regress[aa,{1,x},x,RegressionReport->{BestFit,ParameterCITable,SummaryReport}]则输出{BestFit->10.2829+0.303986x, ParameterCITable->Estimate SE CI 1 10.2829 0.850375 {8.388111,12.1776}, x 0.303986 0.00409058 {0.294872,0.3131} ParameterTable->Esimate SE Tstat PValue 110.28290.85037512.09222.71852710-⨯,x 0.303986 0.00409058 74.3137 4.884981510-⨯ Rsquared->0.998193,AdjustedRSquared->0.998012, EstimatedVariance->0.0407025,ANOV A Table->DF SumOfSq MeanSq Fratio PValue Model1 1321.43 1321.435522.524.773961510-⨯Error10 2.39280.23928Total 11 1323.82现对上述回归分析报告说明如下:BestFit(最优拟合)-> 10.2829+0.303986x 表示一元回归方程为x y 303986.02829.10+=;ParameterCITable(参数置信区间表)中: Estimate 这一列表示回归函数中参数a , b 的点估计为aˆ=10.2829 (第一行), b ˆ= 0.303986 (第二行); SE 这一列的第一行表示估计量a ˆ的标准差为0.850375, 第二行表示估计量bˆ的标准差为0.00409058; CI 这一列分别表示a ˆ的置信水平为0.95的置信区间是(8.388111,12.1776), bˆ的置信水平为0.95的置信区间是 (0.294872,0.3131).ParameterTable(参数表)中前两列的意义同参数置信区间表; Tstat 与Pvalue 这两列的第一行表示作假设检验(t 检验):0:,0:10≠=a H a H 时, T 统计量的观察值为12.0922, 检验统计量的P 值为2.71852710-⨯, 这个P 值非常小, 检验结果强烈地否定0:0=a H , 接受0:1≠a H ; 第二行表示作假设检验(t 检验): ,0:0=b H 0:1≠b H 时T 统计量的观察值为74.3137, 检验统计量的P 值为 4.884981510-⨯, 这个P 值也非常小, 检验结果强烈地否定,0:0=b H 接受0:1≠b H .Rsquared->0.998193, 表示.998193.0)()(2==总平方和回归平方和SST SSR R 它说明y 的变化有99.8%来自x 的变化; AdjustedRSquared->0.998012, 表示修正后的=2~R 0.998012.EstimatedVariance->0.0407025, 表示线性模型),0(~,2σεεN bx a y ++=中方差2σ的估计为0.0407025.ANOV A Table(回归方差分析表)中的DF 这一列为自由度: Model(一元线性回归模型)的自由度为1, Error(残差)的自由度为,102=-n Total(总的)自由度为.111=-nSumOfSq 这一列为平方和: 回归平方和=SSR 1321.43, 残差平方和=SSE 2.3928,总的平方和=+=SSE SSR SST 1323.82;MeanSq 这一列是平方和的平均值, 由SumOfSq 这一列除以对应的DF 得到, 即.23928.02,43.13211=-===n SSEMSE SSR MSR FRatio 这一列为统计量MSEMSRF =的值, 即.52.5522=F 最后一列表示统计量F 的P 值非常接近于0. 因此在作模型参数)(b =β的假设检验(F 检验):0:;0:10≠=ββH H 时, 强烈地否定0:0=βH , 即模型的参数向量.0≠β因此回归效果 非常显著.(3) 在命令RegressionReport 的选项中增加RegressionReport->{SinglePredictionCITable}就可以得到在变量x 的观察点处的y 的预测值和预测区间. 虽然0.14=x 不是观察点, 但是可以用线性插值的方法得到近似的置信区间. 输入aa=Sort[aa]; (*对数据aa 按照水泥用量x 的大小进行排序*)regress2=Regress[aa,{1,x},x,RegressionReport->{SinglePredictionCITable}](*对数据aa 作线性回归, 回归报告输出y 值的预测区间*)执行后输出{SinglePredictionCITable-> Observed PredictedSE CI56.9 55.8808 0.55663 {54.6405,57.121} 58.3 58.92060.541391 {57.7143,60.1269} 61.6 61.9605 0.528883 {60.7821,63.1389} 64.6 65.00030.519305 {63.8433,66.1574} 68.1 68.0402 0.51282 {66.8976,69.1828} 71.3 71.0801 0.509547 {69.9447,72.2154}} 74.1 74.1199 0.509547 {72.9846,75.2553} 77.4 77.1598 0.51282 {76.0172,78.3024} 80.2 80.1997 0.519305 {79.0426,81.3567} 82.6 83.2395 0.528883 {82.0611,84.4179} 86.4 86.2794 0.541391 {85.0731,87.4857} 89.7 89.3192 0.55663 {88.079,90.5595}上表中第一列是观察到的y 的值, 第二列是y 的预测值, 第三列是标准差, 第四列是相应的预测区间(置信度为0.95). 从上表可见在)4.77(220==y x 时, y 的预测值为77.1598, 置信度为0.95的预测区间为(76.0172,75.2553), 在)2.80(230==y x 时, y 的预测值为80.1997, 置信度为0.95的预测区间为{79.0426,81.3567}. 利用线性回归方程, 可算得=0x 225时, y 的预测值为78.68, 置信度为0.95的预测区间为(77.546, 79.814).利用上述插值思想, 可以进一步作出预测区间的图形. 先输入调用图软件包命令<<Graphics`执行后再输入{observed2,predicted2,se2,ci2}=Transpose[(SinglePredictionCITable/.regress2)[[1]]];(*取出上面输出表中的四组数据, 分别记作observed2,predicted2,se2,ci2*) xva12=Map[First,aa];(*取出数据aa 中的第一列, 即数据中x 的值, 记作xva12*) Predicted3=Transpose[{xva12,predicted2}];(*把x 的值xva12与相应的预测值predicted2配成数对, 它们应该在一条回 归直线上*)lowerCI2=Transpose[{xva12,Map[First,ci2]}];(*Map[First,ci2]取出预测区间的第一个值, 即置信下限. x 的值xva12与相应 的置信下限配成数对*)upperCI2=Transpose[{xva12,Map[Last,ci2]}];(*Map[Last,ci2]取出预测区间的第二个值, 即置信上限. x 的值xva12与相应的置信上限配成数对*)MultipleListPlot[aa,Predicted3,lowerCI2,upperCI2,PlotJoined->{False,True,True,True},SymbolShape->{PlotSymbol[Diamond],None,None, None}, PlotStyle->{Automatic,Automatic,Dashing[{0.04,0.04}], Dashing[{0.04,0.04}]}](*把原始数据aa 和上面命令得到的三组数对predicted3,lowerCI2,upperCI2 用多重散点图命令MultipleListPlot 在同一个坐标中画出来. 图形中数据 aa 的散点图不用线段连接起来, 其余的三组散点图用线段连接起来, 而 且最后两组数据的散点图用虚线连接.*)则输出图2.2.图2.2从图形中可以看到, 由Y 的预测值连接起来的实线就是回归直线. 钻石形的点是原始数 据. 虚线构成预测区间.多元线性回归例2.2 (教材 例2.2) 一种合金在某种添加剂的不同浓度下, 各做三次试验, 得到数据如下表:8.323.327.298.277.288.301.306.321.313.274.297.312.318.292.250.300.250.200.150.10Yx 抗压强度浓度(1) 作散点图;(2) 以模型),0(~,22210σεεN x b x b b Y +++=拟合数据, 其中2210,,,σb b b 与x 无关;(3) 求回归方程,ˆˆˆˆ2210x b x b b y ++=并作回归分析. 先输入数据bb={{10.0,25.2},{10.0,27.3},{10.0,28.7},{15.0,29.8},{15.0,31.1},{15.0,27.8},{20.0,31.2},{20.0,32.6}, {20.0,29.7},{25.0,31.7},{25.0,30.1},{25.0,32.3}, {30.0,29.4},{30.0,30.8},{30.0,32.8}};(1) 作散点图, 输入ListPlot[bb,PlotRange->{{5,32},{23,33}},AxesOrigin->{8,24}]则输出图2.3.图2.3(2) 作二元线性回归, 输入Regress[bb,{1,x,x^2},x,RegressionReport->{BestFit,ParameterCITable,SummaryReport}](*对数据bb 作回归分析, 回归函数为,2210x b x b b ++用{1,x,x^2}表示, 自变量为x, 参数0b ,1b ,2b 的置信水平为0.95的置信区间)执行后得到输出的结果:{bestFit->19.0333+1.00857x-0.020381x 2, ParameterCITable->Estimate SE CI119.0333 3.27755{11.8922,26.1745} x 1.00857 0.356431{0.231975,1.78517}x 2 -0.0203810.00881488{-0.0395869,-0.00117497}ParameterTable->Estimate SE Tstat PValue 119.03333.277555.807180.0000837856x 1.00857 0.356431 2.82964 0.0151859 x 2 -0.0203810.00881488-2.312110.0393258Rsquared->0.614021,AdjustedRSquared->0.549692, EstimatedVariance->2.03968,ANOV A Table->DF SumOfSqMeanSq Fratio PValue Mode1 2 38.937119.4686 9.54490.00330658Error 12 24.47622.03968Total14 63.4133从输出结果可见: 回归方程为,020381.000857.10333.192x x Y -+=.020381.0ˆ,00857.1ˆ,0333.19ˆ210-===b b b 它们的置信水平为0.95的置信区间分别是 (11.8922,26.1745),(0.231975,1.78517),(-0.0395869,-0.00117497).假设检验的结果是: 在显著性水平为0.95时它们都不等于零. 模型),0(~,22210σεεN x b x b b Y +++=中,2σ的估计为2.03968. 对模型参数T b b ),(21=β是否等于零的检验结果是: .0≠β因此回归效果显著.非线性回归例2.3 下面的数据来自对某种遗传特征的研究结果, 一共有2723对数据, 把它们分成8类后归纳为下表.36.1937.1991.2079.2115.2342.257.2908.3887654321917461203246071021579y x 遗传性指标分类变量频率研究者通过散点图认为y 和x 符合指数关系:,c ae y bx += 其中c b a ,,是参数. 求参数c b a ,,的最小二乘估计.因为y 和x 的关系不是能用Fit 命令拟合的线性关系, 也不能转换为线性回归模型. 因此考虑用(1)多元微积分的方法求c b a ,,的最小二乘估计; (2)非线性拟合命令NonlinearFit 求c b a ,,的最小二乘估计.(1) 微积分方法 输入Off[Genera1::spe11] Off[Genera1::spe111] Clear[x,y,a,b,c]dataset={{579,1,38.08},{1021,2,29.70},{607,3,25.42},{324,4,23.15},{120,5,21.79},{46,6,20.91},{17,7,19.37},{9,8,19.36}}; (*输入数据集*) y[x_]:=a Exp[b x]+c (*定义函数关系*)下面一组命令先定义了曲线c ae y bx +=与2723个数据点的垂直方向的距离平方和, 记为).,,(c b a g 再求),,(c b a g 对c b a ,,的偏导数,,,cgb g a g ∂∂∂∂∂∂分别记为.,,gc gb ga 用FindRoot 命令解三个偏导数等于零组成的方程组(求解c b a ,,). 其结果就是所要求的c b a ,,的最小二乘估计. 输入Clear[a,b,c,f,fa,fb,fc]g[a_,b_,c_]:=Sum[dataset[[i,1]]*(dataset[[i,3]]-a*Exp[dataset[[i,2]]*b]-c)^2,{i,1,Length[dataset]}] ga[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],a]; gb[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],b]; gc[a_,b_,c_]=D[g[a,b,c],c]; Clear[a,b,c]oursolution=FindRoot[{ga[a,b,c]==0,gb[a,b,c]==0,gc[a,b,c]==0},{a,40.},{b,-1.},{c,20.}](* 40是a 的初值, -1是b 的初值, 20是c 的初值*)则输出{a->33.2221,b->-0.626855,c->20.2913} 再输入yhat[x_]=y[x]/.oursolution则输出20.2913+33.2221x e 626855.0这就是y 和x 的最佳拟合关系. 输入以下命令可以得到拟合函数和数据点的图形:p1=Plot[yhat[x],{x,0,12},PlotRange->{15,55},DisplayFunction->Identity]; pts=Table[{dataset[[i,2]],dataset[[i,3]]},{i,1,Length[dataset]}]; p2=ListPlot[pts,PlotStyle->PointSize[.01],DisplayFunction->Identity]; Show[p1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出图2.4.图2.4(2) 直接用非线性拟合命令NonlinearFit 方法 输入data2=Flatten[Table[Table[{dataset[[j,2]],dataset[[j, 3]]},{i,dataset[[j,1]]}],{j,1,Length[dataset]}],1]; (*把数据集恢复成2723个数对的形式*)<<Statistics`w=NonlinearFit[data2,a*Exp[b*x]+c,{x},{{a,40},{b,-1},{c,20}}]则输出x e 626855.02221.332913.20-+这个结果与(1)的结果完全相同. 这里同样要注意的是参数c b a ,,必须选择合适的初值.如果要评价回归效果, 则只要求出2723个数据的残差平方和.)ˆ(2∑-i i yy 输入 yest=Table[yhat[dataset[[i,2]]],{i,1, Length[dataset]}];yact=Table[dataset[[i,3]],{i,1,Length[dataset]}]; wts=Table[dataset[[i,1]],{i,1,Length[dataset]}]; sse=wts.(yact-yest)^2 (*作点乘运算*)则输出59.9664即2723个数据的残差平方和是59.9664. 再求出2723个数据的总的相对误差的平方和.]ˆ/)ˆ[(2∑-i i i y yy 输入 sse2=wts.((yact-yest)^2/yest) (*作点乘运算)则输出2.74075由此可见, 回归效果是显著的.实验习题1.某乡镇企业的产品年销售额x 与所获纯利润y 从1984年的数据(单位:百万元)如下表3.225.207.174.157.135.117.94.83.84.65.43.349.328.294.241.214.176.147.104.95.71.69493929190898887868584y x 纯利润销售额年度 试求y 对x 的经验回归直线方程, 并作回归分析.2.在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中, 得到以下数据268.236.2221191815/95.080.070.055.040.030.010.0%/Ωμy x 电阻碳含量试求y 对x 的经验回归直线方程, 并作简单回归分析.(1) 画出散点图;(2) 求y 关于x 的线性回归方程,ˆˆˆx b a y+=并作回归分析; (3) 求0.14=x 时y 的置信水平为0.95的预测区间.4.下面给出了某种产品每件平均单价Y (单位:元)与批量x (单位:件)之间的关系的一组数 据18.120.121.124.126.130.140.148.155.165.170.181.1908075706560504035302520y x(i)作散点图. (ii)以模型),0(~,22210σεεN x b x b b Y +++=拟合数据, 求回归方程,ˆˆˆˆ2210x b x b b Y ++=并作简单回归分析.]。
计量经济学第6章假设检验
i1
n
或直接取自输出结果2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） F（列）”(399.09999)。(见表2.4.4)
有时S（回归系数的标准差，有时也记为 S e ）也可不写；t统计 量右上角*的表示显著性水平的大小，**一般表示在显著性水平 1％下显著，*一般表示在显著性水平5％下显著，无*表示5％下 不显著。
b1
L xx L yy
n
( x x ) ( y y ) 其 中 x y
i 1
L
n
L xx
L
yy
n
i 1
( xi x )2
i 1
( yi y )2
为x与y的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示x和y的线 性相 关关系的密切程度。其取值范围为|r| 1，即-1 r 1。 当r=-1时，表示x与y之间完全负相关； 当r=1时，表示x与y之间完全正相关； 当r=0时，表示x与y之间无线性相关关系，即说明x与y可 能无相关关系或x与y之间存在非线性相关关系。 5、四种检验的关系 前面介绍了t检验、拟合优度（ ）检验、 F检验和相关 R 2 系数（r）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证 明，这四种检验：
第二步：计算F统计量 因为ESS＝1602708.6 (计算过程见表2.4.3) 或直接取自输出结果 2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） SS（列）”(1602708.6)。
ˆ＝ RSS ( yi y )2 40158.071 (计算过程见计算表2.3.3) 或直接取
常见工程质量统计分析方法
常见工程质量统计分析方法引言工程质量的统计分析是为了帮助工程师和决策者了解工程工程的质量水平，从而采取相应的措施来提高工程质量。
本文将介绍几种常见的工程质量统计分析方法，包括质量控制图、假设检验和回归分析。
1. 质量控制图质量控制图是一种常用的工程质量统计方法，它能够对工程工程的质量数据进行监控和分析。
质量控制图主要有控制图和直方图两种类型。
1.1 控制图控制图是用来监控过程中质量特性的变化情况，通过绘制样本数据的点和控制限来判断过程是否处于统计控制状态。
常见的控制图有： -均值控制图：用于监控样本均值的变化情况； - 范围控制图：用于监控样本范围的变化情况。
1.2 直方图直方图是用来分析质量特性分布的一种方法，通过将数据分组并绘制柱状图来展示质量特性的分布情况。
2. 假设检验假设检验是一种以统计学为根底的工程质量统计方法，用于检验关于总体参数的假设。
假设检验的步骤包括： 1. 提出原假设和备择假设；2. 根据样本数据计算检验统计量的值；3. 根据检验统计量的分布和显著性水平进行假设判断。
常见的假设检验方法有： - 单样本 t 检验：用于检验一个样本的均值是否等于给定值； - 双样本 t 检验：用于检验两个样本的均值是否相等； - 方差分析：用于检验多个样本的均值是否相等。
3. 回归分析回归分析是一种用于研究因变量与一个或多个自变量之间关系的统计方法。
回归分析可以帮助工程师了解影响工程质量的因素，并预测工程质量的变化趋势。
常见的回归分析方法有： - 简单线性回归：用于研究一个自变量与因变量之间的关系； - 多元线性回归：用于研究多个自变量与因变量之间的关系； - Logistic 回归：用于研究因变量为二分类的情况。
结论工程质量的统计分析方法在工程实践中起着重要的作用，它能够帮助工程师和决策者了解工程工程的质量状况，从而采取相应的措施来提高工程质量。
本文介绍了几种常见的工程质量统计分析方法，包括质量控制图、假设检验和回归分析。
相关分析：直线回归相关及假设检验
zhengjinlai@
在待产妇尿中雌三醇含量和产儿体重之间 的关系中，知道了二者之间成正相关。 那么，如果我们知道了一位待产妇的尿雌 三醇含量，能推断出产儿的体重吗？或产 儿的体重可能在什么范围内呢？ 这要用直线回归的方法来解决。zhengjinlai@
相关与偏相关
16
zhengjinlai@
问题：我们能否得出结论？ 待产妇尿中雌三醇含量与产儿体重 之间成正相关，相关系数是0.61？ 为什么？
相关与偏相关
17
zhengjinlai@
三、相关系数的假设检验
上例中的相关系数r等于0.61，说明了31例样本中雌三醇含 量与出生体重之间存在相关关系。但是，这31例只是总 体中的一个样本，由此得到的相关系数会存在抽样误差。
相关与偏相关
13
zhengjinlai@
孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重之间的关系
4.5
4.0
3.5
3.0
产儿体重
2.5
2.0 0 10 20 30
尿雌三醇
相关与偏相关
14
zhengjinlai@
Correlations 尿 雌 三醇 Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N Pearson Correlation Sig. (2-tailed) N 尿 雌 三醇 产 儿 体重 1 .610** . .000 31 31 .610** 1 .000 . 31 31
相关与偏相关
8
zhengjinlai@
一、相关的类型
★正相关 ★负相关 ★完全正相关 ★完全负相关 ★零相关
zhengjinlai@
二、相关系数
第五章假设检验与回归分析
第五章假设检验与回归分析本章主要介绍了假设检验和回归分析两种统计方法。
一、假设检验假设检验是通过收集样本数据来对总体参数的假设进行推断的一种统计方法。
假设检验的步骤如下：1.建立原假设和备择假设：原假设是需要进行检验的参数的假设值，备择假设是对原假设的一种否定或补充。
通常将备择假设设置为我们要验证的假设。
2.收集样本数据：根据样本数据进行统计分析，并计算出检验统计量。
3.确定显著性水平：显著性水平是拒绝原假设的最大错误概率，通常取0.05或0.014.计算拒绝域的临界值：根据显著性水平和自由度，在统计表中查找检验统计量的临界值。
5.比较检验统计量和临界值：如果检验统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
二、回归分析回归分析是一种用于研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
它可以用来建立一个变量对另一个变量的预测模型。
回归分析的步骤如下：1.收集数据：根据需要收集自变量和因变量的数据。
2.建立模型：选择适当的回归模型，将自变量和因变量进行数学表达。
3.估计参数：使用最小二乘法等方法，对模型参数进行估计。
4.检验模型：通过检验模型的显著性水平，确定模型是否合理。
5.利用模型：使用估计的模型来进行预测和分析。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归两种。
简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量之间的关系，多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量之间的关系。
回归分析的应用非常广泛，可以用于市场营销、财务管理、经济预测等领域。
通过回归分析，可以找到影响因变量的主要因素，并对未来的变化进行预测。
总之，假设检验和回归分析是统计学中两种重要的方法。
假设检验用于对总体参数的假设进行验证，回归分析用于研究变量之间的关系。
这两种方法在实际应用中具有广泛的价值。
统计学中的假设检验方法应用
统计学中的假设检验方法应用假设检验是统计学中一种常用的推断方法，用于检验关于总体参数的假设。
它基于样本数据，通过对比样本观察值与假设的理论值之间的差异，来确定是否拒绝或接受一些假设。
假设检验在实际应用中广泛使用，以下是一些常见的应用：1.平均值检验：平均值检验用于检验总体平均值是否等于一些特定值。
例如，一个医疗研究想要检验其中一种药物的疗效，可以控制一个实验组和一个对照组，然后收集两组患者的项指标数据（如血压）并计算均值，然后利用假设检验来判断两组是否存在显著差异。
2.方差检验：方差检验用于检验不同总体的方差是否相等。
例如，一个制造业公司想要比较两个供应商提供的原材料的质量是否一致，可以从这两个供应商中分别抽取样本，然后对比两组样本的方差，通过假设检验来判断两个供应商的方差是否有显著差异。
3.比例检验：比例检验用于检验两个总体比例是否相等。
例如，一个选举调查机构想要了解两个候选人在选民中的支持率是否相同，可以进行随机抽样并询问选民的偏好，然后利用假设检验来判断两个候选人的支持率是否存在显著差异。
4.相关性检验：相关性检验用于检验两个变量之间的相关关系是否显著。
例如，一个市场研究公司想要了解广告投入与销售额之间的关系，可以收集一定时间内的广告投入和销售额的数据，并进行相关性检验来判断两者之间是否存在显著的线性关系。
5.回归分析：假设检验在回归分析中也有广泛应用。
通过假设检验可以判断回归模型中的参数估计是否显著，进而判断自变量对因变量的影响是否存在统计学意义。
例如，一个经济学研究想要检验GDP（自变量）对于失业率（因变量）的影响，可以建立回归模型并通过假设检验来判断GDP系数是否显著。
在应用中，假设检验的步骤通常包括以下几个部分：明确研究问题、建立原假设和备择假设、选择适当的检验统计量、设定显著水平、计算检验统计量的观察值、根据观察值和临界值的比较结果进行决策、得出结论。
需要注意的是，假设检验的结果并不能确定假设是正确的或错误的，它只是根据样本数据提供了统计学上的证据。
假设检验与回归分析
假设检验与回归分析假设检验和回归分析是统计学中广泛应用的两种分析方法。
虽然它们在目的和方法上有所不同，但却都是帮助统计学家和研究者评估和理解数据的工具。
本文将对假设检验和回归分析进行详细介绍，并比较它们之间的异同点。
假设检验是一种统计方法，用于对来自总体的样本数据进行推断。
通过分析样本数据和总体参数之间的差异，可以确定其中一种断言是否可接受或拒绝。
假设检验分为两个假设，即原假设和备择假设。
原假设是对总体参数的一种假设，而备择假设则是对原假设的对立假设。
在进行假设检验时，我们首先假设原假设成立，然后使用样本数据来评估这种假设的合理性。
如果样本数据与原假设相符，我们将接受原假设；如果样本数据与原假设相矛盾，我们将拒绝原假设。
假设检验可以帮助研究者确定是否需要调整研究设计或采取其他措施来获得更准确的结果。
回归分析是一种统计方法，用于探索和建立变量之间的关系。
通过分析一个或多个自变量对因变量的影响，可以预测或解释因变量的变化。
回归分析常用于预测和解释因果关系，它可以帮助研究者理解变量之间的相互作用，以及它们对研究结果的影响程度。
回归分析的基本思想是建立一个数学模型，该模型通过调整自变量的值来预测因变量的值。
常用的回归方法有线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
在统计学中，假设检验和回归分析都有严格的数学理论和统计方法支持。
它们广泛应用于各个领域，包括社会科学、医学、经济学等。
通过使用这些工具，研究者可以在数据中发现模式和关联，以便更好地理解现象或构建模型。
然而，假设检验和回归分析也存在一些区别。
假设检验主要关注样本数据和总体参数之间的差异，而不关注变量之间的关系。
它通常使用一个或两个样本来评估总体参数的合理性。
相比之下，回归分析更多地关注变量之间的关系，并通过建立一个数学模型来预测或解释因变量的变化。
它通常使用多个自变量来解释因变量的变化，并评估它们对研究结果的影响。
总之，假设检验和回归分析是统计学中常用的两种分析方法。
假设检验和归纳分析的优势和不足
假设检验和归纳分析的优势和不足在过去的研究中，假设检验被广泛应用于医学和心理学等领域，用来预测未来可能发生的事件。
在很多研究中，假定变量之间不存在因果关系，并且假设检验和归纳分析被广泛使用，可以用于检验模型和假设。
假设检验通常被用于描述统计学方法中发现不正确或者不一致情况的一种方法或过程，但是如果我们要分析某些现象就必须用假设检验，或者归纳分析了。
这种方法叫做假设检验，也叫做“推导”，是一种很重要、很有意义、但不常见的分析方法。
其主要是通过使用统计方法对某个假设进行检验来描述某个变量在其回归模型中的解释，而不是仅仅针对某一种现象。
假设检验是指统计方法中使用的检验方法有观察检验和实验检验之分。
观察检验类似于经典的非参数检验，通过观察检验样本和经验。
其结果与假设之间没有显著差异或存在显著差异。
采用观察检验可以帮助研究者更准确地预测可能发生的结果，或者通过比较可能发生的事件来了解不同人群对同一事件产生差异所采用的方式。
如果这两种方法出现差异时则要采取措施来解决研究中可能出现的问题，如是否存在解释因果关系或其他情况。
需要采用多元回归来发现不同结果之间是否存在差异。
例如一名志愿者如果出现意外死亡后，可能会通过多种方式影响他的社会行为。
如果实验被证明是有效的并且他也希望能维持这一结果也是有效的时可以有其他可能会导致类似的结果。
.......级的发生。
假设检验的优势在于他能提供一个客观、公正的数据描述事件的过程和结果；它对实验的研究结果和解释可能造成的潜在危害进行说明；可以避免被不恰当的假设来解释某些模型是合理的。
....!...,,..""或.可能使数据发生偏差。
）。
”.另外就是一些研究没有得到明确评价（而有些人可能会说了）或者是忽略了一些问题而不是对结果造成影响或原因。
........等等。
.......因此这种情况下需要一个标准来决定实验1.优势归纳分析，简单地说就是从某一特定的数学方法出发，对某种现象进行分类研究，以获得结果的方法。
实证研究中的统计学方法与技巧
实证研究中的统计学方法与技巧统计学作为一种科学方法和技术工具，在实证研究中起着重要的作用。
通过收集、整理和分析数据，统计学能够提供客观的信息和结论，以支持决策和研究的需求。
本文将重点介绍实证研究中常用的统计学方法与技巧，以及它们的应用。
一、描述统计方法与技巧描述统计是统计学最基本的分析方法，它通过概括和总结数据的特征，提供对数据的直观认识。
常见的描述统计方法包括：1. 平均数：平均数是一组数据的总和除以观测数量，它能够反映数据的集中趋势。
在实证研究中，平均数经常用于描述样本的中心位置。
2. 中位数：中位数是将一组数据按照大小排序后的中间值，它可以克服平均数对极端值的敏感性。
中位数适用于偏态数据或存在离群点的情况。
3. 众数：众数是一组数据中出现频率最高的值，它能够反映数据的集中趋势和典型特征。
众数常用于描述离散型数据。
4. 方差与标准差：方差和标准差度量了数据的离散程度。
方差是每个观测值与平均值之差的平方和的平均值，标准差是方差的平方根。
方差与标准差越大，数据的离散程度就越高。
二、推断统计方法与技巧推断统计是将样本结果推广到总体，并对推断的可靠性进行评估的方法。
通过推断统计，研究者可以利用样本数据推断总体参数，做出一些关于总体的概括性描述。
常见的推断统计方法包括：1. 参数估计：参数估计是通过样本数据估计总体参数的值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
点估计是利用样本数据得出单个数字的估计值，区间估计是给出参数值的区间范围。
2. 假设检验：假设检验用于检验一个或多个关于总体的假设。
通过设置原假设和备择假设，并利用样本数据计算得出的统计量，来判断原假设是否应该被拒绝。
3. 方差分析：方差分析用于比较两个或多个总体均值之间的差异。
通过比较组间差异与组内差异之间的比值，来判断总体均值是否有显著差异。
4. 回归分析：回归分析用于研究因变量与自变量之间的关系。
通过建立回归模型，估计自变量对因变量的影响程度，并进行显著性检验。
假设检验项目八假设检验、回归分析与方差分析
项目八 假设检验、回归分析与方差分析实验1 假设检验实验目的 掌握用Mathematica 作单正态总体均值、方差的假设检验, 双正态总体的均值差、方差比的假设检验方法, 了解用Mathematica 作分布拟合函数检验的方法.基本命令1.调用假设检验软件包的命令<<Statistics\HypothesisTests.m输入并执行命令<<Statistics\HypothesisTests.m2.检验单正态总体均值的命令MeanTest命令的基本格式为MeanTest[样本观察值,0H 中均值0μ的值, TwoSided->False(或True), Known Variance->None (或方差的已知值20σ),SignificanceLevel->检验的显著性水平α,FullReport->True]该命令无论对总体的均值是已知还是未知的情形均适用.命令MeanTest 有几个重要的选项. 选项Twosided->False 缺省时作单边检验. 选项Known Variance->None 时为方差未知, 所作的检验为t 检验. 选项Known Variance->20σ时为方差已知(20σ是已知方差的值), 所作的检验为u 检验. 选项Known Variance->None 缺省时作方差未知的假设检验. 选项SignificanceLevel->0.05表示选定检验的水平为0.05. 选项FullReport->True 表示全面报告检验结果.3.检验双正态总体均值差的命令MeanDifferenceTest命令的基本格式为MeanDifferenceTest[样本1的观察值,样本2的观察值,0H 中的均值21μμ-,选项1,选项2,…]其中选项TwoSided->False(或True), SignificanceLevel->检验的显著性水平α,FullReport->True 的用法同命令MeanTest 中的用法. 选项EqualVariances->False(或True)表示两个正态总体的方差不相等(或相等).4.检验单正态总体方差的命令VarianceTest命令的基本格式为VarianceTest[样本观察值,0H 中的方差20σ的值,选项1,选项2,…]该命令的选项与命令MeanTest 中的选项相同.5.检验双正态总体方差比的命令VarianceRatioTest命令的基本格式为VarianceRatioTest[样本1的观察值,样本2的观察值,0H 中方差比2221σσ的值,选项1,选项2,…] 该命令的选项也与命令MeanTest 中的选项相同.注: 在使用上述几个假设检验命令的输出报告中会遇到像OneSidedPValue->0.000217593这样的项,它报告了单边检验的P 值为0.000217593. P 值的定义是: 在原假设成立的条件下, 检验统计量取其观察值及比观察值更极端的值(沿着对立假设方向)的概率. P 值也称作“观察”到的显著性水平. P 值越小, 反对原假设的证据越强. 通常若P 低于5%, 称此结果为统计显著; 若P 低于1%,称此结果为高度显著.6.当数据为概括数据时的假设检验命令当数据为概括数据时, 要根据假设检验的理论, 计算统计量的观察值, 再查表作出结论. 用以下命令可以代替查表与计算, 直接计算得到检验结果.(1)统计量服从正态分布时, 求正态分布P 值的命令NormalPValue. 其格式为NormalPValue[统计量观察值,显著性选项,单边或双边检验选项](2)统计量服从t 分布时, 求t 分布P 值的命令StudentTPValue. 其格式为StudentTPValue[统计量观察值,自由度,显著性选项,单边或双边检验选项](3)统计量服从2χ分布时, 求2χ分布P 值的命令ChiSquarePValue. 其格式为ChiSquarePValue[统计量观察值,自由度,显著性选项,单边或双边检验选项](4)统计量服从F 分布时, 求F 分布P 值的命令FratioPValue. 其格式为FratioPValue[统计量观察值,分子自由度,分母自由度,显著性选项,单边或双边检验选项](5)报告检验结果的命令ResultOfTest. 其格式为ResultOfTest[P 值,显著性选项,单边或双边检验选项,FullReport->True]注:上述命令中, 缺省默认的显著性水平都是0.05, 默认的检验都是单边检验.实验举例单正态总体均值的假设检验(方差已知情形)例 1.1 (教材 例 1.1) 某车间生产钢丝, 用X 表示钢丝的折断力, 由经验判断),(~2σμN X , 其中228,570==σμ, 今换了一批材料, 从性能上看, 估计折断力的方差2σ不会有什么变化(即仍有228=σ), 但不知折断力的均值μ和原先有无差别. 现抽得样本, 测得其折断力为578 572 570 568 572 570 570 572 596 584取,05.0=α试检验折断力均值有无变化?根据题意, 要对均值作双侧假设检验570:,570:10≠=μμH H输入<<Statistics\HypothesisTests.m 执行后, 再输入data1={578,572,570,568,572,570,570,572,596,584};MeanTest[data1,570,SignificanceLevel->0.05,KnownVariance->64,TwoSided->True,FullReport->True](*检验均值, 显著性水平05.0=α, 方差083.02=σ已知*) 则输出结果{FullReport->MeanTestStat Distribution 575.2 2.05548 NormalDistribution[]TwoSidedPValue->0.0398326,Reject null hypothesis at significance level ->0.05}即结果给出检验报告: 样本均值2.575=x , 所用的检验统计量为u 统计量(正态分布),检验统计量的观测值为 2.05548, 双侧检验的P 值为0.0398326, 在显著性水平05.0=α下, 拒绝原假设, 即认为折断力的均值发生了变化.例 1.2 (教材 例 1.2) 有一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命X 服从正态分布)40000,(μN , 根据以往的生产经验, 知道灯管的平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿命, 工厂采用了新的工艺. 为了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命,他们测试了采用新工艺生产的25只灯管的寿命. 其平均值是1575小时, 尽管样本的平均值大于1500小时, 试问: 可否由此判定这恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿命较长呢?根据题意, 需对均值的作单侧假设检验 1500:,1500:10>≤μμH H检验的统计量为 n X U /0σμ-=, 输入 p1=NormalPValue[(1575-1500)/200*Sqrt[25]]ResultOfTest[p1[[2]],SignificanceLevel ->0.05,FullReport ->True]执行后的输出结果为OneSidedPValue ->0.0303964{OneSidedPValue->0.0303964,Fail to reject null hypothesis at significance level ->0.05}即输出结果拒绝原假设单正态总体均值的假设检验(方差未知情形)例1.3 (教材 例1.3) 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是50kg, 某日开工后随机抽查了9袋, 称得重量如下:49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2设每袋重量服从正态分布, 问包装机工作是否正常(05.0=α)?根据题意, 要对均值作双侧假设检验:50:;50:10≠=μμH H输入data2={49.6,49.3,50.1,50.0,49.2,49.9,49.8,51.0,50.2};MeanTest[data2,50.0,SignificanceLevel ->0.05,FullReport ->True](*单边检验且未知方差,故选项TwoSided,KnownVariance 均采用缺省值*)执行后的输出结果为{FullReport->Mean TestStat Distribution,49.9 -0.559503 StudentTDistribution[8]OneSidedPValue ->0.295567,Fail to reject null hypothesis at significance level ->0.05}即结果给出检验报告: 样本均值9.49=X , 所用的检验统计量为自由度8的t 分布(t 检验),检验统计量的观测值为-0.559503, 双侧检验的P 值为0.295567, 在显著性水平05.0=α下, 不拒绝原假设, 即认为包装机工作正常.例1.4 (教材 例1.4) 从一批零件中任取100件,测其直径,得平均直径为5.2,标准差为1.6.在显著性水平05.0=α下,判定这批零件的直径是否符合5的标准. 根据题意, 要对均值作假设检验: .5:;5:10≠=μμH H 检验的统计量为n s X T /0μ-=, 它服从自由度为1-n 的t 分布. 已知样本容量,100=n 样本均值2.5=X , 样本标准差6.1=s .输入StudentTPValue[(5.2-5)/1.6*Sqrt[100],100-1,TwoSided->True]则输出TwoSidedPValue->0.214246 即P 值等于0.214246, 大于0.05, 故不拒绝原假设, 认为这批零件的直径符合5的标准.单正态总体的方差的假设检验例1.5 (教材 例1.5) 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表征. 方差越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在64(kg 2)与64以下. 最近从一批产品中抽取10根作折断力试验, 测得的结果(单位为千克) 如下:578 572 570 568 572 570 572 596 584 570 由上述样本数据算得74.75,2.5752==s x .为此, 厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了. 如确实增大了, 表明生产精度不如以前, 就需对生产流程作一番检验, 以发现生产环节中存在的问题.根据题意, 要对方差作双边假设检验:64:;64:2120>≤σσH H 输入 data3={578,572,570,568,572,570,572,596,584,570};VarianceTest[data3,64,SignificanceLevel->0.05,FullReport->True](*方差检验,使用双边检验,05.0=α*)则输出{FullReport->Variance TestStat Distribution75.7333 10.65 ChiSquareDistribution[9]OneSidedPValue->0.300464,Fail to reject null hypothesis at significance level->0.05}即检验报告给出: 样本方差,7333.752=s 所用检验统计量为自由度4的2χ分布统计量(2χ 检验), 检验统计量的观测值为10.65, 双边检验的P 值为0.300464, 在显著性水平05.0=α 时, 接受原假设, 即认为样本方差的偏大系偶然因素, 生产流程正常, 故不需再作进一步的 检查.例1.6 (教材 例1.6) 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命(以小时计) 长期以来服从方差50002=σ的正态分布, 现有一批这种电池, 从它的生产情况来看, 寿命的波动性有所改变. 现随机取26只电池, 测出其寿命的样本方差92002=s .问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化(取02.0=α)?根据题意, 要对方差作双边假设检验: 5000:;5000:2120≠=σσH H 所用的检验统计量为,)1(2022σχS n -=它服从自由度为1-n 的2χ分布.已知样本容量,26=n 样本方差.92002=s输入ChiSquarePValue[(26-1)*9200/5000, 26-1,TwoSided->True]则输出TwoSidedPValue->0.0128357.即P 值小于0.05, 故拒绝原假设. 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化.双正态总体均值差的检验(方差未知但相等)例1.7 (教材 例1.7) 某地某年高考后随机抽得15名男生、12名女生的物理考试成绩如下: 男生: 49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40女生: 46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34从这27名学生的成绩能说明这个地区男女生的物理考试成绩不相上下吗?(显著性水平05.0=α).根据题意, 要对均值差作单边假设检验:211210:,:μμμμ≠=H H输入 data4={49.0,48,47,53,51,43,39,57,56,46,42,44,55,44,40};data5={46,40,47,51,43,36,43,38,48,54,48,34};MeanDifferenceTest[data4,data5,0,SignificanceLevel->0.05,TwoSided->True,FullReport->True,EqualVariances->True,FullReport->True](*指定显著性水平05.0=α,且方差相等*) 则输出{FullReport->MeanDiff TestStat Distribution3.6 1.56528 tudentTDistribution[25],OneSidedPValue->0.13009,Fail to reject null hypothesis at significance level->0.05}即检验报告给出: 两个正态总体的均值差为3.6, 检验统计量为自由度25的t 分布(t 检验),检验统计量的观察值为1.56528, 单边检验的P 值为0.13009, 从而没有充分理由否认原假 设, 即认为这一地区男女生的物理考试成绩不相上下.双正态总体方差比的假设检验例1.8 (教材 例1.8) 为比较甲、乙两种安眠药的疗效, 将20名患者分成两组, 每组10人, 如服药后延长的睡眠时间分别服从正态分布, 其数据为(单位:小时):甲: 5.5 4.6 4.4 3.4 1.9 1.6 1.1 0.8 0.1 -0.1乙: 3.7 3.4 2.0 2.0 0.8 0.7 0 -0.1 -0.2 -1.6问在显著性水平05.0=α下两重要的疗效又无显著差别.根据题意, 先在21,μμ未知的条件下检验假设:2221122210:,:σσσσ≠=H H输入 list1={5.5,4.6,4.4,3.4,1.9,1.6,1.1,0.8,0.1,-0.1};。
第3章 多元回归分析：假设检验
7
The t Test (cont)
To perform our test we first need to form " the" t statistic for β : t ≡ β se β
j
βjBiblioteka j( )j
We will then use our t statistic along with a rejection rule to determine whether to accept the null hypothesis, H 0
fail to reject
(
( ) )
(
( ) )
reject
α/2 -c
(1 α)
0 c
reject α/2
15
Summary for H0: βj = 0
Unless otherwise stated, the alternative is assumed to be two-sided If we reject the null, we typically say “xj is statistically significant at the α % level” If we fail to reject the null, we typically say “xj is statistically insignificant at the α % level”
j j
) ( )
j
n k 1
Note this is a t distribution (vs normal) 2 because we have to estimate σ by σ
2
Note the degrees of freedom : n k 1 se β j =
假设检验与回归分析
线性回归分析是最常用的回归 分析方法之一，它通过建立线 性方程来描述因变量和自变量
之间的关系。
在线性回归分析中，自变量 和因变量之间的关系被假设 为线性关系，即因变量的变 化与自变量的变化成正比。
线性回归分析的优点是简单易 懂，易于解释，适合处理连续
型数据。
非线性回归分析
非线性回归分析是指因变量和自变量之间的关系不是线性关系的回归分析 方法。
的变化，以评估政策效果。
预测经济趋势
02
基于历史数据，通过建立回归模型预测未来经济走势，为决策
提供依据。
评估市场供需关系
03
通过假设检验分析市场供需关系，了解市场变化趋势，为企业
制定生产计划提供参考。
医学研究中的应用
病因研究
通过假设检验分析疾病与潜在病因之间的关系，为预防和治疗提 供依据。
疗效评估
产品定价
基于假设检验分析产品价格与市场需求的关系，为企业制定合理的产 品定价策略提供支持。
05 结论
本章总结
假设检验与回归分析是统计学中常用的数 据分析方法，它们在科学研究、工程实践 和商业分析等领域有着广泛的应用。
回归分析是用来研究变量之间关系的一种统 计方法，通过建立数学模型来描述因变量和 自变量之间的关系，并可用于预测和解释数 据。
假设检验是通过样本数据来检验关于总 体参数的假设是否成立的一种统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两类。
在实际应用中，假设检验和回归分析 可以步工作建议
深入学习统计学原理和方法， 掌握更多高级的统计技术，以 便更好地应用在实际问题中。
在实践中多加练习，通过实际 案例来加深对假设检验和回归 分析的理解和应用能力。
利用回归分析方法比较不同治疗方案的效果，为医生选择最佳治 疗方案提供参考。
数据分析方法论是什么？
重点包括两块，一块是统计分析方法论：描述统计、假设检验、相关分析、方差分析、回归分析、聚类分析、判别分析、主成分与因子分析、时间序列分析、决策树等；一块是营销管理常用分析方法论：SWOT、4P、PEST、SMART、5W2H、User behavior等。
一、统计分析方法论：1.描述统计（Descriptive statistics）：描述统计是通过图表或数学方法，对数据资料进行整理、分析，并对数据的分布状态、数字特征和随机变量之间关系进行估计和描述的方法。
目的是描述数据特征，找出数据的基本规律。
描述统计分为集中趋势分析和离中趋势分析和相关分析三大部分。
（1）数据的频数分析：在数据的预处理部分，我们曾经提到利用频数分析和交叉频数分析来检验异常值。
此外，频数分析也可以发现一些统计规律。
比如说，收入低的被调查者用户满意度比收入高的被调查者高，或者女性的用户满意度比男性低等。
不过这些规律只是表面的特征，在后面的分析中还要经过检验。
（2）数据的集中趋势分析：数据的集中趋势分析是用来反映数据的一般水平，常用的指标有平均值、中位数和众数等。
各指标的具体意义如下：平均值：是衡量数据的中心位置的重要指标，反映了一些数据必然性的特点，包括算术平均值、加权算术平均值、调和平均值和几何平均值。
中位数：是另外一种反映数据的中心位置的指标，其确定方法是将所有数据以由小到大的顺序排列，位于中央的数据值就是中位数。
众数：是指在数据中发生频率最高的数据值。
如果各个数据之间的差异程度较小，用平均值就有较好的代表性；而如果数据之间的差异程度较大，特别是有个别的极端值的情况，用中位数或众数有较好的代表性。
（3）数据的离散程度分析：数据的离散程度分析主要是用来反映数据之间的差异程度，常用的指标有方差和标准差。
方差是标准差的平方，根据不同的数据类型有不同的计算方法。
（4）数据的分布：在统计分析中，通常要假设样本的分布属于正态分布，数据的正态性离群值检验，已知标准差Nair检验，未知标准差时，有Grubbs检验，Dixon检验，偏度-峰度法等。
假设检验和回归分析在生物科学中的应用
假设检验和回归分析在生物科学中的应用在生物科学中，我们需要使用统计分析来处理数据，了解数据之间的关系以及确定它们之间的可靠性。
假设检验和回归分析是两个最常见的统计分析方法，在生物科学中非常重要。
本文将探讨假设检验和回归分析在生物科学中的应用。
一、假设检验在生物科学中的应用假设检验是一种统计方法，用于确定我们的数据是否真正具有意义。
它通过比较我们的数据集和一个已知数据集，来判断我们的数据是否存在显著差异。
在生物科学中，我们经常使用假设检验来确定两组样本之间的差异。
例如，在药物试验中，我们经常需要比较一组接受药物治疗的患者和一组接受安慰剂治疗的患者的反应。
使用假设检验，我们可以确定是否存在显著差异，因此我们可以得出药物治疗是否有效的结论。
另一个例子是比较两个品种的植物的生长速度。
使用假设检验，我们可以确定两个品种之间是否存在差异。
这种方法有助于确定哪个品种最适合特定的培植环境，并可以帮助农民生产更好的农作物。
二、回归分析在生物科学中的应用回归分析是一种统计方法，用于确定两个或多个变量之间的关系。
对于生物科学家来说，这意味着我们可以看到一个变量如何随另一个变量的变化而变化。
例如，在一项研究中，研究者可能会研究植物的生长速度与土地的肥力之间的关系。
通过回归分析，他们可以确定两个变量之间的关系，并可以使用这个关系来预测未来的生长速度。
同样，我们也可以使用回归分析来确定药物剂量与疗效之间的关系，或者确定血清素水平与情绪状况之间的关系。
回归分析在生物科学中的应用非常广泛，我们可以通过它来了解变量之间的关系，以及对未来进行预测。
三、假设检验和回归分析的联合应用在实际应用中，假设检验和回归分析经常一起使用。
假设检验可以确定两个变量之间是否存在显著差异，而回归分析可以确定这个差异的程度。
这可以帮助我们更深入地了解变量之间的关系。
例如，在一项研究中，研究者可能会分析不同药物剂量对某种疾病的治疗效果。
使用假设检验，他们可以确定不同剂量的药物是否具有显著差异。
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0.05 下，检验这批袋装面粉的平均重量 显著合乎标准是否
成立。
第五章
假设检验与回归分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解 这是检验正态总体数学期望 是否为 25 ，其零假设 H 0 与 备择假设 H 1 分别记作
H 0 ： 25 ，
H 1 ： 25
2
由于已知正态总体方差
0.02 ，因此此假设检验为 U
2
(128 125) 2 (123 125) 2 (124 125) 2 ]
7.33 2.712
得到 T 的观测值 t
x 0 s
125 124 7 0.976 n 2.71
第五章
假设检验与回归分析
它没有落入拒绝域内，于是不能拒绝零假设 H 0 ，而应接受零 假设 H 0 ，即可以认为 124 。所以可以认为这块土地的面 积 显著为 124m 。
第五章 假设检验与回归分析
§5.1 假设检验的概念
§5.2 一个正态总体的假设检验
§5.1 假设检验的概念
一、假设检验的基本原理
二、假设检验的两类错误
三、假设检验的步骤
第五章
假设检验与回归分析
一、假设检验的基本原理
首先提出原假设 H 0 ，其次在 H 0 成立的条件下，考虑已经观测到 的样本信息出现的概率。如果这个概率很小，这就表明一个概率很小 的事件在一次实验中发生了。而小概率原理认为，概率很小的事件在 一次实验中几乎是不发生的，也就是说在 H 0 成立的条件下导出了一个 违背小概率原理的结论，这表明假设 H 0 是不正确的，因此拒绝 H 0 ， 否则接受 H 0 。
它没有落入拒绝域，于是不能拒绝零假设 H 0 ，而应接受零假 设 H 0 ，即可以认为 2000 。
所以可以认为这批电子元件的平均使用寿命 显著不 低于 2000 小时。
第五章
假设检验与回归分析
二、 T 检验
未知正态总体 X 的方差 ，对数学期望 作假设检验
2
（1） H 0 ： （2） H 0 ： （3） H 0 ：
得到U 变量的观测值
u x 0
0
25.03 25 10 0.68 n 0.14
它没有落入拒绝域，于是不能拒绝零假设 H 0 ，而应接受 零假设 H 0 ，即可以认为 25 。
所以可以认为这批袋装面粉的平均重量 显著合乎标准。
第五章
假设检验与回归分析
例 2、已知某厂生产某种型号电子元件的使用寿命 X 小时服从正态分 布 N ( ,302 ) ，从一批电子元件中随机抽取16 只，测量其平均使用寿 命为 1990 小时，试在检验水平 0.01 下，检验这批电子元件的平均 使用寿命 显著不低于 2000 小时是否成立。
成立。这说明事件 U 1.96 是一个小概率事件，于是得到 拒绝域 u 1.96
2
计算样本均值 1 x (24.9 25.0 25.1 25.2 25.2 25.1 25.0 24.9 24.8 25.1) 10 25.03
第五章
假设检验与回归分析
0
X 2000 n 16 ～ N (0,1) 30
P U 2.33 0.01
成立。这说明事件 U 2.33 是一个小概率事件，于是得到 拒绝域 u 2.33
所给样本均值 x 1990 ，得到 U 变量的观测值
第五章
u x 0
假设检验与回归分析
0
1990 2000 16 1.33 n 30
解 这是检验这块土地面积即测量数据构成的正态总体数学期望
是否124 ，其零假设 H 0 与备择假设 H 1 分别记作
H 0 ： 124 ，
H 1 ： 124
第五章
X 0 T S
假设检验与回归分析
X 124 n 7 ～ t (6) S
查 t 分布双侧分位数表，在在表中第一行找到概率值 p
检验。所给正态总体标准差 0
0.02 0.14，样本容
量 n 10 ，当零假设 H 0 成立时，构造变量
U
X 0
0
X 25 n 10 ～ N (0,1) 0.14
第五章
假设检验与回归分析
由所给检验水平 0.05 查标准正态分布表得到对应的双侧 分位数 u 1.96 ，使得概率等式 P U 1.96 0.05
(n 1)S 2
步骤 3：由所给检验水平 的值查 2 分布上侧分位数表求出对应 的 分布分位数 1 , 2 (1
2
0
2
～ (n 1)
2
2 ) 的值，构造小概率事件，得到
拒绝域；
第五章
假设检验与回归分析
步骤 4：明确或计算样本方差 s 2 ，得到 2 变量的观测值
（1） H 0 ： （2） H 0 ： （3） H 0 ：
0 ， H1 ： 0 0 ， H1 ： 0 0 ， H1 ： 0
第五章
假设检验与回归分析
U 检验的步骤：
步骤 1：提出零假设 H 0 ：
0 与备择假设 H 1 ；
步骤 2：明确所给正态总体标准差 0 值、样本容量 n 的 值，当零假设 H 0 成立时，构造变量
小结与提问：
理解假设检验的基本原理、概念；掌握假设检验的步骤。
课外作业：
P249 习题五 5.01, 5.02，5.03。
§5.2 一个正态总体的假设检验
一、U检验
二、T检验
三、
2
检验
第五章
一、 U 检验
假设检验与回归分析
2
已知正态总体 X 的方差 2 0 ，对数学期 望 作假设检验
解 这是检验正态总体数学期望 是否不小于 2000 ，即检验关系 式 2000是否成立，其对立检验关系式为 2000，因此零 假设 H 0 与备择假设 H 1 分别记作
第五章
H 0 ： 2000 ，
假设检验与回归分析
H 1 ： 2000
这种情况下的零假设 H 0 所代表的检验关系式中不等号可以 省略不写，记作
第五章
假设检验与回归分析
二、假设检验的两类错误
第一类错误（弃真错误） ： H 0 为真而拒绝 H 0 ，
第二类错误（取伪错误） ： H 0 不真而接受 H 0 。
在给定样本容量的情况下，一般来说，我们总是控制犯第一类 错误的概率，使它不大于 ，即令 P 当H0为真拒绝H0 ， 通常取 0.1,0.05,0.01 等。这种只对犯第一类错误的概率加以控制。 而不考虑犯第二类错误的概率的检验，成为显著性检验。 是一 个事先指定的小的正数，称为显著性水平或检验水平。
第五章
假设检验与回归分析
例 2、某箱子中有白球及黑球，总数为 100，但不知白球 及黑球各占多少。现提出假设 H 0 ：其中 99 个是白球
现在根据假设检验的基本原理来判断这个假设是否成立。先 假设 H 0 成立（ H 0 为真） ，那么“从箱子中任取一球，取得黑球” 这一事件的概率为 0.01 ，我们认为这是一个小概率事件。如果抽 一球居然抽得是黑球，那么就应该拒绝 H 0 ，即认为白球的个数不 是 99。如果抽一球抽得是白球，此时没有拒绝 H 0 的理由，则接 受 H0 。
2
(n 1)s 2
0
2
若观测值 2 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设
第五章
假设检验与回归分析
例1、 已知某面粉自动装袋机包装面粉，每袋面粉重量 Xkg 服从正态分布 N (25,0.02) ，长期实践表明方差 比较稳定，从
2
某日所生产的一批袋装面粉中随机抽取10 袋，测量其重量分别为
24.9,25.0,25.1,25.2,25.2,25.1,25.0,24.9,24.8,25.1 试在检验水平
n ～ t (n 1)
步骤 3：由所给检验水平 的值查 t 分布双侧分位数表求出对应的 双侧分位数 t 的值或上侧分位数 t 的值，构造小概率事件，得到
2
拒绝域；
第五章
假设检验与回归分析
2
步骤 4：明确或计算样本均值 x 、样本方差 s ，得到 T
x 0 n 变量的观测值 t s 若观测值 t 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设 H 1 ，
解 H0: 0 12
H1: 0
x 0 u 拒绝域为 n 2
0.05 ， u 1.96 ，
2
第五章
假设检验与回归分析
x 0 12.5 12 5 u 1.96 n 1 100 2
故拒绝 H 0 ，即认为产品平均质量有显著变化。
U
X 0
0
n ～ N (0,1)
第五章
假设检验与回归分析
步骤 3：由所给检验水平 的值查标准正态分布表求出对应 的双侧分位数 u 的值或上侧分位数 u 的值，构造小概率事
2
件，得到拒绝域；
步骤 4：明确或计算样本均值 x ，得到 U 变量的观测值
u
x 0
0
n
若观测值 u 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设 H 1 ， 否则不能拒绝零假设 H 0 。
0.10 ，再在表中第一列找到自由度 m n 1 7 1 6 ，
其纵横交叉处的数值即为对应的 t 分布双侧分位数 t 1.943
2
，使得概率等式
0.10 PT 1.943
t 1.943
成立。这说明事件 T 1.943是一个小概率事件，于是得到 拒绝域