人工变量单纯形法之两阶段单纯形法
第3章09-人工变量法之两阶段法
第3章09人工变量法之两阶段法同学们大家好，今天我们继续来学习，人工变量法这一小节。
现在我们再来看第二个方法——两阶段法。
大M 法和两阶段法实际上各有优缺点，大M 法的原理很清晰，但是在用计算机求解时，对M 只能输入一个很大字长的数字，而模型的参数与M 有可能比较接近，从而可能会在计算过程中发生一些错误。
而两阶段法不需要设定大M ，不会发生这个问题，所以，计算机程序中一般都采用两阶段法。
两阶段法，顾名思义，就是把求解过程分成两个阶段进行。
第一个阶段，在原模型中，引入人工变量，使约束矩阵中有一个单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值。
求解完之后，如果人工变量不取零，那么能证明原模型一定无可行解，反之，如果人工变量是都取零的，那么这个时候实际上也找到了原模型的一个可行基，然后再进一步求出原模型的解。
下面我们通过例3-7进行介绍。
例3-7用两阶段法求解线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+≥-+-≤+++-=3,2,1,093124st.3max 3232132131i x x x x x x x x x x x z i 对于这个问题，首先把它化成下面的标准型131234123523max 3421st.390,1,2,,5i z x x x x x x x x x x x x x i =-++++=⎧⎪-+--=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩ 它的约束矩阵中显然没有单位阵，所以，我们下面用两阶段法进行求解。
第一阶段，引入人工变量x 6和x 7，使得约束矩阵中有单位阵，同时，目标函数是求人工变量的和的最小值，也就是，先求解下面的线性规划模型。
67123412356237max 421st.390,1,2,,7j x x x x x x x x x x x x x x x j ω=--+++=⎧⎪-+--+=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩ 用单纯形表法对上面的模型进行求解，先写出A ，b ，C ，111100021101100310001A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭，419b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()0000011C =--选取初始基B=（P 4，P 6，P 7）=E ，基变量为X B =（x 4，x 6，x 7）T ，C B =（0，-1，-1），467B =P P P =E （，，），TB 467X =x x x （，，），BC =0-1-1（，，）而B -1A ，B -1b ，C-C B B -1A ，-C B B -1b 也都可以求出1B A A -=，1B b b -=，()()111110000000011(0,1,1)21101100310001 2400100B C C B A -⎛⎫ ⎪-=-------- ⎪⎪⎝⎭=--14(0,1,1)1109B C B b -⎛⎫ ⎪-=---= ⎪ ⎪⎝⎭这时就得到了下面的初始单纯形表。
二、两阶段单纯形法
（2）某个人工变量ys还是基变量。这时，显然有 表1-13中第s行等价于如下方程：
bs ys 0
表1-14中，
yi是人工变量 i 对应的检验数 dij是人工变量 i y , y
的系数
yi , j 都非正, 且由于- 显然，所有的检验数 是最优值，故必有 * 0 * (1)若 0 ，则可断言原问题（LP）1没有可行解
假设（LP）1有行解
*
X，则有
AX b, X 0
1．人工变量的引入 设原问题为
( LP)1 :
max Z CX s.t. AX b X 0
引入人工变量
y1 ,, ym
，构造新规划
( LP)II :
max W - y1 - y 2 - - y m s.t. IY+AX b Y 0, X 0
其中
，
Y ( y1 , y2 , ym )
0.25
-0.5 -0.375 -1.5
0
1 0 0
1
0 0 0
0.5
0 0.25 0
0
0 1 0
2
0 4 0
本节课结束! 谢谢!!
表1-15 cj 初 始 表 -1 0 0 0 0
y
0 1 0 0
x1
1 2 2 1
x2
（1） 3 3 1
x3
1 0 0 1
x4
0 -1 -1 0 1 6 6 1
3.12 4单纯形法(人工变量法)3.12
一个x12方x程12把中x第去2x二2个x方5x程3直接x加4
4 6
x1 , x一2个, 变x3量,(人x4工, 变x量5 ) 0
规范化
考虑一般问题：
bi > 0 ， i = 1 , … , m
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 … am1 x1+ am2 x2+…+ amn xn = bm
jm 1 j j
i1 i
i
j m 1 ij j
m
n
m
c b (c c a )x
i1 n i i
jm 1
j
i 1 i ij
j
n
Z (c z )x
0
j 1
j
j
j
n
Z C jx
0
j 1
j
其 Z m c 中 b ,C j c z ,z m c a
一、单纯形法的基本原理
（一）基本变量： 如果变量xj在某一方程中系数为1，而在其它一切方
程中的系数为零，则称xj为该方程中的基本变量。否则 为非基本变量。 （二）基本解：
在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量 得到的解，称为基本解 。 （三）基本可行解：
基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解 。
（２）最优解判别 如果任何一个非基变量的值增加都不能
使目标函数值增加，即所有检验数非正，则 当前的基本可行解就是最优解，计算结束。
单纯形法
cj 基 解
3 5 000 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 8 1 0
5 x2 6 0 1
第 0 x5 12 3 0
二
次
30 -3 0
迭 代
0
x3
4
5 x2 6
00 01
3 x1 4
10
1 00 0 1/2 0 0 -2 1
0 5/2 0 1 2/3 -1/3 0 1/2 0 0 -2/3 1/3
Simplex Method 第二章 单纯形法
SM
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想 2.2 单纯形法的计算过程 2.3 人工变量法 2.4 单纯形法补遗
2
第2章 单纯形法
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法有三种形式： ① 方程组形式 ② 表格形式 ③ 矩阵形式
2.1.1 方程组形式的单纯形法
2x2 0 +1x4 0 = 12 ②
3x1 + 4x2 0 0 +1x5 = 36 ③
条典
⑴ 当前基：m阶排列阵 ⑵ 目标方程中：一切基变量
的系数 σj = 0
满足条典的方程组称为典式(方程组)。 初始基本可行解
排列阵：
每行每列有且仅有一个元素 为1，其余元素全为0 的方阵。
X0 = (0, 0, 8, 12, 36)T z0 = 0
2.3 人工变量法
考虑标准型 (M)： 分别给每个约束方程硬性加入一个非负变量
a11x1 +a12x2+…+a1nxn +xn+1
a12x1 +a22x2+…+a2nxn
+xn+2
… … ………
单纯形法大M法两阶段法
大M法和两阶段法
如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单位向量组，解 题时应先加入人工变量，人工地构成一个单位向量组。 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。
两种方法可控制人工变量取值使用，尽快地把人工变量减小到零。
• 大M法 • 两阶段法
大 M法
大M单纯形法要求将目标函数中 min z = -3X1 + X2+X3 的人工变量被指定一个很大的 x1 - 2x2 + x3 ≤ 11 目标函数系数（人工变量与松 - 4x1 + x2 +2 x3 ≥ 3 弛剩余变量不同之处）。 - 2x1+ x3 = 1 x1 ，x2 ，x3 ≥ 0
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B
bi br r＝min{ | aik 0} ark aik
步5.以ark为主元素进行迭代.转步2
新可行解：x=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…， 0,xk,0,…，0)
单纯形法流程图
开始 初始可行基
所有σj≥0？
目录
1 2 3 4 单纯形算法计算步骤 初始可行基的确定 大 M法 两阶段法
线性规划的单纯形算法
计算流程
初始基本可行解
N 沿边界找新 的基本可行解
是否最优解或 无限最优解? Y
结束
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N)B-1b-B 1Nx N xN
单纯形法-人工变量法
θ
11 3/2 1
第一阶段求得的结果是ω = 0,最优解是（0,1,1,12,0,0,0）T 一阶段求得的结果是ω 0,最优解是 最优解是（ 12, 一阶段求得的结果是 是原线性规划问题的基可行解。 因人工变量 x6= x7=0，所以 ，所以(0,1,1,12,0)T 是原线性规划问题的基可行解。
第二阶段运算:
例:
max z=3x1+4x2 x1 +x2 ≤40 2x1+x2≤60 x1-x2 =0 x1 ,x2 ≥0
cj→ CB XB b x 3 40 0 x 4 60 0 0 -M x 5 cj - zj 0 0 3 4 0 3 x3 x4 x1 40 60 0 3 x1 1 2 [1] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 4 x2 1 1 -1 [2] 3 -1 0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -1/3 1/3 1/3 -7/3 -M x5 0 -1 1 0
大M法 法
在目标函数中加上惩罚项。 在目标函数中加上惩罚项。
max =3x1-x2-x3-Mx6-Mx7 3 其中M为充分大的正数 为充分大的正数。 其中 为充分大的正数。 = 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 x3 + x7 = 1 − 2 x1 + x1 ,L , x7 ≥ 0 只要原问题有可行解， 只要原问题有可行解，随着目标函数向最大化方向的改善 人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， ，人工变量一定会逐步换出基，从而得到原问题的基可行解， 进而得到基最优解。 进而得到基最优解。 反之， 反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量 为基变量，便说明原问题无可行解。 的单纯形表格为： 为基变量，便说明原问题无可行解。例8的单纯形表格为： 的单纯形表格为
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一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。
(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。
(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。
二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。
（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。
（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。
3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。
（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。
（因为比较比值大小时都是负的）。
（3）某个非基变量σ=0，无穷解。
（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。
σk相同，任选一个入基。
4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。
✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。
✓某两行（列），互换。
三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。
（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。
（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。
（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。
（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。
（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。
2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。
（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。
判断b是否非负。
改进的单纯形法迭代计算方法
改进的单纯形法迭代计算方法吴庆丰【摘要】对传统大M法进行改进，若计算检验数的表达式中含有M则只计算含有M的部分，从而简化计算，迭代过程中当人工变量由基变量变为非基变量时，直接去掉人工变量部分的表格然后继续计算，从而再一次降低计算量。
借鉴两阶段法的优点进一步给出了无需给出大M的迭代算法，此法不会破坏目标函数的一致性，而且可以避免传统大M法在利用计算机求解时由于M值的选取不当所导致的计算错误。
%Improved big-M method is presented. If expressions of the calculated test number contain M, the only portion containing M is calculated, and thereby the calculation is simplified. And when artificial variables become nonbasic variables by basic variables in the iterative calculation process, the artificial variables parts of the table can be directly removed and then the calculation is continued. Thus, the amount of computation is again reduced. Taking advantages of two-phase method, an iteration algorithm without giving the big M is further given. This method does not undermine the consistency of the objective function, and the calculation error can be avoided when using traditional big-M method combined with computer to solve, due to the improper selection of the value of M.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)018【总页数】5页(P59-62,69)【关键词】线性规划;单纯形法;大M法;两阶段法【作者】吴庆丰【作者单位】淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O22单纯形法是求解线性规划的基本方法，许多文献对其不断改进。
运筹学5人工变量及其处理方法
min w = x6 + x7
max w' = − x6 − x7
= 11 x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 + x6 =3 1 2 3 s.t. + x3 + x7 = 1 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L7)
计算机计算时，必须对 给出一个具体数值 给出一个具体数值， 计算机计算时，必须对M给出一个具体数值，通常 计算时 取比原问题中最大数据高 最大数据高1~2个数量级的数值。并视 个数量级的数值 取比原问题中最大数据高 个数量级的数值。 求解情况对M作适当调节 作适当调节。 求解情况对 作适当调节。
例：用大M法求解LP 求解LP
两阶段法的第一阶段求解的目的： 两阶段法的第一阶段求解的目的： 目的
1.判断原LP有无可行解。 判断原 有无可行解 有无可行解。 判断 2.若有，则可得原LP的一个初始基本可行解，再 若有，则可得原 的一个初始基本可行解， 的一个初始基本可行解 若有 对原LP进行第二阶段的计算 进行第二阶段的计算。 对原 进行第二阶段的计算。
初始可 行基
B
(0)
= ( p4
p6
p7 ) = I 3
初始基本 可行解
(0
0 0 11 0 3 1)
T
初始单纯形表
[ ]
11 3 2 1
[ ]
/ 1 /
0
人工变量x 已从基变量中换出。 人工变量 6,x7已从基变量中换出。
第二阶段： 第二阶段：
x1 − 2 x2 + x3 + x4 − 4 x + x + 2 x − x5 1 2 3 s.t. + x3 − 2 x1 x j ≥ 0 ( j = 1,2,3L5)
单纯形法人工变量法
给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
=11
-4 x1+ x2+2x3 -x5 + x6 =3
-2x1 + x3
+ x7 =1
x1，…， x7 0
第一阶段的单纯形表如下：
cj
0
CB XB b
x1
0 x4 11 1 1 x6 3 -4 1 x7 1 -2
6
0 x4 10
3
1 x6 1
0
0 x3 1 -2
0
0 x4 12
3
0 x2 1
0
0 x3 1 -2
00
0
0
00
1
x2
x3
x4
x5
x6
-2
1
1
0
0
1
2
0 -1 1
0
[1] 0 0
0
-1 -3 0 1
0
-2
0
10
0
[1]
0
0 -1 1
0
1
00
0
-1
0
01
0
0
0
1 -2 2
1
0
0 -1 1
0
1
00000 Nhomakorabea01
1
1
x7
0
用两阶段法求下面线性规划问题旳解
Max Z=2x1+ x 2+ x 3 s.t. 4x1+2x2+ 2x 3≥4
2x1+4x2 ≤20 4x1+8x2+ 2x 3≤16
x1，x2，x 3≥0
1-5 单纯形法的进一步讨论
B 1b B 1NX N
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解
X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
Z
(CB
,
CN
)
X X
B N
CB X B
CN X N
CB (B1b B1NX N ) CN X N
CBB1b (CN CBB1N )) X N
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4
-2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9
xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解
引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为
所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7
x1+ x2+ x3+x4
=4
-2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1
z zσ
XB … 0T …
xj cj - zj
… RHS … z0
XB xB I …
Yj
…b
基变量在目标函数中的系数等于0， 基变量在约束条件中的系数是一个单位矩阵
单纯形表的结构
注意： Z行中有m 个0，它们与基变量相对应。一般情况下，这m 个0分散在Z行的各列中，并与基变量相对应。
其余m行中有一个m阶单位矩阵I，其各列与基变量相对应。 一般情况下，组成I的各列分散在表的各列中，它们与基变 量相对应。
X1 1
0
a1
0
a2 a6
X2 0
1
1
0
-2
§43 人工变量法
0
0
LPⅡ min z 3 x1 2 x2 x3 Mx6 Mx7
2 2 1 0 0 0 1
4 x1 3 x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2 x3
x5
10
2
x1
2 x2
x3
x.7
1
x j 0, j 1, , 7
3
2
0
0
1 2
3
得 LPⅠ 的基础可行解：
2 x 0
0
可行基： B1 ( p1 , p2 , p5 )
3 2
计算 ：b00 和 b0i 的数据.
建立 LPⅠ对应基 B1 的单纯形表。
例2
用两阶段法解线性规划问题:
min S 4x1 3x3
0
LPⅡ
x1
x2 x4 3
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
min z x1 2x2 Mx5
1 2 1 0 1
A
1
0
0
1
0
x1 2x2 x3 x5 4
x1
x2
x4 1
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4 ,
取初始可行基
B (P6 , P5 , P7 ) E cB (c6 , c5 , c7 ) ( M , 0, M ),
计算： CBb CB A C
两阶段单纯形法例题详解
两阶段单纯形法引言在线性规划中，两阶段单纯形法是一种常用的求解方法。
它通过两个阶段的迭代，逐步优化目标函数值，从而找到最优解。
本文将详细介绍两阶段单纯形法的步骤和原理。
步骤两阶段单纯形法主要分为两个阶段：人工变量法和单纯形法。
人工变量法•将目标函数按照线性规划的标准形式化简。
•引入人工变量（artificial variables）来转换非标准化的约束条件为等式形式。
•新增的人工变量构成的目标函数为目标是最小化的。
•利用单纯形法求解这个新增的最小化目标函数，得到一个初始可行解。
•如果初始可行解的目标函数值为0，说明原问题有解；如果目标函数值不为0，则原问题无解。
单纯形法•判断初始基本可行解是否是最优解，如果不是，则进行下面的优化步骤。
•选择一个入基变量（entering variable），即将要进入基本解的变量。
•选择一个出基变量（leaving variable），即将要离开基本解的变量。
•使用基本变量和非基本变量之间的约束方程来计算新的基本解。
•迭代以上步骤，直到找到满足优化条件的最优解。
示例假设有一个线性规划问题如下：max Z = 5x1 + 3x2subject tox1 + 2x2 <= 62x1 + x2 >= 4x1, x2 >= 0首先，将目标函数和约束条件标准化，得到以下形式：max Z = 5x1 + 3x2subject to-x1 - 2x2 <= -62x1 + x2 >= 4x1, x2 >= 0然后，采用人工变量法引入人工变量（s1和s2），得到以下形式：max Z = 5x1 + 3x2subject to-x1 - 2x2 + s1 = -62x1 + x2 - s2 = 4x1, x2, s1, s2 >= 0接下来，我们利用单纯形法求解最小化目标函数s1 + s2的初始可行解。
根据单纯形表格的形式，我们可以得到初始表格如下：Cj | -1 | -1 | 0 | 0 |------- |----|----|----|----|Cb | 0 | 0 | 1 | 1 |------- |----|----|----|----|Var. |x1 |x2 |s1 |s2 |------- |----|----|----|----|-1 | -1 | -2 | 1 | 0 |------- |----|----|----|----|0 | 2 | 1 | 0 | -1 |按照单纯形法的步骤，我们选取入基变量s1和出基变量x2，进行迭代计算，得到新的表格：Cj | -1 | -4 | 1 | -3 |------- |----|----|----|----|Cb | 0 | 2 | -1 | 2 |------- |----|----|----|----|Var. |x1 |s2 |s1 |x2 |------- |----|----|----|----|-1 | -1 | 0 | 1 | 2 |------- |----|----|----|----|2 | 2 | 0 | 0 | -1 |继续迭代，直到得到满足优化条件的最优解。
单纯形法
-M X6 0 1 0 0 0 1
-M X7 0 0 1 0 -1 -2 1 θ 11 3/2 1
-1
X3 cj-zj
1
-2 -1
0 -1+M
0 1 0 0
1 0
0 0 1 0
0 0
1 0 0 0
0 -M
-2 -1 0 -1
0 0
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
人工变量
第2页
cj CB 0 -M -M XB X4 X6 X7 cj-zj b 11 3 1
3 X1 1 -4 -2 3-6M
-1 X2 -2 1 0 -1+M
-1 X3 1 2 1 -1+3M
0 X4 1 0 0 0
0 X5 0 -1 0 -M
-M X6 0 1 0 0
-M X7 0 0 1 0 θ
2 1 0 -M+1
1 1-3M
-5 -2 1 -M-1
-
0 -1 -1
X4 X2 X3 cj-zj
12 1 1
3 0 -2 1
4 -
第14页
cj CB 0 -1 -1 XB X4 X2 X3 cj-zj 3 X1 4 b 12 1 1
3 X1 3 0 -2 1 1
-1 X2 0 1 0 0 0
-1 X3 0 0 1 0 0
-1 X3 1 2 1 -1+3M 0 0 1 0 0 0
0 X4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 X5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1
-M X6 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1
3线性规划人工变量法解析
1
0 0 0 1 0 0 2 5/3 2/3 -25/3
0
0 0
8/3
—— —— 31/3 ——
j
x2 x5 x3 x2 x1 x3
x3
→
j
j
单纯形法的进一步讨论－两阶段法
用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M,可能造成 计算机上的错误，故多采用两阶段法。 第一阶段： 在原线性规划问题中加入人工变量，构造如下模型：
-M
-M Z 0
x6
x7
3
1 -4M
-4
-2 3-6M 3
1
0 -1+M -2
2
1 -1+3M 0
0
0 0 1
-1
0 -M 0
1
0 0 0
0
1 0 -1
3/2
1
→ →
x4
10
－
-M
-1 Z
x6
x3
1
1 -M-1
0
-2 1
1
0 -1+M
0
1 0
0
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
1
－
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
故人为地添加两个单位向量x6和x7 ，得到含人工变量的单纯形 法数学模型：
max Z 3x1 x2 x3 +0x4 +0x5－Mx6 Mx7
3 x1 x2 x3 x4 4x x 2 x 1 2 3 x3 2 x1 x j 0, j 1, 2, L , 7
－
单纯形法的进一步讨论
θ = min{9 / 4,21 / 8,21 / 2} = 9 / 4, r = 1, J r = 3
3 / 2 0 −1/ 4 −1 = (9 / 4,1 / 2,11 / 4) B = − 2 1 1 / 2 , −1/ 2 0 1/ 4 T cB = (−1,0,−2) xB = ( x2 , x4 , x1 )
0
0
1/4
-8
-1
9
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
1/2 0 3/4
-12 0 -20
-1/2 1 1/2
3 0 -6
0 1 0
0 -
Bland规则
避免循环的方法有”摄动法“、”字典序法 “等 Bland法： 在检验数为正的非基变量中，选下标最小的 进基； 若有几个基变量都取最小比值，选其中下标 最小的基变量出基。 已经证明，Bland规则一定能避免循环。
x1 + 2 x 2 + x3 + x 4 = 10
大M法
加入人工变量，形成人工问题
min w = c T x + M ( y1 + y2 + L + ym ) Ax + Iy = b s.t. x ≥ 0, y ≥ 0.
其中，M为任意大的正数。 例3 求解线性规划问题
min z = −3x1 + x 2 + x3 s.t. x1 − 2 x 2 + x3 ≤ 11 − 4 x1 + x 2 + 2 x3 ≥ 3 2 x1 − x3 = −1 x1 , x 2 , x3 ≥ 0
人工变量法和两阶段法
x1 , x2 0
1 1 A 5 2
2 6
90 b 490
240
C 6 8
它的对偶问题是：
这里Y y1, y2, y3
minW Y 90 490 240T
minW 90 y1 490 y2 240 y3
在单纯形迭代过程中，要求人工变量逐步从基 变量被替换出，变为非基变量，最后，基变量中不 含有人工变量。
为使人工变量被替换出成为非基变量，有 1.大M法 2.两阶段法
1.大M法：在目标函数求最大值的线性规划问题中， 设人工变量在目标函数中的系数为-M，M为任意大 的正数。只要人工变量不为零，目标函数最大值就 是一个任意小的数。
s.t .
y1 4 y2
2
2 y1
4 y3 3
y1 , y2 , y3 0
4.2.2 一般形式的线性规划模型与对偶模型之间的关系 对于非对称形式的线性规划模型如何写出其对
偶模型？ 其思路是首先将非对称形式转换为对称形式，然
后再按照对应关系写出其对偶模型。
原问题求极小------ min Z maxZ
x1 x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0, x2 0, x3无约束
（4 9）
原问题约束方程有“=”，如何转化？
（1）将约束条件2的等式约束转化为两个不等式约束
a21 x1
a22 x2
a23 x3
b2
a210，x3
0，x3
0
对称 形式 线性 规划 模型 的对
运筹学复习资料(1)
运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。
其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。
无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。
有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。
线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。
单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。
换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。
检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。
要求检验数全部小于等于零。
“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。
”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。
这里，x1为进基变量，x3为出基变量。
将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。
单纯型原理的矩阵描述。
在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。
最初基变量对应的基矩阵的逆矩阵。
这个样子：'1222 1 0 -32580 1 010 0 158P B P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦５１＝５所有的检验数均小于或等于零，有最优解。
但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。
解的结果应该是：X *= a X 1*+(1-a)X 2* （0<=a<=1）说明：最优解有时不唯一，但最优值唯一；在实际应用中，有多种方案可供选择；当问题有两个不同的最优解时，问题有无穷多个最优解。
线性规划之大M法和两阶段法
，
z0 0
m
c n i bi
j=1，2，…，n ；
i 1
增广矩阵的最后一行就是用非基变量表 示目标函数的表达式, j (j=1,2,…,n)就是非 基变量的检验数。
（四）主元变换（旋转运算或枢运算）
按 照 主 元 素 进 行 矩 阵 的 初 等 行 变 换 —— 把 主元素变成1，主元列的其他元素变成0（即 主元列变为单位向量）
写出新的基本可行解，返回最优性检验。
停止迭代的标志（停机准则）
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或 主元列≤ 0 （最优解无界）
大M法举例2
max Z 2x1 x2
s.t
.
x1 x2 2x1 2
x2
2
6
x1, x2 0
（2） 两阶段法
第一阶段：建立辅助线性规划并求解， 以判断原线性规划是否存在基本可行解。
辅助线性规划的结构：目标函数W为所有 人工变量之和，目标要求是使目标函数极 小化，约束条件与原线性规划相同。
2、出现若干个相同的最小比值怎麽办？
（说明出现了退化的基本可行解，即非0分量 的个数小于约束方程的个数。按照“摄动原理” 所得的规则，从相同比值对应的基变量中选下 标最大的基变量作为换出变量可以避免出现 “死循环”现象）
3、选择进基变量时，同时有若干个正检 验数，怎麽选？
（最大正检验数或从左至右第1个出现的正 检验数所对应的非基变量进基）
2 0 0 0 -3/4
1 0 1 0 -1/2 --0 0 -4 1 2 8/2 0 1 0 0 1/4 3/(1/4)
0 0 -2 0 1/4
CB XB
2
X1
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我们学会了用单纯性表来求解线性规 划的最优解问题，如下图所示：
XB ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN b
B
CB
N
CN
b
0
将上表转化为下表即可求解问题。
XB I 0 XN N’ CN’ b b’ Η’
最后我们可得最优解情况： 1、无最优解：一非基向量的检验数σ为正， 且其对应的列向量没有正分量。 2、有最优解：最终可将所有的非基本量的检 验数化为非正数。 即：判断： （a）若σj≤０（j＝１，２，…，n）得到 最解； （b）某个σk>0且aik≤０（i=1，2,…,m） 则线性规划具有无界解。 （c）若存在σk>0且aik (i=1,…,m)不全非 正，则进行换基；
用表1-14表示新线性规划求解过程
表1－14
y1
d11
d m1
ym
x1
xn
a1n
b
d1m a11
b1
d mm
a m1
1
a mn
y1
ym
n
* 0
bm
两阶段单纯形法的步骤： （1）第一阶段：首先将原问题标准化，得到(LP)1 形式，引入必要的人工变量 yi ，构造新的 线性 规划(LP)2 ，并用单纯形法解新规划(LP)2， 得到形如表（1-14）的最优单纯形表。若该表中的 * 0 ，则表明原问题没有可行解，应停止计算； * 0，表明已将原问题的约束方程组变换成了 若 含有标准基的同解方程组，转（2）。
1．人工变量的引入 设原问题为
( LP)1 :
max Z CX s.t. AX b X 0
引入人工变量y1,y2, …,ym ，构造新线性规划
( LP)2 :
max W - y1 - y 2 - … - y m s.t. IY+AX b Y 0, X 0
易知，新线性规划（LP）2 ，具有以下3个 特点： 1、 （LP）2存在可行解，Y=b， X=0 2、 （LP）2 必有最优解。 3、 （LP）2 存在一个标准基。
例子：
max Z=x1+2x2+5x3-3x4 s.t. x1+x2 =3 2x1-2x2-x3 =6 2x1+x2+x3+x4=11 X>=0 这个例子用以前的方法难以求解，没有标 准基，我们可以试想添加变量，将其变成 标准形式。
max W=-y1-y2 s.t. y1+x1+x2 =3 y2+2x1-2x2-x3 =6 2x1+x2+x3+x4=11 X>=0 Y>=0 添加了人工变量，原线性规划与新线性规 划的关系是什么呢？大家可以思考一下。
（2）第二阶段：用第一阶段所得的含标准基的约束 方程组取代原问题的约束方程组，再用单纯形法求解。
The
End!
人工变量单纯形法之两阶段单纯形法 两阶段单纯形法也是一种人工变量法，它的 算法可分为两个阶段：第一阶段，引入人工 变量，构造一个具有标准基的新线性规划， 求解这个新线性规划，其结果有两种可能： 或者将原问题的约束方程组化成具有标准基 的形式，或者提供信息，表明原问题没有可 行解。第二阶段，利用第一阶段所得的标准 基，对原问题求解。