线性规划问题的图解法
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运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第1.2节 线性规划问题的图解法
x1 20 * x 2 100
* * z 1240
27
2 规划问题求解的几种可能结果
2）无穷多最优解
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x x2 40 1 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
23
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
max z 12 x1 10 x2 2 x1 x2 160 1 1 x1 x2 40 3 3 3 x1 2 x2 260 x1 , x2 0
工序 花瓶种类 占用材料 （盎司） 艺术加工 （小时） 储存空间 （一单位） 利润值 （元）
大花瓶
1/3x1+1/3x2=40 (60,40)
x1
22
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
图解法的基本步骤：
（4）确定最优解。最优解是可行域中使目标
函数值达到最优的点，当目标函数直线由原点 开始沿法线方向向右上方移动时，z 值开始增 大，一直移到目标函数直线与可行域相切时为 止，切点即为最优解。
18
图解法的基本步骤：
（3）作出目标函数。由于
z 是一个待求的目 标函数值，所以目标函数常用一组平行虚线表 示，离坐标原点越远的虚线表示的目标函数值 越大。
第二章3 线性规划问题的图解法
第三节 线性规划问题的图解法
两个区域的公共部分（ 交集） 中的每一点（ 两个区域的公共部分 （ 交集 ） 中的每一点 （ 包括边界 上的点） 都满足所有的约束条件， 上的点 ） 都满足所有的约束条件 ， 每一点的坐标值都 是线性规划问题的一个解（ 称为可行解） 是线性规划问题的一个解 （ 称为可行解 ） 。 满足线性 规划问题所有约束条件的一切点的集合称为可行域。 规划问题所有约束条件的一切点的集合称为可行域。 另外，目标函数Z 10x 另外，目标函数Z =10x1+5x2 在坐标平面上表示以 z为参数以-2（-10/5=-2）为斜率的一族平行直线。位于 为参数以10/ 为斜率的一族平行直线。 这条直线上所有点具有相同的函数值 ， 因而称它为 等值线” 考虑到x “等值线”。考虑到x1 ，x2 ≥0 时，它表示一族平行线 线段的两个端点在第一象限的坐标轴上，并随着z 段，线段的两个端点在第一象限的坐标轴上，并随着 z 值的增大向上（ 沿着法线方向， 值的增大向上 （ 沿着法线方向 ， 法线是与直线垂直的 直线）滑动。 直线）滑动。
第三 节 线性规划问题的图解法
图解法求解线性规划问题的步骤
建立直角坐标系， 建立直角坐标系，根据约束条件作出线性规划问题的 可行域（若无可行域则该问题无解） 可行域（若无可行域则该问题无解）。 求出可行域顶点的坐标， 求出可行域顶点的坐标，并计算每一顶点对应的目标 函数值。 函数值。 选出目标函数值最大（最小） 选出目标函数值最大（最小）的顶点坐标就是该问题 的最优解。若同时在两个顶点取得最优值， 的最优解。若同时在两个顶点取得最优值，那么以这 两个顶点为端点的线段上任意一点都能使目标函数值 达到最大（ 达到最大（小），该问题一定有多重解。
第三 +4x2 =9
第1章 2 线性规划问题的图解法
其中c 令 Z=2x1+3x2=c, 其中c为任选的一个常 数 ， 在图中画出直线 2x1+3x2=c, 即对应着一 组可行的生产结果， 组可行的生产结果，使两种产品的总利润达到 c。 。 这样的直线有无数条， 且相互平行， 这样的直线有无数条 ， 且相互平行 ， 称 只要画两条 这样的直线为目标函数等值线。只要画两条 目标函数等值线 等值线， 目标函数等值线，如令 x2 c＝0和c=6，可看出目 ＝ 和 ，可看出目
x2
4x1 ≤ 16 C D
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
x1
图解法求解步骤
由全部约束条件作图求出可行域； 由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数 作目标函数等值线， 最优的移动方向； 最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点， 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。 算出最优值。
练习1答案
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 6
最优解（4/3，14/3）
4
可行域
-8 0
目标函数等值线
6
x1
练习2 某公司由于生产需要，共需要A， 练习 ：某公司由于生产需要，共需要 ， B两种原料至少 两种原料至少350吨（A，B两种材料有 两种原料至少 吨 ， 两种材料有 一定替代性），其中A原料至少购进 ），其中 原料至少购进125 一定替代性），其中 原料至少购进 但由于A， 两种原料的规格不同 两种原料的规格不同， 吨。但由于 ，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每 原料需要2个小时 吨A原料需要 个小时，加工每吨 原料需 原料需要 个小时，加工每吨B原料需 小时， 个加工小时。 要1小时，而公司总共有 小时 而公司总共有600个加工小时。 个加工小时 又知道每吨A原料的价格为 万元，每吨B 原料的价格为2万元 又知道每吨 原料的价格为 万元，每吨 原料的价格为3万元 万元， 原料的价格为 万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 如何购买A， 两种原料 两种原料， 如何购买 ，B两种原料，使得购进成本 最低？ 最低？
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
1-2 图解法
x2
当Z值由小变大时，直线 值由小变大时， x2 = −2x1 3+ z 3 沿其法线方向向 右上方移动。当移动到C 右上方移动。当移动到C时，Z值 在可行域的边界上实现最大化。 在可行域的边界上实现最大化。 最优解（ ），Z=14 Z=14。 最优解（4，2），Z=14。
4x1 ≤ 16 B C
| 1 | 2 | 3 | 4
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
第6页 页
9— 8— 7— 6— 5—解：满足约束条件的解。黄 色区域中的每一个点（ 色区域中的每一个点（包括边界 点）都是可行解。此区域是【例 都是可行解。此区域是【 1】的线性规划问题的解的集合 可行解域）。 （可行解域）。
x2 = −2x1 3+ z 3
4x1 ≤ 16 B C
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
O
0
D|
5
位于同一直 线上的点， 线上的点， 具有相同的 目标函数， 目标函数， 称为“ 称为“等值 线”。
第8页 页
x1
9— 8— 7— 6— 5— 4 —A 3— 2— 1—
4 x2 ≤ 12
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
O
0
D|
5
x1
第9页 页
2.线性规划问题图解法求解的几种结果
唯一最优解 无穷多最优解 无界解（ 可行域无界） 无界解（→可行域无界） 无解（无可行解） 无解（无可行解）
1、唯一最优解（封闭） 唯一最优解（封闭）
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
19.3线性规划问题的图解法
例1：已知线性约束条件为 x y 1 0
例
2
x
y
5
0
题
x 4 y 1 1 0
解 求线性目标函数z=x+2y满足线性约束条件的最优解及最大值、最小值。
析 解:（1）在直角坐标系中，画出可行域。 y
x-y-1=0
（2）将目标函数变形为 y 1 x z
22
B
当z/2取得最大值时，z取得最大值；
3.将z看成常数，这是一条直
y=3 ● M X+2y-8=0
线，当z变化时，可以得到一
组平行的直线；
O
x
4.当直线 y 2 x z 经过
X=4
33
不等式组①表示的平面区域内一个点时，
z 3
被唯一确定；当
z 3
取最大值时，z取最大值，当
z 3
取最小值时，z取最小值。
5.令z=0，画出直线2x+3y=0,然后平移这条直线，如图可知当经过点M（4，2）时
19.3线性规划问题的 图解法
提出问题
在19.1的问举例中线性目标函数z=2x+3y
线性约束条件为
x 2y 8
4 4
x y
1 1
6 2
x
0
①
y 0
当x,y满足不等式①且为整数时，如何求z的最大值呢？
问题探究
y
1.首先，画出①表示的平面区域；
2.把z=2x+3y变形为 y 2 x z 33
并找出整数点。 （2）将目标函数变形为
y1x z
24
当z/4取得最大值时，z取得最大值；
A ● ●
●
●
●
x
2x+y-8=0
线性规划的图解法
s.t.
32xx11'' 3x1'
+ + +
2
x2 x2 x2
+ x3' − x3'' + 2x3' − 2x3'' + 3x3' − 3x3''
+
x4
−
x5
= 9 = 4 = 6
x1'
,
2
x2
,
x3' ,
x3'' ,
x4 ,
x5
≥
0
2.1问题的提出
例7 将以下线性规划问题转化为标准形式。
min f =−3x1 + 5x2 + 8x3 − 7x4
x5
≥
20
x5 xj
+ ≥
x6 0,
≥ 30 j = 1, 2, ,
6
2.1问题的提出
所谓线性规划问题
就是求一组变量 (x1,x2,…,xn)的值，它们在满足一组线 性等式或不等式的限制条件下，使某一线性函数的值达到 极大或极小。而线性规划就是研究并解决这类问题的一门 理论和方法。
线性规划模型是由决策变量、目标函数和约束条件三要素 组成。
例2 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需的工
作人员数量如下：
时段
时间
所需人数
1
6:00~10:00
60
2
10:00~14:00
70
3
14:00~18:00
60
4
18:00~22:00
50
5
22:00~2:00
20
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
第二节线性规划的图解法线性规划的图解法---解的几何表示
75
5
问题：工厂应如何安排生产可获得 最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产 品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分 析，可以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2 ≤ 65 2x1+x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 (A) (B) (C) (D, E)
11
[例2.7]在例2.2的线性规划模型中, 如果约束条件（A）、（C）变为：
3 x1 + 2 x2 ≥ 65 3 x2 ≥ 75 (A’） (C’）
并且去掉（D、E）的非负限制。那么， 可行域成为一个上无界的区域。这时， 没有有限最优解，如下图所示：
12
无有限解的情况
13
[例2.8]在例2.2的线性规划模型中， 如果增加约束条件（F）为： x1 + x2 ≥ 40 （F） 那么，可行域成为空的区域。这时， 没有可行解，显然线性规划问题无 解。如下图所示：
1
图解法求解线性规划问题的步骤如下： (1)分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向 量建立直角坐标系。
2
（2）对每个约束（包括非负约束）条 件，先取其等式在坐标系中作出直线，通 过判断确定不等式所决定的半平面。
各约束半平面交出来的区域(存在或 不存在），若存在，其中的点表示的解称 为此线性规划的可行解。这些符合约束限 制的点集合，称为可行集或可行域。否则 该线性规划问题无可行解。
14
无可行解的情况
15
可行域和解有哪些情况？
16
线性规划的可行域和最优解 的几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解；
5
问题：工厂应如何安排生产可获得 最大的总利润？用图解法求解。
解：设变量 xi为第i种（甲、乙）产 品的生产件数（i＝1，2）。根据前面分 析，可以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2 ≤ 65 2x1+x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 (A) (B) (C) (D, E)
11
[例2.7]在例2.2的线性规划模型中, 如果约束条件（A）、（C）变为：
3 x1 + 2 x2 ≥ 65 3 x2 ≥ 75 (A’） (C’）
并且去掉（D、E）的非负限制。那么， 可行域成为一个上无界的区域。这时， 没有有限最优解，如下图所示：
12
无有限解的情况
13
[例2.8]在例2.2的线性规划模型中， 如果增加约束条件（F）为： x1 + x2 ≥ 40 （F） 那么，可行域成为空的区域。这时， 没有可行解，显然线性规划问题无 解。如下图所示：
1
图解法求解线性规划问题的步骤如下： (1)分别取决策变量x1 ,x2 为坐标向 量建立直角坐标系。
2
（2）对每个约束（包括非负约束）条 件，先取其等式在坐标系中作出直线，通 过判断确定不等式所决定的半平面。
各约束半平面交出来的区域(存在或 不存在），若存在，其中的点表示的解称 为此线性规划的可行解。这些符合约束限 制的点集合，称为可行集或可行域。否则 该线性规划问题无可行解。
14
无可行解的情况
15
可行域和解有哪些情况？
16
线性规划的可行域和最优解 的几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解；
1-2 线性规划的图解法
例1－1 maxZ=50x1+100x2
s.t.
x1 +x 2 300 2x +x 400 1 2 x 2 250 x1 ,x 2 0
实施图解法，以求出最优生产计划（最优 解）。
由于线性规划模型中只有两个决策变量，因此 只需建立平面直角坐标系就可以进行图解了。
MaxZ 2 x1 3 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x5 10 3x 2 x x x x 8 1 2 3 4 6 s.t. x1 3 x2 x3 x4 1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
（3） LP标准型的特点
目标函数是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; 决策变量限于取非负值; 右端常数均为非负值 ;
2、LP问题的标准化
（1）目标函数的标准化 MinZ=CX Z’=-Z MaxZ’=-CX
（2） 约束条件的标准化
& 约束条件是≤类型 ——左边 加 非负松弛变量 & 约束条件是≥类型 ——左边 减 非负剩余变量
用箭头标出目标函数增长方向。
4–
图中两条虚线分别代 表目标函数等值线： 3 –
50x1+100x2=0和 50x1+100x2=15000, 箭头表示使两种产 品的总利润递增的 方向。
A B
2
C
1
–
D
〡 〡 0 1 2〡 3
沿着箭头的方向平移目标函数等值线，使其达 到可行域中的最远点B, B点就是要求的最优点。
〡 0 1〡 2〡 3
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题精 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立方程的方法求出最优解的精 确值。 比如B点对应的坐标值我们可以通过求 解下面的联立方程，即求下面两条直线的交 点来求得。 直线: 2x1+x2=400 直线: x2=250
s.t.
x1 +x 2 300 2x +x 400 1 2 x 2 250 x1 ,x 2 0
实施图解法，以求出最优生产计划（最优 解）。
由于线性规划模型中只有两个决策变量，因此 只需建立平面直角坐标系就可以进行图解了。
MaxZ 2 x1 3 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x5 10 3x 2 x x x x 8 1 2 3 4 6 s.t. x1 3 x2 x3 x4 1 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
（3） LP标准型的特点
目标函数是极大化Max（或极小化Min）; 约束条件均用等式表示; 决策变量限于取非负值; 右端常数均为非负值 ;
2、LP问题的标准化
（1）目标函数的标准化 MinZ=CX Z’=-Z MaxZ’=-CX
（2） 约束条件的标准化
& 约束条件是≤类型 ——左边 加 非负松弛变量 & 约束条件是≥类型 ——左边 减 非负剩余变量
用箭头标出目标函数增长方向。
4–
图中两条虚线分别代 表目标函数等值线： 3 –
50x1+100x2=0和 50x1+100x2=15000, 箭头表示使两种产 品的总利润递增的 方向。
A B
2
C
1
–
D
〡 〡 0 1 2〡 3
沿着箭头的方向平移目标函数等值线，使其达 到可行域中的最远点B, B点就是要求的最优点。
〡 0 1〡 2〡 3
尽管最优点的对应坐标可以直接从图中 给出，但是在大多数情况下，对实际问题精 确地看出一个解答是比较困难的。所以，通 常总是用解联立方程的方法求出最优解的精 确值。 比如B点对应的坐标值我们可以通过求 解下面的联立方程，即求下面两条直线的交 点来求得。 直线: 2x1+x2=400 直线: x2=250
图解法求解简单线性规划问题
x +4y=11
0
1
2
3
4
5
3x +２y=10
x
y
3x+5y=25 x-4y=-3
C
∵
4 .4 2 3 = kAC＝ 1 5 5
k l = -a ∴ ∴ -a
=
3 5 3 5
Ａ B
a=
o
x
x=1
3x +２y≤10 例3：满足线性约束条件 ： 多少个整数解。 多少个整数解。
x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5 4 3 2 1
由题意得可行域如图: 解：由题意得可行域如图 由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 、 可行域中的整点为 (1,2)、(2,1)、(2,2) 、 、 故有四个整点可行解. 故有四个整点可行解
例2：已知 、y满足 ：已知x、 满足
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ ，
取得最大值时，对应点有无数个， 的值。 取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与
直线重合时，有无数个点， 直线重合时，有无数个点，使 函数值取得最大值，此时有： 函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC
yx=1C来自问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？ ３
x-4y=-3
A B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ z ｘ、ｙ满足下列条件 ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚ
x-4y≤-3 3x+5y≤25， + x≥1
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等值线：目标函数为常数的光滑连续曲线。
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
(0, 4) 4 x2 16 x1 + 2x2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
max Z
min Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
L0： 0=5X1+4X2
x1
图解法---无穷多最优解
max Z=3X1+5.7X2
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
+ 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2
D
max Z
可行域
（7.6，2）
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
x1
图解法---唯一最优解
min Z=5X1+4X2
4
2
max Z
min Z
x1+x2=4(≥)
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
2
4
6
x1
x ---无可行解 图解法
2
50
例1.7
40
max Z=3x1+4x2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
（3.8，4）
D
max Z
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
i 1
k
i
1,
1
n=2，k=3
( 2)
使X 1 X 2 X 则X为X
(1)
... k X
(k )
,..., X
(k )
的凸组合.
X
标准型
min Z CX AX b X 0
可行解:满足AX=b, X>=0的解X称为线性规划问题的 可行解。所有可行解的集合称为可行域。 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称为最优解。
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
o
x1
图解法---无界解
x2 例1.6 max Z=x1+2x2
x1 3 x 2 6 x1 x 2 4 3 x1 x 2 6 x1 0、x 2 0
6
3x1+x2=6(≥)
图解法
例1 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 ≤11.4 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X 1 ，X 2 ≥ 0
图解法---唯一最优解
max Z = 2X1 + X2
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16 x1 + 2x2 8
4 —B
3— 2— 1—
D
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1
图解法求解步骤
1.由全部约束条件作图求出可行域； 2.作目标函数等值线，确定使目标函数 最优的移动方向； 3.平移目标函数的等值线，找出最优点 ，算出最优值。
2x1 + 3x2 = 6
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
则X为顶点.
X K和X K (1) ( 2) X X (1 ) X (0 1)
(1) ( 2)
凸组合：
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
设X（1) ,..., X ( k )是n维向量空间中的k个点, 若存在1 ,..., k , 且0 i 1, i 1,2,..., k ,
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
设 k是 n维欧氏空间的一点集， 对 X
（ 1）
K， X
（ 2）
K
连线上的一切点 αX （ 1 α ） X K， （ 0 α 1 ），则 K为凸集。
（ 1） （ 2）
凸集
凹集
顶点: 若K是凸集，X∈K；若X不能用不同
的两点的线性组合表示为：
s.t.
X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 X1 + 1.9X2 ≤11.4 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X 1 ，X 2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
x2
4 = 2X1 + X2
X1 + 1.9X2 = 11.4(≤) 11 = 2X1 + X2
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
(0, 4) 4 x2 16 x1 + 2x2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
max Z
min Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
L0： 0=5X1+4X2
x1
图解法---无穷多最优解
max Z=3X1+5.7X2
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
+ 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2
D
max Z
可行域
（7.6，2）
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
x1
图解法---唯一最优解
min Z=5X1+4X2
4
2
max Z
min Z
x1+x2=4(≥)
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
2
4
6
x1
x ---无可行解 图解法
2
50
例1.7
40
max Z=3x1+4x2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
（3.8，4）
D
max Z
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。
可行域
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
i 1
k
i
1,
1
n=2，k=3
( 2)
使X 1 X 2 X 则X为X
(1)
... k X
(k )
,..., X
(k )
的凸组合.
X
标准型
min Z CX AX b X 0
可行解:满足AX=b, X>=0的解X称为线性规划问题的 可行解。所有可行解的集合称为可行域。 最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称为最优解。
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
o
x1
图解法---无界解
x2 例1.6 max Z=x1+2x2
x1 3 x 2 6 x1 x 2 4 3 x1 x 2 6 x1 0、x 2 0
6
3x1+x2=6(≥)
图解法
例1 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 ≤11.4 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X 1 ，X 2 ≥ 0
图解法---唯一最优解
max Z = 2X1 + X2
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16 x1 + 2x2 8
4 —B
3— 2— 1—
D
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
x1
图解法求解步骤
1.由全部约束条件作图求出可行域； 2.作目标函数等值线，确定使目标函数 最优的移动方向； 3.平移目标函数的等值线，找出最优点 ，算出最优值。
2x1 + 3x2 = 6
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
则X为顶点.
X K和X K (1) ( 2) X X (1 ) X (0 1)
(1) ( 2)
凸组合：
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
设X（1) ,..., X ( k )是n维向量空间中的k个点, 若存在1 ,..., k , 且0 i 1, i 1,2,..., k ,
线 性 规 划 问 题 的 几 何 意 义
设 k是 n维欧氏空间的一点集， 对 X
（ 1）
K， X
（ 2）
K
连线上的一切点 αX （ 1 α ） X K， （ 0 α 1 ），则 K为凸集。
（ 1） （ 2）
凸集
凹集
顶点: 若K是凸集，X∈K；若X不能用不同
的两点的线性组合表示为：
s.t.
X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8 X1 + 1.9X2 ≤11.4 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X 1 ，X 2 ≥ 0
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
x2
4 = 2X1 + X2
X1 + 1.9X2 = 11.4(≤) 11 = 2X1 + X2