2020-2021学年江西省高考原创押题卷(1)数学(文)试卷及答案解析

高考原创押题卷（一）数学(文科)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y)|y 2<x}，B ＝{(x ，y)|xy ＝－2，x ∈Z ，y ∈Z}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{(2，－1)}C ．{(－1，2)，(－2，1)}D ．{(1，－2)，(－1，2)，(－2，1)} 2．若2＋ai 1＋i＝x ＋yi ()a ，x ，y 均为实数，则x －y ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．a3．若sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝ ( )A.25 B ．－25 C.23 D ．－234．某市国庆节7天假期的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图1­1所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．上述判断中错误的个数为( )图1­1A ．1B ．2C ．3D ．45．已知梯形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，若P 是DC 的中点，则|PA →＋2PB →|＝( )A.822B ．2 5C ．4D ．5 6．某几何体的三视图如图1­2所示，若该几何体的体积为2π3，则a 的值为( )图1­2A ．1B ．2C ．2 2 D.327．执行如图1­3所示的程序框图，若输出的i ＝3，则输入的a(a>0)的取值范围是( )图1­3A.[)9，＋∞B.[]8，9C.[)8，144D.[)9，1448．狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若f ()x ＝⎩⎨⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁RQ ，则称f ()x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数f(x)，给出下列命题：①f 的值域是{}0，1；②f(x)是偶函数； ③f ()x 是周期函数；④对任意a ，b ∈(－∞，0)，都有{x|f(x)>a}＝{x|f(x)>b}成立．其中所有真命题的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④9．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b c ＝cos A 1＋cos C ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，1210．如图1­4所示，点O 为正方体ABCD ­ A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为棱B ′B 的中点，若AB ＝1，则下列叙述正确的是( )图1­4A ．直线AC 与直线EC ′所成的角为45°B ．点E 到平面OCD ′的距离为12C ．四面体O ­ EA ′B ′在平面ABCD 上的射影是面积为16的三角形D ．过点O ，E ，C 的平面截正方体所得截面的面积为6211．已知椭圆D ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的长轴端点与焦点分别为双曲线E 的焦点与实轴端点，若椭圆D 与双曲线E 的一个交点在直线y ＝2x 上，则椭圆D 的离心率为( )A.2－1B.3－ 2C.5－12 D.3－22212．若函数f(x)的图像与函数y ＝(x －2)e2－x的图像关于点(1，0)对称，且方程f(x)＝mx2只有一个实根，则实数m 的取值范围为( )A.[)0，eB.()－∞，eC.{}eD.()－∞，0∪{}e第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数f ()x ＝ax x －1，若f ()x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3，则f ()x ＋f ()2－x ＝________． 14．已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0表示的平面区域为D ，若存在x ∈D ，使得y ＝x ＋mx|x|，则实数m 的取值范围是________．15．已知圆E ：x 2＋y 2－2x ＝0，A 为直线l ：x ＋y ＋m ＝0上任意一点，过点A 可作两条直线与圆E 分别切于点B ，C ，若△ABC 为正三角形，则实数m 的取值范围是________． 16．已知函数f ()x ＝sin 4ωx －cos 4ωx ()ω>0的值域为A ，对任意a ∈R ，存在x 1，x 2∈R ()x 1<x 2，使得{y|y ＝f ()x ，a ≤x ≤a ＋2}＝＝A.若x 2－x 1的最小值为g ()ω，则g ()ω的值域为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n .(1)若{}a n是等差数列，且S1＝5，S2＝18，求a n；(2)若{}a n是等比数列，且S1＝3，S2＝15，求S n.18．(本小题满分12分)2016年上半年数据显示，某市空气质量在其所在省中排名倒数第三，PM10(可吸入颗粒物)和PM2.5(细颗粒物)分别排在倒数第一和倒数第四，这引起有关部门高度重视，该市采取一系列“组合拳”治理大气污染，计划到2016年底，全年优、良天数达到190天．下表是2016年9月1日到9月15日该市的空气质量指数(AQI)，其中空气质量指数划分为0～50，51～100，101～150，151～200，201～300和大于300六档，对应空气质量依次为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染．(2)从这15天中连续取2天，求这2天空气质量均为优、良的概率；(3)已知2016年前8个月(每个月按30天计算)该市空气质量为优、良的天数约占55%，用9月份这15天空气质量优、良的频率作为2016年后4个月空气质量优、良的概率(不考虑其他因素)，估计该市到2016年底，能否完成全年优、良天数达到190天的目标．19.(本小题满分12分)如图1­5所示，PA与四边形ABCD所在平面垂直，且PA＝BC＝CD ＝BD，AB＝AD，PD⊥DC.(1)求证：AB⊥BC；(2)若PA＝3，E为PC的中点，求三棱锥E ­ ABD的体积．图1­520．(本小题满分12分)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．(1)若原点为O，求△OAB面积的最小值；(2)过A，B作抛物线E的切线，分别为l1，l2，若l1与l2交于点P，当l变动时，求点P 的轨迹方程．21．(本小题满分12分)已知函数f()x＝ln x＋ax＋1.x(1)若对任意x>0，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若函数f ()x 有两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 21＋x 22>2.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2－2x ＝0向左平移一个单位后，再把所得曲线上每一点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到曲线C. (1)写出曲线C 的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322，若A ，B 分别为曲线C 及直线l 上的动点，求||AB 的最小值．23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲 已知f ()x ＝11＋x. (1)解不等式f ()||x >||f ()2x ；(2)若0<x 1<1，x 2＝f ()x 1，x 3＝f ()x 2，求证：13||x 2－x 1<||x 3－x 2<12||x 2－x 1.参考答案·数学(文科)高考原创押题卷（一）1．B 2.C3．B 由sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2cos x ，得tan x ＝2，所以cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos xsin x ＝－cos xsin x sin 2x ＋cos 2x ＝－tan x tan 2x ＋1＝－25，故选B. 4．D 日成交量的中位数是26，①错误；日平均成交量为13＋8＋32＋16＋26＋38＋1667≈43，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，②错误；认购量与日期不是正相关，③错误；10月7日认购量的增幅为276－112112×100%≈146.4%，10月7日成交量的增幅为166－3838×100%≈336.8%，④错误．故选D.5．A 以A 为坐标原点，分别以AD ，AB 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，D(2，0)，B(0，1)，C(1，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，PA →＋2PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，12，所以||PA →＋2PB→＝814＋14＝822，故选A. 6．B 由三视图可知该几何体是一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球后剩余的部分，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－2V 半球＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22×a －2×12×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝2π3，整理得a 3＝8，所以a ＝2，故选B.7．D 第1次循环，得M ＝144＋a ，N ＝2a ，i ＝2，此时M>N ，故144＋a>2a ，所以a<144.第2次循环，得M ＝144＋2a ，N ＝2a 2，i ＝3，此时M ≤N ，退出循环，故144＋2a ≤2a 2，即a 2－a －72≥0，解得a ≥9或a ≤－8(舍去)．综上得9≤a<144，故选D.8．D 当x ∈Q 时，f ＝f ()1＝1，当x ∈∁RQ 时，f ＝f ()0＝1，所以①是假命题；当x ∈Q 时，f ()－x ＝f ()x ＝1，当x ∈∁RQ 时，f ()－x ＝f ()x ＝0，所以②是真命题；当x ∈Q ，T ∈Q(T ≠0)时，f(x ＋T)＝f(x)＝1，当x ∈∁RQ ，T ∈Q(T ≠0)时，f(x ＋T)＝f ()x ＝0，所以③是真命题；对任意a ，b ∈(－∞，0)，{x|f(x)>a}＝{x|f(x)>b}＝R ，所以④是真命题．故选D.9．B 由b c ＝cos A 1＋cos C ⇒sin B sin C ＝cos A1＋cos C ⇒sin B －cos Asin C ＋sin Bcos C ＝0⇒sin(A ＋C)－cos Asin C ＋sin Bcos C ＝0⇒cos C(sin A ＋sin B)＝0，因为sin A>0，sin B>0，所以cos C ＝0，所以C ＝π2，故0<A<π2，π6<2A ＋π6<7π6，－12<sin2A ＋π6≤1，故选B.10．D 直线AC 与直线EC ′ 所成的角为∠A ′C ′E ，易知∠A ′C ′E ≠45°，故选项A 错误；点E 到平面OCD ′的距离就是点E 到平面A ′BCD ′的距离，即点E 到直线A ′B 的距离，即为24，故选项B 错误；取AC 的中点F ，则四面体O ­EA ′B ′在平面ABCD 上的射影是△FAB ，其面积为14，故选项C 错误；取DD ′的中点G ，则过点O ，E ，C 的平面截正方体所得截面为菱形A ′ECG ，其面积为62，故选项D 正确．11．B 依题意，双曲线E 的标准方程为x 2a 2－b 2－y2b 2＝1，因为椭圆D 与双曲线E 的一个交点在直线y ＝2x 上，所以可设其坐标为()t ，2t ()t ≠0，则t 2a 2＋4t 2b 2＝1，t 2a 2－b 2－4t2b 2＝1，消去t 2得1a 2－b 2－1a 2＝8b 2，设椭圆D 的一个焦点为(c ，0)，则a 2－b 2＝c 2，所以1c 2－1a 2＝8a 2－c 2，又e ＝c a ，所以1a 2e 2－1a 2＝8a 2－a 2e 2，整理得()1－e 22＝8e 2，由0<e<1得1－e 2＝22e ，解得e ＝3－2，故选B. 12．A 因为y ＝()x －2e2－x的图像与y ＝xe x的图像关于点()1，0对称，所以问题可转化为f ()x ＝xe x的图像与y ＝mx 2的图像只有一个公共点，即f(x)＝e x的图像与直线y ＝mx 无公共点．当直线y ＝mx 与f(x)＝e x的图像相切时，设切点为()t ，e t，则f ′()t ＝e t，所以切线的斜率m ＝e t＝e t－0t －0，整理得m ＝e.结合图像可得实数m 的取值范围为[)0，e ，故选A.13．6 因为f ()x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝axx －1＋a x1x－1＝ax x －1＋a1－x ＝a ()x －1x －1＝a ，所以a ＝3，f ()x ＝3x x －1，故f ()x ＋f ()2－x ＝3x x －1＋6－3x 1－x ＝6x －6x －1＝6.14.[)－2，2 不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0表示的平面区域D 为图中阴影部分，A ()0，2，B(－2，－2)，C ()2，0，E(0，－1)．当x>0时，y ＝x ＋mx||x ＝x ＋m, 把A(0，2)的坐标代入y ＝x ＋m ，得m ＝2，把C ()2，0的坐标代入y＝x ＋m ，得m ＝－2，所以－2≤m<2；当x<0时，y ＝x ＋mx||x ＝x －m, 把A ()0，2的坐标代入y ＝x －m ，得m ＝－2，把E(0，－1)的坐标代入y ＝x －m ，得m ＝1，所以－2<m<1.综上可得实数m 的取值范围是 圆E ：x 2＋y 2－2x ＝0的标准方程为()x －12＋y 2＝1，故圆心为E ()1，0，半径r ＝1.因为过点A 可作两条直线与圆E 相切，所以直线l 与圆E 相离，所以圆心到直线l 的距离d>r ，即||1＋m 2>1，即m>2－1或m<－2－1.若△ABC为正三角形，则|AE|＝2r ＝2，故d ≤2，即||1＋m 2≤2，即－22－1≤m ≤22－1.综上可得实数m 的取值范围是 f ()x ＝sin 4ωx －cos 4ωx ＝(sin 2ωx ＋cos 2ωx)(sin 2ωx －cos 2ωx)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝－cos 2ωx ，其最小正周期T ＝2π2ω＝πω.若对任意a ∈R ，{y|y ＝f(x)，a ≤x ≤a ＋2}＝A ，则T ≤(a ＋2)－a ＝2，即πω≤2，所以ω≥π2.由＝A ，可得x 1，x 2分别是f ()x 的极小值点与极大值点，所以x 2－x 1的最小值g ()ω＝T 2＝π2ω，由ω≥π2，可得g ()ω的值域为(]0，1.17．解：(1)设数列{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18，所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3()n －1＝3n ＋2.4分(2)设数列{}a n 的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15， 所以a 2＝9，q ＝a 2a 1＝3，a n ＝3×3n －1＝3n，8分所以S n ＝n ×3＋()n －1×32＋…＋2×3n －1＋3n①， 3S n ＝n ×32＋()n －1×33＋…＋2×3n＋3n ＋1②，②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32（1－3n －1）1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.12分 18．解：(1)这15天中PM2.5的最大值为112，PM10的最大值为199.2分(2)从这15天中连续取2天的取法有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)，(10，11)，(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，共14种.5分这2天空气质量均为优、良的取法有(1，2)，(7，8), (10，11)，(11，12)，(12，13)，共5种．所以从这15天中连续取2天，这2天空气质量均为优、良的概率为514.8分(3)由前8个月空气质量优、良的天数约占55%，可得空气质量优、良的天数为55%×240＝132，10分9月份这15天空气优、良的天数有8天，空气质量优、良的频率为815，2016年后4个月该市空气质量优、良的天数约为120×815＝64，132＋64＝196>190，所以估计该市到2016年底，能完成全年优、良天数达到190天的目标.12分19．解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，又BC＝CD，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC，因为PD⊥DC，所以PB⊥BC，3分因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB，因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.5分(2)由BC＝CD＝BD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，由AB＝AD，BD＝PA＝3，可得AB＝1，7分所以△ABD 的面积S ＝12×1×1×sin 120°＝34.9分因为E 为PC 的中点，所以三棱锥E ­ ABD 的高h ＝12PA ＝32，故三棱锥E ­ ABD 的体积V ＝13×34×32＝18.12分20．解：(1)由题意可知，F(0，1)，且直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y⇒x 2－4kx －4＝0.2分设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，4分所以S △AOB ＝12||OF ||x 1－x 2＝12||x 1－x 2＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1216k 2＋16≥2，当k ＝0时，△OAB 的面积最小，最小值为2.6分(2)由x 2＝4y ，得y ＝x 24，y ′＝x 2，所以l 1的方程为y －x 214＝ x 12()x －x 1，即y ＝ x 1x 2－x 214.①同理可得l 2的方程为y ＝ x 2x 2－x 224.②9分联立①②，得x ＝x 1＋x 22＝2k ，y ＝x 2x 2－x 224＝x 2（x 1＋x 2）4－x 224＝x 1x 24＝－1，所以点P 的坐标为()2k ，－1，因为k ∈R ，所以点P 的轨迹方程为y ＝－1.12分21．解：(1)由f ()x ＝ln x ＋ax ＋1x ＝ln x x ＋a ＋1x ，得f ′()x ＝1－ln x x 2－1x 2＝－ln xx 2，2分 所以f ()x 在()0，1上单调递增，在()1，＋∞上单调递减，所以f ()x ≤f ()1＝a ＋1，所以a ＋1<0，所以实数a 的取值范围是()－∞，－1.4分(2)证明：由(1)知f ()x 在()0，1上单调递增，在()1，＋∞上单调递减，由函数f ()x 有两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)，可知x 1∈()0，1，x 2∈()1，＋∞. ①若x 2∈()1，2，则2－x 2∈()0，1，设g ()x ＝f ()x －f ()2－x ＝ln x x ＋1x －ln ()2－x 2－x －12－x ，则当x ∈()0，1时，g ′()x ＝－ln xx 2－ln （2－x ）（2－x ）2>－ln x x 2－ln ()2－x x 2＝－ln ()2x －x 2x2＝－ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－()x －12＋1x2>0，所以g ()x 在()0，1上是增函数，故g ()x <g ()1＝0，即f ()x <f ()2－x ，所以f ()2－x 1>f ()x 1＝f ()x 2，而2－x 1∈()1，2，x 2∈()1，2，根据f ()x 在()1，＋∞上单调递减可得2－x 1<x 2，即x 1＋x 2>2.9分②若x 2∈[)2，＋∞，则由x 1>0可知x 1＋x 2>2也成立.10分因为x 21＋x 22>2x 1x 2，所以2()x 21＋x 22>()x 1＋x 22>4，故x 21＋x 22>2.12分22．解：(1)圆x 2＋y 2－2x ＝0的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，向左平移一个单位后，所得曲线的方程为x 2＋y 2＝1，2分把曲线x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到曲线C 的方程为x 23＋y 2＝1， 故曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．5分(2)由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322，得ρcos θ＋ρsin θ＝3，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －3＝0，7分所以曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝||3cos α＋sin α－32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－32≥12＝22，所以||AB ≥22，即当α＝π6时，||AB 取得最小值22. 10分 23．解：(1)f ()||x >||f ()2x ，即11＋||x >1||1＋2x ，即⎩⎨⎧x ≠－12，||1＋2x >1＋||x .2分当x ≥0时，解不等式||1＋2x >1＋||x 得x>0；当－12<x<0时，解不等式||1＋2x >1＋||x 得x ∈∅；当x<－12时，解不等式||1＋2x >1＋||x 得x<－2.综上可知，不等式f ()||x >||f ()2x 的解集为(－∞，－2)∪()0，＋∞.5分 (2)证明：因为0<x 1<1，所以 x 2＝f ()x 1＝11＋x 1>12.因为()1＋x 1()1＋x 2＝()1＋x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋x 1＝2＋x 1，且2<2＋x 1<3，所以2<()1＋x 1()1＋x 2<3，13<1()1＋x 1()1＋x 2<12，所以13|x 2－x 1|<|x 2－x 1|（1＋x 1）（1＋x 2）<12|x 2－x 1|.8分又||x 3－x 2＝11＋x 2－11＋x 1＝||x 2－x 1()1＋x 1()1＋x 2，所以13||x 2－x 1<||x 3－x 2<12||x 2－x 1.10分。