巧用向量方法求解决最值问题

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用向量方法巧解最值问题

设ｍ一（ｚ一２３，一（，），ｌｚ一５，１，一）则
Ｙ — ｓ（－２ｚ３－ｖ／ｘ－ — ＋ｚＩ／ — ）－，
ｖ二而／＝
求解．
含有无理式，用凑配技巧来利
函数训一ｚ＋的最小值．解：ｍ一（），一（，）由定义有：设ｚ，，ｌ１２，
ｍ・，一＋２ｌ一１，ＩＩＯｍ一＋，，Ｉ５Ｉｌ一，从而训一ｚ＋ｚＩＩｚ — ≥ ｍ一一
的最值
，即
＋Ｙ ≥
６
，
当且仅当ｍ与，向时取等号．ｌ同
向量三角不等式主要有以下四个：
（）小ＩＩｌ ≥ Ｉｌ，Ｉ当且仅当ｍ与１Ｉ＋，Ｉ，＋ｌ，，
完全类似地，向量ｍ一（＂Ｙ，），一设ｏ，ｚ，ｌＺ（ｂｆ，ｍ与，数量积为：ｎ，，）则ｌ的（）・，— ｎ３ｍｌｚ＋＋ｃ，而也有：・，ｚ从ｍｌ
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解题方法与技
用向量方法巧解最值问题
广西钦州师专数学与计算机科学系（３００梁常东５５０）广西桂林师专数学与计算机科学系（４０１蒋晓云５１０）
在中学数学中，某些代数式的最值问对题通常使用凑配技巧（配方法）解，在如求现高中数学增加了向量内容，们在使用向量我方法求解最值问题，别是一些无理式的最特值问题时，以大大简化解题过程，高解题可提

向量法在中学数学解题中

向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。

1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ．分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁．例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值．分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=，即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==，则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-，又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+．于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角．解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=，得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。

高等数学应试密码巧用向量计算提高解题速度

高等数学应试密码巧用向量计算提高解题速度高等数学应试密码：巧用向量计算提高解题速度在高等数学的广袤世界里，向量就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们迅速打开解题的大门，大大提高解题速度。

今天，就让咱们一起来揭开这神秘的面纱，探寻向量计算背后的那些小秘密。

我记得有一次给学生们上课，讲到向量计算这个知识点的时候，有个平时特别活跃的学生小张，一脸疑惑地问我：“老师，这向量到底有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，没有直接回答他，而是在黑板上写下了一道题：已知空间中三点 A(1, 2, 3)、B(4, 5, 6)、C(7, 8, 9)，求向量AB 与向量 AC 的点积。

同学们都开始埋头苦算，小张也不例外。

过了一会儿，大部分同学都算出了结果，可小张还在那抓耳挠腮。

我走到他身边，看了看他的解题过程，发现他把向量的坐标弄混了，计算过程也是乱七八糟。

我拍了拍他的肩膀说：“小张啊，别着急。

咱们先搞清楚向量的坐标怎么求。

”于是，我带着大家一起回顾了向量坐标的计算方法：若有两点 M(x1, y1, z1)、N(x2, y2, z2)，则向量 MN 的坐标就是（x2 x1, y2 y1, z2 z1)。

按照这个方法，咱们就能轻松求出向量 AB 的坐标是（3, 3, 3)，向量 AC 的坐标是（6, 6, 6)。

接下来计算点积就简单多啦，两个向量的点积等于它们对应坐标的乘积之和。

所以向量 AB 与向量 AC 的点积就是 3×6 ＋ 3×6 ＋ 3×6 ＝54。

小张恍然大悟，一拍脑袋说：“哎呀，原来是这样，我之前都算错啦！”从那以后，小张对向量计算可上心了，每次做题都特别认真。

这只是一个小小的例子，但却能反映出向量计算在解题中的重要性。

如果能熟练掌握向量的运算规则和性质，很多看似复杂的问题都能迎刃而解。

比如说，在求平面的法向量时，向量的知识就能大显身手。

假设给定一个平面方程 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ 0，我们可以通过设平面的法向量为 n ＝（A, B, C) 来快速求解。

构造平面向量巧解最值问题

构造平面向量巧解最值问题以《构造平面向量巧解最值问题》为标题，本文讨论的是一种可以用来解决最值问题的有效解决方案构造平面向量法，并分析其优势和存在的问题。

首先，让我们来回顾构造平面向量法的基本概念和步骤。

构造平面向量法是指，先将向量空间中的一个点A视为解空间的起始点，然后搜索另一个或多个点B，使其与点A组成一个平面向量，该平面向量可以满足给定的最值条件。

如果有多个满足给定最值条件的平面向量，那么就可以找到最优的平面向量 (使用最小二乘法等最小化工具)，从而获得最优解。

构造平面向量法包含以下几个重要步骤：首先，选定一个解空间中的起始点，然后，根据等式求解限定条件确定要搜索的下一点，最后，采用最优化技术（如最小二乘法）找出最优解。

构造平面向量法具有许多优点，首先，它是一种非常快速高效的求解方式，避免了极值搜索法可能遇到的局部最小值的问题；其次，它是一种灵活的求解方法，能够快速有效地应用于不同类型的最值问题；此外，它还具有普遍性，能够有效地处理多维最值问题以及各种求解空间的复杂最值问题。

尽管构造平面向量法在解决最值问题方面具有许多优点，但它也存在一些问题。

首先，构造平面向量法是非线性的，它无法解决高纬度最值问题；其次，它也会受到参数设置的影响，当参数设置不合理时可能会得到错误的解决方案；此外，它也受到初始点设置的影响，如果初始点设置不合理，也可能会得到错误的解。

综上所述，构造平面向量法是一种有效的最值解决方案，它在多种最值问题中都可以取得很好的效果，但是，它也有一定的局限性，应当根据实际的情况来合理地使用和调整参数，以获得有效的求解结果。

总之，构造平面向量法作为一种有效的最值解决方案，在多维最值问题中可以取得很好的效果，但在解决高维度最值问题时，需要进行参数设置和初始点设置以获得最佳解决结果。

用向量法求解最值问题

ｃ＋２＋ｃｌ３
一
！：
数量积，往能避免繁杂的凑配技巧，解答过程往使
直观又易接受，面举例说明：下
１１二维向量数量积求最值．’
一ｃ＋２ｌ＋ ’
当且仅当ｍ与，同向时，ｚｌ即一ｚ一ｚ＞。。
线，线段与两坐标轴所围成的面积．据约束条垂根
［，］Ｏ１．
５面积
ｆｘ — Ｙ ≥ ０２
件画出可行域，可知：Ｐ（）过点（，）时取当ｘ，２３
最大值，最大值为６。
截距、距离、影、率、投斜坐标、积是实现目面
・ｏＯｃｓ ≤
６）一（，，）１１１
，
ｉ
以＋ａｚ
２＋
ｎ
ａ２
．厄
…
ｎ十ｎｌ
于是由Ｉ＋ＩｌＩ ≥ ＩＩ，＋ＩＩｍｐｍ＋，ｐＩ有ｌ，＋
３
干
≥ ３ｎ＋ｂ＋ｃ ≥ ．得ｚ２ｚ
１利用向量的数量积求最值
ｎ：（，
，－，）则
Ｙ— ｃｚ十Ｃｚ＋Ｑｚ＝ｌ｝２ｉ；
。≥ 一
在求解某些初等代数最值问题时据条件根
和结论的特点，其转化为向量形式，将利用向量的
！！垒±！ ±！兰
小值２Ｏ
１２三维向量数量积求最值．侈设ｃ，２ｃＵ２ｌｃ，３＞０且ｃｚｌｚ＋ｃｚ＋ｃｚ２２３３

论单位向量的巧用

当
五．
曰
一
综上可知，／／二＝＞存在一个实数五，使得：２－。
ｅｌ
Ａ
６
Ｅ
Ｃ
－
－
（）
ｊ
评注：利用商形式后，便于学生理解。令书或＝一一骨雨的
评注：利用
图１菱形
途径之一。
２．１．２利用单位向量证明定理、等式例１证明向量共线定理向量共线定理阐述如下：对于向量西、，若／／
１单位向量的概念
量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。一个非零个单位向量在平面直角坐标系上的坐标可表示为是：（『ｌ ’ 后），
值的课题，已经受到人们广泛重视。向量（ＶｅＣｔｏｒ）又称矢量，即
大家还－．Ｉ￣Ｊ用前面介绍的两个同向单位向量相等的性
求出函数Ｙ＝４ｃｏｓｘ＋３ｓｉｎ埔更得最大值与最小值时对应的既有大小又有方向的量叫做向量。单位向量是一种特殊向量，质，的角度（此处不再赘述）。在一些情况下，我们可以利用单位向量的特性来巧妙解决数学中的问题，其方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效
ｌＣ
：
当高与裔同向时，Ｉ＝，则＝斟丽，令＝一尉，则有再：＝．当鬲与南反向时，裔：＝一鬲，则云。一一茸同，令：一罱，则有
对州

数学-平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的最值与范围问题高中数学　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1　如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解　因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1　如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案　(－1,0)解析　由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2　在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案　C解析　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2　在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案　2918解析　根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3　向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案　32解析　|a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3　已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案　433解析　将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4　已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案　255解析　∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4　已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案　C解析　因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案　C解析　因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案　D解析　由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案　B解析　因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案　B解析　∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案　A解析　以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案　C解析　∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案　9解析　根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案　2＋12解析　因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解　由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解　设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案　C解析　∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案　C解析　不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案　D解析　因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案　－4952解析　∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案　12解析　设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解　(1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。

巧用向量解难题

二、空间向量的运用
对于立体几何题，现在的绝大部分学生首先想到的是利用向量的方法来解决 .的确，向量方法是解决立体几何问题的一大利器，它的最大好处是极大地降低了学生对于空间想象能力的要求，这样一来对于传统立体几何的教学也是一种挑战，这需要我们必须有意识地加强传统内容的教学与训练，下面举例说明.
题.
单位向量在数学中的应用广泛，除以上应用外，还
常构造单位向量解决三角求值，探求函数的最值及值域
等问题，其特点是方法新颖、运算简捷 .总之，向量是
“数 ”与“形 ”的最佳载体，而适当挖掘单位向量的潜在功
能，无论对解题还是对教材的处理都大有裨益.
\O A +O B \
**
V T ). 妙用单位向量的性质，避繁就简，一气呵
向量的夹角公式是 c o s 〈a
\a \\b \ -'2,其中'1，'2
分别是与a ，b 同向的单位向量，这也说明可选取向量的
9 2 十 •？炎，？高中版
简便 . 作向量冬，及菱形％' ( ) ，由〇(为
\a\
\b\
$ % 0 ' 的平分线，知 # / / $ ( ，即# / / ( $ % + $ # ) ，故
的边长为/ ，则可得 \ ^ " % & " % & ，

论单位向量的巧用

论单位向量的巧用作者：杨国栋来源：《神州·下旬刊》2013年第01期摘要：单位向量是一类特殊的向量，是数学中基本概念之一。

本文首先介绍了单位向量，然后从利用单位向量求有关函数的最值、证明定理、等式、简化几何中轨迹问题、解有关三角问题以及单位向量与角以及在立体几何中的应用几个方面进行了实例的应用分析，从而达到快捷解题的目的，最后做了相关的结语。

关键词：单位向量理解巧用向量是现代教学中一个重要的概念。

它是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，也是沟通数学与物理及其他学科的桥梁。

在中学数学的教学中，向量教学是很有重要研究价值的课题，已经受到人们广泛重视。

向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。

单位向量是一种特殊向量，在一些情况下，我们可以利用单位向量的特性来巧妙解决数学中的问题，其方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效途径之一。

1单位向量的概念单位向量是一种特殊向量，单位向量是指模等于1的向量。

由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

一个非零向量与其模的倒数的乘积，可得与其方向相同的单位向量。

一个单位向量在平面直角坐标系上的坐标可表示为是：■，其中■。

其中■就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率。

这个向量是它在直线的一个单位方向向量。

2 单位向量应用举例2.1.1 利用单位向量求有关函数的最值例求函数■的最大值与最小值。

分析：本题中函数等号右边的结构很象两个向量数量积的坐标运算，因此通过构造法，将函数■看作两个向量■与单位向量■的数量积，即■；然后利用向量数量积的性质■和当■与■同向时，■；当■与■反向时，■，便可求得函数■的最大值与最小值具体解法如下：解：设■，■，则■。

■所以由向量的性质得■，得■。

（1）当■与■同向时，y有最大值，■；（2）当■与■反向时，y有最小值，■。

大家还可利用前面介绍的两个同向单位向量相等的性质，求出函数■取得最大值与最小值时对应的x的角度（此处不再赘述）。

平面向量中最值、范围问题解题模板

不妨取，则，设，
因为，所以，所以，所以，故选：C.
【点睛】本题考查向量的数量积的最值求解，常常运用建立直角坐标系，利用坐标运算和转化为已知向量的方法，属于中档题.
8.在中，，，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
3.如图，在中，，点，分别在，上，且， .若与相交于点，则的取值范围是__.
【答案】 .
【分析】设，，由三点共线的向量表示可设，结合已知条件进一步得到，
由此可得，结合余弦函数的有界性即可得出答案.
【解析】不妨设，，由于，，三点共线，，，三点共线，
故由平面向量基本定理可设，，
7.已知AB是半圆O的直径，AB=2，等腰三角形OCD的顶点C､D在半圆弧上运动，且OC=OD，∠COD=120°，点P是半圆弧上的动点，则的取值范围（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设出点C、D、P的坐标，利用向量的数量积运算和三角函数的性质可得选项.
【解析】以点O为原点，AB为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，如下图所示，
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】作出图像如下图所示，取的中点为D，由，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式，可得选项.
【解析】作出图像如下图所示，取的中点为D，则，因为，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，
则 .又为圆O上的点P到D的距离，则，
∴ 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.

巧用向量求最值

巧用向量求最值作者：吴孝刚来源：《速读·中旬》2014年第08期函数的最值问题，经常出现在中学各试题中，巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等，可以使一些函数的最值问题的思路清晰，解题方法简捷巧妙，并富于规律性，趣味性。

定理 A、B为两个向量，则[A2≥（A· B）2B2]【证明】设两向量的夹角为[A2=A2·B2B2]. 则[A2=A2·B2B2]≥[A2B2cos2θB2=（A· B）2B2].一、巧用向量求未知数满足整式方程的代数式的最值例1 已知：实数[x、y]满足[x2+y2-2x+4y=0]，求[x-2y]的最值.【解】设[A=（x-1，y+2），B=（1，-2）].由[x2+y2-2x+4y=0]，得[5=x2+y2-2x+4y+5][=（x-1）2+（y+2）2=A2]≥[（A· B）2B2][=（x-1-2y-4）212+（-2）2=（x-2y-5）25]，所以0≤[x-2y]≤10.故[x-2y]的最小值是0，最大值是10.二、巧用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值例2 已知：实数[x1·x2·x3]满足方程[x1]+[x2]+[x3]=1，及[x21]+[x22]+[x23]=3，则[x3]最小值是多少？【解】方程可以化为[x1]+[x2]=1-[x3]，[x21]+[x22]=3-[x23]，巧设向量A=（[x1]，[12][x2]），B=（1，[12]），则3- [x23]=[x21]+ [x22]=│A│2≥ = [x1][x2]= （1-[x3]）2。

解3- [x23]≥（1-[x3]）2，得- ≤[x3]≤3，故[x3]的最小值是.三、巧用向量求未知数满足整式方程的分式的值例3 已知：实数[x]，[y]满足方程（[x]+2）2+[y]2=1，则[y][x]的最小值是多少？【解】设[y][x]=[k]，则[y]-1=[k][x]-2[x]，[y]=[k][x]-2[k]+1.设A=（[x]+2，[k][x]-2[k]+1），B =（[k]，-1）则1=（[x]+2）2+[y]2=（[x]+2）2+（[k][x]-2[k]+1）2=│A│2≥ =[k][x][x][k][x][x][k]= [k]，所以（4[k]-1）2≤[k]2+1，即[k]（15[k]-8）≤0，解得0≤[k]≤.故[y][x]的最小值是0.四、巧用向量求无理函数的值域例4 求函数[y]=[1994-x]+[x-1993]的值域。

运用向量处理解析几何最值问题

向量具有良好的运算性质和明晰的几何意义，利用向量知识来处理解析几何中的最
值问题．将会非常简捷。下面我们略举数例，以说明向量知识在探求解析几何最值中的独
特作用。
例１已知定点（１０和（，）尸圆（一）（一）４一动点，求ＭＩｌＩＩ一，）１０，是３ｙ４上＋＝试＝＋的最大值和最小值。
也相同）。于是，结合ｓ＋４，＝８即可求得当Ａ，两点的坐标分别为（／，／）再￡ｍｎ１，＝Ｂ、一、和
（、，、）或（、＿＿、）－、，３／），４３／３／，一／，／和（３／一、时ｄｒ。一Ｉ＝
，
＋１ｆＹ＝。与，ｏＹ
ｂ ‘
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ｂ ‘
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轴别交点。（）向ｍ丢）（，数积等分相于Ｐ，。芸构量（芸，詈ｙ利量不（）。。＝，咒，用ａ、，２＝ｏ）
式 ≥ ：（＋）（＋）＋≥ ‘等）ｌｌ得Ｑ丢（＝）芸］（詈。＝ｍｍｔ））＋詈ＩＰ［（（篑
ｌ葫 ≤Ｉ＋，３ ≤ ，ｆ． ≤Ｉ葫・．７从而有２ ≤“ ０。故Ｍ０ ≤１０的最大值为１０最小值为２。０，０
点评通过距离联想到向量模长，而构造向量，用向量运算及模长不等式一 ≤ 利
ｌｂ≤ｌｌｌ求出最值。ａｌａ＋ｌ＋ｂ

巧解平面向量最值问题

巧解平面向量最值问题
平面向量是高中数学的重要内容，是高考必考的内容之一，平面向量集数与形于一体，既有明显的几何特征又有典型的代数特点，是一种解决数学问题的重要工具。

近年来，平面向量最值问题经常出现高中各类考试中，此类问题题型多样，灵活性、综合性强，是学生学习的一个难点，深入研究此类问题的解法，有一定的实际意义。

下面，就平面向量最值问题的解法谈谈本人的看法：
1巧用图形，注重几何意义
本类型题主要是考查平面向量的加减法、向量的合成与分解、向量的模等问题，若能深入挖掘题中隐含条件，合理地进行转化，注重向量几何特征的应用，能方便快捷有效地解决问题。

合理构造向量对应的图形是解决本类问题的关键，应该说，数形结合的思想方法是解决向量问题最基本也是最常见的策略之一。

2合理建系，突出坐标运算
本类型主要是对条件中所涉及的图形建立适当的坐标系，从而题中的点或向量将有相对应的坐标，结合向量的坐标运算，能解决所求问题。

适当建系，准确求出点的坐标是解决本类问题的关键。

这是几何问题代数化的又一典型，是向量的特点之一。

3整体处理，妙用不等式
本类型问题属于较综合的问题，通常给出某一平面向量的基底及相应区域中的点，求某一向量变化的范围等问题。

结合平面几何的知识，准确判断向量的变化范围，合理运用不等式性质是解决本类问题的关键。

4活用函数性质
本类型问题是向量的常见问题，通过向量的坐标运算，进而转化为基本初等函数性质的运算，最终求出题中最值问题。

要特别注意自变量的取值范围。

本类问题体现向量的代数特征，同时也说明向量与三角函数有密切的联系。

向量最值题型解题方法

向量最值题型解题方法向量问题一般分为向量的运算和向量的性质两个方面。

其中向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法、向量积和点积等；而向量的性质包括向量的模、单位向量、平行向量和垂直向量等。

下面我将分别介绍这些向量问题的解题方法。

一、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，其结果仍然是一个向量。

向量的加法满足交换律和结合律。

具体求向量的和时，只需将两个向量的对应分量相加即可。

2.向量的减法向量的减法是指将两个向量按照一定的规则相减，其结果仍然是一个向量。

向量的减法通过加上被减向量的负向量来实现。

具体求向量的差时，只需将两个向量进行相加，其中被减向量的各个分量取其相反数。

3.数量乘法向量的数量乘法是指一个向量与一个实数的乘积，其结果仍然是一个向量。

具体求向量的数量乘法时，只需将向量的各个分量与实数相乘即可。

4.向量积5.点积点积又称为数量积或内积，表示为$A \cdot B$，是两个向量的数量积。

点积的结果是一个实数，等于两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值之积。

二、向量的性质1.向量的模向量的模是指向量的长度，表示为$，A，$或$\，A\，$，即向量的终点到原点的距离。

根据勾股定理可以求出向量的模。

2.单位向量单位向量是指向量模为1的向量。

具体求单位向量时，只需将向量的各个分量除以向量的模即可。

3.平行向量平行向量是指夹角为0度或180度的两个向量。

两个向量平行的判断条件是它们的方向相同或相反。

4.垂直向量垂直向量是指夹角为90度的两个向量。

两个向量垂直的判断条件是它们的点积等于0。

在解决向量最值问题时，我们需要根据题目要求选择合适的方法。

根据向量的运算和性质，可以采用如下解题思路：第一步，读清题意，明确向量的数量、方向和运算等要求。

第二步，根据题意选择合适的向量算法。

如果题目要求计算向量的和、差或数量乘法，可以直接利用向量的运算法则进行计算。

如果题目要求计算向量的模、单位向量、平行向量或垂直向量，可以利用向量的性质进行计算。

求解平面向量最值问题的几个途径

思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1，若△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解：因为∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则∠AOB =2∠ACB =π2，又因为AB =2，所以OA =OB =2，即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2，OA ⊥OB ，即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ，因为A 与C 不重合，所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π，故-1≤cos ∠AOC <1，所以当cos ∠AOC =-1，即当O 为AC 的中点时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式；然后确定∠AOC 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，2 BE =EC ，P 是平面ABCD 内的动点，且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解：由 AP ∙ AB = AP 2知： AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ，所以P 在以AB 为直径的圆上，F 为圆心，于是以B 为原点，以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1)，若P (x ,y )，则x 2+(y -1)2=1，则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y )，所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t )， PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t )，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和，又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上，1<x <3，由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1)，故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2，此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P 点的坐标，求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式，即可根据其几何意义，将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定H 的位置，即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足||||a -b =2，且(c -a )∙(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈éëùûπ6,π3，则||c 的最大值是______.解：根据题意，作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC，可得：||AB=2，且∠ACB=90°，取AB中点为M，则||CM=12||AB=1，则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知，当O,M,C三点共线时，|| OC取得最大值，即|| OCmax=|| OM+1；不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G，则GM⊥AB，在三角形OAB中，由正弦定理可得：2||OG=ABsinθ，即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3，故当θ=π6时，||OG max=2，||GM max=||OG2max-1=3；当O,M,G三点共线时，|| OM取得最大值，此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6，且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定||c 取得最大值的情形：O,M,G,C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点，则 AN∙ MN的最小值为______.解：因为CE=2EB，CF=2FD，所以BE=13 BC， DF=13 DC，所以AE=AB+BE=AB+13 AD，AF=AD+DF=13 AB+ AD，因为点M在线段EF上，可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD，而AM=xAB+12 AD，所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34，x=56，所以 AM=56 AB+12 AD，则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49，所以|| AM=7，因为点N为线段BD上一个动点，可设AN=μAB+(1-μ)AD，μ∈[]0,1，所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD，所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374，则当μ=712时， AN∙ MN的最小值为-374．由于∠BAD=60∘，AB=6，所以以向量AB,AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN∙MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的结构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.（作者单位：甘肃省康乐县第一中学）48。

向量中最值问题方法

向量中最值问题方法宝子们，今天咱们来唠唠向量中的最值问题咋解决哈。

一、利用向量的模长公式。

向量的模长公式是解决最值问题的一个好帮手呢。

比如说给你一个向量→a=(x,y)，那它的模长→a=√(x^2)+y^{2}。

要是遇到求向量模长的最值，就可以根据这个公式来转化问题。

像那种已知向量的坐标是关于某个变量的表达式，就把模长公式套进去，然后就变成了求一个函数的最值问题啦。

就好像是把向量的问题，披上了函数的外衣，然后咱就可以用函数求最值的方法，像求二次函数最值的配方法之类的来搞定。

二、利用向量的数量积。

向量的数量积也超级有用哦。

如果有两个向量→a和→b，它们的数量积→a·→b=→a→bcosθ（这里的θ是两个向量的夹角）。

有时候会遇到那种已知向量之间的夹角范围，让求数量积的最值的情况。

这时候呢，咱们就可以根据这个公式来分析。

如果夹角θ是固定的，那数量积就和两个向量的模长有关啦。

要是模长又可以用前面说的模长公式表示成关于某个变量的式子，那又能转化成函数问题喽。

而且哦，如果是求→a+→b这种向量和的模长的最值，咱们可以先把→a+→b^2=(→a+→b)^2=→a^2+2→a·→b+→b^2，通过这个式子先求→a+→b^2的最值，再开方得到→a+→b的最值，是不是很巧妙呀。

三、建立坐标系。

当题目中的向量关系比较复杂的时候，咱们可以建立坐标系呀。

把向量用坐标表示出来，这样就可以把向量问题转化为坐标运算的问题。

比如说有个三角形，已知各边向量之间的关系，咱们就可以把三角形放在坐标系里，让一个顶点在原点，一条边在坐标轴上，这样向量的坐标就比较好表示了。

然后再根据前面说的模长公式和数量积公式来求最值，就会清晰很多呢。

向量中的最值问题虽然有点小麻烦，但只要掌握了这些方法，就像找到了打开宝藏的钥匙一样，宝子们加油呀！。

向量中的最值类型和解题策略

解法二： ’ ｌｌｃｓｊｌ＝ｎ６＝０西ｆ４ｆｂｌ
＝。
例５如图２在梯，
形ＡＣ中，Ｄ∥ ＢＢＤＡＣ，
Ａ上ＡＡ＝１Ｂ＝ＤＢ，Ｄ，Ｃ
＝
又一１ｅｓｏ・ｂｌ。故ＩＩ＜￣ｏ０＜Ｉ ≥４西的
一
思路分析：利用判别式建立有关ｃｓｏ０的不等式再求解。
解：Ａ＝Ｊ１口 —４西，Ｉ＝２，ｏ０＝ａ・ ≥０又ａＩＩｃｓｂＩ
旨．ｓ吉又．［］．最，０≤ 。 ’Ｅ００小．．ｃ ‘ ，的０
值争为
例３已知点Ａ（，）Ｂｏ一１、（，）０为０１、（，）ｃ１０，原点，动点Ｐ满足・：２１，１求与夹角２０的最大值。思路分析：Ｐ点的坐标，用条件中的向量设利等式确定尸点的坐标关系，出与夹角０构的函数关系再求解。解：设点Ｐ，）则＝（Ｙ一１，＝（（ｖ，，），
∈Ｒ，求＋Ｙ的最大值。思路分析：ＩＩ由Ｄ一１出，导Ｙ的关系式，令＋Ｙ＝ｔ可构出关于的元二次方程，再利用判别式法求最值。
一
解：０＝ＩＯ１ＣＩＡ＋Ｙ
一：ｌ
ＯＢＩ＿１２＋ｊ
噻警棒ｊ０ｉ童ｉｌ＿ｌｌ０ ¨：０ｌｌｌｌ１
求ＩＩｂ的最小值。思路分析：利用Ｉ・ ≤ ＩＩ口ｂＩＩａＩｂ建立有关ＩＩｂ的不等式，解这个不等式可得ｌ的最小值。西ｌ

妙用转化思想，巧解平面向量模长最值问题

课程篇妙用转化思想，巧解平面向量模长最值问题陈波（青田县船寮高级中学）平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何的桥梁。

纵观最近几年的高考数学试卷，其中出现不少有关平面向量模长最值问题。

由于这类问题一般以选择题或填空题的形式出现，大部分试题不以“图形”为载体，导致题目很抽象，学生往往很难入手。

解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化。

本文主要结合具体实例谈谈这类问题的常用解题策略与方法。

一、利用向量基本知识转化为函数最值问题例1.（2013浙江理17题）设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ⭢=xe 1+ye 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b ⭢|的最大值为.解：|x||b ⭢|=|x|（xe 1+ye 2）2√=|x|x 2+y 2+3√xy √当x =0时，|x||b ⭢|=0当x ≠0时，|x||b ⭢|=|x|x 2+y 2+3√xy √=1（y x ）2+3√（y x）+1√|x||b ⭢|=1（y x+3√2）2+14√∵y x ∈R ，∴|x||b ⭢|≤2解题思路：借助向量的模长公式，使|x||b ⭢|转化成关于y x 的一个二次函数最值问题。

二、利用坐标进行转化，结合图形求向量最值例2.如图，点M 在扇形AOB 的弧AB 上且弧AM AB的四分之在OA 、OB 上，OC=BD 。

若|OA 1，∠AOB=120°，|MC ||MD |最小值为______.解：建如图所因为上，所以设OC =λOA ，则OD =1-λ）OB ∴A （1，0），B （-12，3√2），C （λ，0），D （λ-12，3√（1-λ）2），M=（3√2，12）|MC |（λ-3√2）2+14√|MD （3√2-λ-12）2+（3√-3√λ2-12）2√=（λ-1）2+1√|MC ||MD |（λ-3√2）2+14√+（λ-1）2+1√此时的问题可以转化成点（λ，0）到点（3√2，12和（1，-1）间的距离之和，即MC +MD =（λ-3√2）2+（0-12）2√+（λ-1）2+（0-1）2√，|MC ||MD |（1-3√2）2+（-1-12）2√∴|MC +MD ≥4-3√√∴MC +MD |的最小值为4-3√√.解题思路：本题通过建立平面坐标系得到关于向量模长的有关表达式，因为涉及两点距离公式，转化成动点到两定点距离最值问题，回归到通识通法上去解决问题。

向量妙解线性规划最值问题

６
＝一
’
ＢＤ长为４３，ＢＣ上中线为ＡＭ，设ＢＤ与ＡＭ交于
０，可知Ｄ为重心．设／ＯＢＭ：０，
，、
．．
．
ＢＣ：２ＢＭ：２ＢＯ．ｃｏｓ０：２×
３
＾
．ｃｏｓ０．ＡＭ
ｓｉｎＡ
：
３０Ｍ：３ＢＯ．ｓｉｎ０：３ × 尘．ｓｉｎ０
取值范围是（一４，２）．故选Ｂ．
量数量积的几何意义（见图１）可知：当点Ｕ（ｘ，Ｙ）在
ｚ一：ｊ
．
（除端点（－４，２），Ｍ２（２，２）外）上任意一点时，
故选Ｃ．
Ｉ
ｚ＝＋２仅在点ＢＢ（１，１）处取得最小值，所以ｋ的
８６
福建中学数学
２０１４年第ｌ、２期
的手段，如坐标法，换元法等转化之后使用基本不等式解决最值问题．角度４几何意义法从目标函数的结构中发现几何意义，直接使用几何意义解题・如策略１中６ｓｉｎＡ
ｊ
＝
２ｓｉｎ２０，０∈ （０，），
所以当０＝时，最大值为２．
４
解法体会构造动点与定点的连线斜率，利用动
点的轨迹将最值转化为切线的斜率，注意变量的范
围对轨迹的影响．
解法体会从条件出发，在条件与条件，条件与结论的交汇处找解题的突破口；ＢＯ长度就是这样的量，引入一个变量角简洁表示出三角形的面积．