正多边形的计算练习题
3.7 正多边形(4大题型)(分层练习)(解析版)
第3章圆的基本性质3.7 正多边形（4大题型）分层练习【答案】十二/12【分析】连接OB 、OC COD BOC BOD Ð=Ð-Ð【详解】解：连接OB ∵ABC V 是O e 的内接正三角形，∴3603120AOC ==°Ð°∵BD 是O e 的内接正四边形的一边，∴360904BOD °Ð==°30COD BOC BOD Ð=Ð-Ð=°．5．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，点O 是正方形，ABCD 的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E （异于点O ），使得;EB EC =（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接,EB EC EO 、、求证：BEO CEO Ð=Ð．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作BC 的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明EBO ECO @V V 即可求解．【详解】()1如图所示，点E 即为所求．()2连接OB OC、由()1得：EB EC=O Q 是正方形ABCD 中心，,OB OC \=\在EBO V 和ECO V 中，EB EC EO EOOB OC =ìï=íï=î(),EBO ECO SSS \@V V BEO CEO \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．考查题型二 已知正多边形的中心角求边数1．（2023·浙江·九年级假期作业）如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】根据正多边形的边数=周角¸中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是360458°¸°=，故选：C ．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，边AB 是⊙O 内接正六边形的一边，点C 在 AB 上，且BC 是⊙O 内接正八边形的一边，若AC 是⊙O 内接正n 边形的一边，则n 的值是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】C 【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB ，∠BOC 的度数，可得∠AOC =15°，然后根据边数n =360°÷中心角即可求得答案．A．6cm B．【答案】C【分析】如图，正六边形由等边三角形的性质得出由正多边形的性质得，点Q点是正六边形ABCDEF O\==== OA OB OC OD OE Q360660Ð=°¸=°AOBA．22.5°B．【答案】D【分析】连接OD、OE、求出DPFÐ的度数．【详解】解：连接OD、OE∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴360458DOE EOF°Ð=Ð==∴DOF DOE EOF Ð=Ð+Ð=∴1452DPF DOFÐ=Ð=°，故选：D．【答案】422+【分析】如图，剪去部分为2x =，进而得出正方形边长．【详解】解：如图，剪去部分为【答案】24【分析】设外接圆圆心为平分BAE Ð，可得BAF Ð60FAG Ð=°，(5BAE Ð=根据正五边形、正三角形和外接圆的性质可知：∴12OAF FAGÐ=Ð，OABÐ∴BAF OAB OAF Ð=Ð-Ð∵AFGV是等边三角形，（2）连接BD ，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．【详解】（1）∵点A 、B 、C 、D 都在O e 上，∴ AC BC=，∵30ADC Ð=°，∴260AOC BOC ADC Ð=Ð=Ð=°，∴BOC Ð的度数为60°（2）连接BD ，∵ AC BC=，∴30ADC BDC Ð=Ð=°，∴60ADB Ð=°，∵180ACB ADB Ð+Ð=°，∴120ACB Ð=°【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．考查题型四 尺规作图—正多边形1．（2023春·九年级课时练习）如图，AD 为O e 直径，作O e 的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：甲：1．作OA 的中垂线，交圆O 于,B F 两点；2．作OD 的中垂线，交圆O 于,C E 两点；3．顺次连接,,,,,A B C D E F 六个点，六边形即为所求；乙：1．以A 为圆心，OA 长为半径作弧，交圆O 于,B F 两点；2．以D 为圆心，OA 长为半径作弧，交圆O 于,C E 两点；3．顺次连接,,,,,A B C D E F 六个点，六边形即为所求；对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）A．甲对，乙不对B．甲不对，乙对C．两人都不对D．两人都对【答案】D【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等【详解】甲：∵BF是中垂线∴四边形OCDE是菱形∴△OCD,△OED都是等边三角形，同理可得△OAB,△OAF也是等边三角形∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等边三角形∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形乙：∵AB =AO =BO =AF =OF∴△OAB, △OAF 都是等边三角形，同理可得△OCD, △OED 也是等边三角形∴∠BOC =∠EOF =60°∴△OBC, △OEF 也是等边三角形∴内接六边形各边相等，各角相等都是120°∴圆内接六边形ABCDEF 是正六边形故选D【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等2．（2023春·九年级课时练习）如图，已知O e ，求作：O e 内接正六边形ABCDEF ，以下是甲、乙两同学的作业：甲：①先作直径BE ；②作OB 的垂直平分线交O e 于点A 、C ；③作OE 的垂直平分线交O e 于点D 、F ；④依次连接®®®®®®A B C D E F A ，六边形ABCDEF 即为所求（如图①）．乙：①O e 上任取点A ，以点A 为圆心，OA 为半径画弧，交O e 于点B ；②以点B 为圆心，OA 为半径画弧交O e 于点C ；③同上述作图方法逆时针作出点D 、E 、F ；④依次连接®®®®®®A B C D E F A ，多边形ABCDEF 即为正六边形（如图②）．对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A．两人都不对B．甲对，乙不对C．两人都对D．甲不对，乙对【答案】C【答案】25π见解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延长AO交网格线于点D，取格点V即为所求．接AB，AC，则ABC故答案为：如图，延长AO 交网格线于点D ，取格点E ，F ，连接EF 交网格线于点G ，作直线DG 交O e 于点B ，C ，连接AB ，AC ，则ABC V 即为所求．【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型．5．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）作图题：(1)尺规作图：如图，已知线段AB ．求作线段AB 的垂直平分线l ，交AB 于点C ；（要求：保留作图痕迹，不写作法）(2)已知六边形ABCDEF 是以O 为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF 的全部图形，并写出作法．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别以A 、B 为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．（2）连接CO 并延长到F ，使得OF OC =，连接BO 并延长到E ，使得OE OB =，连接DE ，EF ，AF 即可得出图形．【详解】（1）（2）解：连接CO 并延长到F ，使得OF OC =，连接BO 并延长到E ，使得OE OB =，连接DE ，EF ，AF ，如图，六边形ABCDEF 即为所求．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF ）放在平面直角坐标系中，若AB 与x 轴垂直，顶点A 的坐标为(2,3)-，则顶点C 的坐标为（ ）A ．()2323,-B 【答案】B 【分析】连接BD 、CF 【详解】解：如图，连接∵正六边形)ABCDEF 边长为∴()2,1B ，在Rt BCM △中，4BC =，114222CM BC \==´=，BMA ．30°B ．【答案】B 【分析】连接OC OD OQ ，，60COD DOE Ð=Ð=°，DOQ Ð∵正六边形ABCDEF 内接于e ∴360606COD DOE °Ð=Ð==∴COQ COD DOQ Ð=Ð+Ð=1A ．14【答案】B【分析】如图，连接AD 上的高为h ，则DF 的长为设正六边形ABCDEF 的边长为∴正六边形ABCDEF 的面积为12AFO COD S S S =+=V V 阴影A ．13,22æö-ç÷ç÷èøB ．()1,0【答案】A【分析】根据()1,0A ，O 为正六边形的中心，可得1122AG OA ==，32BG =，可得C则1122AG OA ==，32BG =，13,22B æö\ç÷ç÷èø，A．3【答案】C【答案】72°【分析】根据对称的定义得出当点得108CDE CD ED Ð=°=，腰三角形的性质和三角形外角的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，当点 Q 五边形ABCDE 是正五边形，()521805CDE -´°\Ð==180DCE DEC °-\Ð=Ð=Q F 是CD 的中点，【答案】1.8(答案不唯一，只要符合【分析】设正六边形的中心为为等边三角形，然后可由勾股定理求出32AM ££，最后在这个的范围内取一个值即可．【详解】解：设正六边形的中心为 根据正六边形的性质得：AD AOF \V 为等边三角形，1AF OA OF \===，OFA Ð同理：OEF V 为等边三角形，60OFE Ð\=°-，【答案】()33【分析】根据正六边形的性质可得出点A与点规律即可得出答案．【详解】解：如图，由题意可知，点A与点B∵点A的坐标为(3-，-，∴点B的坐标为(33【答案】54或126【分析】由正五边形的性质，圆周角定理，得到Ð的度数，分两种情况，即可解决问题．从而求出BOF，【详解】解：连接OC OD∵正五边形ABCDE的五个顶点把圆五等分，∴=，ABC AEDÐ=Ð，∴AOC AODÐ=Ð，∴COF DOF=，∵OC OD^，∴直径AF CD【答案】6【分析】过点P 作PD ^角形的性质得到OA OB =出6BE BO EO =+=，然后利用(1)求FAEÐ的度数；(1)连接24A A ，直接写出24A A 和4PA (2)求证：67PA PA =；(3)求46A A 的长；Q 将该圆等分成8份，26A A \是O e 的直径，24690A A A \Ð=°，244A A PA \^，717466A A A AA A\Ð=Ð，O Qe 被8等分，4716A A A A \=，1746A A A A =，在16PA A △与47PA A △中，16471647PA A PA A P PA A A A Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()1647AAS PA A PA A △≌△\，14PA PA \=，117446PA A A PA A A \--=，即67PA PA =；（3）解：如图：连接4OA ，5OA ，6OA ，O Qe 被8等分，∴4565360845A OA A OA Ð=Ð=°¸=°，46456590A OA A OA A OA \Ð+Ð==а，464OA OA Q ==，(1)如图，正六边形ABCDEF 中，G 为BC 上一点，连接AG ．①连接AE GE ，，在图1中过点G 画一条直线平分GEA V 的面积；②将ABG V 绕点O 旋转180°得到，在图2中画出旋转中心点O 和△(2)如图3，弦AB BC CD ，，是O e 的内接正五边形ABCDE 的三条边，在图中画出另两边②如图即为所求．（2）解：如图即为所求．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，以及中心对称图形的做法，也考查了正六边形的性质、正五边形的性质．14．（2023·河北邯郸·校考二模）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线l．∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线∴K ，H ，T 在同一直线上，∵圆心H 到l 的距离等于OA ∴HT OA =，∵HT l ^，OA l ^，由（1）知60NOP Ð=°，又∵10ON OP ==，∴NOP V 是等边三角形，∴10NP ON OP ===，∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线1MN PQ ==MN PQ ∥。
初三数学教材正多边形的面积与周长计算
初三数学教材正多边形的面积与周长计算正多边形是数学中一种重要的几何形状，它具有边数相等、内角相等的特点。
在初三数学教材中，我们学习了如何计算正多边形的面积与周长。
本文将详细介绍正多边形的面积与周长计算方法，并提供一些例题来帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、正多边形的面积计算要计算正多边形的面积，首先需要知道该多边形的边长（a）和边数（n）。
正多边形的面积计算公式如下：面积= 0.25 × n × a^2 × cot(π/n)其中，cot(π/n)表示π/n的余切值。
举例来说，如果一个正六边形的边长为4cm，我们可以使用上述公式计算其面积：面积= 0.25 × 6 × (4^2) × cot(π/6)通过计算，可得该正六边形的面积为6√3 cm^2。
二、正多边形的周长计算计算正多边形的周长相对简单，只需知道该多边形的边长（a）和边数（n）。
正多边形的周长计算公式如下：周长 = a × n举例来说，如果一个正五边形的边长为6cm，我们可以使用上述公式计算其周长：周长 = 6 × 5通过计算，可得该正五边形的周长为30cm。
三、例题解析为了更好地理解和应用正多边形的面积与周长计算方法，我们来看几个例题。
例题1：一个正八边形的边长为10cm，求其面积和周长。
解析：根据上述公式，我们可以得知正八边形的面积公式为：面积= 0.25 × 8 × (10^2) × cot(π/8)通过计算，可得该正八边形的面积为100cot(π/8) cm^2。
正八边形的周长计算公式为：周长 = 10 × 8通过计算，可得该正八边形的周长为80cm。
例题2：一个正十二边形的面积为144√3 cm^2，求其边长。
解析：根据上述公式，我们可以得知正十二边形的面积公式为：144√3 = 0.25 × 12 × (a^2) × cot(π/12)通过计算，可得正十二边形的边长a ≈ 3.464cm。
正多边形的周长和面积练习题及答案
正多边形的周长和面积练习题及答案1. 一个正六边形的边长为8cm，求其周长和面积。
解答：周长 = 6 * 边长 = 6 * 8cm = 48cm面积 = (3 * 根号3 * 边长^2) / 2 = (3 * 根号3 * 8cm^2) / 2 = 96根号3 cm^22. 一个正五边形的周长为25cm，求其边长和面积。
解答：边长 = 周长 / 5 = 25cm / 5 = 5cm面积 = (边长^2 * 5) / (4 * tan(180 / 5)) = (5cm^2 * 5) / (4 *tan(36°)) ≈ 43.01cm^23. 一个正七边形的面积为1.5平方米，求其边长和周长。
解答：面积 = (7 * 边长^2) / (4 * tan(180 / 7)) = 1.5平方米可以通过代入求解方程的方式，或者利用数值计算工具来计算得到边长，此处通过数值计算工具得到边长约为3.33米。
周长 = 7 * 边长≈ 23.31米4. 一个正十边形的周长为60cm，求其边长和面积。
解答：边长 = 周长 / 10 = 60cm / 10 = 6cm面积 = (10 * 边长^2) / (4 * tan(180 / 10)) = (10 * 6cm^2) / (4 * tan(18°)) ≈ 105.88cm^25. 一个正八边形的面积为64平方单位，求其边长和周长。
解答：面积 = (8 * 边长^2) / (4 * tan(180 / 8)) = 64平方单位可以通过代入求解方程的方式，或者利用数值计算工具来计算得到边长，此处通过数值计算工具得到边长约为4单位。
周长 = 8 * 边长 = 32单位以上是一些正多边形的周长和面积练题及答案，希望对你有帮助！。
九年级数学 圆内接正多边形 专题练习(含解析)
C．连接 AD，则 AD 分别平分∠EAC 与∠EDC D．图中一共能画出 3 条对称轴
答案：B 解析：解答： A.∵多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴△ACE 是等边三角形，故本选项正确； B.∵△ACE 是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C.∵△ACE 是等边三角形，∴连接 AD，则 AD 分别平分∠EAC 与∠EDC，故本选项正确； D.∵△ACE 是等边三角形，∴图中一共能画 3 条对称轴，故本选项正确． 故选 B． 分析：根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
C．18
D．36
答案：C
解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是 2 ，高为 3，
因而等边三角形的面积是 3 ，
∴正六边形的面积=18 ， 故选 C． 分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
12.已知某个正多边形的内切圆的半径是 （）
∴△OAB 是等边三角形， ∴OB=AB=24cm，
∴ 60 ´ 24 = 8 180
故选 B 分析：连接 OA、OB，得出等边三角形 AOB，求出 OB 长和∠AOB 度数，根据弧长公式求
出即可．
10.若一个正六边形的半径为 2，则它的边心距等于（ ）
A．2 B．1 C．
D．2
答案：C 解析：解答：已知正六边形的半径为 2，则正六边形 ABCDEF 的外接圆半径为 2， 如图：
连接 OA，作 OM⊥AB 于点 M， 得到∠AOM=30°，
则 OM=OA•cos30°= ．
则正六边形的边心距是 ．
故选 C． 分析：根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角 关系即可求出．
正多边形和圆练习题(复习)
hl r O 《24．3~24.4 正多边形和圆，弧长和扇形面积》复习一、知识回顾： 1．正多边形和圆：如图1，若正六边形的边长为4，那么正六边形的每一个内角是______度，每一个外角是______度，中心角是______度，半径是______，边心距是______，周长是______，面积是______. 2．弧长公式：如图2，弧AB 的长度l= .3．扇形面积公式：如图2，扇形OAB 的面积S 扇形= = .５．如图3，圆锥的侧面积S 锥侧= ；全面积S 锥全= . ６．如图4，圆柱的侧面积S 柱侧= ；全面积S 柱全= . 二、反馈练习，提高能力：1.下列说法正确的是 ( ) (A)正五边形的中心角是108°. (B)正十边形的每个外角是18°. (C)正五边形是中心对称图形. (D)正五边形的每个外角是72°.2.一个扇形的圆心角为120°,它的面积为3πcm 2,那么这个扇形的半径是 ( ) (A)3cm. (B)3cm. (C)6cm. (D)9cm.3.如图,圆柱的高线长为10cm,轴截面的面积为240cm 2,则圆柱的侧面积是 ( )(A)240cm 2. (B)240πcm 2. (C)480cm 2. (D)480πcm 2.4. 已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是______cm 2,扇形的圆心角为____°. 5. 用圆心角为 120，半径为cm 6的扇形做成一个无底的圆锥侧面，则此圆锥的底面半径为cm ____． 6．如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，那么它的侧面积等于 2cm 7.如图，AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦，半径OD ⊥BC,垂足为E ，若BC=63，DE=3． 求：(1) ⊙O 的半径；(2)弦AC 的长；(3)阴影部分的面积．A O B图2图3 图4 A B D C E FO图1正多边形和圆课后练习题一、选择题1．如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC=3，则BC的长为（ ）A. πB. 2πC. 3πD. 5π2．如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分图形的面积为 （ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π33．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A. 1B.23C. 3D. 32 4.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300° 5.如图，用邻边长为a,b(a ＜b )的矩形硬纸板截出以a 为直径的两个半圆，再截出与矩形的较边、两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a 与b 关系式是（ ） （A ）b= 3 a (B)b=5+12 (C) 52(D) b= 2 a 6．如图，等边△ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D 的位置，则⊙O 自转了： （ ） A ．2周 B ．3周 C ．4周 D ．5周 7.如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．-3π2B ．-32π3C ．-32π2D ．-322π3 8.如图，扇形DOE 的半径为3，边长为3的菱形OABC 的顶点A ，C ，B 分别在OD ，OE ，DE 上，若把扇形DOE 围成一个圆锥，则此圆锥的AB DCO图2ABCDE F （第7题）OABO D 第6题图高为（ ）A.21B. 22C.237D. 235 9.若一个圆锥的底面积为4πcm 2,圆锥的高为42cm ，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）A ．4 0°B ．80°C ． 120°D ．150°10．如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ． πcm 2B ．πcm 2C ．cm 2D ．cm 2二、填空题11.如图，将边长为cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O 经过的路线长是 cm ．（结果保留π）12.如图，矩形OABC 内接于扇形MON ，当CN=CO 时，∠NMB 的度数是 .13.一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图，则该几何体的全面积(即表面积)为________(2012贵州黔西南州，15，3分)已知圆锥的底面半径为10cm ，它的展开图扇形的半径为30cm ，则这个扇形圆心角的度数是__________．14.如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．面积是_________㎝215.如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 （结果保留π）．16.如图1，正方形OCDE 的边长为1，阴影部分的面积记作S 1；如图2，最大圆半径r =1，阴影部分的面积记作S 2，则S 1 S 2（用“>”、“<”或“=”填） 三．简答题17.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠EAC =∠D =60°. （1）求∠ABC 的度数；（2）求证：AE 是⊙O 的切线；（3）当BC =4时，求劣弧AC 的长.18.如图在△ABC 中,BE 是它的角平分线,∠C=900,D 在AB 边上,以DB 为直径的半圆O 经过点E 交BC 于点F.(1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)已知∠A=300,⊙O 的半径为4,求图中阴影部分的面积.19.如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠．点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，求整个阴影部分的周长和面积．OA BC D E20.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D 分别相切于点A、B，已知∠CO2D=600,E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24厘米，设⊙O1的半径为x厘米.（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；（2）若⊙O1、扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/厘米2和0.06元/厘米2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？0201FE DCB A。
2023年中考数学一轮专题练习 ——正多边形和圆(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——正多边形和圆一、单选题（本大题共8小题）1. （上海市2022年）有一个正n 边形旋转90后与自身重合，则n 为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．15 2. （湖南省邵阳市2022年）如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，若AB =3，则⊙O 的半径是（ ）A．32 B ．C D ．523. （四川省雅安市2022年）如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A ．3B ．32CD ．34. （四川省南充市2022年）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠ 5. （四川省内江市2022年）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ）A ．4，3πB ．πC ．43πD ．32π6. （四川省成都市2022年）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）AB ．C ．3D ．7. （广西玉林市2022年）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A 处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )A ．4B ．C ．2D ．08. （河南省2022年）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF 的中心与原点O 重合，AB x ∥轴，交y 轴于点P ．将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A 的坐标为（ ）A ．)1-B ．(1,-C ．()1-D ．( 二、填空题（本大题共5小题）9. （辽宁省营口市2022年）如图，在正六边形ABCDEF 中，连接,AC CF ，则ACF ∠= 度．10. （江苏省宿迁市2022年）如图，在正六边形ABCDEF 中，AB =6，点M 在边AF 上，且AM =2．若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分，则直线l 被正六边形所截的线段长是 ．11. （吉林省长春市2022年）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC 和等边三角形DEF 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若27AB =厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．12. （吉林省2022年）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角()0360αα︒<<︒后能够与它本身重合，则角α可以为 度．（写出一个即可）13. （黑龙江省绥化市2022年）如图，正六边形ABCDEF 和正五边形AHIJK 内接于O ，且有公共顶点A ，则BOH ∠的度数为 度．三、解答题（本大题共1小题）14. （浙江省金华市2022年）如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；②以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接,,AM MN NA ．(1)求ABC ∠的度数．(2)AMN 是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．参考答案1. 【答案】C【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与90一致或有倍数关系的则符合题意．【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90是30的3倍，则可以旋转得到．A.B.C.D.观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合故选C．2. 【答案】C【分析】作直径AD，连接CD，如图，利用等边三角形的性质得到∠B=60°，关键圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．【详解】解：作直径AD，连接CD，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴∠B =60°，∵AD 为直径，∴∠ACD =90°，∵∠D =∠B =60°，则∠DAC =30°，∴CD =12AD ， ∵AD 2=CD 2+AC 2，即AD 2=(12AD )2+32，∴AD∴OA =OB =12AD 故选：C ．3. 【答案】C【分析】 利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG ．【详解】∵圆O 的周长为6π，设圆的半径为R ，∴26R ππ=∴R =3连接OC 和OD ，则OC=OD=3∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠COD =360606︒=︒， ∴△OCD 是等边三角形，OG 垂直平分CD ， ∴OC =OD =CD ，1322CG CD ==∴OG =故选 C4. 【答案】C【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断．【详解】解：∵多边形ABCDE 是正五边形，∴该多边形内角和为：5218540(0)-⨯︒=︒，AB AE =， ∴5401085C E EAB ABC ︒∠=∠=∠=∠==︒，故D 选项正确； ∵ABF 是正三角形，∴60FAB FBA F ∠=∠=∠=︒，AB AF FB ==，∴1086048EAF EAB FAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，1086048CBF ABC FBA ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴EAF CBF ∠=∠，故B 选项正确；∵AB AE =，AB AF FB ==，∴AE AF =，故A 选项正确；∵60F ∠=︒，48EAF ∠=︒，∴F EAF ∠≠∠，故C 选项错误，故选：C ．5. 【答案】D【分析】连接OC 、OB ，证出BOC ∆是等边三角形，根据勾股定理求出OM ，再由弧长公式求出弧BC 的长即可．【详解】解：连接OC 、OB ，六边形ABCDEF 为正六边形，360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆为等边三角形，6BC OB ∴==，OM BC ⊥，132BM BC ∴==，OM ∴==BC 的长为6062180ππ⨯==． 故选：D ．6. 【答案】C【分析】连接OB ，OC ，由⊙O 的周长等于6π，可得⊙O 的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．【详解】解：连接OB ，OC ，∵⊙O 的周长等于6π，∴⊙O 的半径为：3，∵∠BOC 61=⨯360°＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝3，∴它的内接正六边形ABCDEF 的边长为3，故选：C ．7. 【答案】B【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直角三角形的性质可进行求解．解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，∴67461122,20226337÷=⋅⋅⋅⋅⋅÷=，∴经过2022秒后，红跳棋落在点A 处，黑跳棋落在点E 处，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，如图所示：在正六边形ABCDEF 中，2,120AF EF AFE ==∠=︒， ∴1,302AG AE FAE FEA =∠=∠=︒， ∴112FG AF ==，∴AG =∴AE =故选B ．8. 【答案】B【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴，∴AP ＝1， AO ＝2，∠OPA ＝90°，∴OP ＝∴A（1第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，第3次旋转结束时，点A 的坐标为（1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1，∵将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，9. 【答案】30【分析】连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，先求出360606AOF ︒∠==︒，再根据等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质求解即可．【详解】连接BE ，交CF 与点O ，连接OA ，在正六边形ABCDEF 中，360606AOF ︒∴∠==︒， OA OC =OAC OCA ∴∠=∠2AOF OAC ACF ACF ∠=∠+∠=∠30ACF =∴∠︒，故答案为：30．10. 【答案】【分析】如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ，由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM DOH MOF CHO S S S S ,OM OH = 可得直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接AD ，CF ，交于点O ，作直线MO 交CD 于H ，过O 作OP ⊥AF 于P ， 由正六边形是轴对称图形可得：,ABCODEFO S S 四边形四边形 由正六边形是中心对称图形可得：,,AOM DOH MOF CHO S S S S ,OM OH =∴直线MH 平分正六边形的面积，O 为正六边形的中心，由正六边形的性质可得：AOF 为等边三角形，60,AFO 而6,AB =6,3,ABAF OF OA AP FP 226333,OP2,AM 则1,MP22OM13327,MH OM247.故答案为：11. 【答案】54【分析】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．【详解】设AB交EF、FD与点M、N，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，∵六边形MNGHPO是正六边形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FNM=60°，∴△FMN是等边三角形，同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等边△ABC≌等边△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案为：54．12. 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可）【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得．【详解】 解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角3601606︒∠==︒， 0360α︒<<︒，∴角α可以为60︒或120︒或180︒或240︒或300︒，故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．13. 【答案】12【分析】连接AO ，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．【详解】连接AO ，如图，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB =360°÷6=60°，∵多边形AHIJK 是正五边形，∴∠AOH =360°÷5=72°，∴∠BOH =∠AOH -∠AOB =72°-60°=12°，故答案为：12．14. 【答案】(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．(1)解：∵正五边形ABCDE ．∴BC CD DE AE AB ====， ∴360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ∵3AEC AE =，∴AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ∴1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； (2)解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,∵ON OF =，∴ON OF FN ==，∴OFN △是正三角形，∴60OFN ∠=︒，∴60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，∴60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，∴AMN 是正三角形；(3)∵AMN 是正三角形，∴2120A N A N M O =∠=︒∠．∵2AD AE =，∴272144AOD ∠=⨯︒=︒，∵DN AD AN =-，∴14412024NOD ∠=︒-︒=︒， ∴3601524n ==．。
小学数学正多边形的面积练习题
小学数学正多边形的面积练习题题目一一个正六边形的边长为10厘米，求其面积。
解答一正六边形可以看作是由六个等边三角形组成的。
首先计算三角形的面积，然后将其乘以6得到正六边形的面积。
由于正六边形的边长为10厘米，又因为等边三角形的底边和高分别等于边长的一半，所以三角形的底边和高都为5厘米。
根据三角形面积的公式：面积 = 底边 ×高 ÷ 2所以三角形的面积为：5厘米 × 5厘米 ÷ 2 = 25平方厘米正六边形的面积为：25平方厘米 × 6 = 150平方厘米所以正六边形的面积为150平方厘米。
题目二一个正五边形的周长为50厘米，求其面积。
解答二由于正五边形的周长为50厘米，所以五边形的边长为10厘米（50厘米 ÷ 5）。
正五边形可以看作是由五个等边三角形组成的。
首先计算三角形的面积，然后将其乘以5得到正五边形的面积。
由于等边三角形的底边和高分别等于边长的一半，所以三角形的底边和高都为5厘米。
根据三角形面积的公式：面积 = 底边 ×高 ÷ 2所以三角形的面积为：5厘米 × 5厘米 ÷ 2 = 25平方厘米正五边形的面积为：25平方厘米 × 5 = 125平方厘米所以正五边形的面积为125平方厘米。
题目三一个正八边形的面积为144平方厘米，求其边长。
解答三正八边形可以看作是由八个等边三角形组成的。
首先根据正八边形的面积计算每个等边三角形的面积，然后通过等边三角形的面积计算边长。
由于正八边形的面积为144平方厘米，所以每个三角形的面积为144平方厘米 ÷ 8 = 18平方厘米根据三角形面积的公式：面积 = 底边 ×高 ÷ 2由于等边三角形的底边和高相等，设其值为x厘米，则有：x × x ÷ 2 = 18平方厘米解方程得到：x² = 18平方厘米 × 2 = 36平方厘米则x = √36平方厘米 = 6厘米所以正八边形的边长为6厘米。
沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项练习试题(含答案解析)
九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为（）cm．A．3πB．6πC．12πD．18π2、下列说法正确．．的个数有（）①方程210-+=的两个实数根的和等于1；x x②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；1,2，则这个函数图象位于第二、四象限．⑤如果反比例函数的图象经过点()A．2个B．3个C．4个D．5个∠等于（）3、如图，O中，90AOC︒∠=，则ABCA ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒4、如图，边长为 ）A ．B ．23π C ． D ．5、如图，四边形ABCD 内接于O ，若四边形ABCO 是菱形，则D ∠的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 7、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（ ）A ．直径所对圆周角为90︒B ．如果点A 在圆上，那么点A 到圆心的距离等于半径C ．直径是最长的弦D ．垂直于弦的直径平分这条弦8、已知⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相切9、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠BAC ＝56°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．28°B ．102°C ．112°D ．128°10、如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（ ）A．2πB．4πC．2π+12D．4π+12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．2、如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．3、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．BC=，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于点E，交4、如图，在ABC中，4∠=°，则图中阴影部分的面积是______．EPFAC于点F，点P是A上一点，且405、如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，8CD =，5OA =，则AH 的长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，P 是AB 延长线上一点，且∠BCP ＝∠BCD（1）求证：CP 是⊙O 的切线；（2）连接DO 并延长，交AC 于点F ，交⊙O 于点G ，连接GC 若⊙O 的半径为5，OE ＝3，求GC 和OF 的长2、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 和⊙O 外一点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图，（1）连接OP；（2）分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；（3）作直线MN，交OP于点C；（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（5）作直线PA，P B．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线完成如下证明：证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．同理可证直线PB是⊙O的切线．3、如图，AB，AC是O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交O于点D，过点D作O的切线交AB的延长线于点E，EF AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD=2DE=，求AC的长.．4、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD，过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线与AB的延长线交于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）求证：四边形AFCD是菱形．5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC= 30°，求CD的长．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：它的侧面展开图的面积＝1×2π×2×3＝6π（cm2）．2故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2、B【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．【详解】1、Δ=12−4×1=−3<0，故方程无实数根，故本命题错误；2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；k>,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则0综上所述，正确个数为3故选B【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．3、C【分析】由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.【详解】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，90∠=，AOC︒∠AOC=45︒.∴∠ABC=12故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．4、A【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正三角形的面积为：162⨯=三个小半圆的面积为：(213182ππ⨯⨯⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：18162πππ-=，故选：A【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．5、B【分析】设∠ADC =α，∠ABC =β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012 ，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC =α，∠ABC =β；∵四边形ABCO 是菱形，∴∠ABC =∠AOC β=；∴ ∠ADC =12β；四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴ 18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC =60°，故选：B ．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.6、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．7、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A 选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90︒，A 选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.8、B【分析】圆的半径为,r圆心O到直线l的距离为,d当d r=时，直线与圆相切，当d r时，直线与圆相离，<时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.当d r【详解】解：⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，∴⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，∴直线l与⊙O的位置关系为相切，故选B【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.9、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，∴∠BOC＝2∠A＝112°，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．10、D【分析】根据正多边形的外角求得内角FAB ∠的度数，进而根据弧长公式求得FB l ，即可求得阴影部分的周长．【详解】 解：正六边形ABCDEF 的边长为6，1180360120,66FAB AF AB ∴∠=︒-⨯︒=︒== ∴FB l 12064180ππ⨯== ∴阴影部分图形的周长为412FB AF AB l π++=+故选D【点睛】本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．二、填空题1、在⊙A 上【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA ，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O 与⊙A 的位置关系．【详解】解：∵点A 的坐标为（4，3），∴OA，∵半径为5，∴OA =r ，∴点O 在⊙A 上．故答案为：在⊙A 上．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP =d ，当点P 在圆外⇔d ＞r ；当点P 在圆上⇔d =r ；当点P 在圆内⇔d ＜r ．2、90︒1【分析】利用“边角边”证明△ADE 和△DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE ＝∠CDF ，然后求出∠APD ＝90°，从而得出点P 的路径是一段以AD 为直径的弧，连接AD 的中点和C 的连线交弧于点P ，此时CP 的长度最小，然后根据勾股定理求得QC ，即可求得CP 的长．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，∴ AD ＝CD ，∠ADE ＝∠BCD ＝90°，在△ADE 和△DCF 中，90AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△DCF （SAS ）∴∠DAE ＝∠CDF ，∵∠CDF ＋∠ADF ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADF＋∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，由于点P在运动中保持∠APD＝90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，取AD的中点Q，连接QC，此时CP的长度最小，则DQ＝12AD＝12×2＝1，在Rt△CQD中，根据勾股定理得，CQ所以，CP＝CO−QP1．故答案为：90︒1．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．3、22.5︒【分析】先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．【详解】解：∵BC 是圆O 的切线，∴∠OBC =90°，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AO =BC ，又∵AO =BO ，∴BO =BC ，∴∠BOC =∠BCO =45°，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵∠ODB +∠OBD =∠BOC ，∴∠ODB =∠OBD =22.5°，即∠BDC =22.5°，故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．4、849π-【分析】连接AD ，由圆周角定理可求出80EAF ∠=︒，即可利用扇形面积公式求出EAF S 扇形．由切线的性质可知AD BC ⊥，即可利用三角形面积公式求出ABC S ．最后根据ABC EAF S S S =-阴扇形，即可求出结果．【详解】如图，连接AD ．∵40EPF ∠=°，∴280EAF EPF ∠=∠=︒， ∴22808028==3603609EAF AE S πππ⨯⨯=扇形． ∵BC 是⊙O 切线，且切点为D ，∴AD BC ⊥，2AD =， ∴1124422ABC S AD BC =⋅=⨯⨯=△． ∵ABCEAF S S S =-阴扇形， ∴849S π=-阴． 故答案为：849π-． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式．连接常用的辅助线是解答本题的关键． 5、8【分析】如图所示，连接OC ，由垂径定理可得1=42CH DH CD ==，再由勾股定理求出OH ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，CD =8， ∴1=42CH DH CD ==，∠OHC =90°， ∵OC =OA =5，∴OH ，∴AH =OA +OH =8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．三、解答题1、（1）见解析；（2）6GC =，2511OF =【分析】（1）连接OC ，由已知可得∠OCB ＋∠BCD ＝90°，进而根据∠BCP ＝∠BCD ，等量代换可得∠OCB ＋∠BCP ＝90°，即可证明CP 是⊙O 的切线；（2）证明OE 为△DCG 的中位线，由AO GC ∥，证明△GCF ∽△OAF ，进而列出比例式代入数值进行计算即可．【详解】（1）证明：连接OC∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB∵AB⊥CD于点E，∴∠CEB＝90° ∴∠OBC＋∠BCD＝90° ∴∠OCB＋∠BCD＝90° ∵∠BCP＝∠BCD，∴∠OCB＋∠BCP＝90° ∴OC⊥CP∴CP是⊙O的切线（2）∵AB⊥CD于点E，∴E为CD中点∵O为GD中点，∴OE为△DCG的中位线∥∴GC＝2OE＝6，OE GC ∥∵AO GC∴△GCF∽△OAF∴GC GF OA OF=即65GFOF =∵GF＋OF＝5，∴OF＝25 11【点睛】本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．2、直径所对的圆周角是直角经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；【详解】证明：连接OA，OB，∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），∴OA⊥AP．又∵点A在⊙O上，∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），同理可证直线PB是⊙O的切线，故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3、（1）见详解；（2）7【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线长定理可得AB =AC ，BE =DE ，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵AC ，DE 是O 的两条切线，EF AC ⊥于点F∴∠EFC =∠EDC =∠FCD =90°，∴四边形CDEF 是矩形；（2）∵四边形CDEF 是矩形，∴EF =CD =CF =2DE =，∵AB ，AC ，DE 是O 的两条切线，∴AB =AC ，BE =DE ，设AB =AC =x ，则AE =x +2，AF =x -2，在Rt AEF 中，()(()22222x x -+=+， 解得：x =5，∴AC =5+2=7．【点睛】本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．4、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC、AC，证明△ACD为等边三角形，得出∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠OCD=30°，由FG∥DA，得出∠DCF=180°-∠ADC=120°，则∠OCF=∠DCF-∠OCD=90°，即FG⊥OC，即可得出结论；（2）证明AF∥DC，由FG∥DA，得出四边形AFCD是菱形．【详解】（1）证明：连接OC、AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC，∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠DAB=∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∴∠OCD=90°-60°=30°，∵FG∥DA，∴∠D=∠DCG=60°，∴∠OCG=∠DCG+∠OCD=60°+30°=90°，∴FG⊥OC，∵OC为⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线；（2）证明：∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AG，∵DC⊥AG，∴AF∥DC，∵FG∥DA，∴四边形AFCD为平行四边形．∵DC＝AD，∴四边形AFCD是菱形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG是⊙O的切线是解题的关键．5、（1）见解析（2）CD=【分析】（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=1∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求2证；（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴BC=BD∴∠CAB=∠DAB∵AM是∠DAF的平分线∠DAF∴∠DAM=12∵∠CAD+∠DAF=180°∴∠DAB+∠DAM=90°即∠BAM=90°，AB⊥AM∴AM是⊙O的切线（2）解：∵AB⊥CD，AB⊥AM∴CD//AM∴∠ANC=∠OCE=30°在R t△OCE中，OC=2∴OE=1，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E∴CD=2CE=【点睛】本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．。
(完整版)正多边形练习题
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1. 问题描述
本题中，我们将练计算正多边形的面积和周长。
请按照以下步骤求解问题。
2. 步骤
步骤 1：确定正多边形的边长
首先，从问题中获取正多边形的边长。
假设正多边形的边长为*a*。
步骤 2：计算正多边形的面积
根据正多边形的性质，可以使用以下公式计算其面积：
面积= (a^2 * n) / (4 * tan(π/n))
其中，
- *n* 是正多边形的边数，
- π 是圆周率。
步骤 3：计算正多边形的周长
根据正多边形的性质，可以使用以下公式计算其周长：周长 = a * n
其中，
- *n* 是正多边形的边数。
3. 示例和解答
为了更好地理解上述步骤，我们来看一个具体的例子。
假设正六边形的边长 *a* = 5 cm，我们可以按照以下步骤求解问题：
步骤 1：确定正多边形的边长
*a* = 5 cm
步骤 2：计算正多边形的面积
通过上述公式计算得到：
面积= (5^2 * 6) / (4 * tan(π/6))
≈ 38.77 cm^2
步骤 3：计算正多边形的周长
通过上述公式计算得到：
周长 = 5 * 6
= 30 cm
因此，正六边形的面积约为 38.77 平方厘米，周长为 30 厘米。
4. 总结
本文档在解决正多边形的面积和周长问题时，介绍了一套计算步骤。
通过计算正多边形的边长、面积和周长，我们可以更好地理解和解决相关问题。
正多边形练习题
正多边形练习题正多边形是指所有边长度相等，所有内角均相等的多边形。
本文将为您提供一些正多边形的练习题，帮助您巩固对正多边形的理解与计算。
练习题一：1. 一个正六边形的内角和是多少度？2. 若一个内角的度数是120°，求出这个正多边形的边数。
3. 若一个正多边形的每个内角为165°，求出这个正多边形的边数。
练习题二：峰值是指峰上点到峰顶点的距离。
对于正多边形而言，峰值是正多边形的外接圆半径。
1. 若一个六边形的峰值为5 cm，求出这个六边形的边长和外接圆的直径。
2. 若一个正多边形的峰值为10 cm，边长为6 cm，求出这个正多边形的边数和外接圆的直径。
3. 若一个正多边形的边长为8 cm，外接圆的直径为12 cm，求出这个正多边形的边数和峰值。
练习题三：1. 若一个正多边形的外接圆的直径为10 cm，求出这个正多边形的边长和面积。
2. 若一个正多边形的面积为24 cm²，求出这个正多边形的边长和外接圆的直径。
3. 若一个正多边形的边长为4 cm，求出这个正多边形的面积和外接圆的直径。
练习题四：1. 若一个正多边形的面积为16√3 cm²，求出这个正多边形的边长和外接圆的直径。
2. 若一个八边形的外接圆的直径为12 cm，求出这个八边形的边长和面积。
3. 若一个正多边形的边长为5 cm，面积为25√3 cm²，求出这个正多边形的边数和外接圆的直径。
练习题五：1. 已知一个正多边形的边数为n，边长为a cm，求出这个正多边形的外接圆的直径和面积。
2. 已知一个正多边形的边数为n，外接圆的直径为d cm，求出这个正多边形的边长和面积。
3. 已知一个正多边形的面积为A cm²，外接圆的直径为d cm，求出这个正多边形的边数和边长。
以上是一些关于正多边形的练习题，通过解答这些题目，您可以更好地理解和运用正多边形的相关知识。
祝您顺利完成练习，提升数学能力！。
正多边形与圆 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1． 下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题） （第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。
小学数学三年级正多边形和不规则多边形周长练习3
小学数学三年级正多边形和不规则多边形周长练习31. 正多边形正多边形是指所有边和内角都相等的多边形。
在三年级数学中，我们研究了正三边形、正四边形和正五边形。
1.1 正三边形正三边形是指所有边长相等，每个内角都是60°的三角形。
练题：1. 已知一个正三边形的一条边长为5cm，求它的周长是多少？解答：由于正三边形的边长都相等，所以周长等于三条边的长度之和。
因此，周长为5cm + 5cm + 5cm = 15cm。
2. 如果正三边形的周长是18cm，那么它的边长是多少？解答：由于正三边形的边长都相等，所以周长等于三条边的长度之和。
设边长为x，则有x + x + x = 18cm，解方程得到3x =18cm，x = 6cm。
所以，边长为6cm。
1.2 正四边形正四边形是指所有边长相等，每个内角都是90°的四边形，也就是我们常说的正方形。
练题：1. 已知一个正方形的一个边长为8cm，求它的周长是多少？解答：由于正方形的边长都相等，所以周长等于四条边的长度之和。
因此，周长为8cm + 8cm + 8cm + 8cm = 32cm。
2. 如果正方形的周长是40cm，那么它的边长是多少？解答：由于正方形的边长都相等，所以周长等于四条边的长度之和。
设边长为x，则有x + x + x + x = 40cm，解方程得到4x = 40cm，x = 10cm。
所以，边长为10cm。
1.3 正五边形正五边形是指所有边长相等，每个内角都是108°的五边形。
练题：1. 已知一个正五边形的一个边长为6cm，求它的周长是多少？解答：由于正五边形的边长都相等，所以周长等于五条边的长度之和。
因此，周长为6cm + 6cm + 6cm + 6cm + 6cm = 30cm。
2. 如果正五边形的周长是25cm，那么它的边长是多少？解答：由于正五边形的边长都相等，所以周长等于五条边的长度之和。
设边长为x，则有x + x + x + x + x = 25cm，解方程得到5x = 25cm，x = 5cm。
正多边形和圆及圆的有关计算
正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。
正n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于nn180)2(-定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
3、画正多边形(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。
正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180Rn L π= 5、圆扇形，弓形的面积 （l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形 注意：因为扇形的弧长180Rn L π=。
所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。
如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
中考数学复习----《正多边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《正多边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正多边形的概念：每一条边都相等且每个角都相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形的内角度数：正多边形的每个内角度数为：()nn︒⨯−1802。
（n表示多边形的边数）3.正多边形的外角度数：正多边形的每个外角度数为：n ︒360。
（n表示多边形的边数）4.正多边形内外角的关系：正多边形的每一个内角与它每一个外角互补。
即()︒=︒+︒⨯−1803601802nnn练习题1、（2022•江西）正五边形的外角和为度．【分析】根据多边形外角和等于360°即可解决问题．【解答】解：正五边形的外角和为360度，故答案为：360．2、（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（）A．1080°B．720°C．540°D．360°【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，故选：B．3、（2022•通辽）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（）A．4 B．6 C．7 D．5【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解；方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即可．【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，∴边数＝360°÷72°＝5，方法二：设多边形的边数为n，由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，解得n＝5，所以，这个多边形的边数为5．故选：D．4、（2022•烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（边），故选：C．5、（2022•南充）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（）A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E【分析】根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以AB为边向内作正△ABF，得出∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，从而选择正确选项．【解答】解：在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°，∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，∴D不符合题意；∵以AB为边向内作正△ABF，∴∠FAB＝∠ABF＝∠F＝60°，AF＝AB＝FB，∵AE＝AB，∴AE＝AF，∠EAF＝∠FBC＝48°，∴A、B不符合题意；∴∠F≠∠EAF，∴C符合题意；故选：C．6、（2022•徐州）正十二边形的一个内角的度数为．【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．7、（2022•菏泽）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝．【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，则2x+3x＝180°，解得：x＝36°，∴外角为2x＝72°，∵正n边形外角和为360°，∴n＝360°÷72°＝5，故答案为：5．8、（2022•泰州）正六边形的一个外角的度数为°．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．【解答】解：∵正六边形的外角和是360°，∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，故答案为：60．9、（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝度．【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，故答案为：48．10、（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为．【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六边形ABCDEF的边长为4，故答案为：4．11、（2022•舟山）正八边形一个内角的度数为．【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故答案为：135°．12、（2022•西宁）若正n边形的一个外角是36°，则n＝．【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．【解答】解：n＝360°÷36°＝10．故答案为：10．13、（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．14、（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．22mm C．23mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．。
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析
九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：________________一、填空题1．已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_______，面积为_______．2．正十二边形的中心角是_____度．二、解答题3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图①，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A'、D的位置时，你能求出①A'、①D、①1与①2之间的数量关系吗？并说明理由．4．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2，正五边形ABCDE 内接于①O ，AB ＝2，求对角线BD 的长．5．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．6．如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ．（1）求证：AC ①ED ；（2）求证：ME ＝AE ．7．如图1，正五边形ABCDE 内接于①O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；①以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与①O 交于点M ，N ；①连接,,AM MN NA ．(1)求ABC∠的度数．(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在①O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．8．如图，ABC是等边三角形，点D、E、G分别在边AB、AC、BC上，且AD CE BG==，BE、CD、AG分别相交于点F、P、Q．求证：①PQF是等边三角形．9．如图，在圆内接正三角形ABC中,若①DOE保持120°角度不变，求证：当①DOE绕着O点旋转时，由两条半径和①ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是①ABC的面积的13．10．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．三、单选题11．如图，已知①O 的半径为1，AB 是直径，分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧．两弧相交于C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．52π-B ．56πC ．53πD ．83π-12．对于等边三角形的性质，下列说法不正确的是（ ）A ．等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等；B ．等边三角形的边都等于60，角都等于60°；C ．等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点；D ．等边三角形具有等腰三角形的所有性质；132，则这个多边形的内角和为（ ）A ．720︒B ．360︒C ．240︒D ．180︒14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A．6B．8C．10D．1215．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分①CHEC．整个图形不是中心对称图形D．CEH△是等边三角形参考答案及解析：1．1)a22)a【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可；利用正八边形的面积等于正方形的面积减去剪掉的四个等腰直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，∴正方形边长为a，如图所示，设正八边形的边长为x，在Rt AEL 中，LE x =,AE AL x ==，2x x a ∴+=，解得：1)x a =，即正八边形的边长为1)a ．2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=正方形正八边形．故答案是：1)a ，22)a ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程．2．30 【分析】根据正多边形的中心角公式：360n计算即可 【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式3．（1）2①A ＝①1+①2；见解析；（2）2①A ＝①1﹣①2；见解析；（3）2（①A +①D ）＝①1+①2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，①3=EDA '∠=12（180-①1），①4=DEA '∠=12（180-①2），①①A +①3+①4=180°，①①A +12（180-①1）+12（180-①2）=180°，整理得，2①A =①1+①2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180+①2），①①A+①3+①4=180°，①①A+12（180-①1）+12（180+①2）=180°，整理得，2①A=①1-①2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180-①2），①①A+①D+①3+①4=360°，①①A+①D+12（180-①1）+12（180-①2）=360°，整理得，2（①A+①D）=①1+①2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．4．（1）AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅；（2）1【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接,AD AC ，根据圆周角与弦的关系可得AD AC BD ==，设BD x =，在四边形ABCD 中，根据托勒密定理有，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，建立方程即可求得BD 的长【详解】（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接,AD AC ，五边形ABCDE 是正五边形，则E ABC BCD ∠=∠=∠,2AB BC CD ===AD AC BD ∴==设BD x =，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅即2222x x =⨯+解得1211x x ==1BD ∴=+【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．5．(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)3+【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，；（2）易求D（6，0），E（8，，待定系数法求出DE的解析式为y﹣次函数即可求点Q．（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，①P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，①BP＝4，G是CD的中点，①sin604PG BO BC==⋅︒==①P（4，，①P在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，①k＝①反比例函数解析式为y由正六边形的性质可知，A（2，，①点A在反比例函数图象上；（2）解：由（1）得D （6，0），E （8，，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，①608m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①y﹣由方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x＝3，①Q点横坐标为3+．．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒，由①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，得到①EAC ＝1144722⨯︒=︒，同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，则 ①EAC +①AED ＝180°，即可证明ED∥AC ；（2）由①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，得到①AEB =36°，则①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，可推出①EAM ＝①EMA ＝72°，即可证明 EA ＝EM ．【详解】解：①正多边形必有外接圆，①作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒， ① ①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，① ①EAC ＝1144722⨯︒=︒， 同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，① ①EAC +①AED ＝180°，① ED∥AC ；（2）①①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，①①AEB =36°，①①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，① ①EAM ＝①EMA ＝72°，① EA ＝EM ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．7．(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．（1）解：①正五边形ABCDE ．①BC CD DE AE AB ====， ①360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ①3AEC AE =，①AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ①1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； （2）解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,①ON OF =，①ON OF FN ==，①OFN △是正三角形，①60OFN ∠=︒，①60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，①60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，①AMN 是正三角形；（3）①AMN 是正三角形，①2120A N A N M O =∠=︒∠．①2AD AE =，①272144AOD ∠=⨯︒=︒，①DN AD AN =-，①14412024NOD∠=︒-︒=︒，①3601524n==．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．8．见解析【分析】先根据“SAS”证明△ACD①△CBE，得到①ACD=①CBE，结合三角形外角的性质可证①BFD=①60°，进而可证△PQF是等边三角形．【详解】证明：①△ABC是等边三角形，①①A=①BCE=60°，AC=CB，又①AD=CE，①△ACD①△CBE（SAS）；①①ACD=①CBE，①①ACB=①ACD+①BCF=60°，①①BFD=①CBE+①BCF=①ACD+①BCF =60°，同理可得，①APE=60°，①△PQF是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．9．见解析【分析】连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得：①OAB①①OBC①①OCA．则①1＝①2，再证明①OAG①①OCF，即可求解．【详解】如图：连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得①OAB①①OBC①①OCA．①①1＝①2．设OD 交BC 于F ，OE 交AC 于G ，则①AOC ＝①3+①4＝120°，①DOE ＝①5+①4＝120°，① ①3＝①5．∴在①OAG 和①OCF 中2135OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，① ①OAG ①①OCF ．① ΔAOC ΔABC 13OFCG S S S ==四边形． 【点睛】本题考查了正多形和圆的性质，全等三角形的判定和性质，将阴影部分的面积转化为固定的三角形面积是解题关键．10．(1)2(3)-【分析】（1）根据题意可得GE DC ∥，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AG AD AE AC ==根据旋转的性质可得DAG CAE ∠=∠，进而证明GAD EAC ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明①ADG ①①ACE ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1） 解：正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ，点G 在AD 上，F 在AB 上，GE DC ∴∥AG AE DG EC ∴= EC AE DG AG∴= 四边形AFEG 是正方形 ∴AE =∴2DG AGE === （2）解：如图，连接AE ，正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，DAG CAE ∴∠=∠AG AD AE AC ==GAD EAC ∴∽∴AC CE DG AD= （3） 解：①如图，AB =AG AD =，AD AB ∴==8AG ==,16AC ==， ,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC ==8CE GC GE ∴=-=，由（2）可知GAD EAC ∽，∴CE AC DG DA==()816DA CE DG AC ⋅∴==4==． ①如图：由（2）知△ADG ①①ACE ，①DG AD CE AC ==，①DG ， ①四边形ABCD 是正方形，①AD =BC ，AC 16，①AG ，①AG =8， ①四边形AFEG 是正方形，①①AGE =90°，GE =AG =8，①C ，G ，E 三点共线．①①AGC =90°①CG①CE =CG +EG，①DG =综上，当C ，G ，E 三点共线时，DG 的长度为-【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接AC 、BC ，如图，先判断△ACB 为等边三角形，则①BAC ＝60°，由于S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，所以图中阴影部分的面积＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O ，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【详解】解：连接BC ，如图，由作法可知AC ＝BC ＝AB ＝2，①①ACB 为等边三角形，①①BAC ＝60°，①S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，①S 阴＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O＝4（S 扇形BAC ﹣S △ABC ）+2S △ABC ﹣S ⊙O＝4S 扇形BAC ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O＝42602360π⨯⨯-222﹣π×12 53=π﹣ 故选：A ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．12．B【分析】根据等边三角形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ． 等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等，故该选项正确，不符合题意；B ． 等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，不一定等于60，故该选项不正确，符合题意；C ． 等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点，故该选项正确，不符合题意；D ． 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．A【分析】设AB 是正多边形的一边，OC①AB ，在直角①AOC 中，利用三角函数求得①AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：①2，①2，设AB 是正多边形的一边，OC①AB ， 2OC OA OB k ===，，在直角①AOC 中，OC cos AOC AO ∠== ①①AOC=30°，①①AOB=60°， 则正多边形边数是：360660︒︒=， ①多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．14．D【分析】连接,,AC OD OF ，先根据圆内接正多边形的性质可得点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，从而可得1145,3022CAD BAD CAF EAF ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据角的和差可得15DAF ∠=︒，然后根据圆周角定理可得230DOF DAF ∠=∠=︒，最后根据正多边形的性质即可得．【详解】解：如图，连接,,AC OD OF ，四边形ABCD 为O 的内接正四边形，AEF 为O 的内接正三角形，∴点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，90,60BAD EAF ∠=︒∠=︒，1145,3022CAD BAD CAF EAF ∴∠=∠=︒∠=∠=︒， 15DAF CAD CAF ∴∠=∠-∠=︒，230DOF DAF ∴∠=∠=︒， DF 恰好是圆O 的一个内接正n 边形的一边，3603601230n DOF ︒︒∴===∠︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．15．D【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．【详解】解：A ．① 根据正八边形的性质， 四边形ABCH 与四边形EFGH 能够完全重合，即四边形ABCH 与四边形EFGH 全等①四边形ABCH 与四边形EFGH 的周长相等，故选项正确，不符合题意；B ．连接DH ，如图1，① 正八边形是轴对称图形，直线HD 是对称轴，① HD 平分①CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．①八边形ABCDEFGH是正八边形，① B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，①DOE＝360=45 8︒︒①OE＝OH①①OEH＝①OHE＝12①DOE＝22.5°①①CHE＝2①OHE＝45°①①HCE＝①HEC＝12（180°－①CHE）＝67.5°①CEH△不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．。
2020-2021学年苏科版数学中考复习专题练习—正多边形与圆及圆中有关计算(含答案)
正多边形与圆及圆中有关计算一、学习目标1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并会进行有关计算；2．会用弧长公式、扇形面积公式、圆锥侧面积公式计算有关问题；3．体会方程思想和转化思想．二、题型训练题型一、正多边形与圆【例题1】如图，等边△ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．22∶3B．2∶3C．23∶2D．3∶2【例题2】如图，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．【例题3】如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.（1）计算∠CAD的度数；（2）连接AE，证明：AE＝ME；（3）求证：ME2＝BM·BE.【题小结】转化思想，正多边形转化为等腰三角形或直角三角形、三角形面积的转化、相等的线段之间的转化．借题发挥：1.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD2.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝cm．借题发挥1借题发挥2ab借题发挥3例题3例题1例题23.如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若∠ADB ＝18°，则这个正多边形的边数为 ． 题型二、圆中与弧长、面积有关的计算 【例题4】如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，⌒FA 1,⌒A 1B 1，⌒B 1C 1，⌒C 1D 1,⌒D 1E 1，⌒E 1F 1，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．【例题5】在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′．则图中阴影部分面积为（ ）A ．π4B ．π－32C ．π－34D ．3π2【题小结】弄清旋转的本质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．借题发挥：1．如图，半径为10的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 为⌒AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ．若∠CDE 为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π 2．若一个扇形的圆心角为60°，面积为π6cm 2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）． 3.如图，AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 外一点，OC ⊥OA ，CO 交AB 于点P ，交⊙O 于点D ，且CP ＝CB ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠A ＝30°，OP ＝1，求图中阴影部分的面积．题型三、与圆锥有关的计算【例题6】已知圆锥的底面半径为1cm ，高为3cm ，则它的侧面展开图的面积为＝ cm 2．【例题7】已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．【题小结】转化及方程思想：立体图形与平面图形的相互转化，由圆锥有关的公式列出方程解决问题. 借题发挥： 例题4 借题发挥1 例题5 借题发挥3A B C'C B'。
正多边形和平行四边形 练习题
正多边形和平行四边形练习题题目一一个正多边形的内角和为180度，请问这个正多边形有多少个内角？题目二一个平行四边形的两个内角分别是120度和60度，请问这个平行四边形的另外两个内角分别是多少度？题目三一个正五边形的每个内角都是多少度？题目四一个平行四边形的两对边分别平行，请问这个平行四边形的两对边的长度分别是多少？题目五一个正六边形的每个外角都是多少度？题目六一个七边形的每个内角都是多少度？题目七一个正多边形的每个外角都是120度，请问这个多边形有多少个内角？题目八一个平行四边形的对角线相等，请问这个平行四边形的两对边的长度分别是多少？题目九一个正多边形的外角和为360度，请问这个多边形有多少个外角？题目十一个正多边形的内角和为1080度，请问这个多边形有多少个内角？题目十一一个长方形的对角线相等，请问这个长方形的两对边的长度分别是多少？题目十二一个正多边形的每个内角都是135度，请问这个多边形有多少个内角？题目十三一个直角梯形的两个内角分别是90度和120度，请问这个直角梯形的另外两个内角分别是多少度？题目十四一个正多边形的每个外角都是72度，请问这个多边形有多少个外角？题目十五一个平行四边形的一个内角是120度，请问这个平行四边形的另外一个内角是多少度？题目十六一个直角梯形的一个内角是90度，请问这个直角梯形的另外一个内角是多少度？题目十七一个正八边形的每个内角都是多少度？题目十八一个正多边形的每个内角都是150度，请问这个多边形有多少个内角？题目十九一个正五边形的外角和为360度，请问这个正五边形有多少个外角？题目二十一个正六边形的外角和为360度，请问这个正六边形有多少个外角？---以上为正多边形和平行四边形的练习题，欢迎同学们积极参与练习！祝你们取得好成绩！。
【练习题】2020春华师大版数学九下274正多边形和圆练习题一
【关键字】练习题27.4正多边形和圆农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题）1．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D．52．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A．12 B．6 C．12 D．63．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A． B．2 C． D．34．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm5．正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）A． B． C． D．6．正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A．4 B．6 C．7 D．87．⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A．3 B．2 C．3 D．68．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）9．正六边形的中心角等于_________度．10．正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n=_________．11．已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为_________cm．12．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_________cm2．（结果保留π）13．半径为1的圆内接正三角形的边心距为_________．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于_________．三．解答题（共6小题）15．如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．（1）求证：△ABF≌△BCG；（2）求∠AHG的度数．16．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．17．如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．18．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？19．如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？（2）设圆O的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．20．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）27.4正多边形和圆参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A．10 B．8 C．6 D． 5考点：正多边形和圆．分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．解答：解：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10．故选A．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键．2．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A．12B．6C．12 D． 6考点：正多边形和圆．分析：根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．解答：解：∵圆内接正六边形的周长为24，∴圆内接正六边形的边长为4，∴圆的半径为4，如图，连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=4×=2，∴BC=2BD=4；∴该圆的内接正三角形的周长为12，故选A．点评：本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．3．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A．B．2C．D．3考点：正多边形和圆．分析：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．解答：解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，△ACE边EC上的高是：，则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．故选：B．点评：本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．4．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm考点：正多边形和圆．分析：欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD 中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．解答：解：如图所示：∵半径为8cm的圆的内接正三角形，∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB=×8=4（cm），∵BD=CD，∴BC=2BD=8cm．故它的内接正三角形的边长为8cm．故选：A．点评：本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出，∠OBD=30°是解题关键．5．正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．分析：作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．解直角三角形即可．解答：解：正六边形可以分六个全等等边三角形，则这样的等边三角形的一边上的高为原正六边形的内切圆的半径；因为等边三角形的边长为正六边形的外接圆的半径，所以内切圆面积与外接圆面积之比=（sin60°）2=．故选：D．点评：本题考查了正多边形和圆，利用正六边形可以分六个全等等边三角形进而得出是解题关键．6．正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A．4B．6C．7D．8考点：正多边形和圆．分析：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，计算出正六边形的面积即可．解答：解：连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，∵∠DOE=360°×=60°，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED=（180°﹣60°）÷2=60°，则△ODE为正三角形，∴OD=OE=DE=2，∴S△ODE=OD•OM=OD•OE•sin60°=×2×2×=．正六边形的面积为6×=6，故选B．点评：本题考查了正多边形的计算，理解正六边形倍半径分成六个全等的等边三角形是关键，此题难度不大．7．⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A． 3 B．2 C 3D． 6考点：正多边形和圆．分析：根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可．解答：解：如图所示：⊙O的半径为3，∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AC=2×3=6，∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，∴AB2+BC2=36，解得：AB=3，即⊙O的内接正方形的边长等于3，故选C．点评：此题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出AB2+BC2=AC2是解题关键，此题难度一般．8．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．分析：根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．解答：解：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，故BC=2BD=R；如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=R，故BC=R；故圆内接正三角形、正方形的边长之比为R：R=：=：2．故选：A．点评：本题考查的是圆内接正三角形、正方形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共6小题）9．正六边形的中心角等于60度．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．解答：解：∵正六边形的六条边都相等，∴正六边形的中心角==60°．故答案为：60．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．10．正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n=12．考点：正多边形和圆．分析：先根据正n边形的边长与半径的夹角为75°求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于n的方程，求出n的值即可．解答：解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，∴一个内角的度数=150°，即=150°．解得n=12．故答案为：12．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．11．已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为cm．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．解答：解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．在Rt△AOG中，∵OA=2cm，∠AOG=30°，∴OG=OA•cos 30°=2×=（cm）．故答案为：．点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．12如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）考点：正多边形和圆．专题：计算题．分析：根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．解答：解：如图所示：连接BO，CO，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，∴CO∥AB，在△COW和△ABW中，∴△COW≌△ABW（AAS），∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==．故答案为：．点评：此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．13．半径为1的圆内接正三角形的边心距为．考点：正多边形和圆．专题：几何图形问题．分析：作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．解答：解：如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．∵等边三角形的内心和外心重合，∴O B平分∠ABC，则∠OBD=30°；∵OD⊥BC，OB=1∴OD=．故答案为：．点评：考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于π．考点：正多边形和圆；扇形面积的计算．专题：压轴题．分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．解答：解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD 于Z，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB•cos60°=2，∴BD=2BM=4，∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，同理△FDO的面积是4；∵∠COD=60°，OC=OD=4，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD=∠ODC=60°，在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，故答案为：π．点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．三．解答题（共6小题）15．如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．（1）求证：△ABF≌△BCG；（2）求∠AHG的度数．考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）利用正五边形的相等的角和相等的边得到证明全等三角形的条件后证明全等即可；（2）将∠AHG的度数转化为正五边形的内角的度数求解．解答：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，（2分）∵F、G分别是BC、CD的中点，∴BF=CG，（4分）在△ABF和BCG中，AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，（5分）∴△ABF≌△BCG；（6分）（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC（，7分）∵正五边形的内角为108°，∴∠AHG=108°．（9分）（注：本小题直接正确写出∠AHG=108°不扣分）点评：本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正五边形中相等的元素．16．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论（2）①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出结论；②当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出△MBH≌△MBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论．解答：（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴每个内角均为120°．∵∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，∴∠AFM=∠BMH．（2）解：猜想：FM=MH．证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．②当点M与点A不重合时，证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．∵∠BAF=120°，AF=AB，∴∠ABF=30°，∴∠ABG=180°﹣30°=150°．∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，∴∠CBQ=×60°=30°，∴∠MBH=∠ABC+∠CBQ=120°+30°=150°，∴∠MBH=∠MBG=150°∵，∴△MBH≌△MBG，∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，∴∠AFM+∠MGB=30°，∵∠AFM+∠MFB=30°，∴∠MFB=∠MGB．∴FM=MG=MH．证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PM．∵AF=AB，FP=MB，∴PA=AM∵∠A=120°，∴∠APM=×（180°﹣120°）=30°，有∠FPM=150°，∵BQ平分∠CBN，∴∠MBQ=120°+30°=150°，∴∠FPM=∠MBH，由（1）知∠PFM=∠HMB，∴△FPM≌△MBH．∴FM=MH．点评：本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大．17．如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．考点：正多边形和圆．分析：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，求出中心角AOB，解直角三角形求出AD和OD，根据垂径定理求出AB，即可得出答案；连接OA、OB、OC，求出中心角COD，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．解答：解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，∴∠AOB==120°，∵OA=OB，∴∠AOD=∠BOD=60°，在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°=R，OD=Rcos60°=R，∵OD⊥AB，∴AB=2AD=R，∴正△ABC的周长是3AB=3R；面积是3×AB×OD=3××R×R=R2；如图2，连接OA、OB、OD，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠COD==90°，∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD==R，∴正方形ABCD的周长为4×R=4R，面积为R×R=2R2．点评：本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，正多边形的性质的应用，解此题的关键是求出正多边形的边长，主要考查学生的计算能力，难度适中．18．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？考点：正多边形和圆．分析：如图，作辅助线；首先证明△OAB、△OAC均为等边三角形，得到∠BAO=∠CAO=60°，借助扇形的面积公式和三角形的面积公式即可解决问题．解答：解：如图，连接OA、OB、OC；由题意知：∠BOA=∠COA==60°，∵OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC均为等边三角形，∴∠BAO=∠CAO=60°，=；=32，∴阴影部分的面积=3×=64π﹣96．点评：该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．19．如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？（2）设圆O的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．考点：正多边形和圆．分析：（1）直接根据圆周角定理即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AD的长，再根据S阴影=S⊙O﹣S正方形ABCD即可得出结论．解答：解：（1）连接AC，∵∠D=90°，点D在⊙O上，∴正方形的对角线是圆的直径；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD．∵圆O的半径为2，∴2AD2=AC2，即2AD2=42，解得AD=2，∴S阴影=S⊙O﹣S正方形ABCD=π×22﹣（2）2=4π﹣8．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键．20．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）考点：正多边形和圆．专题：计算题．分析：连接AC，可得AC为直径，根据勾股定理可求出A B的长，而阴影部分的面积为圆面积减去正方形面积的四分之一．解答：解：连AC，则AC为直径，即AC=20，∵正方形ABCD中，AB=BC，∠B=90°，∴在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，2AB2=202，∴AB2=200，==（25π﹣50）米2．点评：本题考查了正多边形和圆，注：90°的圆周角所对的弦是直径．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
九年级数学下册 27.4 正多边形和圆课时练习(含解析)(新版)华东师大版
第27章 第4节 正多边形和圆课时练习一、单选题（共15小题）1．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是，高为3，因而等边三角形的面积是∴正六边形的面积， 故选C ．分析：掌握正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．2．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为（ ）A ． 2，3πB ． ，πC ．23πD ． ，43π 答案：D解析：解答：如图所示：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴，BC= 604180π⨯=43π，故选D．分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解．3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A． R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2r tan36°D．r=Rc os36°答案：A解析：解答：如图所示：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=15×360°=72°，∴∠1=12∠BOC=12×72°=36°，R2﹣r2=（12a）2=14a2，12a=Rsin36°，a=2Rsin36°；12a=r tan36°，a=2r tan36°，cos36°=rR，r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．分析：由圆内接正五边形的性质求∠BOC，再由垂径定理求出∠1后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可．4．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A． 5：4 B．5：2 C． 2 D．答案：A解析：解答：如左图所示：连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：52π；如右图所示： 连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形， ∴∠BMC=90°，MB=MC ， ∴∠MCB=∠MBC=45°， ∵BC=2，∴，∴⊙M 的面积是π）2=2π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是52π÷（2π）=54． 故选：A ．分析：求出扇形和圆的半径，根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF 的对称中心与原点O 重合，点A 在x 轴上，点B 在反比例函数ky x=位于第一象限的图象上，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B解析：解答：如图所示：连接OB ，过B 作BG ⊥OA 于G ， ∵ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB=60°， ∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形， ∴OB=OA=AB=6， ∵BG ⊥OA ， ∴∠BGO=90°， ∴∠OBG=30°，∴OG=12OB=3，由勾股定理得：，即B 的坐标是（3，， ∵B 点在反比例函数ky x上，∴k ， 故选B ．分析：连接OB ，过B 作BG ⊥OA 于G ，得出等边三角形OBA ，求出OB ，求出OG 、BG ，得出B 的坐标，即可．6．正八边形的中心角是（ ） A ． 45° B ． 135°C ． 360°D ． 1080°答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°； 故选A分析：中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角．7．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（ ）A ．B ． 20C ． 18D ．答案：B解析：解答：如图所示：作出正方形ABCD ．△AEF 中，AE=x ，则AF=x ，x x ．则正方形的边长是（）x ．x （）x =20，解得：x 2﹣1）． 则阴影部分的面积是：2[x （）x ﹣2×12x 2]=2+1）x 2=2+1﹣1）=20． 故选B ．分析：设直角△AEF 中，AE=x ，则AF=x ，x x ．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x 的值，利用矩形和三角形的面积求解．8．如图，已知边长为2cm 的正六边形ABCDEF ，点A 1，B 1，C 1，D 1，E 1，F 1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 答案：A解析：解答：如图所示：边长是2cm 的正六边形ABCDEF 的面积是：6×12×sin60°×22cm 2． 作出连接中心O ，连接OD 1，OC ． 在直角△OCD 1中，∠O=30°，CD 1=12CD=1（cm ）．则OD 1CD 1，OG=12OD 1，C 1D 1则A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是：6×12）2cm 2．则图中阴影部分的总面积是12（）．故选A ．分析：六边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1都是正多边形，两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积．9．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接AC ，AE ，则AEAC的值是（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．答案：B解析：解答：如图所示：连接AG 、GE 、EC ，则四边形ACEG 为正方形，故AEAC． 故选B ．分析：连接AG 、GE 、EC ，四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质求解． 10．边长为1的正六边形的内切圆的半径为（ ）A ． 2B ． 1C ． 12D ． 答案：D解析：解答：如图所示：连接OA 、OB ，OG ；∵六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形， ∴△OAB 是等边三角形， ∴OA=AB=1，，∴边长为a．故选D．分析：利用正六边形中的等边三角形的性质求解．11．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为36060=6，其中心角为3606=60°．故选B．分析：由正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出中心角．12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°答案：B解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=12×（180°﹣150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED=1801202︒-︒=30°， ∴∠BED=15°+30°=45°． 故选B ．分析：由正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°可得∠BEA=30°，∠AED=30°后求解．13．如图，边长为a 的正六边形，里面有一菱形，边长也为a ，空白部分面积为S 1，阴影部分面积为S 2，则12S S =（ ）A ． 12 B ． 13C ．D ．答案：A解析：解答：如图所示：连接BC ，找到正六边形的中心D ，作△DEF ，∵正六边形边长为a ，菱形边长为a 且有一角为60°， ∴S △DEF =S △ABC ， ∴S 1=2S △ABC ，S 2=6S △ABC ﹣2S △ABC =4S △ABC ； ∴12S S =24ABC ABCS S=12． 故选A ．分析：连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，求出S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；再求比值．14．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A． 10 B．8 C．6 D．5答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴360n=36°，解得n=10．故选A．分析：设正多边形的边数是n，根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数．152，则此正多边形的边数是（）A．八B．六C．四D．三答案：B解析：解答：根据勾股定理得：22）2=1，∴正多边形的边长为2，∴正多边形的中心角为60°，∴此正多边形是正六边形，故选B．分析：由正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数．二、填空题（共5小题）16．已知正六边形ABCDEF，则正六边形的半径为cm．答案：2解析：解答：如图所示：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OA D=60°，∴OD=OA•sin∠，解得：AO=2．故答案为：2．分析：画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．答案：8解析：解答：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF 共有8个．故答案是：8．分析：在正六边形的六个顶点是圆的六等分点，可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．18，则这个正六边形的边长为．答案：2解析：解答：如图所示：，∴，∠OAB=60°，∴AB= tan 60OB =1， ∴AC=2AB=2．故答案为：2分析：用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理求解．19．如图，将正六边形ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A 点的坐标为（﹣1，0），则点C 的坐标为 ．答案：（12） 解析：解答：如图所示：连接OE ，由正六边形是轴对称图形知：在R t △OEG 中，∠GOE=30°，OE=1．∴GE=12，．∴A （﹣1，0），B （﹣12），C （12）D （1，0），E （12），F （﹣12，）．故答案为：（12） 分析：连接OE ，由正六边形是轴对称图形，设EF 交Y 轴于G ，则∠GOE=30°；在R t △GOE中，则GE=12，．可求得E 的坐标，和E 关于Y 轴对称的F 点的坐标，其他坐标类似．20．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为 ．答案：54°解析：解答：如图所示：连接OB ，则OB=OA ，∴∠BAO=∠ABO ，∵点O 是正五边形ABCDE 的中心，∴∠AOB=3605=72°， ∴∠BAO=12（180°﹣72°）=54°； 故答案为：54°．分析：连接OB ，则OB=OA ，得出∠BAO=∠ABO ，再求出正五边形ABCDE 的中心角∠AOB 的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．三、解答题（共5小题）21．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．答案：解答：如图所示：连接BD．∵CE= 12×1=12，∴，在R t△ABD中，，∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，∴△DEB∽△FEC，∴FC CEBD BE=，，∴．解析：分析：连接BD，构造△DBE，然后证出△DBE∽△FCE，列出FC CEBD BE=，计算FC．22．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．答案：解答：如图所示：作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．∵△ABC为等边三角形，∴AF垂直平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AH垂直平分正方形的边DE．又∵DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．在R t△ABF中，∵∠BAF=30°，．∴OH=AF+FH﹣+2﹣r．在R t△ODH中，OH2+DH2=OD2．∴（﹣r）2+12=r2．解得r=2．∴该圆的半径长为2．解析：分析：作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据轴对称，则圆心必定在AH 上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可求AH，DH，设圆的半径是r．Rt BOH中，根据勾股定理列方程求解．23．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．答案：解答：证明：连结OE、OF、OG、OH．∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．∴AB=BC=CD=DA．∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．∴四边形ABCD是正方形．解析：分析：连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．24．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F．证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．答案：解答：证明：如图所示：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，====，∴AE AF BE BC FC∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCD为正五边形．解析：分析：要求证五边形是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等．25．如图，某商标是由边长均为2的正三角形、正方形、正六边形的金属薄片镶嵌而成的镶嵌图案．（1）求这个镶嵌图案中一个正三角形的面积；答案：解答：如图所示：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，BC=2，∴BD=CD=12BC=1，在△BDA 中由勾股定理得：，∴△ABC 的面积是12BC•AD=12，（2）如果在这个镶嵌图案中随机确定一个点O ，那么点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率为多少？（结果保留二位小数）答案：解答：由图形可知：由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，正方形的面积是2×2=4，连接OA 、OB ，∵图形是正六边形，∴△OAB 是等边三角形，且边长是2，，∴正六边形的面积是=6∴点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率是：≈0.54， 答：点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率约为0.54．解析：分析：（1）过A 作AD ⊥BC 于D ，根据等边△ABC ，得到BD ，由勾股定理求出AD ，根据△ABC 的面积即可求出答案；（2）由图形得到由10个正三角形，11个正方形，2个正六边形，分别求出三个图形的面积，即可求出点O 落在镶嵌图案中的正方形区域的概率．。
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练习题
（一）计算
1．已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距．
3．已知圆内接正三角形边心距为2cm，求它的边长．
距．
长．
长．
8．已知圆外切正方形边长为2cm，求该圆外切正三角形半径．
10．已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长．
长．
12．已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形
外接圆的半径．
13．已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边
长之比．
15．已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该
圆内接正三角形的面积．
16．已知圆O内接正n边形边长为a n，⊙O半径为R，试用
a n，R表示此圆外切正n边形边长
b n．
18．已知在正三角形的各边AB，BC，CA上取AA′，BB′，
内切圆周长．
的外接圆的外切正三角形面积．
20．已知正三角形半径为4cm，求以正三角形的一边为边所
作正方形外接圆的外切正三角形的边长．
21．已知圆内接三角形的一边等于该圆内接正三角形的边
长，另一边等于该圆内接正六边形的边长，求这个三角形面积与
该圆内接正三角形面积之比．
22．已知如图7－332，在正方形ABCD的各边上向形内作
120°弧，连结各交点得正方形A′B′C′D′．求S A′B′C′D′与S ABCD
的比值．
23．已知如图7－333，正五边形ABCDE中，AC，BE交于点
F．若AB=1cm，求BF的值（不查表）．
24．求半径为R的圆的内接正n边形的边长a n．
边形边数及外接圆半径R．
（二）证明
26．如图7－334，延长正六边形的边AB，CD，EF，两两相
交于H，M，N．求证：S△HMN∶S ABCDEF=3∶2．
27．试以六边形为例，证明圆外切等角多边形是正多边形．。