等差和等比数列的应用(二)
等差数列与等比数列在生活中的应用
等差数列与等比数列在生活中的应用年金---小额投资，聚沙成塔当我们漫步在商业大道上，可以看到有关于贷款买房的中介，分期付款买车、买大宗物品等各种还款的广告；在银行前面也有关于投资的宣传，有保险的，有证券的，有关于年金的. 参与年金计划是一种很好的投资安排，而提供年金合同的金融机构一般为银行、保险公司和国库券等，比如你购买养老保险，其实就是参与年金合同. 年金终值包括各年存入的本金相加以及各年存入的本金所产生的利息，但是，由于这些本金存入的时间不同，所以所产生的利息也不相同. 下面我们将对银行中年金的计算问题做一个简单的概述. 了解年金的知识不仅使我们投资年金是做到有的放矢，更让我们掌握年金的计算问题，掌握主动权，参与家庭消费规划，年金里面的计算问题跟我们的高中数学的数列知识，特别是是同学们的家庭日常消费、储蓄、分期付款等问题是紧密相连的，这些问题可以归类为年金问题.年金[1]，国外叫annuity ，是定期或不定期的时间内一系列的现金流入或流出. 年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等类型. 本文介绍最普通的两种年金——普通年金、养老储备金.一，普通年金，又叫期末付年金、后付年金，是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项. 如下图：0 1 2 3 …… n-1 n在1时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为1(1)n x i -+元,在2时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为2(1)n x i -+元, 在3时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为3(1)n x i -+元,在n 时刻投入x 元，在n 时刻的本息和为x 元.全部的投资在n 时刻的本息和为： 123(1)(1)(1)n n n F x i x i x i x ---=+++++++，这正是第五册中的等比数列，应用求和公式： [1(1)][(1)1]1(1)n n x i x i F i i-++-==-+ . 这个值我们称之为，基金的终值.基金的应用（1）：住房贷款某同学父母打算购置新房一套，价值50万元，2010年底手上将有现金22万元整，按照银行规定首付房价三成以上即可以贷款，贷款期限不得超过20年，每月还款额不得超过家庭收入的50%，该同学父母每月收入6000元，且希望每年年底留出2万元的应急金，按以往消费每月2000元消费，自2010年1月份开始还款，问如果贷款20年能否满足银行规定以及自己的需求？每月还款额是多少？贷款15年呢？假定贷款月利率为0.5% 解：首付可以支付的最高额为20万元，设每月还款为x 元，3000x ≤，如果还款20年，则还款次数为240次，我们将还款假设为每月固定存款，则20年后的终值即相当于30万元20年后的本息和.按基金终值定义：240240[(10.5%)1]300000(10.5%)0.5%x F +-==⨯+ 计算得：2149.3x =元.按照该家庭收入每月为6000元，年收入7.2万元，每月还款2149.3元，每月消费2000元，年底将结余：72000(2149.32000)1222208-+⨯=元，超过2万元，满足该家庭的消费收入.如果贷款期限改为15年，则还款次数为180次，按照基金终值定义：180180[(10.5%)1]300000(10.5%)0.5%x F +-==⨯+ 计算得：2531.6x =元.此时，年底将结余：72000(2531.62000)1217621-+⨯=元，不能满足该家庭的消费收入.因此可以建议该学生父母，贷款20年每月还款2149.3元，满足家庭的需要.基金的使用（2）：偿债基金某学生家长想开一家餐馆，初步估计需要资金10万元，已有资金2万元，欲通过借贷方式筹备资金，五年还清，已知2009年4月时中国人民银行的利率五年零存整取年利率为3.6%[2],假定贷款年利率为6%，贷款规定五年后一次性还清贷款，该学生家长准备在五年期间通过每月等额向银行存一笔钱建立偿债基金的方法还款，问此学生家长每月该存入多少元？分析：从题意可以看出，借贷8万元，五年后还款额为580000(16%)+，假设每月存款为x 元，存款次数为60次. 因为是每月存款，所以需要将存款年利率转换为月利率：12(1)10.036i +=+，计算得，0.3%i =按照基金终值定义： 605[(10.3%)1]80000(16%)0.3%x F +-==+ 计算得:1631.2x =元也就是借贷8万元，每月存入银行1631.2元，五年后本息和即为580000(16%)107060+=元，但是存入的钱为1631.26097872⨯=元，比五年内不做任何储蓄而直接存款节省了107060978729188-=元.二，养老储备金某养老储备金制度[3]规定，公民在就业的第一年末就可以缴纳养老储备金，数目为1a ，以后每年缴纳的数目均比上一年增加d （0d >），因此，历年缴纳的数目12,,a a 是一个公差为d 的等差数列，与此同时国家给与计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，设固定利率为i （0i >），计算第n 年末所积累的储备金金额n T . 由题意，121121(1)(1)(1)(2)n n n n n T a i a i a i a n ---=+++++++≥，上式两端同乘(1)i +，得12121(1)(1)(1)(1)(1)(2)n n n n n i T a i a i a i a i n --+=++++++++≥，下式减上式： 12111(1)[(1)(1)(1)][(1)1](1)(1),n n n n nn n iT a i d i i i a d i i a i a n d i--=+++++++-=+--++--- 即：112(1)(1)[(1)1]n n n a i a n d d T i i i i +---=+--+.对基金问题中的第一个应用，假定该学生父母预测随着工作年限的增加以及经验的增长，工资会随之上涨，因此该学生父母决定每月还款额都比上个月增加30元，10年还清贷款，问第一个月，最后一个月还款多少？（利率假设同前）分析：假设第一个月还款为x 元，，还款10年，则还款次数为120次，仍然将还款假设为每月固定存款，则10年后的终值即相当于30万元10年后的本息和，这种还款跟养老基金的存储模型是一样的，因此按养老储蓄金定义10年后：12012010212030(10.5%)(1201)30[(10.5%)10.5%]0.5%0.5%300000(10.5%)x x T +---⨯=+--+=+ 计算得：1724.1x =元也就是说第一个月还款1724.1元，最后一个月还款为：1724.1(1201)305294.1+-⨯=元.通过上面两种计算基金的方法过程，以及三个例子可以看到，这些都是发生在我们身边的经常遇到的现实问题，解决的工具竟是高中数学数列的内容，把数学应用到实际的生产生活中，这不仅能加强对课堂上学到的知识的认识，更加深了同学们的兴趣，动脑动手去解决实际问题的能力，更是要做到面对问题，用自己掌握的知识去处理，这样才可提高学习的水平，更是对教材内容有更深一层的把握.。
等差、等比中项在数列解题中的应用
等差、等比中项在数列解题中的应用一、等差、等比中项的定义三个实数b A a ,,，满足b a A +=2，则b A a ,,成等差数列，A 叫做b a ,的等差中项。
即b A a ,,成等差数列的充要条件是b a A +=2或2b a A +=或A b a A -=- 三个非零实数b A a ,,，满足ab A =2，则b A a ,,成等比数列，A 叫做b a ,的等比中项。
即b A a ,,成等比数列的充要条件是ab A =2或ab A ±=或Ab a A = 二、等差、等比中项的应用例1 已知b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列，且 ()1log 0<<ab m ，则m 的取值范围.解：由b a b a +,,成等差数列，ab b a ,,成等比数列得，()b a a b ++=2，ab a b ⋅=2，解得4,2==b a ，因18log 0<<m ，解得8>m ，即m 的取值范围为()∞+.8.【点评】本题利用了等差中项与等比中项的性质，直接得到a 与b 的关系式，从而解得a 与b 的值，简化了解题过程。
对于等差中项或等比中项公式我们在数列中还可推广：1）等差数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等差中项，即p n p n n a a a +-+=2（2≥n 且p n >）2）等比数列{}n a 中，n a 是与n a 前后等距离的两项p n p n a a +-,的等比中项，即p n p n n a a a +-⋅=2（2≥n 且p n >）。
利用这两个数列的重要性质，能使解题过程变得简捷。
例2 已知()1+=bx n f 为x 的一次函数，且()()()()()⎩⎨⎧>-==1111n n g f n n g ，若{}n a 中， ()()n g n g a n -+=1，其中*N n ∈，求证：数列{}n a 为等比数列证明：当1>n 时，Θ()()n g n g a n -+=1，∴()()121+-+=+n g n g a n ，()()232+-+=+n g n g a n()()[]()()[]2312+-+⋅-+=⋅+n g n g n g n g a a n n Θ()()[]()()()()[]121+-+⋅-+=n g f n g f n g n g ()()[]()()[]121+-+⋅-+=n bg n bg n g n g()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]12111+-+⋅+-++=n g n g n bg n bg()()()()[]()()[]121+-+⋅-+=n g n g n g f n g f()()[]()()[]1212+-+⋅+-+=n g n g n g n g()()[]21212+=+-+=n a n g n g ， 而33221,0,0b a b a b a =≠=≠=，0≠∴n a ，且1=n 时，2231a a a =， 故数列{}n a 为等比数列【点评】证明数列是等差数列或等比数列，我们除了用定义证明之外，也可利用数列的中项的方法去证明，即若满足212+++=n n n a a a ，则数列为等差数列，若221++⋅=n n n a a a ，则数列为等比数列。
等差数列与等比数列的应用
等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们在实际生活和各个学科的应用中具有重要的地位。
本文将探讨等差数列和等比数列在不同领域的应用，包括金融、自然科学和计算机科学等方面。
一、金融领域中的等差数列应用等差数列在金融领域有广泛的应用。
例如，人们常使用等差数列来计算利率、投资回报率和还贷计划。
假设某人每个月向银行贷款还款固定数额，假设每个月还款金额相同，那么在还款期限内，每个月的欠款余额将形成一个等差数列。
通过等差数列的计算，人们可以轻松地估计还款期限和每月的还款金额。
另外，在金融投资中，等差数列也被广泛应用。
例如，投资者可以使用等差数列来计算每年的收益或亏损，以帮助他们做出理性的投资决策。
通过等差数列的分析，投资者能够获得关于投资回报和风险的更多信息。
二、自然科学中的等比数列应用等比数列在自然科学中也有着重要的应用。
例如，在生物学中，等比数列常用于描述种群的增长和减少。
当生物种群以一个固定的比率增长或减少时，其数量可以通过一个等比数列来表示。
通过等比数列的应用，科学家可以更好地理解和预测物种的数量变化，从而为生物保护和自然资源管理提供科学依据。
此外，在物理学中，等比数列也被广泛应用于波动和振动的研究中。
例如，音乐中的音调和频率关系可以通过等比数列来解释。
音调和频率之间存在一个固定的比例关系，这种关系可以通过等比数列的概念进行描述和计算。
三、计算机科学中的等差数列和等比数列应用在计算机科学中，等差数列和等比数列也有着重要的应用。
例如，在算法设计中，等差数列和等比数列可以用于优化算法的性能。
通过对问题中数值的规律进行分析，可以将问题转化为等差或等比数列计算，以达到提高算法效率的目的。
此外，在数据结构和数据库设计中，等差数列和等比数列经常被用来组织和管理数据。
例如，数据库中的索引可以使用等差或等比数列的方式来存储和检索数据，以提高数据的读写效率。
综上所述，等差数列和等比数列是数学中常见且实用的概念，在金融、自然科学和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
高三数学等差和等比数列的运用2
剧中主要展示了鲁小忠（蒙古名朝鲁）、鲁小鱼（蒙古名通嘎拉嘎）、毕若水（谢若水）、阿藤花（黄小仙）等人从童年到成年后的人生故事和命运。蒙古牧民哈图及保育员乌兰其其格、向阳红公 社苏书记、教师满都拉等，领养了这几个孩子，给他们父爱母爱，抚育他们成人，故事十分感人。
一
最近在网上观看了电视剧《国家孩子》，我很受感动，觉得这是一部不可多得的好剧。剧中很多人物给我留下了深刻的印象，像保育员乌兰其其格姑娘、马倌哈图大叔、小学教师满都拉校长、公社 书记苏登全、民兵连长徐世铎等，还有来自上海的孤儿鲁小忠、鲁小鱼兄妹以及毕若水、黄小仙等。内蒙古大草原牧民们淳朴、善良、美好的人性感染了我。特别是保育员乌兰其其格姑娘，就像开在草 原上的一朵最美丽、最纯洁、最朴实的花，只有这块纯净的土地才能开出这样的花朵。体育赌场
二
1960年春天，自然灾害使内地生活十分艰难，内蒙向阳红公社苏书记与保育员乌兰一行，根据中央的指示乘火车来到上海福利院完成收养孤儿的交接手续。鲁小忠、鲁小鱼母亲死得早，可不幸的是 父亲昨天在生产中掉进火炉里被烧死了，使他们成了孤儿，被收进了福利院，正赶上内蒙牧民来领养，但是，小忠却想留在上海，不愿去内蒙，内心十分抵触，小鱼因父亲死了受刺激，导致暂时性失语。 在乌兰阿姨的劝说下，小忠他们还是来到了内蒙古大草原。
等差数列与等比数列的比较与应用(教案二)
等差数列与等比数列的比较与应用（教案二）。
一、等差数列等差数列是指数列中两个相邻的数之差相等，这个“公差”值通常被称为d。
一个例子是1,3,5,7,9,...，其中的公差为2。
在等差数列中，如果已知了一个数列的前几个数，并且知道了公差，那么可以十分容易地得到数列的后面的部分。
等差数列的应用很广泛，比如在数学中，我们常常用等差数列定义一些数列（如斐波那契数列），以及解决一些计算问题（如跑步速度问题）。
此外，在物理、金融、工商等领域中，等差数列也有着广泛的应用，比如电磁波频率的计算、股票价格的计算以及许多其他的计算问题。
二、等比数列等比数列是指数列中两个相邻的数之比相等，这个“公比”值通常被称为r。
一个例子是1,2,4,8,16,...，其中的公比为2。
在等比数列中，如果已知了一个数列的前几个数，并且知道了公比，那么可以十分容易地得到数列的后面的部分。
等比数列的应用同样也十分广泛，比如在数学中，我们常常用等比数列定义一些数列（如等比级数），以及解决一些计算问题（如化学反应速率问题）。
此外，在物理、金融、工商等领域中，等比数列也有着广泛的应用，比如声波频率的计算、投资回报率的计算以及许多其他的计算问题。
三、等差数列和等比数列的比较在等差数列中，相邻的两项之差是相等的，而在等比数列中，相邻的两项之比是相等的。
此外，在等比数列中，相邻项之间的比值通常要比在等差数列中更为复杂。
尽管在实际应用中，两者都有着广泛的应用，但是在数学理论中，等差数列和等比数列又有很大的差异。
比如在计算等差数列之和时，可以使用求和公式，而在计算等比数列之和时，却要使用拆项公式。
四、等差数列和等比数列的应用案例接下来，我们将列举一些等差数列和等比级数应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这两个数列。
案例1：一个人以每天增加5公里的速度开始削减跑步步数，如果他每次跑步的距离一开始是5公里，那么他在跑步20天后的总路程是多少？这是一个等差数列问题，如果设第一天的路程是a，则他第20天的路程应该是a+19×5=100公里。
理解等差数列与等比数列的应用
理解等差数列与等比数列的应用数列作为数学中的一种基础概念，在实际生活和各种学科中都有广泛的应用。
其中，等差数列和等比数列是数列中的两种特殊情况，它们在各个领域中的应用也非常重要。
本文将介绍等差数列与等比数列的概念及其应用，并分别探讨它们在商业、自然科学和金融领域的具体应用。
一、等差数列的应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持为常数的情况。
在商业领域中，等差数列的应用非常广泛。
例如，在市场调研中，我们常常使用等差数列的概念来研究市场中的消费趋势和增长速度。
通过观察一定时间内销售额的变化，我们可以判断出市场的增长率是否稳定以及市场的表现是否符合预期。
此外，等差数列还可以应用于金融领域，用于研究投资的回报率和风险。
二、等比数列的应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持为常数的情况。
在自然科学中，等比数列的应用广泛存在。
例如，在生物学中，我们可以通过等比数列的模型来研究生物种群的增长和退化。
通过观察一段时间内个体数量的变化，我们可以预测未来的种群规模及其持续时间。
此外，在物理学中，等比数列可以被用来研究一些天体运动的规律，比如行星围绕太阳的运行轨迹。
三、等差数列与等比数列在金融领域的应用除了在商业和自然科学领域，等差数列和等比数列在金融领域也具有重要的应用价值。
在金融市场分析中，等差数列和等比数列可以用来描述股票市场、汇率变化以及债券利率等金融产品的波动情况。
通过建立相应的数学模型，我们可以研究市场的趋势以及预测未来的变化。
此外，在金融机构中，等差数列和等比数列也用于计算复利的本息和、贷款的还款计划以及保险的赔偿金额等。
综上所述，等差数列和等比数列作为数列中的两种特殊情况，在各个学科和实际生活中都有广泛的应用。
无论是商业领域、自然科学领域还是金融领域，我们都可以运用等差数列和等比数列的概念和模型来分析问题、预测趋势。
通过深入理解和应用等差数列和等比数列，我们可以更好地解决实际问题，提高决策的准确性和效率。
初中数学中的等差数列与等比数列
初中数学中的等差数列与等比数列在初中数学中，等差数列和等比数列是两个重要的概念。
它们在数列及其应用中具有重要的地位和作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及它们在数学问题中的应用。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻数之差相等的数列。
数列中的这个常数差称为等差数列的公差。
1. 定义设数列 {an} 是一个等差数列，若存在常数 d，对于任意的正整数 n （n≥2），都有 an - an-1 = d 成立，则称数列 {an} 是一个等差数列，公差为 d。
2. 性质等差数列的常用性质如下：（1）通项公式：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1)d。
（2）前 n 项和公式：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则前 n 项和的公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 an 为第 n 项。
3. 应用等差数列在代数运算中有广泛的应用，比如计算数列的和、寻找数列的规律等。
在解决实际问题时，等差数列也常常发挥着重要的作用。
比如在等间隔的时间内，某物体的位置、速度等等问题都可以用等差数列来表示和求解。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻数的比相等的数列。
数列中的这个常数比称为等比数列的公比。
1. 定义设数列 {an} 是一个等比数列，若存在常数 q（q ≠ 0），对于任意的正整数 n（n≥2），都有 an / an-1 = q 成立，则称数列 {an} 是一个等比数列，公比为 q。
2. 性质等比数列的常用性质如下：（1）通项公式：设等比数列的首项为 a1，公比为 q，则第 n 项的通项公式为 an = a1 * q^(n - 1)。
（2）前 n 项和公式：设等比数列的首项为 a1，公比为 q，则前 n项和的公式为 Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
3. 应用等比数列在数学和实际问题中都有许多应用。
隔项等差(等比)数列及其应用
隔项等差（等比）数列及其应用一．基本原理1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即B An a a n n +=++1，它可以得到两个子数列分别是公差为k 的等差数列.若1,0n n a a An B A ++=+≠,则当2n 时,1(1)n n a a A n B -+=-+,两式相减得11n n a a +--=A ,即数列{}21n a -与数列{}2n a 均是公差为A 的等差数列.2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即nn n q p a a ⋅=⋅+1，它可以得到两个子数列分别是公差为q 的等比数列.若1,0,0nn n a a pq p q +=≠≠,则112n n n a a pq +++=,两式相除得2n na q a +=,即数列{}21n a -与数列{}2n a 均是公比为q 的等比数列.3.通项公式：（1）若1,0n n a a An B A ++=+≠，则+∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+⋅=N k kn A a n A k n A a n Aa n ,2,212,2221（2）1,0,0nn n a a pq p q +=≠≠，则+--∈⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=⋅=N k k n q a k n q a a nn n ,2,12,1222114.前n 项和方法1.由3解得通项后并项求和（具体见案例）方法2.对于隔项等差的前n 项和，可直接由相邻两项的关系解得，即由1,n n a a An B ++=+若n 为偶数：)()()(14321n n n a a a a a a S ++⋅⋅⋅++++=-若n 为奇数：)()()(154321n n n a a a a a a a S ++⋅⋅⋅+++++=-二．典例分析例1．已知数列{}n a 满足()111,2N ,n n n n a a a n S ++=⋅=∈是数列{}n a 的前n 项和，则2023S =（）A ．202321-B ．101323-C ．1013321⨯-D ．2023322⨯-解析：由题设2122a a a ==，且1212n n n a a +++⋅=，所以1211222n n n nn n a a a a ++++⋅==⋅，即22n n a a +=，当21n k =-且*N k ∈时，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则1212k k a --=；当2n k =且*N k ∈时，{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则22kk a =；2023132023242022(...)(...)S a a a a a a =+++++++101210111013122(12)231212--=+=---.故选：B 例2．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，()1πcos πsin π2n n a a n n +⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，则2022S =（）A ．2-B ．2C ．3-D ．3解析：由()1πcos πsin π2n n a a n n +⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭可得()1πsin πcos π2n n a a n n +⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，1112n n a a +=+=；当n 为偶数时，1112n n a a +=--=-.故当n 为奇数时，1112n n a a +=+=，122n n a a ++=-，则21n na a +=-，当n 为偶数时，12n n a a +=-，122n n a a ++=，则21n n a a +=-.故对任意的n *∈N ，21n naa +=-.所以，数列{}n a 中的奇数项成以1-为公比的等比数列，偶数项也成以1-公比的等比数列，因为11a =，则2122a a ==，所以，()()()()()()10111011101112122022111111311112a a a a S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+==----.故选：D.例3．在数列{}n a 中，已知11a =且12n n a a n ++=，则其前29项和29S 的值为（）A ．56B ．365C ．421D ．666解析：291234272829S a a a a a a a =++++⋅⋅⋅+++()()()()1234526272829a a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅++++12224226228=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯()122462628421=+++⋅⋅⋅++=.故选：C例4．记n S ，为数列{}n a 的前n 项和，已知212nn a S n =++，*n ∈N ．（1）求12a a +，并证明{}1n n a a ++是等差数列；（2）求n S ．解析：（1）已知212nn a S n =++，*n ∈N当1n =时，1122a a =+，14a =；当2n =时，21252aa a +=+，22a =，所以126a a +=．因为212n n a S n =++①，所以()211112n n a S n ++=+++②．②－①得，()2211122n n n a a a n n ++=-++-，整理得142n n a a n ++=+，*n ∈N ，所以()()()()121412424n n n n a a a a n n ++++-+=++-+=⎡⎤⎣⎦（常数），*n ∈N ，所以{}1n n a a ++是首项为6，公差为4的等差数列．（2）由（1）知，()141242n n a a n n -+=-+=-，*n ∈N ，2n ≥．当n 为偶数时，()()()()1234164222n n n nn S a a a a a a -+-=++++++=2n n =+；当n 为奇数时，()()()()12345111042242n n n n n S a a a a a a a --+-=+++++++=+ 22n n =++．综上所述，22,2,n n n n S n n n ⎧+=⎨++⎩当为偶数时当为奇数时.例5．数列{}n a 满足116nn n a a +=，()12N a n *=∈．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1,,n n n a n b b n n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．解析：（1）∵116n n n a a +=，12a =，则28a =，∴11216n n n a a +++=，两式相除得：216n na a +=，当21n k =-时，135********16k k k a a a aa a a a ---⨯⨯⨯= ，∴324112162k k k a ---==⨯，即212n n a -=，当2n k =时，168242462216k k k a a a a a a a a --⨯⨯⨯= ，∴12412816k k k a --⨯==，即212n n a -=，综上所述，{}n a 的通项公式为：212n n a -=；（2）由题设及（1）可知：2112,,n n n n b b n n --⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，()()2123421213521242n n n n n S b b b b b b b b b b b b b --=++++++=++++++++L L L ()()13521135212462n n b b b b b b b b n --=+++++++++++++ ()()1352122462n b b b b n -=+++++++++()()15943222222462n n -=+++++++++ ()()()()211641612221116215n n n n n n --+=⨯+++-例6．已知数列{}n a 满足11a =，161n n a a n ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列，且12b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解析：（1）因为1211,5=+=a a a ，所以24a =，由161n n a a n ++=-①，可得216(1)1+++=+-n n a a n ②，两式作差得26n n a a +-=，所以当m 为奇数时，11613(1)322-=+⨯=+-=-n n a a n n ；当m 为偶数时22643(2)322-=+⨯=+-=-n n a a n n ，综上所述，32n a n =-．（2）由{}n n b a -是公比为2的等比数列，且12b =可得11211-=-=b a ，设n n n c b a =-，则{}n c 是以首项为1，公比为2的等比数列，故112-=⋅n n c ，即1112,2322----==+=-+n n n n n n n b a b a n ，结合分组求和法可得()2112(132)3212122⋅-+--=++--n n n n n n n S ．。
等差数列与等比数列及其应用
等差数列与等比数列及其应用数列是数学中非常重要的概念之一，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种最常见的形式。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的定义、性质及其在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义与性质等差数列，顾名思义，就是数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差数列可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差d确定了等差数列的增量，若d>0，则为递增数列，d<0，则为递减数列。
2. 等差数列的通项公式可以通过递推公式an = an-1 + d来得到。
3. 等差数列的前n项和（部分和）Sn可以通过公式Sn = n/2 * (a1 + an)来计算。
二、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的运用，下面举几个常见的例子：1. 借贷利息计算在借贷利息计算中，每期支付的利息就是一个等差数列。
利率可以看做是首项，每期还款的本金不变，因此每期的利息之间的差值相等，满足等差数列的性质。
2. 时间和距离计算当物体以恒定速度运动时，它所经过的距离就构成一个等差数列。
速度可以看作是首项，时间的增量相等，满足等差数列的性质。
3. 数学题与排列问题等差数列在解决一些排列问题时非常有用。
例如，在数学竞赛中，经常出现一些关于“前n项和”的问题，通过将问题转化为等差数列的形式，可以更方便地解决问题。
三、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比数列可以用以下公式表示：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比r确定了等比数列的增长规律，若r>1，则为递增数列，0<r<1，则为递减数列。
2. 等比数列的通项公式可以通过递推公式an = an-1 * r来得到。
等差数列、等比数列的应用
6.4 等差数列、等比数列的应用考点梳理--重双基考点一 等差数列、等比数列的通项公式 1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等比数列的通项公式：11-=n n q a a .考点二 等差数列、等比数列的前n 项和公式 3.等差数列的前n 项和公式 求和公式1：()21n n a a n S +=（已知1n n a a 、、求n S ）；求和公式2：()d n n na S n 211-+=（已知1n a d 、、求n S ）. 4.等比数列的前n 项和公式 （1）当1q ≠时，求和公式1：()qq a S n n --=111 （已知n q a ,,1求n S ）；求和公式2：qqa a S n n --=11（已知n a q a ,,1求n S ）.（2）当1q =时，1na S n =.自我检测1.如图所示，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形.其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…，则这个数列的第9项是（ ）A.53B.54C.55D.561.C 【解析】数列第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55.2.某工厂去年12月份产值为a ，若月平均增长率为p ，则今年12月份产量为（ ） A.ap B.()p a +1 C.()111p a + D.()121p a +2.D3.某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有 个座位.3.1020【解析】第一排座位数：702(201)32-⨯-=（个），一共有座位：(3270)2021020+⨯÷=（个）．4．某省今年高考高校招生人数为a 万人，计划以后每年扩招%10，五年后该省的高校招生人数为 万人．（结果用指数幂表示） 4．51.1a5.点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？5.【解析】每天看的页数组成等差数列{}n a ，公差4=d ，首项301=a ，末项70=n a ， 则由()d n a a n 11-+=，得()704130=⨯-+n ，解得11=n .所以这本书的总页数()550270301111=+⨯=S (页）.6.小王和小高同时在某个单位实习，小王第一个月得到1500元工资，以后每月多得60元；小高第一个月得到1200元工资，以后每月多得45元.两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？6.【解析】设小王12~1月工资构成数列{}n a ，由题意可知60,15001==d a ，设小高12~1月工资构成数列{}n b ，由题意可知45',12001==d b .利用等差数列求和公式可得，工作一年后，小王的工资总数为21960606615001221112121=⨯+⨯=⨯⨯+d a ；小高的工资总数为173704566120012'21112121=⨯+⨯=⨯⨯+d b .所以一年后两人所得工资总数相差45901737021960=-元.考法拓展--重能力考法一 等差数列的应用◇◆难点释疑1.等差数列的通项公式：()d n a a n 11-+=；2.等差数列的前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=； 3.一般先判断和证明数列是等差数列，再确定等差数列的相关元素，最后利用等差数列的性质解答.◇◆典型例题【例题1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根？总共有多少根？【考查目标】 考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，并能用等差数列相关性质解题. 【解题指南】将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项51=a ，公差1=d ，项数是28=n ．由题意得，最下面一层即()321275128128=⨯+=⨯-+=d a a （根），圆木总数为d a S ⨯⨯+=2272828128 51812714528=⨯⨯+⨯=（根）. 答：最下面一层有32根，总共有518根. ◇◆反思提炼解决此类问题，首先要能根据题目所给条件将实际问题转化为等差数列模型，然后分清首项与公差，最后利用等差数列的通项公式与求和公式解之.◇◆变式训练1一个大剧院，座位排列成的形状是一个梯形，第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……，最后一排有210个座位，那么剧院中间一排有多少个座位？这个剧院一共有多少个座位?◇◆变式训练1如果我们把每排的座位数依次记下来，10，12，14，16，… 容易知道构成的是一个首项为10，公差为2的等差数列．则()2110210⨯-+=n ，解得101=n ，即这个大剧院共有101排座位.中间一排就是第()5121101=÷+排，那么中间一排有：105112110+-⨯=（）（个）座位．根据等差数列的求和公式，这个剧场座位一共有：()11110221010101101=+⨯=S （个）．【例题2】某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况如下表所示：而一旦植完，则不会被沙化.问：（1）每年沙化的亩数为多少？ （2）到哪一年可绿化完全部荒沙地？【考查目标】 建立正确的数列模型，分清题目涉及的已知数、未知数，根据模型依次列出数列的一些项，找出规律，求出通项公式或前n 项和公式，进而求解.【解题指南】（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.因为2017年新植1400亩，故当年沙地应降为23800140025200=-亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以2017年沙化土地为200亩.同理2018年沙化土地为200亩，所以每年沙化的土地面积为200亩. （2）设2018年及其以后各年的造林亩数分别为Λ,,,321a a a ，则()140040040011800+=⨯-+=n n a n . n 年造林面积总和为()400211400⨯-+=n n n S n .由（1）知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.由题意：24000200≥-n S n ，化简得012072≥-+n n ，解得8≥n .故到2025年可绿化完全部沙地.◇◆反思提炼首先要判断和证明数列是等差数列，其次一定要弄清数列的首项和公差等基本量，要分清是数列的通项问题还是数列的求和问题.◇◆变式训练2用分期付款的方式购置一中型商场一套，价格为1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为%1.若付150万元后的第一个月开始算分期付款，在分期付款的第10个月应交付多少钱？全部贷款付清后，买这套商场实际花了多少钱？◇◆变式训练2首付150万元，则欠款1000万元，依题意需分20次分清，则每次的还款数额顺次构成一数列，记作{}n a .15010000.0160a =+⨯=（万元） 250(100050)0.0159.5a =+-⨯=（万元） 350(1000502)0.0159a =+-⨯⨯=（万元）……50(100050(1))0.0160(1)0.5n a n n =+-⨯-⨯=--⨯（万元），所以{}n a 是以及60为首项，－0.5为公差的等差数列.106090.555.5a =-⨯=（万元）.20次分期付款总和2020[60(60190.5)]11052S +-⨯==（万元）， 所以，实际付款共为11051501255+=（万元）.答：第10个月付款55.5万元，买这套商场实际花了1255万元.考法二 等比数列的应用◇◆难点释疑1.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ；2.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1()1(11)1(111q na q qq a a q q a S n n n . 3.一般先判断和证明数列是等比数列，再确定等比数列的相关元素，最后利用等比数列的性质解答.◇◆典型例题【例题3】某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍.求： （1）第5天植树多少棵？（2）连续植树6天，能否完成计划？【考查目标】 本题着重考查等比数列的建模能力，并要求熟练使用等比数列的通项公式和求和公式解题.【解题指南】设每天植树的棵数构成的数列为{}n a ，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2.（1）第5天植树棵数为32224415=⨯==q a a （棵）.（2）连续植树6天，则植树总棵数为()()12621212116616=--⨯=--=q q a S （棵），因为100126>，所以连续植树6天，能完成计划. ◇◆反思提炼由题目所给条件构建等比数列模型，分清是求某项还是求和，再利用等比数列相关知识解决.◇◆变式训练3某种细胞在培养过程中，每30分钟分裂一次（1个细胞分裂成2个），经过4个小时后，这种细胞由1个繁殖成多少个？◇◆变式训练3经过4个小时，细胞分裂8次.第1次分裂，1个繁殖成12个，第2次分裂，繁殖成22个，以此类推，第8次分裂，这种细胞由1个繁殖成25628=个.【例题4】某人年初用26万元购买一套农村住房，付现金16万元，按合同欠款分6年付清，年利息为%10，每年以复利计算利息，问每年年底应还款多少万元？【考查目标】在现实生活中，细胞分裂、国民经济增长、核裂变、住房贷款中的等额本息还款、复利计息、植树造林面积等比增长等问题都可建立等比数列模型，运用等比数列知识进行解决.【解题指南】设每年年底应还款x 万元，以最后一次还款日为利息计算的截止时间，则还款6次的本息和依时间先后依次为：5510) 1.1(1x x =+%万元，41.1x 万元，31.1x 万元，21.1x 万元，1.1x 万元，x 万元，还款本息和总和为54321.1 1.1 1.1 1.1 1.1x x x x x x +++++（万元）；贷款10万元，6年后的本息和为6610(11010 1.1+=⨯%)万元.根据题意得543261.1 1.1 1.1 1.1 1.110 1.1x x x x x x +++++=⨯，则 2.3008x ≈.答：每年年底应还款2.3008万元.◇◆反思提炼解有关数列应用问题时，除按照一般应用问题所遵循的步骤外，还应特别注意以下几点： （1）把问题转化为数列问题，应分清是等差数列还是等比数列，公差或公比是什么. （2）应分清是求n a ，还是求n S .（3）还应确定1a ，当确定1a 后，特别要注意n 是多少，q （或d ）是多少.◇◆变式训练4某家庭计划在2025年初购一套50万元的小型住房. 为此，计划于2020年初开始每年年初存入一笔购房专用款，使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币，如果年初的存款额相同，年利息按%4的复利计. 那么每年至少需存入银行多少万元人民币？（精确到0.01，参考数据265.104.16≈）.◇◆变式训练4由于2020年至2025年，该家庭每年存入x 万元，至2025年初的本利和分别为5%)41(+x ，4%)41(+x ，3%)41(+x ，2%)41(+x ，%)41(+x ，x 组成一个等比数列，2025年初连本带息共有n S 万元.令x a =1，则04.1%41=+=q ，把所给条件代入公式qq a S n n --=1)1(1 ，得()5004.1104.116≥--x ， 解得x ≥55.7. 答：每年至少需存入银行55.7万元人民币，才能使其能在2025年初连本带息不少于50万元人民币.考题精选--重实战1.一个三角形的三个内角既成等差数列，又成等比数列，则公差等于（ ） A.0° B.15° C.30° D.60° 1.A2.某林场计划第一年造林a 公顷，以后每年比上一年多造林%20，那么第5年造林的公顷数是（ ）A.5%)201(+a B.4%)201(+a C.3%)201(+a D.2%)201(+a 2.B3.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,成等差数列，则=B （ ） A.ο30 B.ο60 C.ο90 D.无法确定 3.B 【解析】B C A B -=+=ο1802，所以=B ο60.4.幼儿园304个小朋友围成若干个圈(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差的人数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.D 【解析】这一等差数列的和是304，首项24，末项52，代入公式()21n n a a n S +=，得()30425224=+n ，解得8=n .再由公式()d n a a n 11-+=，得()521824=⨯-+d ，解得4=d ．5.某产品平均每月降低价格的14，目前售价为640元，则三个月后售价为（ ） A.100元 B.240元 C.270元 D.360元5.C 【解析】一个月后售价为⎪⎭⎫ ⎝⎛-411640，两个月后售价为2411640⎪⎭⎫⎝⎛-，三个月后售价为2704116403=⎪⎭⎫⎝⎛-.6.在小于100的正整数中，能被3除余2的这些数的和是 . 6.16507.在1-和7之间插入三个数，使它们顺次形成等差数列，则这三个数是 . 7.1，3，58.如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有 个．8.66【解析】根据题意可知，每个图形两种三角形的个数相差依次成数列1，2，3，4，L 排列，所以第12个图形的两种三角形的个数相差为12，这个图形的白色三角形的个数是1231166++++=L (个)．9.某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2020年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2020年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2020年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？9.【解析】根据题意，该市从2020年起，每年在“校校通”工程上投入的经费组成一个等差数列{}n a ，其中1500a =，50d =，那么，到2030年（10n =），投入的资金总额为1010(101)105005072502S ⨯-=⨯+⨯=（万元）. 答：从2020～2030年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.10.西部某地区计划第一年植树造林2000公顷，以后每一年比前一年多造林%10，问： （1）该地区第3年造林多少公顷？ （2）到第4年底该地区共造林多少公顷？10.【解析】由题意知，每年植树造林的公顷数组成等比数列，记为{}n a .12000a =， 1.1q =，则12000 1.1n n a -=⨯，2000(1 1.1)1 1.1n n S -=-.（1）3132000 1.12420a -=⨯=.（2）4442000(1 1.1)20000(1.11)92821 1.1S -==⨯-=-. 答：该地区第3年造林2420公顷，到第4年底该地区共造林9282公顷.。
小学数学中的等差数列与等比数列
小学数学中的等差数列与等比数列数学在小学阶段的学习是非常重要的，其中包括了等差数列和等比数列的学习。
等差数列和等比数列是数学中常见的序列形式，对于数学知识的理解和应用有着重要的作用。
本文将介绍小学数学中的等差数列和等比数列的概念、性质以及应用。
一、等差数列等差数列是指一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）的数列。
其中，首项为a，公差为d。
等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d。
在小学阶段，对于等差数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解首先，学生需要理解等差数列的概念，即一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）。
可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中差值为3。
2. 判断等差数列学生需要学会判断给定的数列是否为等差数列。
可以通过观察相邻两项的差值是否相等来判断，如果相等则为等差数列。
同时，学生需要注意等差数列的公差是固定的，也就是说差值是保持不变的。
3. 求和公式学生需要了解等差数列的求和公式，即Sn=n/2(a+l)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，l表示末项。
通过掌握求和公式，可以简化对等差数列求和的计算。
二、等比数列等比数列是指一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）的数列。
其中，首项为a，公比为r。
等比数列的通项公式为An=a*r^(n-1)。
在小学阶段，对于等比数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解同样，学生需要理解等比数列的概念，即一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）。
可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中比值为2。
2. 判断等比数列学生需要学会判断给定的数列是否为等比数列。
可以通过观察相邻两项的比值是否相等来判断，如果相等则为等比数列。
同时，学生需要注意等比数列的公比是固定的，也就是说比值是保持不变的。
3. 求和公式学生需要了解等比数列的求和公式，即Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
高三数学等差和等比数列的运用2
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等差数列与等比数列
等差数列与等比数列数列是数学中一种重要的概念，它基于一定的规律和规则顺序排列的一组数。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列形式。
它们在数学中有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及应用。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
其一般形式可以表示为：a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d, ..., a₁+nd, ...其中，a₁为首项，d为公差，n为项数。
公差d表示数列中相邻两项之间的差值恒定。
等差数列的性质：1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ + (n-1)d；2. 公差与项数的关系：d = (aₙ - a₁)/(n-1)；3. 等差数列的和：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)。
等差数列可以通过首项和公差推导出后续的任意项，也可以根据已知的首项和末项来确定公差和项数。
它在数学和科学中有着广泛的应用，如物理学中的运动学问题、计算机科学中的算法分析等。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
其一般形式可以表示为：a₁, a₁r, a₁r², a₁r³, ..., a₁rⁿ, ...其中，a₁为首项，r为公比，n为项数。
公比r表示数列中相邻两项之间的比值恒定。
等比数列的性质：1. 首项和第n项的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)；2. 公比与项数的关系：r = (aₙ/a₁)^(1/(n-1))；3. 等比数列的和（当|r|<1时）：Sn = a₁ * (1 - rⁿ)/(1 - r)。
等比数列同样具有推导后续项和根据已知信息确定公比和项数的能力。
它在数学和科学中的应用很广泛，如经济学中的复利计算、生物学中的生长模型等。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是常见的数列形式，它们之间存在一些联系与区别。
1. 联系：等比数列是等差数列的一种特殊情况，当公比r等于1时，等比数列退化成等差数列。
等比数列与等差数列的应用
等比数列与等差数列的应用等比数列和等差数列是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文就来探讨等比数列和等差数列在实际问题中的具体应用。
1. 财务领域的应用在财务领域，等比数列和等差数列经常用于计算利息、折旧等金融指标。
例如，如果我们想要计算某笔钱按照一定的利率增长多少年能够翻倍，我们可以使用等比数列的公式来解决这个问题。
同样地，等差数列也可以用来计算每月还款额度、每月存款增长等等。
通过数列的公式，我们可以快速计算出需要的数据，帮助我们做出更加合理的财务决策。
2. 自然科学领域的应用等比数列和等差数列在自然科学领域也有广泛的应用。
例如，在生态学中，我们经常需要研究种群数量的变化规律。
如果某种动物的数量每年以等比数列的形式增长，我们可以通过数列的公式来预测未来几年的种群数量。
同样地，在物理学中，等差数列则可以用来表示物体在匀速运动中的位置变化。
这些数列的应用帮助我们更好地理解和解释自然界中的现象和规律。
3. 工程领域的应用在工程领域，等比数列和等差数列也存在着重要的应用。
比如，在建筑设计中，等差数列可以用来计算墙壁的高度，在道路规划中，等差数列可以用来计算路段的长度。
而等比数列则可以用来计算管道的宽度、电路的电阻等等。
这些应用帮助工程师们更好地进行设计和规划，并确保工程项目的顺利进行。
总之，等比数列和等差数列是数学中非常重要的概念，它们的应用不仅仅局限于数学课本中，还涉及到我们生活中的方方面面。
通过运用等比数列和等差数列的公式，我们可以更好地解决实际问题，并且帮助我们做出更加明智的决策。
所以，在学习数学的过程中，我们应该注重理论的学习同时也要注重应用能力的培养，这样才能更好地应对各种实际问题。
归纳等差数列与等比数列中二级结论
归纳等差数列与等比数列中二级结论一、等差数列常见结论1、判断给定的数列｛外｝是等差数列的方法（1）定义法：％L%=d是常数（〃亡/）数列｛%｝是等差数列：<2）通项公式法：%=kn+b（k,b是常数）V二〉数列｛%｝是等差数列；（3）前n项和法：数列（%）的前n项和S…=An2+Bn（A.B是常数,A2+fl2^0）=>数列（丹｝是等差数列：（4）等差中项法：《+%.2 =2。
心（，羔？0数列（“”｝是等差数列；2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：=a ni +（n—m）d（n.ni e N*）=>d=—~~（n,m e N*,n。
m）:n—m3、若A是a与b的等差中项。
2人=。
+人4、列｛%｝,也｝都是等差数列且项数相同，则｛炊｝，｛劣+如｝,｛外一如｝,｛P4+死,｝都是等差数列：5、数列（外｝中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、数列｛《｝中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列：7、若数列｛%｝是等差数列，且项数m.n.p.qtm.n,p.q e N*）满足m+n=p+q.则“〃,十%=%+%，反之也成立：当p=g时，+a n=2a p,即.，是c妇和《，的等差中项:8、若数列｛%｝是等差数列的充要条件是前n项和公式=f（n）,是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即\=A/r+Bn（A.B是常数,A2+B2^0）；9、若数列｛%｝的前n项和s.=A/+伽+C（A.B是常数,C。
），则数列｛%｝从第二项起是等差数列：€10、若数列｛%｝是等差数列,前n项和为S"则｛工｝也是等差数列，其首项和｛遮｝的n首项相同，公差是｛《｝公差的!：11、若数列｛%｝,｛如｝都是等差数列，其前n项和分别为S0n，则M=如T2n-l12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为x—dg+d；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为:13、等差数列的前n项和为S”，且……分别为数列｛%｝的前m 项、2m项,3m项.4m项,……的和，则S,n,S2m-Sm.S3w-S2m,……成等差数列（等差数列的片段和性质）：14等差数列｛%｝中.若项数n为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S奇,S倪，则^-=—;若项数n为偶数，室==_；S偶〃T S仰％+1215、在等差数列｛外｝中，若公差d>0,则等差数列（外｝为递增数列；若公差，<0・则等差数列｛《｝为递减数列：若公差d=0，则等差数列｛%｝为常数列：16.有关等差数列｛%｝的前n项和为S”的最值问题；（1）何时存在最大值和最小值① 若％>O,〃vO,则前n项和为S”存在最大值② 若％v0,d>0,则前n项和为S”存在最小值（2）如何求最值a >0① 方法一：（任何数列都通用）通过〈"解出n可求前n项和为&的最大值；通过｛、八解出n可求前n项和为金的最小值：② 方法二：利用等差数列前n项和5『的表达式为关于n的二次函数且常数项为0 （若为一次函数.数列为常数列.则前n项和&不存在最值〉，利用二次函数求最值的方法进行求解：有以下三种可能：若对称轴n正好取得正整数，则此时n就取对称轴：若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即 不是正整数.又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值.则n就取靠近对称轴的那个正整数：17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于如〃这五个虽，知任 意三个可以求出其它的两个，叩“知三求二”二、【等比数列】中的一级结论1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始.每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0（3）等比数列中任何一项都不为0<4）符号语言的描述：若数列｛外｝中满足—=q（不为。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的数列类型。
它们在数学应用、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将针对等差数列与等比数列的定义、特点、常见性质和应用进行总结。
一、等差数列1. 定义等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之差保持恒定，即公差d是常数。
（2）首项和公差可以确定一个等差数列。
（3）等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 常见性质（1）首项和末项之和等于中间各项之和的和。
（2）等差数列的和可以用以下公式计算：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn为前n项和。
（3）若相邻两项互换，则公差不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性组合。
等差数列常被用于描述随时间变化的一些规律，比如每年增长固定数量的人口、一段时间内的温度变化等等。
在计算机科学中，等差数列的性质也被广泛应用于算法设计与分析。
二、等比数列1. 定义等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
设数列的通项公式为an，公比为q，则等比数列可以表示为：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
2. 特点（1）相邻两项之比保持恒定，即公比q是常数。
（2）首项和公比可以确定一个等比数列。
（3）等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
3. 常见性质（1）首项和末项之比等于中间各项之比的积。
（2）等比数列的和（若存在）可以用以下公式计算：Sn = a1 * (1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，需满足|q|<1。
（3）若相邻两项互换，则公比不变。
（4）数列中的每一项都可以表示为首项与公比的幂的乘积。
等比数列常被用于描述随时间变化的指数增长或指数衰减，比如复利计算、物种繁殖等。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定顺序排列的数所组成的。
在数列中，等差数列和等比数列是最常见的两种形式。
它们有着独特的性质和广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的性质进行介绍，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减；当公差为零时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等差数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1+(n-1)d中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]来计算。
这个公式是通过求前n项和的巧妙方法，可以避免逐项相加的麻烦。
等差数列的应用非常广泛。
例如，在数学中，等差数列可以用来描述等分数列、算术平均数等概念。
在物理学中，通过等差数列可以描述匀速直线运动的位移、速度等参数。
在经济学中，等差数列可以用来描述递增或递减的趋势，分析经济指标的变化规律。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列中相邻两项之间的比值称为公比。
公比可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公比大于1时，数列递增；当公比小于1时，数列递减；当公比等于1时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等比数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1*r^(n-1)中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
等差数列与等比数列的概念与性质
等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。
一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。
2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。
- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。
（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。
（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。
二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。
这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。
2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。
- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。
（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。
（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。
三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。
（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。
等差数列与等比数列的应用
等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列是数学中重要的概念，它们在许多实际问题的求解中都有着广泛的应用。
本文将分别介绍等差数列和等比数列，并讨论它们在不同领域的具体应用。
一、等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
一个等差数列可以用通项公式an = a₁ + (n - 1)d来表示，其中a₁是首项，d是公差，n为项数。
等差数列的应用非常广泛，以下是几个典型的例子：1. 班级人数假设一个班级的学生人数满足等差数列，首项为a₁，公差为d。
我们可以利用等差数列的性质求解相关问题，例如求某一年级的班级人数、计算总人数等。
2. 金融投资在金融投资领域，等差数列常被用来计算复利的增长情况。
如果我们假设某笔投资的本金以等差数列的方式递增，利率为固定值，我们可以通过计算等差数列的和来得到投资的最终价值。
3. 几何问题等差数列在几何问题中也有许多应用，例如计算等差数列的和可以用来求解等差数列构成的图形的面积、周长等。
二、等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
一个等比数列可以用通项公式an = a₁ * r^(n-1)来表示，其中a₁是首项，r是公比，n为项数。
等比数列同样有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 程序设计在计算机程序设计中，等比数列经常用于循环结构的设计。
通过利用等差数列的性质，我们可以简化程序的代码，提高执行效率。
2. 物理学中的分析等比数列在物理学中有着重要的应用，比如对于自然界中的指数增长问题。
例如，在放射性衰变的过程中，原子核的衰变数目就符合等比数列的规律。
3. 经济学中的模型在经济学中，等比数列经常用来建立经济增长模型。
通过研究等比数列的性质，我们可以对经济的增长趋势进行预测和分析。
综上所述，等差数列与等比数列在数学中具有重要的地位，它们在实际问题的求解中有着广泛的应用。
通过运用等差数列和等比数列的性质，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，提高问题求解的效率。
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等差和等比数列的应用（二）
班级—————————— 姓名——————————
1、由3,11==d a 确定的等差数列{}n a ，当298=n a 时，序号n 等于（ ）
A ．99
B ．100
C ．96
D ．101
2、等比数列的前n 项，前n 2项，前n 3项的和分别为A ，B ，C ，则（ ） A ．A+B=C B ．B 2=AC C ．（A+B ）－C=B 2
D ．A 2+B 2=A （B+C ） 3、某单位年12月份产量是同年1月份产量的m 倍，那么该单位此年的平均增长 率是（ ）
A ．11m
B ．12
m C ．111-m D ．112-m 4、自然中所有被4被余数为1的两位数的和等于————————————
5、等差数列{}n a 的公差0≠d ，前n 项的和为n S ，且,4510S S =则d a :1=——————
6、在数列{}n a 和{}n b 中，若1a =2，且对任意的自然数n ，n n n b a a ,031=-+是n a 与 1+n a 的等差中项，则n b =——————————————
7、根据下面4个数列的通项公式，分别作出它们的图象： (1)n
d n n c b n a n
n n n n n )1()4(;12)3(;32)2(;4-=+==-=
8、已知数列{}n a 满足)2(,111N n n n a a a n n ∈≥=-=-且，求数列{}n a 的通项公式。
9、在数列{}n a 中，*-∈≥+==N n n a a a n n 且2(,12,111），求数列{}n a 的通项公式n a
10、数列{}n a 是等差数列，)1(,0),1(321-==+=x f a a x f a ，其中
24)(2+-=x x x f ，求通项公式n a
11、非零实数a c b ,,不全相等
（1） 如果a c b ,,成等差数列，c
b a 1,1,1能构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？
（2） 如果a c b ,,成等比数列，c
b a 1,1,1能构成等比数列吗？为什么？。