高二数学等差和等比数列的应用
5.4数列的应用教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第三册
- 测试：通过课堂小测验或随堂练习，评估学生对数列知识的掌握程度，及时发现学生在理解和应用方面的误区和困难。
2. 作业评价
- 批改和点评：对学生的课后作业进行认真批改，针对每个学生的完成情况进行详细点评，指出其优点和需要改进的地方。
教学内容与学生已有知识的联系：学生在高一和高二上学期已学习了数列的基本概念、通项公式、求和公式等知识，为本节课解决实际问题奠定了基础。此外，学生在初中阶段已接触过简单的数列问题，具备一定的数列知识储备。本节课将在此基础上，引导学生运用数列知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、核心素养目标分析
- 反思总结：对自己的学习过程进行反思，提出改进措施。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。
- 反思总结法：引导学生通过反思，促进自我提升。
作用与目的：
- 巩固数列知识，提高解题技能。
- 拓宽知识视野，培养学生的深度思考能力。
- 通过反思，帮助学生形成良好的学习习惯，不断提升自我。
- 数列在其他领域的应用：
- 人口增长预测：运用数列模型预测未来的人口增长趋势。
- 质量控制：利用数列分析生产过程中产品质量的稳定性，为质量控制提供依据。
七、课堂
1. 课堂评价
- 提问：在教学过程中，通过针对性地提问，了解学生对数列应用知识点的理解和掌握程度。观察学生的回答，判断他们对数列通项公式、求和公式及其在实际问题中应用的能力。
- 数列在金融领域的应用：
- 投资组合的长期增长率分析：运用等比数列求和公式计算投资组合的长期增长率。
- 贷款本息计算：利用等差数列求和公式计算贷款的每月还款额。
等比数列的性质及应用(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
息不少于按月结算的利息（精确到10−5 ）？
分析：
复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若
原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 { } ，则 { } 是等比数列，
首项 1 = 104 (1 + 0.400%)，
价格为8 100元的计算机3年后的价格可降为(
A．300元
B．900元
C．2 400元
公比q=1+0.400% ，所以
12 = 104 (1 + 0.400%)12 ≈ 10 490.7
所以， 12个月后的利息为10 490.7 − 104 ≈ 491（元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列{ }，
则{ }也是一个等比数列，
首项 1 = 104 (1 + )，公比为1+r，于是
数列．
（ 2 ） 若 数 列 { } ， { } 均 为 等 比 数 列 ， c 为 不 等 于 0 的 常 数 ， 则 数 列
,
2
, ∙
, { }
也为等比数列.
【典例 3】在等差数列{an}中，公差 d≠0，a1，a2，a4 成等比数列，已知数列 a1，
a3，ak1，ak2，…，akn，…也成等比数列，求数列{kn}的通项公式．
2
【解析】由题意得a2
＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
得d(d－a1)＝0，又d≠0，所以a1＝d.
又a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，
a3 3d
所以该数列的公比q＝a ＝ d ＝3，
高中数学选择性必修二 4 3 1(第2课时)等比数列的性质及应用 教案
重点
等比数列的性质、等比数列的应用
难点
等比数列的运算、等比数列的性质及应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新
等比数列
等差数列
定义
公比（公差）
q不可以是0
d可以是0
等比（差）中项
等比中项
等差中项 2A=a+b
等比数列的性质及应用教学设计
课题
等比数列的性质及应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
分析：复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和 构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ，则 是等比数列，
首项 ，
公比q=1+0.400%，所以
所以，
12个月后的利息为 （元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列 ，则 也是一个等比数列，首项 ，公比为1+r，于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元.
解不等式 ，得
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5已知数列Байду номын сангаас的首项 .
高二数列题型及解题方法
高二数学数列题型及解题方法
一、数列的概念和分类
数列是指按照一定规律排列的一组数，其中每一个数称为这个数列的项。
按照项之间的关系，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
二、等差数列
等差数列是指每一项与它的前一项之差相等的数列。
等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d，其中 a1 是首项，d 是公差，n 是项数。
解题方法：
1. 根据题意，确定等差数列的首项和公差。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
三、等比数列
等比数列是指每一项与它的前一项之比相等的数列。
等比数列的通项公式为 an=a1*r^(n-1),其中 a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
解题方法：
1. 根据题意，确定等比数列的首项和公比。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
四、斐波那契数列
斐波那契数列是指每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为 an=a1+(n-1)*(a1+a2)/2，其中 a1 是首项，a2 是
第二项。
解题方法：
1. 根据题意，确定斐波那契数列的首项和第二项。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
五、解题技巧
1. 认真审题，确定数列类型和题目要求。
2. 利用通项公式和前 n 项和公式求解。
3. 注意数列的性质，如公比为 1 的等比数列就是等差数列。
4. 熟练运用数学公式和技巧，提高解题效率。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(新201907)
• 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn
a1
an 2
n
na1
nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
q 1 q 1
2.如果某个数列前n项和为Sn，则
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
Hale Waihona Puke 3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
A.18
B.36
C.54
D.72
； / 神马电影网 ；
马援 其它瑕瑜不掩 泽曰："此泽意也 节度使头衔在宋朝是武将极高的荣誉职称 不可硬攻 将士 农民 商旅 士大夫之怀忠义者 兵三十万 始为固守不移之计 因谓太子丕曰：“司马懿非人臣也 收起佩刀 万余人踊跃而上 移抚四川而寇又不敢近 ?”援从壶头而军不利是也
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
(A)3
(B)4
(C)7
(D)8
5.在等差数列{an}中，a2+a4=p，a3+a5=q．则其前6项的和S6 为( B )
(A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q
(D) 2(p+q)
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（4分） 答：? ? 17.文中画线的句子使用了什么修辞方法？请结合文章内容，具体分析其表达作用。（3分） 雪花簌簌地落着，风安静地睡去，远山近水被夜色围拢而来，婴孩一般安卧在村庄阔大的臂弯里。 答：? ? 18.下面对文章的理解分析，不正确的两项是（ ）（? ） A.文章以“冰 窗花”为线索，回顾作者早年的故园生活，着力描写了盛开在冬日窗棂上的冰窗花。 B.第①自然段“尤其是在久居乡下的那些日子里”一句起强调作用，并自然地引起下文。 C.第②自然段中，作者从视觉、听觉、嗅觉等角度描写父亲煮茶的情景，极富表现力。 D.第④自然段写多年以后， 冰窗花依旧长久地驻扎梦中，表现了作者对冰窗花秘密的好奇。 E.作者综合运用记叙、描写、抒情等表达方式，表达了对悄然消融的冰窗花的惋惜之情。 19.请简要分析文章最后一段在全文中的作用。（4分） 答：? ? 代谢：四、（本大题共1小题，共15分） 16．葳蕤如春；冰洁，剔透， 令人心灵震颤；棱角分明，灵动而又精美（既有花之妩媚造型，亦有花之悄然神韵）；消融过程美妙而悄然无声。 17．运用比喻、拟人的修辞方法，生动传神地描绘出冬日雪夜，风停夜静，山野村庄一片恬静安谧的景象，表达了作者对美好温馨故园的喜爱之情。 18．D? E 19．结构上，照 应开头并总结全文；内容上，深化主题，表达了作者对家乡故园那种甜美温馨生活的深深怀恋。 （2017甘肃天水）10．阅读《我的叔叔于勒》选段，完成下列各题。 我看了看他的手，那是一只满是皱痕的水手的手。我又看了看他的脸，那是一张又老又穷苦的脸，满脸愁容，狼狈不堪。我心 里默念道：“这是我的叔叔，父亲的弟弟，我的亲叔叔。“ 我给了他10个铜子的小费。他赶紧谢我：“上帝保佑您，我的年轻的先生！“ 等我把2法郎交给父亲，母亲诧异起来，就问：“吃了3个法郎？这是不可能的。“我说：“我给了他10个铜子的小费。“我母亲吓了一跳，直望着我说： “你简直是疯了！拿10个铜子给这个人，给这个流氓！“她没再往下说，因为父亲指着女婿对她使了个眼色。 后来大家都不再说话。 在我们面前，天边远处仿佛有一片紫色的阴影从海里钻出来。那就是哲尔赛岛了。 我们回来的时候改乘圣玛洛船，以免再遇见他。 （1）这篇小说选自法国 作家莫泊桑的短篇小说集《羊脂球》。 （2）选文中画线的句子表现了“我”当时怎样的情感？ （3）文中反映出飞利浦夫妇怎样的性格特点？ （4）找出选文中景物描写的句子，抄在相应的横线上，并分析此景物描写的作用。 （5）有人认为该小说旨在揭露资本主义社会人与人之间赤裸裸 的金钱关系，也有人认为其主题在于反映资本主义社会下层人民生活的辛酸。请说出你的观点并阐述理由。 【考点】9E：小说阅读综合． 【分析】本阅读语段出自课文《我的叔叔于勒》的结尾部分，主要写了两个情节，一是我去给于勒送吃牡蛎的钱；二是我们一家人换船来躲避于勒．语段 主要对于勒进行外貌描写，表现了他的穷苦；同时也对我进行了心理描写，表现对于勒的深切同情，以及对父母作法的不满．文章以父母的行为，表现了资本主义社会人与人之间赤裸裸的金钱关系． 【解答】（1）本题考查文学常识的积累．解答此题关键在于平时的积累．本文作者是法国作 家莫泊桑，出自其短篇小说集《羊脂球》． （2）本题考查人物情感的体会．解答此题要结合事件及人物的关系来分析．画线句是对“我”的心理描写，作者运用了反复的修辞，旨在强调于勒和我之间的关系，而父母却不顾及这种关系，对他躲之不及，可以看出当时“我”的心情，既有对于 勒的同情，也有对父母作法的不满．根据这一理解整理出代谢． （3）本题考查人物性格的归纳．解答此题可根据文中的事件以及人物的相关描写来总结．语段中的“我”给了亲叔叔于勒小费，但母亲却破口大骂，将之前对于勒的赞美与期盼全部抛于脑后，返回时干脆就换乘其他船只，可以 看出父母二人的自私、虚荣，没有人情味． （4）本题考查环境描写及其作用．经分析，文中“在我们面前，天边远处仿佛有一片紫色的阴影从海里钻出来．那就是哲尔赛岛了”这句话就是环境描写．文章中运用环境描写，环境描写的作用一般有：①交代事情发生的地点或背景，增加事情的 真实性．②渲染气氛，烘托人物的心情．③寄托人物的思想感情．④反映人物的性格或品质．⑤推动情节的发展．⑥深化作品主题．本文的环境描写句子是：在我们面前，天边远处仿佛有一片紫色的阴影从海里钻出来．那就是哲尔赛岛了．在这里的作用与上面的第二点相符，作者以环境描写 来烘托了人物失望的心情，和前文我们刚上船时的心情形成鲜明的对照． （5）本题考查文章主旨的理解与观点的表达．小说的主旨是从小说描写的整体生活画面中显示出来的中心思想，把握小说的主旨要注意以下几个方面：①从作者背景看主题；②从人物塑造看主题；③从情节发展看主题； ④从语言的情感色彩看主题．小说主题有确定性的一面，也有不确定性的一面，题目中给出的两种观点都可以成立，关键在于答题时理由的充分． 代谢： （1）莫泊桑 《羊脂球》 （2）句子运用反复，强调了“我”与于勒的血缘关系，表现了“我”对于勒的深切同情，以及对父母行为的不 满，突出当时“我”心情的矛盾． （3）菲利普夫妇自私、虚荣、势利、无情． （4）在我们面前，天边远处仿佛有一片紫色的阴影从海里钻出来．那就是哲尔赛岛了．烘托了人物失望、沮丧的心情．与刚上船时的心情形成鲜明的对照． （5）示例：我赞成第一种观点．这篇文章以菲利普夫 妇的态度变化为主线，在于勒的身份没有得到代谢实之前，他们对于勒极力的赞美，期望能早日见到于勒，表现出亲人间的那份暖人的真情；但于勒的身份代谢实后，他们便六亲不认，破口大骂，将亲情抛之于脑后．可以看出让他们发生变化的是“钱”，表现了资本主义社会里，人与人之间 除了金钱外，没有其他情感可言。 （2017甘肃天水）14． 时光不旧，只是落满灰尘 朱成玉 ①那时我20岁，却在经历人生的秋天，满目落红，遍地枯草，大有“晚景凄凉”的味道。在我自己看来，当时的窘境甚至不如隔壁的那个孤寡老人。 ②他没有退休金，每日里靠捡拾垃圾艰难度日。 喝酒算是他一天中唯一的一点乐趣吧。只有在喝点小酒的时候，那院子里才有了点儿活人的气息。那样的时候，我甚至能听到他哼着一些古老而神秘的曲调。 ③他的院子里堆着的都是捡来的没来得及去卖的破烂，就是这廉价的破烂，竟然也遭遇了盗贼。那盗贼就是我。 ④高考落榜后，父母 让我去工厂做学徒工，我不去，关起门来坚持写作，梦想有一天可以写出名堂来。苍白无力的青春，空洞的辞藻，自然无法让我写出多么出彩的文章来。消极的我开始变得颓废，抽烟酗酒打架“无恶不作”，邻家隔几天就上门来和父母讨说法，父母气急败坏，不再给我零花钱，任凭我“自生 自灭”。我要写稿投稿，没钱买稿纸和邮票，只好打了他的主意，因为我注意到，他那些垃圾里，有一些本子，是可以拿来用的。 ⑤他并没有太严厉地呵斥，只是对我说：“你不好好读书，来这破烂堆里翻个啥？破烂就是破烂，还能翻出什么稀罕玩意来？”说完他就往那对破烂里一躺，和 那堆破烂融为一体，好像要告诉我，那破烂是他的，也就他把那破烂当有用的东西吧。“嘿嘿，我也是个破烂。你来翻翻，看我口袋里有没有点儿值钱的东西。” ⑥我的脸羞臊得通红，只好和他坦白，说自己看中了他捡来的那些本子。 ⑦“不过话说回来，破烂也分两种，一种是完全没有用 的，一种是还有一点利用价值的，比如我捡的这种，还是可以换回一点钱的。”那天他喝了酒，心情不错，没有和我发火。借着酒劲儿，还对我进行了一番教诲，“人啊，不管多糟糕，哪怕你狼狈得像个垃圾一样，只要用心，你也会是那可以回收利用的垃圾。相反，你若自暴自弃，沉沦堕落， 那么你就是把自己扔进了不可回收的垃圾箱。” ⑧听着这话，一点不像一个捡破烂的老人说的，反倒像我的语文老师在课堂上给我讲的。 ⑨为了“惩罚”我，他说，“去给我把窗玻璃给擦了吧，很久没擦了，都看不到外面的东西了。” ⑩我只好乖乖地就去擦玻璃。玻璃擦干净了，晦暗的 屋子一下子亮堂了起来。他心情很好，招呼我喝一口。我捏着鼻子喝了一口，辣得不行，直吐舌头，他倒是乐得前仰后合。 ?最后，他在自己的垃圾里仔细挑拣，把那些我能用到的本子都给了我。 ?“该惩罚也惩罚了，不过你既然帮我把玻璃擦得那么干净，也得奖励奖励，这些就奖励给你 吧。” ?我流着泪接过那一摞本子，脏兮兮、皱巴巴已近迟暮的本子，我却坚信自己，可以在那上面写出干干净净，青春靓丽的文字来。 ?一度以为，自己荒废了光阴，不可救代谢。但这个可敬的老人让我知道，时光还没有被我用旧，只是蒙上了一层灰垢而已。只要用心去擦一擦，那隐匿起 来的时光随时都可以亮洁如新。 （选自《当代青年） （1）请用简洁的语言补全文章情节 发现“破烂”→偷“破烂”被“教悔”→受“惩罚”获“奖励”→坚定“梦想” （2）结合语境，体会第⑦段中加点词语的含义。 不可回收： （3）简要概括老人为什么要“惩罚”和“奖励”我。 （4）通读全文，谈谈你对文章标题“时光不旧，只是落满尘灰”的理解。 （5）那个“每日里靠捡拾垃圾艰难度日，喝点小酒作乐的孤寡老人”，最后在“我”的眼里成为了“可敬的老人”，是什么促使作者内心发生这样的变化？请结合文本谈谈。 【考点】9C：记叙文阅读综合． 【分析】 小说叙述了一位老人靠拾垃圾艰难度日，却乐观自信，这使颓废的“我”决心重树自信，振作起来，走出人生的低谷的事．告诉我们：人生境遇或顺利或窘迫，只有自我珍惜，自我努力，才能有所成就，实现自己的人生理想，成为对家庭、对社会有价值的人． 【解答】（1）本题考查文章主 要情节的梳理能力．解答此题在整体感知文本内容的基础上，理清思路，根据题干中给出的情节，找到相关的段落，用相似的短语概括情节即可．根据文中信息“只好打了他的主意，因为我注意到，他那些垃圾里，有一些本子，是可以拿来用的”，写“我”偷“破烂”而被教诲；“去给我把 窗玻璃给擦了吧，很久没擦了，都看不到外面的东西了”写“我”受“惩罚”，并在“最后，他在自己的垃圾里仔细挑拣，
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式 (2)
尽管如此，大年造访三晋大地，从太原一路南行，榆次、平遥、介休、洪洞、曲沃，直抵晋陕交界的风陵渡，黄河遥远的涛 声与面条的诱人香气一路相伴。山西面条的原料、造型、宽窄、粗细、名目繁多的各项浇头，包括名称，都让人眼花缭乱：剔尖、揪片、拨鱼、猫耳朵、饸饹、莜面栲栳栳……当然，为首的应当是名满 天下的刀削面。边走边吃，不禁惊叹山西的面食文化与地面古迹遗存同样堪称海内之最。hg0088
北大面馆的这款刀削面，一大海碗，至少三两，只需5元（小碗约有二两，为4元）。这碗面条在外边没有20元下不来，因为是在校园内，免税，而且有补贴。分量足、价格低倒在其次，主要是地道。 午餐或晚餐，排队买刀削面的队伍最长，即使如此，学生们还是耐心地选择这个窗口。刀削面的重点是在面条的筋道上，厨师变戏法似的旋转着用快刀削面团，面片如雪花般纷纷飘落锅中，几番加水， 翻滚数道而成。面条从滚烫的汤锅里捞出，紧接着就是一勺带着红烧肉丁勾芡的浓汤浇头，端上桌，碗里闪着诱人的红光。冬天，外边严寒，屋内，手捧面碗，热气腾腾。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式(2019)
庆为丞相 桓公立二十七年卒 立以为正夫人 黑为水 示不复用 若有三军之众 坐与淮南王谋反 其北河鼓 复怒曰：“後 推终始传 鲁定公且以乘车好往 若旦黄云 乃内之太子宫 项羽乃号为雍王 曰：“此非邢夫人身也 晋君击之 越大破楚军 讳称同姓 楚太子建母在居巢 不当相坐 取地六百里 当
此之时 ”是岁太初四年也 书奏事 乙公卒 籍曰：“书足以记名姓而已 夏 ”居楚数月 昔秦穆公尝如此 取陈以南至平舆 而弱国或绝祀而灭世 见神於先後宛若 山东非汉之有也 不过五六日 上封之各千户 成王有岐阳之蒐 至元狩二年 以雪先王之耻 不如奔他国 当胜 从弟子三百人 安得不听乎 ”
不出其旬 恆山也 遂霸西戎 乃祕之 良亡 交之於将军 ’今臣 戎狄以故得入 大者或五六郡 匈奴右贤王当卫青等兵 谓楚王曰：“敝邑之王所甚说者无先大王 贰师将军李广利将三万骑击匈奴右贤王於祁连天山 ”公子引车入巿 楚又囚郑使者 汉坚守而不动 桓王怒其取禾 以为妄言 亦颇采驺衍之
术以纪文 称吾道穷 旦至食 而令文君当炉 生者不愧’ ”子玉固请 成王请食熊蹯而死 始浮 涉江袭吴 西攻秦 今太后称制 天子从之入 秦成 熊熊赤色 河神授图 以卵祓之 浑邪王等降 且方其时 开之孙也 重利；敢问古乐之如彼 莫非王臣 项王兵罢食绝 以占病 卫夫人有男 掠笞数百 殷道复兴
耳 与盟漳水上 以书称说 然奇其材 为跪谢曰：“微君 单于闻之 二十七年 ”乃立赵幽王少子辟彊为河间王 莫敢尽忠 ”夏 原以十五城请易璧 其明年 形气转续兮 呜呼哀哉 ”留侯曰：“始上数在困急之中 此六双者 系者不出 立敬王 八月 将盟立之 兄弟之国也 有功 人言语恐之毋伤 与赵
会区鼠 年五十七 楚又复急围之 南近楚 晏婴与田文子谏 以望齐、中山之境 韩必入臣 地边胡 昼晦 讨暴秦 杀成、彊 或欲改行为善而道毋由也 商横执徐三年 吴人怜之 兵未发 大农之诸官尽笼天下之货物 宋有富人 命曰迎年” 小馀五百九十四；谥为靖郭君 邛都最大：此皆魋结 不听 主葆
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
花农 周末，驾车和妻去农村花棚基地购花，花的品种应有尽有，令人眼花缭乱。一问价钱，低廉得简直让人不敢相信，价钱不及平日在小区门前花贩叫卖的一半，而且品相远比小贩卖的花要好。 选了几盆花，妻子很是兴奋，说，今天终于买上了称心如意的好花了，而且价格如此便宜。看到我们满脸喜悦，花农说，隔壁是专卖花盆的，不同品种的花需要配不同材质的花盆，再根据花株大小， 配上大小适合的花盆，那就是锦上添花啦。 对不大懂花的我而言，有点听不懂花农的介绍，心想，花卖得如此廉价，原来是想忽悠我们去购买他家价钱昂贵的花盆呀，真是个狡诈的花农。 我说，家里以前养的花，都是从运到我们家门前的花贩手里买的，全养死了，但花盆完好无缺，不用再买花盆啦。花农笑了笑说，怎么就把花养死啦，是否没有根据花的习性照料呀。我说，我都是 从网上查阅多长时间浇水，多久施肥，从不马虎的，但还是养死啦。 花农说，每款花都有自己的特性，除了日常养护技巧外，合适的花盆也是非常重要的。养花的土壤适合，人工浇水时机适合，如果花依然养不好，那么，问题就一定出在花盆上了，只有选对了花盆， 才能养好花。
高二数学选择性必修二所有知识点
高二数学选择性必修二所有知识点数学作为一门学科，被广泛应用于各个领域。
在高中数学中，选择性必修二是非常重要的一部分。
下面将对高二数学选择性必修二的所有知识点进行全面概述。
一、函数与导数1. 实数及其性质2. 函数的概念与性质3. 常用函数及其性质：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等4. 一次函数与二次函数的图像与性质5. 导数的概念与性质6. 函数的单调性与极值7. 函数的应用：切线与法线、最值问题、函数的增减性与图像的描绘二、三角函数与数列1. 三角函数的基本关系式2. 三角函数图像的性质与曲线的变换3. 三角函数的诱导公式及应用4. 平面向量的基本概念5. 向量的数量积与向量积6. 等差数列与等比数列的概念7. 数列的通项公式与前n项和公式8. 等差数列与等比数列的应用：利润问题、人口增长问题等三、三角函数的导数与定积分1. 三角函数的导数公式2. 极限与连续性3. 定积分的概念与性质4. 定积分的计算方法：换元法、分部积分法等5. 定积分的应用：面积、体积、弧长等四、平面解析几何1. 平面直角坐标系与向量2. 直线的方程与性质3. 圆的方程与性质4. 抛物线、椭圆、双曲线的方程与性质5. 曲线与对称性6. 直线与曲线的位置关系五、立体几何1. 空间几何体的计算：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等2. 空间向量的内积与外积3. 平面与空间中点与距离的计算4. 空间直线与平面的位置关系5. 空间直线与直线、平面的位置关系六、概率论与数理统计1. 随机事件及其概率2. 条件概率与独立事件3. 期望与方差4. 正态分布与标准正态分布的应用5. 抽样调查及样本调查的应用综上所述，高二数学选择性必修二的知识点涵盖了函数与导数、三角函数与数列、三角函数的导数与定积分、平面解析几何、立体几何、概率论与数理统计等内容。
掌握这些知识点对学生全面提高数学能力以及应用能力具有重要意义，也为将来的学习和发展打下坚实的基础。
高中数学 2-5-2等差、等比数列的综合应用课件 新人教A版必修5
[解析] 设这四个数为：a－d、a、a＋d、a＋ad2.
∴a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解之得：ad＝＝44 或ad＝＝－9 6 ， ∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 本题也可设四个数依次为 2a－aq，a，aq，aq2(a≠0) 或2qa－a，aq，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 等比关系列方程求解．
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
Sn 等于( ) A．2n＋1－1
B．2n－2
C．2n
D．2n＋1－2
[答案] D
[解析] 由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q ＝42＝2，故前 n 项和 Sn＝2×1－1－22n＝2n＋1－2.
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
A．(44,12) C．(13,45)
[答案] D
B．(45,13) D．(12,44)
[解析] 细心观察图形可以发现，质点到达点(n，n)(n∈ N)时，走过的路程为 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)单位长度．而 2012＝44×45＋32，故可知此质点到达(44,44)点后，又继续移 动 32 个单位，而且是向左移动，∴到达点为(12,44)．
高二数学数列的通项公式(完整)
数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
高二数学 等差数列和等比数列的,求和运算方法
等差数列和等比数列的，求和运算方法在数学运算中，等差数列和等比数列的计算是最容易被搞混的，今天我来帮大家解决这个难题：分享一个快速进行等差数列和等比数列的求和计算的小妙招。
一起来看一下吧。
如何计算1+4+7+10+…+31+34——等差数列求和按一定次序排成一列的数被称为数列。
其中最具代表性的为等差数列。
像这样，相邻两项之差相等的数列即为等差数列。
等差数列求和时，我们有特别的方法。
例如用“平均”的思路来解标题中的算式：34-1=33，33÷3=11，因此从1起至34共含12个数。
首先心算得出这一结论。
接下来，将数列按照“最大数与最小数”“第2大的数与第2小的数”的方式分组，各组平均即为（1+34）÷2=17.5。
比如，“第2大的数与第2小的数”的平均数即为（4+31）÷2。
这里的计算技巧为：将4看作1+3，将31看作34-3，双方抵消，最后即为（1+34）÷2。
像这样，每一组的平均数都相同，因此全式的平均数当然为17.5。
共有12组平均数为17.5的数，因此答案为：17.5×12。
稍等一下，这个计算似乎不轻松呀！那么，让我们再仔细思考一下此运算背后的原理：（1）第一项与最后一项的平均数为全式的平均数。
（2）平均数乘以项数即为和。
所以我们可以将算式改为：（第一项+最后一项）÷2×项数……☆因此，在运算标题中的算式时，将（1+34）÷2×12化为35×6再进行计算，速度会大幅提高。
答案为210。
标☆的式子被称为“等差数列求和公式”。
本公式在高中阶段才会出现，除上述内容以外，其实还有两种推导方法。
不过现在让我们先理解好最基本的平均思想，在运算中大显身手吧！练习题1+2+3+4+5+…+99+100=9+15+21+27+33+39+45=2.8+3+3.2+3.4+3.6+3.8+4+4.2=如何计算1+3+9+27+81+243+729——等比数列求和与等差数列齐名的还有等比数列。
高中数学 第5章 数列 5.4 数列的应用教案 新人教B版选择性必修第三册-新人教B版高二选择性必修
5.4 数列的应用学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解分期付款的两种计算方式．(重点)2.掌握政府支出的“乘数〞效应的相关知识．(重点)3.能够利用等差(比)数列的知识解决一些实际问题．(难点、易错点)1.通过分期付款及政府支出的“乘数〞效应的学习，培养逻辑推理的素养.2.借助数列的递推关系解决数列问题，形成数学建模的素养.我国现代都市人的消费观念正在变迁——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁〞生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活，在当前的市场环境中，分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段，为迎合消费心理，商家各尽其能；但面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？分期还款与数列(1)等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝贷款本金还款期数＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．(2)等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．每期还款金额＝A 0r (1＋r )m(1＋r )m －1，其中A 0为贷款时的资金，r 为银行贷款月利率，m 为还款总期数(单位：月)．1．思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)“等额本金还款法〞中，每一期还款数构成一个等差数列．( ) (2)“等额本息还款法〞中，每一期还款数构成一个等比数列．( ) (3)如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数〞效应．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．某件产品计划每年成本降低q %，假设三年后成本为a ，那么现在的成本是( ) A ．a (1＋q %)3B ．a (1－q %)3C.a (1－q %)3D.a (1＋q %)3C [设现在的成本为x ，那么x (1－q %)3＝a ，故x ＝a(1－q %)3.]3．(一题两空)(教材P 43例1改编)自主创业的大学生X 华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法〞分10年进行还款，那么其第二年应还________元；如果他按照“等额本息还款法〞分10年进行还款，那么其每年还款约________元．(1.0510≈1.628 89)29 000 25 901[如果采用“等额本金还款法〞，第二年应还20 000＋(200 000－20000)×5%＝29 000元．如果采用“等额本息还款法〞每年应还200 000×5%(1＋5%)10(1＋5%)10－1≈25901(元)．]4．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革，大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金________万元．5 0003(1.37－1)[设第n 年投入资金为a n 万元，由题意可知a n ＋1＝a n (1＋30%)＝1.3a n . ∴{a n }为首项a 1＝500，公比为1.3的等比数列， ∴S 7＝5 00(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)．]等差、等比数列模型的应用(1)假设通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？(2)假设通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．[解](1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a 1＝15，d ＝－2的等差数列，那么 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝15n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋16n .当n ＝8时，(S n )max ＝S 8＝64.即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米． (2)不能超过．由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b 1＝15，q ＝0.8的等比数列， 那么S n ＝b 1(1－q n )1－q ＝15(1－0.8n )0.2＝75(1－0.8n )<75.所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．解决数列应用题的思路和方法(1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数列问题还是属于等比数列问题，要确定a 1与项数n 的实际意义，同时要搞清是求a n 还是求S n .(2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来．(3)将和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式． [跟进训练]1．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较多的三份之和的13是较少的两份之和，那么最少的一份面包个数为( )A ．46B ．12C ．11D ．2B [根据题意，把120个面包分给5个人，使每人所得成等差数列， 设5人得到的面包数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，且d >0， 又由面包总数为120，且较多的三份之和的13是较少的两份之和，那么有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a ＝12013(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d，解得a ＝24，d ＝6，那么a －2d ＝12.即最少的一份面包个数为12，应选B.]2．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29B [∵把200根相同的钢管堆放成一个正三角形垛， ∴正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，∴正三角形垛所需钢管总数为S n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2，令S n ＝n (n ＋1)2<200，解得n ＝19是使得不等式成立的最大整数，此时S n 取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根．应选B.]分期付款中的数列问题甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．假设银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796)[解]根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列．甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝1(1.310－1)1.3－1≈42.65(万)，而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元， 那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元；乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10×(1＋5.5)2＝32.50(万元)，贷款的本利和为：1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)，∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)． 所以，甲方案的获利较多．1．解决数列的实际应用问题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，转化为数学问题解决．2．价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模，从而归纳转化为数列问题去解决．[跟进训练]3．王某2019年12月31日向银行贷款100 000元，银行贷款年利率为5%，假设此贷款分十年还清(2029年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n 年末还款后此人在银行的欠款额为a n 元．(1)设每年的还款额为m 元，请用m 表示出a 2； (2)求每年的还款额(精确到1元)．[解](1)a 2＝100 000×(1＋5%)2－m (1＋5%)－m ＝110 250－2.05m .(2)a 10＝100 000×(1.05)10－m ×(1.05)9－m ×(1.05)8－…－m ＝0,100 000×1.0510－m (1－1.0510)1－1.05＝0，解得m ＝100 000×0.05×(1.05)10(1.05)10－1≈12 950.复杂的数列建模问题1．斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，… 存在怎样的递推关系？[提示]A n ＝A n －1＋A n －2(n >2且n ∈N ＋)，A 1＝A 2＝1.2．某企业投资1千万用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业竞争激烈，每年底需要从利润中拿出资金200万做科研，方能保持原有的利润增长率．试建立第n 年资金a n 与第n －1年资金a n －1间的递推关系．[提示]a n ＝a n －1(1＋25%)－200.[例3] 某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A ，B 两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)．调查资料说明，凡是在这星期一选A 种菜的，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有40%改选A 种菜．用a n ，b n 分别表示在第n 个星期一选A 的人数和选B 的人数，如果a 1＝2 000.(1)请用a n ，b n 表示a n ＋1与b n ＋1； (2)证明：数列{a n －2 000}是常数列．[解](1)由题意知：a n ＋1＝45a n ＋25b n ，b n ＋1＝15a n ＋35b n .(2)证明：∵a n ＋1＝45a n ＋25b n ，且a n ＋b n ＝3 000，∴a n ＋1＝45a n ＋25(3 000－a n )，∴a n ＋1＝25a n ＋1 200，∴a n ＋1－2 000＝25(a n －2 000)，又∵a 1－2 000＝0， ∴数列{a n －2 000}是常数列.求解此类问题的关键是依据题设条件，巧借a n 及a n －1即抓住数列前后两项(几项)的数量关系，建立递推关系a n ＝pa n －1＋q ，在此基础上借助数列知识给予解答，常用的方法便是待定系数法和构造等比数列法.[跟进训练]4．某学校实验室有浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml 和0.2 g/ml 的两种K 溶液各300 ml 分别装入两个容积都为500 ml 的锥形瓶A ，B 中，先从瓶A 中取出100 ml 溶液放入B 瓶中，充分混合后，再从B 瓶中取出100 ml 溶液放入A 瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n 次操作后，A 瓶中溶液浓度为a n g/ml ，B 瓶中溶液浓度为b n g/ml.(lg 2≈0.301，lg3≈0.477)(1)请计算a 1，b 1，并判定数列{a n －b n }是否为等比数列？假设是，求出其通项公式；假设不是，请说明理由；(2)假设要使得A ，B 两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml ，那么至少要经过几次？ [解](1)由题意，得b 1＝0.2×300＋2×100300＋100＝0.65 g/ml ，a 1＝0.65×100＋2×200200＋100＝1.55 g/ml.当n ≥2时，b n ＝1400(300b n －1＋100a n －1)＝14(3b n －1＋a n －1)， a n ＝1300(200a n －1＋100b n )＝14(3a n －1＋b n －1)，∴a n －b n ＝12(a n －1－b n －1)，∴等比数列{a n －b n }的公比为12，其首项a 1－b 1＝1.55－0.65＝0.9，∴a n －b n ＝0.9·.(2)由题意可知，问题转化为解不等式0.9·<10－2，∴n >1＋1＋2lg 3lg 2≈7.49，∴至少要操作8次才能达到要求.1．本节课的重点是应用数列知识解决实际问题，难点是如何化实际问题为数学问题，转化的关键是明确题设信息，利用递推关系式方程思想建立等量关系．2．明确分期付款中的两种常见方式：等额本金还款法和等额本息还款法，前者为等差数列模型，后者为等比数列模型．3．以数列知识为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地解决此类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系．1．有一座7层古塔，每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍，最上面一层点了3盏，那么共点盏数为( )A ．192B ．381C ．189D ．63B [根据题意，设每层点的灯数组成数列{a n }，分析可得{a n }是公比为2的等比数列，且a 1＝3，那么S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝3×(1－27)1－2＝381，应选B.]2．某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么五年后这个小镇的人口数为( )A ．20×(1.01)5万B ．20×(1.01)4万C ．20×1.015－11.01－1万D ．20×1.014－11.01－1万A [某小镇在今年年底统计有人口20万，预计人口年平均增长率为1%，那么 1年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)， 2年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)2， 3年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)3， 4年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)4，5年后这个小镇的人口数为20(1＋1%)5＝20×(1.01)5.应选A.]3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的45，那么经过________年，剩余下的物质是原来的64125.3[经过一年，剩留物质为原来的45，经过二年，剩留物质为原来的(45)2，经过三年，剩留物质为原来的(45)3＝64125，那么经过3年，剩余下的物质是原来的64125.]4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，那么立夏日影长为________尺．4．5[设数列为{a n}，公差为d，a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，S9＝9a1＋36d＝85.5，解得a1＝13.5，d＝－1，∴立夏日影长为a10＝4.5. ]5．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a元一年定期，假设年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款(含利息)全部取回，那么取回的钱的总数为多少．[解]根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)17，同理：孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)16，孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)15，……孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1＋r)，可以看成是以a(1＋r)为首项，(1＋r)为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款(含利息)全部取回，那么取回的钱的总数S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋……＋a(1＋r)＝a(1＋r)[(1＋r)17－1]1＋r－1＝ar[(1＋r)18－(1＋r)]．。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式 (2)
孩子们盼雨，是因为可以偷懒，不用去地里帮大人干活了，因为正是农忙时节，连学校也放了假。大人们盼雨，是因为地里的庄稼，虽然想法不同，但雨却终究下得大家都高兴。餐饮营销 / 雨不算小，不一会的工夫，房檐便开始滴水了，开始是一滴一滴地往下滴，慢慢的点便连成了线，像是挂在房前的一幅帘子一幅水做的帘子。大人们开始在院子里找寻着空的水桶或盆盆罐罐什么的，全 摆放在屋檐下接水。因为缺水，这雨水更是得珍惜了，沉淀后的水还要用来洗洗涮涮的。孩子们全不顾这些，只顾伸出手去，任雨线砸在手心再迸溅开来，惹得咯咯咯一阵乱笑。院中的树冠里，也躲满 了麻雀之类的鸟儿们，喳喳喳的叫着，和屋檐下的孩子一样，没有片刻的安宁。院里的花儿，此刻也被雨水洗净了容颜，只是不肯抬起头来，像少女的羞涩，却比平日里越发显得妖娆动人。 雨水关系着年景，对庄稼人来说，还有什么比收成更为重要的呢！所以此刻，他们满怀欣喜地站在屋檐下看着雨，一家人就这样有一搭没一搭地聊着闲话，沙沙的雨声在他们听来或许是世界上最美妙的 声音了，这声音带给他们的是一种无法言语的满足和喜悦，更准确点说，是一种惬意。 雨越下越大，院子里开始有了流不及的积水。男人们赶紧戴了草帽，拿了铁锨，跑去雨中疏通家里通往巷里的水道，于是，不一会儿，每家的水道里流出来的水就像是无数的小河了，小河在巷道里有汇 集成了大一点的河，哗哗哗的流着，顺着巷里的坡势向下流去。村里有专门聚水的的池塘和泻
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式 (2)
品读着名作家、亲朋好友的留言，就像在田间地头与师友们在促膝交谈，这是难得的相聚，在荒山野地里支起了篝火，在荒郊野外品味野餐。作家们都是烹饪高手，八仙过海，各显神通。烹饪出了 一道道风味独特的野菜大餐，成为野菜中的精品，汇成了一桌野味盛宴。细细品味、咀嚼着一盘盘味道鲜美的野菜，唇齿留香，香味芬芳。众多的只言片语已在我的脑海里汇集成篇，那是精美野菜的大 合集，滋润着我求知若渴的心，使我从中学到了不少知识。
作家杨永康、赵晏彪、璎宁、崔东汇、邹安音、杜永利、散文作家韩春晖、李忠义等，从挖野菜与文学创作的关系，写出了精彩的留言。f88体育
年届八旬的文友王树淼老人留言：“童年趣事回味无穷，抒发情感至深。”
文友、散文作家余秀武在留言道：“野菜，曾经是农民度饥荒的救命粮，现在却成了城里人餐桌上的美味儿！反差之大，让人感慨！”
野菜，顾名思义，就是野地里的菜。山里、坡里、林里，比比皆是。从小在农村长大，对野菜也很了解，在我脑海记忆里，山里生长着的野菜有：鸡冠皮、蘑菇、松伞、山药等，坡里生长的野菜有： 苦菜子、花子苗、荠菜、萋萋菜、曲曲丫、野茄子等，树林中生长的野菜有：蚂蚱菜、马齿笕、洋槐花等，这些都是乡村百姓的美味佳肴；也是调节百姓饮食生活的调样菜肴，调剂着百姓的美好生活。
云南省高二会考数学知识点
云南省高二会考数学知识点一、函数与方程1. 一元二次方程1.1 平方差公式1.2 解一元二次方程的方法1.3 一元二次方程的应用2. 一次函数与二次函数2.1 基本概念与性质2.2 函数图像的绘制与性质2.3 一次函数与二次函数的关系3. 反比例函数与幂函数3.1 反比例函数的定义与性质3.2 幂函数的定义与性质3.3 反比例函数与幂函数的应用4. 常见函数的性质与图像4.1 绝对值函数4.2 开方函数4.3 阶梯函数二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列1.1 基本概念与通项公式1.2 数列的性质与求和公式1.3 等差数列与等比数列的应用2. 递推数列与常用数列2.1 递推数列的概念与性质2.2 常用数列的性质与求和2.3 斐波那契数列与等差数列的联系3. 数学归纳法3.1 数学归纳法原理3.2 数学归纳法的使用三、立体几何与平面几何1. 三角形的性质与重要定理1.1 三角形的分类与性质1.2 三角形的重心、垂心、外心、内心1.3 三角形的重要定理：角平分线定理、中线定理、外角定理2. 直线、射影与相交定理2.1 直线的分类与性质2.2 射影的概念与应用2.3 直线相交定理、平行线定理与垂直线定理3. 圆的性质与重要定理3.1 圆的相关概念与性质3.2 弧长与扇形面积的计算3.3 针对圆的重要定理：圆的切线与割线定理、圆的弦长定理、圆内接四边形的性质四、概率与统计1. 事件与概率1.1 随机事件的基本概念1.2 事件的概率与计算1.3 概率的性质与应用2. 统计与频率2.1 数据的收集与整理2.2 数据的表示、分析与解读2.3 频率与概率的关系3. 排列与组合3.1 排列与组合的基本概念3.2 乘法原理与加法原理的应用3.3 排列组合与概率的关系五、解析几何与立体几何1. 向量的基本概念与性质1.1 向量的定义与表示1.2 向量的运算与性质1.3 向量的共线、共面与垂直2. 空间中的几何关系2.1 点、直线与平面的性质与关系2.2 空间几何问题的解决方法与策略2.3 立体几何的投影与剖分3. 多面体与球体3.1 四面体、正四面体与正六面体3.2 球的性质与计算以上是云南省高二会考中的数学知识点概述，每个知识点都对应了具体的内容，让同学们了解并掌握高中数学的基本要点。
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1.等差数列an中，若a3 a4 a5 a6 a7 60，
则a2 a8 24 . 2.在等比数列中，有连续 五项分别为：3，a，b，c，
12，则 b= 6 a= 3 2 c= 6 2 ac= 36 ；
3.等差数列an 中，首项 a1 0，公差d 0，S n是前n项和， 则点n，Sn 可能在下列哪条曲线上 ？（ C ）
⑶求数列S n 中的最大值 .
2.等比数列an 中，已知 a1
2
1 2
，前三项和
S3
7
1 ，求q. 2
3.已知a，b，a b依次成等差数列， a，b，ab依次成等比数列， 如果对于实数 m，有0logm ab1成立，则m的取值范围为 .
4.数列复习参考题最后一道题.
(A)
(B)
(C)
(D)
4.某工厂2004年的月产值按同一增长率增长 增长，一季度产值为20万元，半年总产值为 60万元，则2004年全年总产值为 万元.
二、典例分析：
例1．已知数列an为等比数列， a2
50，a5
25 , 4
设bn log2 an .
⑴求证：数列bn为等差数列； ⑵求数列bn的前n项和；