等差数列和等比数列的应用复习PPT课件
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2014版高考数学一轮总复习 第33讲 等差、等比数列的综合应用课件 理 新人教A版
4.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sn＝2，S3n＝14，则 S4n＝ 30 .
【解析】由已知及等比数列{an}的性质知， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n 也成等比数列， 从而(S2n－2)2＝2(14－S2n)， 又 Sn>0，所以 S2n＝6， 于是(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)(S4n－S3n)， 即(14－6)2＝(6－2)(S4n－14)，所以 S4n＝30.
素材1
已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 公差 d<0， 满足 S12>0， S13<0，求 Sn 达到最大值时对应的项数 n 的值．
a1＋a12×12 【解析】因为 S12＝ ＝6(a6＋a7)>0， 2 a1＋a13×13 S13＝ ＝13a7<0， 2 所以 a6>0，a7<0，故当 n＝6 时，S6 取最大值．
备选例题
(2010· 泰州市质检)在数列{an}中， 1＝1,3anan－1＋an－an a
－1
＝0(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 λan＋ ≥λ 对任意 n≥2，n∈N*恒成立，求实数 a n＋ 1 1
λ 的取值范围．
1 【解析】(1)将 3anan－1＋an－an－1＝0，整理可得a ＝1＋3(n n －1)＝3n－2， 1 所以 an＝ (n≥2)． 3n－2 当 n＝1 时，a1＝1，也满足上式， 1 所以{an}的通项公式为 an＝ . 3n－2
【解析】因为 a5·2n－5＝22n(n≥3)，且{an}成等比数列， a 则 a1·2n－1＝a3·2n－3＝a5·2n－5＝„＝22n＝a2. a a a n 令 S＝log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1， 则 S＝log2a2n－1＋log2a2n－3＋„＋log2a1， 所以 2S＝log2[(a1·2n － 1)(a3·2n － 3)„(a2n － 3·3)(a2n － 1·1)]＝ a a a a log2(22n)n. 所以 2S＝2n· n，故 S＝n2.
高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
高三数学二轮复习数列的综合应用课件
P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
人教版数学选择性必修二考点复习：等差数列和等比数列课件
高二选择性必修二
等差数列和等比数列
考情分析
202X年
202X年
202X年
Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
等差数列
和
T4
T17 T17 T9,T14 T19 T5,T14 T17 T4,T6
新高考Ⅰ
卷
T14,T18
等比数列 高考试题中数列一般是以两个小题或一个解答题的情势出现,难度
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组), 然后求解,
注意整体计算, 以减少运算量.
对点训练
1.(202X北京高三一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a3=2,
a1+a4=5, 则S6=( B )
A.10
B.9
C.8
3 = 1 + 2 = 2
由题意得, ቊ
，
1 + 4 = 21 + 3 = 5
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知, an+bn=
所以an=
1
2
1
2−1
, an-bn=2n-1.
1
1
[(an+bn)+(an-bn)]=
2
2
bn= [(an+bn)-(an-bn)]=
第n环扇面形石板块数为等差数列{an},其前n项和满
足S3n-S2n=S2n-Sn=729,解方程即可得到n,进一步得到S3n
易错分析
等差数列和等比数列
考情分析
202X年
202X年
202X年
Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
等差数列
和
T4
T17 T17 T9,T14 T19 T5,T14 T17 T4,T6
新高考Ⅰ
卷
T14,T18
等比数列 高考试题中数列一般是以两个小题或一个解答题的情势出现,难度
(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组), 然后求解,
注意整体计算, 以减少运算量.
对点训练
1.(202X北京高三一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a3=2,
a1+a4=5, 则S6=( B )
A.10
B.9
C.8
3 = 1 + 2 = 2
由题意得, ቊ
，
1 + 4 = 21 + 3 = 5
由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知, an+bn=
所以an=
1
2
1
2−1
, an-bn=2n-1.
1
1
[(an+bn)+(an-bn)]=
2
2
bn= [(an+bn)-(an-bn)]=
第n环扇面形石板块数为等差数列{an},其前n项和满
足S3n-S2n=S2n-Sn=729,解方程即可得到n,进一步得到S3n
易错分析
等差等比数列的证明ppt课件
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列复习专题精选完整版ppt课件
数列与函数问题：化归思想，函数与方程思想
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--恒成立问题
恒成立问题： 论证推理
探索性问题--存在性问题
注：（1）不等式恒成立与最值问题相关联：确定变量最大或最小（2）数列最值问题关联：单调数列特征，或数列取值正负变化特征，或数列二次函数特征（3）恒成立问题：推理论证（4）存在性问题：寻找，特值法、代入验证法等
二、数列基本方法
1、方程（组）思想、函数思想2、代入法，因式分解降次法3、待定系数法4、分类讨论思想5、化归转换思想★6、不等式放缩应用
数列问题探究-典型例举
数列问题探究-典型例举
数列问题：
2、一般数列通项递推的应用（关于Sn--an）
递推式运用原则：减元原则、降次原则、目标趋近原则
知识拓展与方法应用：
数 列
1.知识
2. 问题
3. 方法
一、数列基础知识
一般数列：
特殊数列：等差数列
特殊数列：等差数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
特殊数列：等比数列
特殊数列：等比数列性质 足码和特征、和项特征、奇偶项和特征
二、数列基本问题
公式变式\性质应用
题例
基本关系式应用：正用代入--逆用作差
一般数列通项递推的应用
数列求和：数列递推问题：数列与不等式问题：数列与函数：探索性问题：成立与存在性问题预测方向
数列递推问题
数列递推问题
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
数列递推问题---化归转换为运用待定系数法、累加或累乘型
小结：（1）高考卷选择填空题型：等差等比比重大，一般数列通项或和，新定义与创新型问题（2）高考数列解答题：通项、前n项和，★递推问题，不等式证明（3）含参数问题：取值或范围，最值问题（4）重点问题：特殊数列、递推问题等
【步步高】高考数学考前3个月(上)专题复习专题三第一讲等差数列与等比数列课件
解 设{an}的首项为 a1，公差为 d，
本 讲 栏
则aa11＋＋32dd＋aa11＋ ＋65dd＝＝0－，16，
目 开 关
即aa211＋＝8－da41d＋，12d2＝－16，
解得ad1＝＝2－8 或ad1＝＝－8，2，
因此 Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9) 或 Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9).
本 讲 栏 目 开 关
考点与考题
第一讲
第一讲 等差数列与等比数列
本
讲 栏
【考点整合】
目 开
1.等差数列
关 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数).
(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (3)前 n 项和公式：Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d.
(4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
则 a1＋a10＝
()
本 A.7
B.5
C.－5
D.－7
讲 栏 目 开
解析 方法一 由题意得aa45＋ a6＝a7＝ a1qa41×q3＋ a1qa51＝q6＝ a21q29，＝－8，
关
∴qa31＝ ＝－ 1 2，
或q3＝－12， a1＝－8，
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
考点与考题
第一讲
故 a2＝a1＋d＝1. 答案 1
题型与方法
第一讲
题型一 等差数列的有关问题
本
讲 题型概述 等差数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考
栏
目 查等差数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重
开
关 要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.
题型与方法
专题33 等差、等比数列的性质的综合应用(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
则a4a5a6＝5 2.
3.在正项等比数列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝ 6，则a1a11的值是( A )
A.10 000 B.1 000
C.100
D.10
(2)设函数 f(x)＝12x，数列{bn}满足条件 b1＝2，f(bn ＋1)＝f（－31－bn），(n∈N*).
①求数列{bn}的通项公式； ②设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 和 Tn.
【解析】(1)因为a＝λb，所以12Sn＝2n－1，
Sn＝2n＋1－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2) ＝2n，
1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 an，an＋m，an＋ 2m，…(n，m∈N*)是公差为__m_d____的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
≤49，
∴ak(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列.
则所有ak(k∈M)的和211（11－－4445）＝2101－32
048 .
例4已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，向量 a＝(Sn，
1)，b＝2n－1，12，满足条件 a＝λb，λ ∈R 且 λ≠0. (1)求数列{an}的通项公式；
②cn＝bann＝3n2－n 1，
Tn＝221＋252＋283＋…＋32nn－－14＋3n2－n 1
①
12Tn＝222＋253＋284＋…＋3n2－n 4＋32nn－＋11
高三高考数学复习等差数列、等比数列(共29张PPT)
即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，
即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是
“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、
公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等． 精编优质课PPT江苏省2020届高三高考数学复习
等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
从而 a3×a5＝25×27＝212，所以 log2(a3a5)＝log2212＝12．
精编优质课PPT江苏省2020届高三高考 数学复 习
等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
精编优质课PPT江苏省2020届高三高考 数学复 习
等差数列、等比数列(共29张PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
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变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，
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法二 同法一得a5＝3.
等差数列的等差中项
∴又da＝2a5a＋5－3a8a＝2＝d0⇒2，3anana21＋＝mamaa82＝－0d⇒＝2－a25＋. 2a5＝0a⇒n aa2＝m －(n3. m)d
数列复习课课件
等比数列前 n 项积的应用
可以利用等比数列前 n 项积的性质求解一些与等比数列相关的问题， 如求解等比数列的通项公式、判断等比数列的单调性等。
CHAPTER 04
数列递推关系及通项求解方 法
一阶线性递推关系及通项求解方法
一阶线性递推关系
$a_{n+1} = pa_n + q$，其中 $p$ 和 $q$ 是常数，且 $p neq 0$。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数列复习课课件
汇报人：XX
目 录
• 数列基本概念与性质 • 等差数列求和公式与应用 • 等比数列求和公式与应用 • 数列递推关系及通项求解方法 • 数列极限概念与性质 • 数列在生活中的应用举例
CHAPTER 01
数列基本概念与性质
数列定义及分类
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列分类
根据数列项的变化规律，可分为等差数列、等比数列、常数列等。
当公差$d neq 0$时，等差数列的前n 项和$S_n$是关于n的二次函数，且常 数项为0。
等差中项性质
若$a, b, c$成等差数列，则$b$是$a$ 和$c$的等差中项，即$2b = a + c$ 。
CHAPTER 03
等比数列求和公式与应用
等比数列求和公式推导
等比数列求和公式
对于等比数列 {a_n}，其前 n 项和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
资源消耗问题也可以利用数列 模型进行建模和分析。例如， 对于不可再生资源的消耗，可 以通过等差数列或等比数列来 描述资源数量的减少趋势，并 预测资源耗尽的时间点。
可以利用等比数列前 n 项积的性质求解一些与等比数列相关的问题， 如求解等比数列的通项公式、判断等比数列的单调性等。
CHAPTER 04
数列递推关系及通项求解方 法
一阶线性递推关系及通项求解方法
一阶线性递推关系
$a_{n+1} = pa_n + q$，其中 $p$ 和 $q$ 是常数，且 $p neq 0$。
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数列复习课课件
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目 录
• 数列基本概念与性质 • 等差数列求和公式与应用 • 等比数列求和公式与应用 • 数列递推关系及通项求解方法 • 数列极限概念与性质 • 数列在生活中的应用举例
CHAPTER 01
数列基本概念与性质
数列定义及分类
数列定义
按照一定顺序排列的一列数。
数列分类
根据数列项的变化规律，可分为等差数列、等比数列、常数列等。
当公差$d neq 0$时，等差数列的前n 项和$S_n$是关于n的二次函数，且常 数项为0。
等差中项性质
若$a, b, c$成等差数列，则$b$是$a$ 和$c$的等差中项，即$2b = a + c$ 。
CHAPTER 03
等比数列求和公式与应用
等比数列求和公式推导
等比数列求和公式
对于等比数列 {a_n}，其前 n 项和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1(1 - q^n) / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
资源消耗问题也可以利用数列 模型进行建模和分析。例如， 对于不可再生资源的消耗，可 以通过等差数列或等比数列来 描述资源数量的减少趋势，并 预测资源耗尽的时间点。
高中数学必修5《等差、等比数列的综合应用》PPT
4.已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*
π 且a5＝ 2 ，若函数f(x)＝sin
2x＋2cos2x2，记yn＝f(an)，
则数列{yn}的前9项和为(Βιβλιοθήκη C )A.0B.－9
C.9
D.1
【解析】∵数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an， n∈N*，∴数列{an}是等差数列，∵a5＝π2 ， ∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝π，
＋1，n∈N*，λ为常数.
(1)证明：a1，a4，a5 成等差数列；
2 (2)设 cn＝ an2 an ，求数列{cn}的前 n 项和 Sn；
(3)当 λ≠0 时，数列an－1中是否存在三项 as＋1－ 1，at＋1－1，ap＋1－1 成等比数列，且 s，t，p 也成等比 数列？若存在，求出 s，t，p 的值；若不存在，说明 理由.
－an＋λ，
令 bn＝an＋1－an，
则 bn＋1－bn＝λ，b1＝a2－a1＝0，
所以 b 是以
n
0
为首项，公差为
λ
的等差数列，所
以 bn＝b1＋(n－1)λ＝(n－1)λ，
即 an＋1－an＝(n－1)λ，
所以 an＋2－an＝2(an＋1－an)＋λ＝(2n－1)λ，
所以
c ＝ n
2an2 an
等差、等比数列的综合问题（1）
【知识要点】
1．等差、等比数列的定义 (1)等差数列：如果一个数列从__第__二__项___起，每一 项与它的前一项的差等于__同__一__个__常__数____，则称这个数 列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用
字母 d 表示． (2)等比数列：如果一个数列从__第__二__项___起，每一
[精]高三第一轮复习全套课件3数列：第4课时 等差、等比数列的应用
![[精]高三第一轮复习全套课件3数列：第4课时 等差、等比数列的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/7b293cd480eb6294dd886c47.png)
4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场 加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以 每年20%的速度增长，每年年底砍伐1000m3 的木材 出售作为再生产的资金补贴，问：
(1)多少年后木材贮量达到翻番的目标?
(2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标?
【解题回顾】本题第(1)小题得到1.2n=7/3后，也可通 过两边取对数求n，同理第(2)小题得1.2n＝6后，也可 两准备开办一个商店，要向银行贷款若 干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年 的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款 后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿 还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来， 贷款金额比原贷款金额要少多少元? 【解题回顾】从数字角度看，本例是解决与数列有 关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问 题的关键在于理解复利的概念及其运算，形成用数 学的意识. 返回
【解题回顾】本题易误认为答案是187cm，即将梯 形的上、下底也算在了其中.
2.某电子管厂2001年全年生产真空电子管50万个， 计划从2002年开始每年的产量比上一年增长20%， 问从哪一年开始，该厂的真空电子管年产量超过 200万个?
【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-1×50＜200.
3.某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产 值为840万元. (1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增 加14万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村 人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不 超过多少人? (2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长 10%，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村 能否实现年人均产值较2002年翻一番(增加一倍)的 经济发展目标? 【解题回顾】本题(2)用到了近似估算法.
[精]高三第一轮复习全套课件3数列：第1课时 等差数列与等比数列
![[精]高三第一轮复习全套课件3数列：第1课时 等差数列与等比数列](https://img.taocdn.com/s3/m/c3526f1ba300a6c30c229f47.png)
4.重要性质： m+n=p+q am+an＝ap+aq(等差数列) (m、n、p、q∈N*) am·n＝ap·q(等比数列) a a
特别地 m+n=2p am+an＝2ap(等差数列)
am·n＝a2p(等比数列) a
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课前热身
1.观察数列：30，37，32，35，34，33，36，( 31 点，在括号内适当的一个数是_____. )，38的特
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能力·思维·方法
1.四个正数成等差数列，若顺次加上2，4，8，15后成等比 数列，求原数列的四个数.
【解题回顾】本题是利用等差数列、等比数列的条件设未 知数，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用 哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键 所在.
2.{an}是等差数列，且a1-a4-a8-a12+a15=2，求a3+a13的值.
【解题回顾】本题将函数、不等式穿插到数列中考查，用拓展
4.若a1，a2，a3 成等差数列，公差为d；sina1，sina2，sina3 成等比数列，公比为q，则公差d=kπ，k∈Z
【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差
5.数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，它们的 公共项由小到大排成的数列是{cn}.
①写出{cn}的前5项.
②证明{cn}是等比数列.
【解题回顾】依定义或通项公式，判定一个数列为等差或等 比数列，这是数列中的基本问题之一.
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误解分析
1.在用性质m+n=p+q则am+an=ap+aq时，如果看不清下标关 系，常会出现错误.
湖北黄冈中学高三数学《专题四-等差、等比数列的综合运用》市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
[例3] 在等差数列{an }中, 公差d 0, a2 是a1与a4的等比中项.已知数列a1 , a3 , ak1 , ak2 ,, akn 成等比数列, 求数列{kn }的 通项kn .
[解析] 依题设得an a1 (n 1)d , a22 a1a4 .(a1 d )2 a1(a1 3d )
1有b1
2, b2
8 3
, b3
4, b4
20 3
.
(2)由bn1
2 bn
4 3
, bn1
4 3
2(bn
4 ), 3
b1
4 3
2 3
0,{bn
4 }是首项为 3
2 3
,
公比q
2的等比数列 , 故bn
4 3
1 3
2n ,
即bn
1 3
2n
4 3
(n
1).
由bn
1 an
1 2
得anbn
1 2
bn
1,故
4) 3
an
2
1 2
8 3
20 16an 6an 3
bn1
4 3
,
b1
4 3
0
故{bn
4 3
}确是公比为
q
2的等比数列.
b1
4 3
2 3
, 故bn
4 3
1 3
2n ,
bn
1 3
2n
4 3
(n
1),
由bn
1 an
1 2
得
: anbn
1 2
bn
1,
故Sn a1b1 a2b2 anbn .
3
27 9 2 27 2
数列—等差数列与等比数列(初等数学课件)
am an 2ap 。
例题讲解
例 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 an1
+1 = 1 +
an bn
an2 bn2
b 2
∈ ∗ ，求证：数列 n 是等差数列。
an
证明 由题意知
an1
an bn
an2 bn2
1
bn
an
bn
1
an
2ຫໍສະໝຸດ bn1 bn 1
an
2
n N ，
例题讲解
2
2
2
bn1 bn
bn
bn1
1
所以
1 ，从而
初等数学研究
等差数列
等差数列的概念
如果数列 an 满足
an1 an d n N , d为常数
那么这个数列就叫做等差数列，常数 d 叫做等差数列的公差。
等差数列 an 的通项公式为 an a1 n 1d ，其前 n 项的和为
等差数列的性质
（1）设 an 是公差为 d 的等差数列。则 an b, b都是常数 是公差为 d
的等差数列。
（2）设 an ，bn 是等差数列，则 1an 2bn 1, 2都是常数也是等差数列。
（3）设 an ， bn 是等差数列，且 bn N ，则 abn 也是等差数列。
（ 4 ） 若 m n p q ， 则 am an ap aq 。 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ，
an1
an1 an
高中数学 2-5-2等差、等比数列的综合应用课件 新人教A版必修5
[答案] 0,4,8,16 或 15,9,3,1
[解析] 设这四个数为：a－d、a、a＋d、a＋ad2.
∴a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解之得：ad＝＝44 或ad＝＝－9 6 ， ∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 本题也可设四个数依次为 2a－aq，a，aq，aq2(a≠0) 或2qa－a，aq，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 等比关系列方程求解．
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
Sn 等于( ) A．2n＋1－1
B．2n－2
C．2n
D．2n＋1－2
[答案] D
[解析] 由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q ＝42＝2，故前 n 项和 Sn＝2×1－1－22n＝2n＋1－2.
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
A．(44,12) C．(13,45)
[答案] D
B．(45,13) D．(12,44)
[解析] 细心观察图形可以发现，质点到达点(n，n)(n∈ N)时，走过的路程为 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)单位长度．而 2012＝44×45＋32，故可知此质点到达(44,44)点后，又继续移 动 32 个单位，而且是向左移动，∴到达点为(12,44)．
[解析] 设这四个数为：a－d、a、a＋d、a＋ad2.
∴a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12.
解之得：ad＝＝44 或ad＝＝－9 6 ， ∴这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
[点评] 本题也可设四个数依次为 2a－aq，a，aq，aq2(a≠0) 或2qa－a，aq，a，aq(a≠0)．或依据两个和设未知数，根据等差 等比关系列方程求解．
当 cosα＝1 时，sinα＝0，由于等比数列的项不能为零，故 cosα＝1 应舍去，
当 cosα＝－12，α∈[0,2π]时，α＝23π或 α＝43π， 所以 α＝23π，β＝43π，γ＝83π或 α＝43π，β＝83π，γ＝163π.
命题方向 综合应用
[例 4] n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列：其有公比相 等．将第 i 行第 j 列的数记作 aij.已知 a24＝1，a42＝18，a43＝136， 求 ann.
Sn 等于( ) A．2n＋1－1
B．2n－2
C．2n
D．2n＋1－2
[答案] D
[解析] 由已知条件可得此等比数列的首项 a1＝2，公比 q ＝42＝2，故前 n 项和 Sn＝2×1－1－22n＝2n＋1－2.
2．等差数列{an}中，a3＝－5，a6＝1，设 Sn 是数列{an}的 前 n 项和，则 S8＝________.
A．(44,12) C．(13,45)
[答案] D
B．(45,13) D．(12,44)
[解析] 细心观察图形可以发现，质点到达点(n，n)(n∈ N)时，走过的路程为 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)单位长度．而 2012＝44×45＋32，故可知此质点到达(44,44)点后，又继续移 动 32 个单位，而且是向左移动，∴到达点为(12,44)．
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.
4.数列复习参考题最后一道题.
3.等差数列a n 中，首项a1 0，公差d 0，S n 是前n项和，
(Байду номын сангаас)
(B)
(C)
(D)
4.某工厂2004年的月产值按同一增长率增长 增长，一季度产值为20万元，半年总产值为 60万元，则2004年全年总产值为 万元.
二、典例分析：
25 例1 ．已知数列a n 为等比数列，a 2 50，a5 , 4 设bn log2 a n .
一、课堂练习：
则a2 a8
1.等差数列an 中，若a3 a4 a5 a6 a7 60，
24
.
2.在等比数列中，有连续 五项分别为： 3，a，b，c， 12，则 b= 6 a= 3 2 c= 6 2 ac= 36 ；
（ C ） 则点n，S n 可能在下列哪条曲线上？
⑴求证：数列bn 为等差数列；⑵求数列bn 的前n项和； ⑶求数列S n 中的最大值.
1 1 2.等比数列an 中，已知a1 2 ，前三项和S3 7 ，求q. 2 2
3.已知a，b，a b依次成等差数列，a，b，ab依次成等比数列， 如果对于实数m，有0logm ab1成立，则m的取值范围为
4.数列复习参考题最后一道题.
3.等差数列a n 中，首项a1 0，公差d 0，S n 是前n项和，
(Байду номын сангаас)
(B)
(C)
(D)
4.某工厂2004年的月产值按同一增长率增长 增长，一季度产值为20万元，半年总产值为 60万元，则2004年全年总产值为 万元.
二、典例分析：
25 例1 ．已知数列a n 为等比数列，a 2 50，a5 , 4 设bn log2 a n .
一、课堂练习：
则a2 a8
1.等差数列an 中，若a3 a4 a5 a6 a7 60，
24
.
2.在等比数列中，有连续 五项分别为： 3，a，b，c， 12，则 b= 6 a= 3 2 c= 6 2 ac= 36 ；
（ C ） 则点n，S n 可能在下列哪条曲线上？
⑴求证：数列bn 为等差数列；⑵求数列bn 的前n项和； ⑶求数列S n 中的最大值.
1 1 2.等比数列an 中，已知a1 2 ，前三项和S3 7 ，求q. 2 2
3.已知a，b，a b依次成等差数列，a，b，ab依次成等比数列， 如果对于实数m，有0logm ab1成立，则m的取值范围为