2021中考数学专题测试题及答案(3)
2021年中考数学真题(全国通用)专题33 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)
专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，ABC 90BAC ∠=︒E F 分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向AB AC H EF E F AH A 旋转得到，连接，．90︒AG GC HB（1）证明：；AHB AGC A A ≌（2）如图2，连接，，交于点．GF HC AF AF Q ①证明：在点的运动过程中，总有；H 90HFG ∠=︒②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？4AB AC ==EH AQG A 2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，，ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存BC AC =EC DC =E ABC A AD BE F AF BF CF 在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，D F AF BF 之间的数量关系；CF （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．D F 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒BC kAC =EC kDC =k 常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，E ABC A AD BEF AF BF CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，，点E 在上，．求证：平分AD ABC A 60ADC ∠=︒AB AE AC =DE ．ADB ∠（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点G ．若，，AB FC AD FB FC =2DG =，求的长．3CD =BD （拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E 在上，ABCD AC ,2BAD BCA DCA ∠∠=∠AC．若，求的长．EDC ABC ∠=∠5,2BC CD AD AE ===AC 4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E ，满足ABCD O A BD A AD ，连结并延长交的延长线于点F ，与交于点G ．A A AE CD =BE CD BE AD（1）若，请用含的代数式表列．DBC α∠=αAGB ∠（2）如图2，连结．求证；．,CE CE BG =EF DG =（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．CG 2AD =①若，求的周长．tan ADB ∠=FGD A ②求的最小值．CG 5．（2021·浙江中考真题）在扇形中，半径，点P 在OA 上，连结PB ，将沿PB 折叠AOB 6OA =OBP A 得到．O BP 'A （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B ．75O ∠=︒BO 'A AB ①求的度数．APO ∠'②求AP 的长．（2）如图2，与相交于点D ，若点D 为的中点，且，求的长．BO 'A AB A AB //PD OB AAB 6．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结ACD △РCD B AD ,BC AP ．（1）如图1，若，求的长．90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC （2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：D //DE AC AP E 60,CAD BD AC ∠︒==．2BC AP =（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出45CAD ∠=︒m BD mAC =2BC AP =的值；若不存在，请说明理由．m 7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，，点E 在边BC 上，且ABC BCD ∠=∠，，作交线段AE 于点F ，连接BF ．//AE CD //DE AB CF //AD （1）求证：；ABF EAD △≌△（2）如图2，若，，，求BE 的长；9AB =5CD =ECF AED ∠=∠（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求的值．BEEC 8．（2021·四川中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连ABC A AB AC =D BC B C 结．AD（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则60C ∠=°D AB E AE DE BDE ∠=________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．60C ∠=°AD A 60︒AE BE ①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；CD BE （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证AB AD kBC DE ==ADE C ∠=∠BE BD AC 明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且．连接并A A BD CD =AC 延长，与的延长线相交于点E ．BD （1）求证：；CD ED =（2）与，分别交于点F ，H ．AD OC BC ①若，如图2，求证：；CF CH =CF AF FO AH ⋅=⋅②若圆的半径为2，，如图3，求的值．1BD =AC10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形ABC A AC 1AE BE ，如图1，求的长；BEF CF（2）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，ABC A AC BE BEF 如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M 是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形ABC A CD BM BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E 是边上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以ABCD CB B 为顶点作正方形，其中点F 、G 都在直线上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与BFGH AE 点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则 度．EAF ∠=操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则 ∠=AEF 度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证：．ANP FNE △≌△（2）若，则线段AP 的长为 ．AB =12．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，N 是边上的一点，D 为的中点，过ABC A AB AC =BC AN 点A 作的平行线交的延长线于T ，且，连接．BC CD AT BN =BT（1）求证：；BN CN =（2）在如图中上取一点O ，使，作N 关于边的对称点M ，连接、、、AN AO OC =AC MT MO OC 、得如图．OT CM ①求证：；TOM AOC A A ∽②设与相交于点P ，求证：．TM AC 1//,2PD CM PD CM =13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧的中点．A BD ①求证：平行四边形ABCD 是菱形；②求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧上，且平行四边形ABCD 有一边与⊙O 相切．ABD ①求AB 的长；②直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：60,30,15︒︒︒操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）．ABCD AD BC EF 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段A EF B BM BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论．MN BC P BMP A 拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符AB a BC b ==，a b ，ABCD （1）中的等边三角形？BMP 15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形中，点E 是边上一点，且点E 不与点重ABCD BC B C ≌合，点F 是的延长线上一点，且．BA AF CE =（1）求证：；DCE DAF A A ≌（2）如图2，连接，交于点K ，过点D 作，垂足为H ，延长交于点G ，连接EF AD DH EF ⊥DH BF ．,HB HC ①求证：；HD HB =②若，求的长．DK HC ⋅=HE 16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，ABCD ,E F ,AB BC 于点．,DE AF DE AF =⊥G（1）求证：四边形是正方形；ABCD （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．CB H BH AE =AHF △类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，ABCD ,E F ,AB BC DE AF G ，求的长．,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==DE 17．（2021·四川中考真题）如图1，在中，，，点D 是边上一点（含ABC A 90ACB ∠=︒AC BC =AB 端点A 、B ），过点B 作垂直于射线，垂足为E ，点F 在射线上，且，连接、BE CD CD EF BE =AF ．BF（1）求证：；ABF CBE A A ∽（2）如图2，连接，点P 、M 、N 分别为线段、、的中点，连接、、．求AE AC AE EF PM MN PN 的度数及的值；PMN ∠MNPM（3）在（2）的条件下，若面积的最大值．BC =PMN A 18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关ABCD A BE AD ⊥E F CD EF BF EF BF系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如ABCD A BF F CD 图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证C 'C 'DC AB G AG BG 明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，ABCD A B 'A 使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此'A B CD ⊥H AD M 'A M CD N 的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思ABCD A 5AB=BC =BHNM考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线ABCD A 8AB =5AD =DAB ∠ABC ∠AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：．2EF =探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．8AB =①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相8AB =5AD =等时，求的值．ADAB20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形ABCD A ()090αα︒<≤︒'''AB C D [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC 的长．90α=︒'C DB 1AB =[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明'AC 'D '//'D M AC BD M 'D M DM 理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的DB 'AD 'AC P N MN PN 数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E 是边上的动点，将射线绕ABCD ABC ∠BC AE 点A 按逆时针方向旋转，交直线于点F ．CD （1）当时，AE BC EAF ABC ，^Ð=Ð①求证：；AE AF =②连结，若，求的值；BD EF ，25EF BD =ABCD A ＡＥＦ菱形ＳＳ（2）当时，延长交射线于点M ，延长交射线于点N ，连结12EAF BAD ∠=∠BC AF DC AE AC MN，，若，则当为何值时，是等腰三角形．42AB AC ==，CE AMN A 22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF AB 交PQ 于F ，连接BF ．//（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形中，，是边上的一个动点，将ABCD 6AB =AD =P BC 矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．ABCD A P D G EF （1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；P C EB =EF =（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点P B C EF O PO GF ，连接，，．M PF ME MA ①求证：四边形是平行四边形：MEPF②当时，求四边形的面积．1tan 3MAD ∠=MEPF 24．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，是直角三角形，∠DAE ＝90°，∠ADE ＝ADE A 12∠ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当∠CAB ＝45°时．①如图1，当顶点D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是 ．线段BE 与线段CF 的数量关系是 ；②如图2，当顶点D 在边AB 上时，（1）中线段BE 与线段CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC 底边上的高CM ，并取BE 的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把绕点C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形CAG A 全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB ＝30°时，如图3，当顶点D 在边AC 上时，写出线段BE 与线段CF 的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知内接于，点D 是上一点．ABC A ,,42O AB AC BAC =∠=︒A O A（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；BD O A CD DBC ∠ACD ∠（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D 作的切线，与的延长线交于点E ，求的大CD BA AD O A OC E ∠小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交ABC O A BAC ∠AG O A G 边于点，连接．BC F BG(1)求证：．ABG A AFC ∽△(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．AB a =AC AF b ==FG a b (3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），E AF A F D AE A E ，求证：．ABD CBE ∠=∠2BG GE GD =⋅27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC（1）求证：AG ＝GH ；（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．A ,ABC AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；AC DE A AB ,D AC E ,AD CD ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．D DA AAB F ,F A ,,DF BD BF （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．,BC BF 29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下xOy O A A BC 定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是BC A O A B C '',B C '',B C BC 的以点为中心的“关联线段”．O A A（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点112233,,,,,,A B C B C B C 112233,,B C B C B C O A A 为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线ABC A ()0,A t 0t ≠BC O A A 段”，求的值；t （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值ABC A 1,2AB AC ==BC O A A OA 和最大值，以及相应的长．BC 30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，ABCD O BD BO DO >OE AB ⊥垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．E OE O A DC H EO F EF DC G（1）求证：是的切线；BC O A （2）若是的中点，，．G OF 2OG =1DG =①求的长；AHE ②求的长．AD 31．（2021·山东中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，O A AB CD AB ⊥H E A BC 为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若F DC FE AB G AE CD P ．FE FP =（1）求证：是的切线；FE O A （2）若的半径为8，，求的长．O A 3sin 5F =BG 32．（2021·四川中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求△ABC 的面积；（3）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ． ¼BND ①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．33．（2021·重庆中考真题）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆ABC A AB AC =D BC AD AD A 时针旋转至的位置，使得．AE 180DAE BAC ∠+∠=︒（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的190BAC ∠=︒BE AC F BE ABC ∠2BD =AF 长；（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜2BE BE G AG AG CD 想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，3DG CE 120BAC ∠=︒BD CD >150AEC ∠=︒时，请直接写出的值．BD DGCE -34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点C ，于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD ．AE CD ⊥（1）求证：；DAE DAC ∠=∠（2）求证：；DF AC AD DC ⋅=⋅（3）若，，求EF 的长．1sin 4C ∠=AD =35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B 作ABC AB AC =于D ，延长交的外接圆于点E ，过点A 作于F ，的延长线交于BD AC ⊥BD ABC A AF CE ⊥,AE BC 点G ．（1）判断是否平分，并说明理由；EA DEF ∠（2）求证：①；②．BD CF =22BD DE AE EG =+⋅36．（2021·湖南中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，E F 、Rt ABC A BC 且．45,EAF CD BC ∠=︒⊥CD BE =（1）求证：；ABE ACD △≌△（2）求证：；222EF BE CF =+（3）如图②，作，垂足为H ，设，不妨设，请利用AH BC ⊥,EAH FAH αβ∠=∠=AB =（2）的结论证明：当时，成立．45αβ+=︒tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，ABCD A ECH 的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．90,,ECH CE CH HE ∠=︒=CD F D B H 、、（1）求证：；CDE CBH A A ≌（2）当时，求的值；15HB HD =FD FC（3）当时，求的值．3,4HB HG ==sin CFE ∠38．（2021·四川中考真题）如图，为的直径，C 为上一点，连接，D 为延长线AB O A O A ,AC BC AB 上一点，连接，且．CD BCD A ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O A（2）若，的面积为的长；O A ABC A CD （3）在（2）的条件下，E 为上一点，连接交线段于点F ，若，求的长．O A CE OA 12EF CF =BF 39．（2021·湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折Rt ABC △P BC ABP △AP 叠，使得点的对应点为，连接，，，．B B 'AB 'CB 'BB 'PB '（1）如图①，若，证明：．PB AC '⊥PB AB ''=（2）如图②，若，，求的值．AB AC =3BP PC =cos B AC '∠（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存30ACB ∠=︒P AB CB '=PCBC 在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：．BCE CDG △△≌（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若，，求线段DE 的长．45HD HF =9CE =（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，，求的值（用含k 的代数式表示）．45HD HF =DE EC 41．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求的值；CFBG(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形中，，，是对角线上不与点，重合ABCD 2AB =4=AD F AC A C 的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．F FE AD ⊥E AEF A EF GEF △G AD CG （1）如图1，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．A G AD 90FGC ∠=︒GF AB H CH①求证：；CDG GAH △∽△②求．tan GHC ∠（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，A G AD 90GCF ∠=︒GCF A AEF A 并说明理由．。
精品解析：2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学三模试题(解析版)
2021年重庆市九龙坡区育才中学中考数学模拟试卷（三）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为小B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号写在括号内. 1. 在﹣3，﹣14，0，1四个数中，最大的数是（）A. 1B. 0C. ﹣14D. ﹣3【答案】A【解析】【分析】根据实数大小比较判断即可；【详解】∵1＞0＞﹣14＞﹣3，∴最大的数是1，故选：A．【点睛】本题主要考查了实数比大小，准确分析计算是解题的关键．2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A图符合题中条件.故应选A.3. 在下列调查中，适宜采用全面调查的是（）A. 检测一批电灯泡的使用寿命B. 了解九（1）班学生校服的尺码情况C. 了解我省中学生的视力情况D. 调查重庆《生活麻辣烫》栏目的收视率【答案】B【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A．检测一批电灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意；B．了解九（1）班学生校服的尺码情况，必需采用全面调查，符合题意；C．了解我省中学生的视力情况，适合抽样调查，不符合题意；D．调查重庆《生活麻辣烫》栏目的收视率，适合抽样调查，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应该选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4. 已知x﹣2y＝4，xy＝4，则代数式5xy﹣3x+6y的值为（）A. 32B. 16C. 8D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】变形代数式5xy﹣3x+6y为5xy﹣3（x﹣2y），直接代入求值即可．【详解】解：原式＝5xy﹣3（x﹣2y）．当x﹣2y＝4，xy＝4时，原式＝5×4﹣3×4＝20﹣12＝8．故选：C．【点睛】本题考查了代数式求值问题，涉及到了整体代入的思想方法，要求学生能对代数式进行变形，得到所需要的式子，进行整体代入即可，考查了学生对代数式的变形与计算的能力以及整体思想的运用．5. 如图，BC∥ED，下列说法不正确是（）A. 两个三角形是位似图形B. 点A是两个三角形的位似中心C. B与D、C与E是对应位似点D. AE：AD是相似比【答案】D【解析】【分析】根据位似变换的概念判断即可．【详解】解：A、∵BC∥ED，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、AE：AD不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．6. +）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】的值即可判断．【详解】解：(==46=+， 466.259<<<26 2.53∴<<<24464 2.543∴+<+<+<+即646 6.57<+<<46∴+的值更接近整数6∴()148183+⋅的值更接近整数6． 故选：C ．【点睛】本题考查了估算无理数的大小以及二次根式的混合运算，估算无理数大小要用逼近法． 7. 如图，O 是ABC ∆的外接圆，已知50ACB ︒∠=，则ABO ∠的大小为（ ）A. 30︒B. 40︒C. 45︒D. 50︒【答案】B【解析】 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB=100°，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】∵∠ACB=50°，∴∠AOB=100°，∵AO=BO ，∴∠ABO=（180°-100°）÷2=40°，故选：B ． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8. 下列说法正确的是（）A. 若|a|＝|b|，则a＝bB. 内错角相等C. 2x-有意义的条件为x＞2D. 点P（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标为（3，2）【答案】D【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、关于y轴对称点的性质分别判断得出答案．【详解】解：A、若|a|＝|b|，则a＝±b，故此选项错误；B、两直线平行，内错角相等，故此选项说法错误；C、2x-有意义的条件为x≥2，故此选项错误；D、点P（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标为（3，2），故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及二次根式的性质、关于y轴对称点的性质，正确掌握相关定义是解题的关键．9. 如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3：4，则大坝底端增加的长度CF是（）米．A. 7B. 11C. 13D. 20【答案】C【解析】【分析】过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，∴GH＝DE＝2，∵DG＝EH＝15，背水坡CD的坡度i＝1：0.6，背水坡EF的坡度i＝3：4，∴CG＝9，HF＝20，∴CF＝GH+HF﹣CG＝13米，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．10. 如果关于x的分式方程1222x mx x++=--有非负整数解，关于y的不等式组21235(1)(3)y yy y m+⎧+⎪⎨⎪-<-+⎩有且只有3个整数解，则所有符合条件的m的和是()A. ﹣3B. ﹣2C. 0D. 2【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件m的值即可．【详解】解：去分母得：x﹣m﹣1＝2x﹣4，解得：x＝3﹣m，由解为非负整数解，得到3﹣m≥0，3﹣m≠2，即m≤3且m≠1，不等式组整理得：224ymy≥-⎧⎪⎨-<⎪⎩，由不等式组只有3个整数解，得到y＝﹣2，﹣1，0，即0＜24m-≤1，解得：﹣2≤m＜2，则符合题意m＝﹣2，﹣1，0，之和为﹣3，故选：A．【点睛】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握运算法则. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD 翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF的长为（）A. 5B. 74C.54D. 4.5【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论．【详解】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，∴BD＝DE，BC＝CE＝6，∠B＝∠CED，∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，∴∠A＝∠DEF，AD＝DE，AF＝EF，∴∠FED+∠CED＝90°，∴AD＝DB，∴CD＝DA＝DB＝12 AB，∵DC＝5，∴AB＝10，∴AC22AB BC-22106-＝8，∴CF＝8﹣AF，∴EF2+CE2＝CF2，∴AF2+62＝（8﹣AF）2，∴AF＝74，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．12. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝kx（k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝12，则k的值为（）A. ﹣2B. ﹣25C. ﹣6D. ﹣42【答案】C【解析】【分析】根据已知条件运用点B，E都在反比例函数图象上，再运用tan∠OAD＝12即可求解．【详解】如图所示，过点B作BN⊥x轴，过点E作EM⊥x轴∴EM∥BN∴△ECM∽△BCN∵E 为BC 三等分点∴EC =13BC ∴13EC EM CM BC BN CN === 设B 点的坐标为：（-m ，n ）∵C （-4,0）∴OC =4∴ON =m ，BN =n则CN =4-m∴EM =13BN =3n CM =13CN =4-3m OM =OC -CM =4-4-3m =83m + ∴E （-83m +，3n ） ∵tan ∠OAD =12 ∴tan ∠OAD =12=OF OA 则OA =2OF∴tan ∠AFO =2∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC∴∠ECM =∠AFO∴tan ∠ECM =2EM CM = 即3n ÷4-3m =2 n =8-2m∴B （-m ，8-2m ）E （-83m +，823m -），两点都在k y x=上 ∴-m （8-2m ）=-83m +×823m - 解得m =1∴B （-1,6）∴k =-1×6=-6故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征平行四边形的性质及解直角三角形，本题的解题关键是确定B ，E 点的坐标，利用tan ∠OAD =12的关系即可得出答案． 二、填空题：（本大题共6个小题，铅小题4分，共24分）13.（π﹣3）0﹣|﹣3|＝_____．【答案】2【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4+1﹣3＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的化简、0指数幂的性质和绝对值的性质，解决本题的关键是牢记相关结论与性质，并能熟练运用．14. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为______米.【答案】8.4×10－6 【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000084=8.4×10－6， 故答案为：8.4×10－6. 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15. 一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的2个红球，1个白球，1个黑球，搅匀后，从中随机摸出两个球，则摸到一个红球一个白球的概率为_____． 【答案】13【解析】【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出摸到一个红球一个白球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，摸到一个红球一个白球的结果有4个，∴摸到一个红球一个白球的概率为412＝13，故答案为：13．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）【答案】83π﹣3【解析】【分析】首先求出DE和AE，再利用特殊角的三角函数值求出∠DAE的度数，然后根据S阴影＝S扇形AEF﹣S△ADE 即可求解．详解】解：∵AB＝2AD＝4，AE＝AB，∴AD＝2，AE＝4．∴DE22224223AE AD--=，∴Ｒt△ADE中，cos∠DAE＝2142 ADAE==，∴∠DAE＝60°，则S△ADE＝12AD•DE＝12×2×33S扇形AEF＝260483603ππ⨯=，则S阴影＝S扇形AEF﹣S△ADE＝8233π-．故答案为：8233π-．【点睛】本题综合考查了三角函数、矩形、勾股定理、扇形面积等内容，要求学生能利用相关概念和公式求出角以及线段的长，能利用面积公式求出图形的面积，因此，解决本题的关键是牢记公式，并做到熟练运用，本题运用了数形结合的思想方法．17. 小明和小亮分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C，小明先到达奶茶店C，并在C地休息了一小时，然后按原速度前往B地，小亮从B地直达A地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y(千米)与小亮出发时间x(时)的函数的图象，请问当小明到达B地时，小亮距离A地_____千米．【答案】90【解析】【分析】根据题意设小明的速度为akm/h，小亮的速度为bkm/h，求出a,b的值，再代入方程即可解答. 【详解】设小明的速度为akm/h，小亮的速度为bkm/h，23.5 2.5(3.52)(3.5 2.5)210bab a⎧=-⎪⎨⎪-+-=⎩，解得，12060ab=⎧⎨=⎩，当小明到达B地时，小亮距离A地的距离是：120×(3.5﹣1)﹣60×3.5＝90(千米)，故答案为90．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.18. 假设某地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满.2020年元旦节期间，由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过__________小时车库恰好停满． 【答案】165【解析】【分析】设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，然后根据题意可列方程组进行求解．【详解】解：设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆，车位总数为a ，由题意得： ()()8237523275x y a x y a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩％％， 解得：316332x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则3316602216325a a ⎛⎫÷⨯-⨯= ⎪⎝⎭％（小时）； 故答案为165． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．三、解答题：（本大题8个小题，26题8分，19-25题每小题8分，共78分）19. 计算：（1）（2a ﹣b ）2+（a +b ）（a ﹣b ）；（2）（1﹣32x +）÷212x x -+． 【答案】（1）5a 2﹣4ab ；（2）11x + 【解析】【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】解：（1）原式＝4a 2﹣4ab +b 2+a 2﹣b 2＝5a 2﹣4ab ；（2）原式＝()()232·2211x x x x x x ++⎛⎫- ⎪+++-⎝⎭ =()()12·211x x x x x -+++- =11x +． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式、分式的混合运算以及化简，要求学生熟记相关公式并能灵活运用，考查了学生对相关概念的理解能力和对公式的运用能力．20. 如图，在四边ABCD 中，AB DC AB AD =∥，，对角AC BD 、交于O AC ，平BAD ∠．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ，若254AB BD ==，，求OE 的长．【答案】(1)见解析；(2)4【解析】【分析】（1）先判断出∠CAB=∠DCA ，进而判断出∠DAC=∠DCA ，得出CD=AD=AB ，即可得出结论； （2）先判断出OE=OA=OC ，再求出OB=2，利用勾股定理求出OA ，即可得出结论．【详解】(1)证明：AB CD ∥ ，CAB ACD ∴∠=∠，AC 平分BAD ∠，CAB CAD ∴∠=∠ ，CAD ACD ∴∠=∠，AD CD ∴=又=AD AB ，AB CD ∴=，又AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，(2)解：菱形ABCD ，AC BD ∴⊥ ，12OA OC AC == ，12OB OD BD ==， CE AB ⊥，90AEC ∴∠=︒，又O 为AC 中点，12OE AC OA ∴==， 在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，22OA AB OB ∴=-22(25)24OE OA ∴==-=． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB 是解本题的关键．21. 某防护服生产公司旗下有A 、B 两个生产车间，为了解A 、B 两个生产车间工人的日均生产数量，公司领导小组从A 、B 两个生产车间分别随机抽取了20名工人的日均生产数量x （单位：套），并对数据进行分析整理（数据分为五组：A ．25≤x ＜35，B ．35≤x ＜45，C ．45≤x ＜55，D ．55≤x ＜65，E ．65≤x ＜75）．得出了以下部分信息：A ．B 两个生产车间工人日均生产数量的平均数、中位数、众数、极差如表：车间平均数（个） 中位数（个） 众数（个） 极差 A54 56 62 42 B a b 64 45“B 生产车间”工人日均生产数量在C 组中的数据是：52，45，54，48，54，其余所有数据的和为807． 根据以上信息，回答下列问题：（1）上述统计图表中，a ＝ ，b ＝ ．扇形统计图B 组所对应扇形的圆心角度数为 °． （2）根据以上数据，你认为哪个生产车间情况更好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若A 生产车间共有200名工人，B 生产车间共有180个工人，请估计该公司生产防护服数量在“45≤x＜65”范围的工人数量．【答案】（1）53，54，72；（2）“A车间”的生产情况较好，理由见解析；（3）估计生产防护服数量在“45≤x ＜65”范围的工人大约有199人【解析】【分析】（1）“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，可求出“B生产车间”工人日均生产数量在C组的百分比，进而求出工人日均生产数量在B组的百分比，再根据平均数、中位数、众数的意义求解即可；（2）根据中位数、平均数、极差的比较得出答案；（3）根据两个车间的在“45≤x＜65”范围所占的百分比，通过教师得出答案．【详解】解：（1）“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，因此“C组”所占的百分比为5÷20＝25%，“B组”所占的百分比为1﹣25%﹣10%﹣15%﹣30%＝20%，所以“A组”的频数为：20×10%＝2（人），“B组”的频数为：20×20%＝4（人），“C组”的频数为：20×25%＝5（人），“D组”的频数为：20×30%＝6（人），“E组”的频数为：20×15%＝3（人），因此“B车间”20名工人，日生产数量从小到大排列，处在中间位置的两个数的都是54，所以中位数是54，即b＝54，“B车间”20名工人，日生产数量的平均数为：30×10%+40×20%+50×25%+60×30%+70×15%＝53，即a＝53，360°×20%＝72°，故答案为：53，54，72；（2）“A车间”的生产情况较好，理由：“A车间”工人日均生产量的平均数，中位数均比“B车间”的高；（3）200×3720+180×（25%+30%）＝199（人），答：A生产车间200人，B生产车间180人，估计生产防护服数量在“45≤x＜65”范围的工人大约有199人．【点睛】本题考查了折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数以及极差，理解统计图中数量之间的关系是解题的关键．22. 如果自然数m使得作竖式加法m+（m+1）+（m+2）时对应的每一位都不产生进位现象，则称m为“三生三世数”，例如：12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象；50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象（1）分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由；（2）求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．【答案】（1）42不是“三生三世数”，3210是“三生三世数”，理由见解析；（2）102，111，120，132 【解析】【分析】（1）根据“三生三世数”的定义进行判断便可；（2）先根据“三生三世数”定义求出三位数中小于200的“三生三世数”，再求得其中是3的倍数的数便可．【详解】解：（1）∵42+43+44计算时会产生进位现象，∴42不是“三生三世数”，∵3210+3211+3212计算时不会产生进位现象，∴3210是“三生三世数”，（2）根据“三生三世数”的定义知，小于200的三位数中的“三生三世数”有：100，101，102，110，111，112，120，121，122，130，131，132，∵102，111，120，132能被3整除，∴三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”有：102，111，120，132．【点睛】本题考查了有理数的加法、新定义，解题的关键是明确题意，利用题干中的新定义解答．23. 已知y＝a|2x+4|+bx（a，b为常数）．当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝3．（1）a＝，b＝；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数图象；并写出函数的一条性质：；（3）已知函数y＝25|22|x-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|2x+4|+bx＝25|22|x-的近似解（精确到0.1）．【答案】（1）1；﹣1；（2）当x≥﹣2时，y随x的增大而增大；（3）x1＝﹣2.5，x2＝2.8【解析】【分析】依题意（1）把当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝3分别代入函数y＝a|2x+4|+bx（a，b为常数），可求出a和b的值；（2）根据对自变量x的范围的讨论，对函数进行变形，进而画出对应的函数图象；（3）根据两个函数图象的交点位置，估算出交点的横坐标即可；【详解】解：（1）根据题意可得，245243a ba b⎧++=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得11ab=⎧⎨=-⎩，故答案为：1；﹣1；（2）根据题意，当x≥﹣2时，2x+4≥0，y＝2x+4﹣x＝x+4；当x＜-2时，2x+4＜0，则y＝﹣2x﹣4﹣x＝﹣3x﹣4．∴4,(2)34,(2)x xyx x+≥-⎧=⎨--<-⎩；由函数解析式可画出对应的函数图象，根据函数图象可得出对应函数的性质．故答案为：当x≥﹣2时，y随x的增大而增大；（3）根据函数图象，交点的横坐标就是该方程的解，根据图象估算对应的解为：x1＝﹣2.5，x2＝2.8；【点睛】本题主要考查待定系数求解析式、数形结合等，关键在如何准确应用数形结合求解；24. 为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14．4万件，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【答案】（1）20%；（2）增加4条生产线【解析】【分析】（1）设每天增长的百分率x，根据题意第一天生产10万件，第三天生产14．4万件，列出方程即可解答.（2）设应该增加y条生产线,根据题意1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，列出方程即可解答.【详解】（1）设每天增长的百分率x，可得：10(1+x)2=14.4，解得：x=0.2,答：每天增长20%.（2）设应该增加y条生产线,根据题意可得：（20-2y）+（20-2y）y=60,解得：y=4,故答案为：4.【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程.25. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，2），对称轴为直线x ＝﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点M ．点F 是直线AC 下方抛物线上的一动点，连接DF 交AC 于点G ，连接EG ，求△EFG 的面积的最大值以及取得最大值时点F 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 为平面内一点，在抛物线上是否存在一点Q ，是以点P 、Q 、F 、C 为顶点的四边形为矩形，如果存在，直接写出点P 的坐标，如果不存在，说明理由．【答案】（1）228233y x x =++；（2）S △EFG 最大为154，F (－32，－12)；（3）P (－325，6125)或(－1910，15750)． 【解析】 【分析】（1）将A 、C 的坐标代入函数式，再结合对称轴公式利用待定系数法求解即可；（2）根据待定系数法求出直线AC 、直线DE 的表达式，再根据三角形面积之间的关系表示出△EFG 的面积，从而得到当△DEF 的面积最大时△EFG 的面积最大，求出△DEF 面积的最大值进行计算即可； （3）设Q (m ，228233m m ++)，P (x P ，y P )，分三种情况：①以CF 为对角线，②以CQ 为对角线，③以CP 为对角线，分别计算可得问题的答案．【详解】解：（1）将A 、C 的坐标(－3，0)、(0，2)代入函数式且对称轴为x ＝－2， ∴930222a b c c b a ⎧⎪-+=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩，解得：23832 abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为：228233y x x=++；（2）由点A、C的坐标(－3，0)、(0，2)可知，直线AC为：223y x=+，∵DE∥AC，∴k DE＝k AC，∴k DE＝23，∵D与C关于x＝－2对称，∴D(－4，2)，∴直线DE为：21433y x=+，联立：22143328233y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得：1214xx=⎧⎨=-⎩，24x=-舍去，∴E的横坐标为1，代入可得，28162333y=++=，∴E(1，163)，连接DC，作FK⊥x轴，交DE于K，∵DE∥AC，∴S△DEG＝S△DEC，将x ＝0代入21433y x =+得：143y =， ∴M (0，143)， ∴S △DEC ＝S △DCM +S △ECM ＝203， ∴S △DEG ＝203， ∵S △EFG ＝S △DEF －S △DEG ＝S △DEF －203， ∴当△DEF 的面积最大时，△EFG 的面积最大，设F 为(t ，228233t t ++)，K (t ，21433t +)， ∴S △DEF ＝S △DFK +S △EFK ＝12(x E －x D )(y K －y F )＝252682333t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＝252125()3312t -++， ∴当t ＝32-时，三角形DEF 面积最大，最大为12512，此时△EFG 面积的最大值为：12520151234-=， ∴当F (32-，12-)时，S △EFG 最大为154； （3）假设存在，∵C (0，2)，F (32-，12-)，且以P 、Q 、F 、C 为顶点的四边形为矩形， ∴设Q (m ，228233m m ++)，P (x P ，y P )，则m ≠0，m 32≠-， ∴直线CF ：12()52330()2CF k --==--，直线QC ：22822283333QC m m k m m ++-==+， 直线QF ：22812253233323QF m m k m m +++==++， ①矩形以CF 为对角线，则：C F P Q C F P Q x x x x y y y y QC QF +=+⎧⎪+=+⎨⎪⊥⎩，∴k QC •k QF ＝－1， ∴23212822233282513333P P x m y m m m m ⎧-=+⎪⎪⎪-=+++⎨⎪⎪⎛⎫⎛⎫+⨯+=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，∴4m 2+26m +49＝0，∵22644491080∆=-⨯⨯=-<，∴无解，此时不存在；②以CQ 为对角线，则：C Q P F C Q P F x x x x y y y y CF QF +=+⎧⎪+=+⎨⎪⊥⎩，∴k CF •k QF ＝－1， ∴23228143325251333P p m x m m y m ⎧=-⎪⎪⎪++=-⎨⎪⎪⎛⎫⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩， ∴175m =-， ∴191015750P P x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴19157,1050P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③以CP 为对角线，则：C P Q F C p Q F x x x x y y y y CF QC +=+⎧⎪+=+⎨⎪⊥⎩，∴k CF •k QC ＝－1， ∴232281223325281333P P x m y m m m ⎧=-⎪⎪⎪+=++-⎨⎪⎪⎛⎫⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩， ∴4910m =-，∴3256125PPxy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3261,525P⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，点P坐标为19157,1050⎛⎫- ⎪⎝⎭或3261,525⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，矩形的判定等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解坐标与图形的性质，会解一元二次方程，会运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．26. 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝120°，线段BC与EF相交于点O．（1）若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC＝43，DE＝3，求AD 的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG＝3 CG．（2）若点D与点A重合，CF∥AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE OF-的值．【答案】（1）①19AD=；②见解析；（2）31HKAE OF+=-【解析】【分析】（1）①根据中点的定义求出OB，利用三角函数求出AB、OA和OE，再利用勾股定理解答即可；②延长GO至H，使得OH＝OG，连接HC，OD，AO，利用SAS证明△BOG≌△COH，接着证明△AOD∽△COF 进而进一步得到A、G、O、C四点共圆，得出∠OGC＝∠OAC＝60°，利用特殊角的三角函数值即可完成求证；（2）过F作FH⊥BC交BC延长线于点H，利用SAS证明△ABE≌△ACF，得到相等的角和边，接着证明△OBE∽△OHF，点A、O、C、F四点共圆等，利用三角函数等知识分别求出HK、AE、OF，进而直接代入求解即可．【详解】解：（1）①∵O 点是BC 、EF 的中点，∴OB ＝OC ＝12BC ＝OE ＝OF ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠BAO =60°∴4sin 60OB AB ===︒，2tan 60OB OA ===︒， 同理，由∠EDF =120°，O 是EF中点，DE =∴3sin 602OE DE =︒⨯==， ∴OE ＝OF ＝32，OD ＝12DE∴AD2==； ②延长GO 至H ，使得OH ＝OG ，连接HC ，OD ，AO ，∵点O 是BC ，EF 的中点，∴OB ＝OC ，OE ＝OF ，∴OD ⊥EF ，AO ⊥BC ，在△BOG 和△COH 中，OB OC BOG COH OG OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOG ≌△COH （SAS ），∴∠BGO ＝∠CHO ，BG ＝CH ，∵BG ⊥OG ，∴∠BGO ＝∠CHO ＝90°，∴∠EDF ＝∠BAC ＝120°，∴∠OFD ＝∠OCA ＝30°，∴OF，OC，∴OD OA OF OC=，∵∠AOD＝∠COF，∴△AOD∽△COF，∴∠OAD＝∠OCF，∴∠AGC＝∠AOC＝90°，∴A、G、O、C四点共圆，∴∠OGC＝∠OAC＝60°，在Rt△GHC中，∠GHC＝90°，∠HGC＝60°，∴3HCCG=，∴HC＝3CG，∴BG＝3CG．（2）过F作FH＇⊥BC交BC延长线于H＇，∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB ACBAE CAFAE AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE＝∠ACF，BE＝CF，∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠ACF＝120°，∵∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠CBE ＝∠ABE ﹣∠ABC ＝90°，∵∠FCH ＇＝180°﹣∠ACF ﹣∠ACB ＝30°，∠FH ＇C ＝90°，∴FH ＇＝12CF ， ∵∠CBE ＝∠CH ＇F ＝90°，∴BE ∥FH ＇，∴△OBE ∽△OH ＇F ， ∴2BE OE FH OF='=， 设AE ＝AF ＝m ，如图，作AG ＇⊥EF ，∴EG ＇=2m ，AG ＇= 12m∴EF ，∵OE ＝2OF ，∴OE ＝23EF m ，OF ，∴OG ＇=OE -EG ＇，∴OG AG ''= ∴∠G AO '=30°，∴∠BAO =90°，∠OAF ＝∠OFA ＝30°，∴OA ＝OF ＝3m ，∠AOF ＝120°， ∴OE ＝2OA ，∴∠EAO ＝90°，∠AOE ＝60°，∵∠AOF ＝∠ACF ＝120°，∴点A 、O 、C 、F 四点共圆，设A 、O 、C 、F 四点都在⊙M 上，连接AM ，OM ，CM ，FM ，∴∠AMF＝120°，∵∠AMO＝2∠AFO＝60°＝12∠AMF，∴OM垂直平分AF，∵点K是AF的中点，∴点K OM上，∵MK＝12AM＝12OM，OH＝CH，∴KH＝12CM=12OM，∵OM＝OA＝AM＝3m，∴KH＝3m，∴331633mHKAE OFm m+==--．【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆以及它的内接四边形等的相关知识，要求学生理解并掌握相关概念与性质，牢记公式等。
2021年中考数学专题训练 全等三角形(含答案)
2021中考数学专题训练全等三角形一、选择题1. 如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件()A．∠B＝∠D B．∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠42. 如图，P为OC上一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数为()A．30°B．45°C．60°D．50°3. 如图，AB⊥CD，且AB=CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c4. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.425. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，BC ＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是()A．3 B．4C．5 D．77. 已知△ABC的六个元素，下列甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是()A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙8. (2019•陕西)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC 于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为A．2+2B．23+C．32+D．3二、填空题9. 已知:∠AOB，求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N;②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是.10. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．11. 已知△ABC的三边长分别为6，7，10，△DEF的三边长分别为6，3x-2，2x-1.若这两个三角形全等，则x的值为.12. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D 处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB 的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．14. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．三、解答题15. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？16. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，上，求证：DE＝DF.17. 如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC. (1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．18. 如图，P是∠AOB 内部的一点，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，且PE ＝PF .Q 是射线OP 上的任意一点，QM ⊥OA ，QN ⊥OB ，垂足分别为M ，N ，则QM 与QN 相等吗？请证明你的结论．2021中考数学 专题训练 全等三角形-答案一、选择题1. 【答案】C[解析] 还需添加条件∠1＝∠2.理由：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE(SAS)．2. 【答案】C[解析] ∵点P 在OC 上，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，PM ＝PN ，∴OC 是∠AOB 的平分线．∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°.3. 【答案】D[解析]∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，又∵AB=CD，∴△CED≌△AFB，∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，∴AD=AF+DF=a+b-c，故选D.4. 【答案】B[解析]过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H.∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DH=CD=4，∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=AB·DH+BC·CD=×6×4+×9×4=30.5. 【答案】C[解析] A.添加BC=FD，AC=ED，可利用“SAS”判定△ABC≌△EFD;B.添加∠A=∠DEF，AC=ED，可利用“ASA”判定△ABC≌△EFD;C.添加AC=ED，AB=EF，不能判定△ABC≌△EFD;D.添加∠A=∠DEF，BC=FD，可利用“AAS”判定△ABC≌△EFD.6. 【答案】A7. 【答案】D8. 【答案】A【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF=DE=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF=DF=1，∴CD=22=2，DF CF∴A ．二、填空题9. 【答案】SSS [解析]由作图可得OM=ON ，MC=NC ，而OC=OC ， ∴根据“SSS”可判定△MOC ≌△NOC.10. 【答案】∠B ＝∠D11. 【答案】4[解析] ∵△ABC 的三边长分别为6，7，10，△DEF 的三边长分别为6，3x-2，2x-1，这两个三角形全等，∴3x-2=10，2x-1=7，解得x=4;还可以是3x-2=7，2x-1=10，这种情况不成立.12. 【答案】17[解析] 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ≌△EDC(ASA)． ∴AB ＝ED ＝17米．13. 【答案】2[解析] ∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.在△ADE 和△CFE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠FCE ，∠AED ＝∠CEF ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS)． ∴AD ＝CF ＝3.∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.14. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°.分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时， 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎨⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)； ②当AP ＝CA ＝10时，在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎨⎧AB ＝PQ ，AC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．三、解答题15. 【答案】解：在△BDE 和△FDM 中，⎩⎨⎧BD ＝FD ，∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，∴△BDE ≌△FDM(SAS)． ∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF. 又∵AB ∥MF ，∴A ，C ，E 三点在一条直线上．16. 【答案】证明：连接CD ，如解图，(1分)∵ △ABC 是直角三角形，AC ＝BC ，D 是AB 的中点， ∴ CD ＝BD ，∠CDB ＝90°， ∴∠CDE ＋∠CDF ＝90°，∠CDF ＋∠BDF ＝90°， ∴∠CDE ＝∠BDF ，(7分) 在△CDE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠ECD ＝∠BCD ＝BD∠CDE ＝∠BDF， ∴ △CDE ≌△BDF(ASA )，(9分) ∴ DE ＝DF.(10分)17. 【答案】(1)证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF.(3分) 在△ABC 与△DEF 中，⎩⎨⎧BC ＝EF AB ＝DE AC ＝DF， ∴△ABC ≌△DEF(SSS )．(5分) (2)解：AB ∥DE ，AC ∥DF.(7分) 理由如下：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE ， ∴AB ∥DE ，AC ∥DF.(9分)18. 【答案】解：QM ＝QN.证明：∵PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，PE ＝PF ， ∴OP 是∠AOB 的平分线．又∵Q 是射线OP 上的任意一点，QM ⊥OA ，QN ⊥OB ，∴QM ＝QN.。
2021中考数学复习圆的综合题专项训练3(填空题 附答案详解)
1．如图，在平面直角坐标系中，等边 的边 在 轴正半轴上，点 ， ，点 、 分别从 、 出发以相同的速度向 、 运动，连接 、 交于点 ， 是 轴上一点，则 的最小值为______.
2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝___________．
14．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．
15．如图，⊙ 上三点 ， ， ，半径 ， ，⊙ 的切线 交 延长线于点 ，从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为_____．（注明选取的线段）
∴点F是经过点A，B，F的圆上的点，记圆心为O’，在圆O’上取一点N，使
点N和点F在弦AB的两侧，连接AN，BN，
∴∠ANB=180°-∠AFB=60°，
连接O’A，O’B，
∴∠AO’B=2∠ANB=120°，
∵O’A=O’B，
∴∠ABO’=∠BAO’，
∴∠ABO’= (180°-∠AO’B)= (180°-120°)=30°，
30．在 中， ， ， ，圆 在 内自由移动.若 的半径为1，则圆心 在 内所能到达的区域的面积为______.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先证明 ，即可得出∠AFB=120°，即可判断出点F的轨迹是以O’为圆心的圆上的一段弧（劣弧AB），然后确定出圆心O’的位置及其坐标，即可确定点M和点F的位置，使FM的长度最小.
25．如图,⊙P的半径为10，A、B是圆上任意两点,且AB=12，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧)，若AB边绕点P旋转一周,则CD边扫过的面积为_____
2021年九年级中考数学【冲刺】试题复习专题：函数与最值问题三(含答案)
2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题三一、选择题1．（3分）（2020•呼和浩特）关于二次函数y =14x 2﹣6x +a +27，下列说法错误的是（ ）A ．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a ＝﹣5B ．当x ＝12时，y 有最小值a ﹣9C ．x ＝2对应的函数值比最小值大7D ．当a ＜0时，图象与x 轴有两个不同的交点【解答】解：A 、将二次函数y =14x 2−6x +a +27=14(x −12)2+a −9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：y =14(x −10)2+a +1，若过点（4，5），则5=14(4−10)2+a +1，解得：a ＝﹣5，故选项正确；B 、∵y =14(x −12)2+a −9，开口向上，∴当x ＝12 时，y 有最小值a ﹣9，故选项正确；C 、当x ＝2时，y ＝a +16，最小值为a ﹣9，a +16﹣（a ﹣9）＝25，即x ＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D 、△=(−6)2−4×14×(a +27)=9−a ，当a ＜0时，9﹣a ＞0，即方程14x 2−6x +a +27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C ．2．（3分）（2020•湖北 恩施州）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且BE ＝1，F 为对角线AC 上一动点，则△BFE 周长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与点D 关于AC 对称，∴BF ＝DF ，∴△BFE 的周长＝BF +EF +BE ＝DE +BE ，此时△BEF 的周长最小，∵正方形ABCD 的边长为4，∴AD ＝AB ＝4，∠DAB ＝90°，∵点E 在AB 上且BE ＝1，∴AE ＝3，∴DE =√AD 2+AE 2=5，∴△BFE 的周长＝5+1＝6，故选：B ．3．（4分）（2020•山东 淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+2【解答】解：如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180=5π2，故选：C ．二、填空题4．（4分）（2020•山东 淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 210 个．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x ﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x ﹣1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（n ﹣x ）个服务驿站的货包共（n ﹣x ）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号 在第x 服务驿站启程时快递货车货包总数1n ﹣1 2（n ﹣1）﹣1+（n ﹣2）＝2（n ﹣2） 32（n ﹣2）﹣2+（n ﹣3）＝3（n ﹣3） 43（n ﹣3）﹣3+（n ﹣4）＝4（n ﹣4） 54（n ﹣4）﹣4+（n ﹣5）＝5（n ﹣5） …… n由上表可得y ＝x （n ﹣x ）．当n ＝29时，y ＝x （29﹣x ）＝﹣x 2+29x ＝﹣（x ﹣14.5）2+210.25，当x ＝14或15时，y 取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．5．（3分）（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MCOB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN ，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值5×（1）＝2，故答案为2．三、解答题6．（10分）（2020•湖北 恩施州）某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球．已知A 品牌足球的单价比B 品牌足球的单价高20元，且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等．（1）求A 、B 两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A 、B 两种品牌的足球共90个，且A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A 品牌足球m 个，总费用为W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【解答】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x ﹣20）元，根据题意，得900x =720x−20，解得：x ＝100，经检验x ＝100是原方程的解，x ﹣20＝80，答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元；（2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90﹣m ）个B 品牌足球，则W ＝100m +80（90﹣m ）＝20m +7200，∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴{100m +80(90−m)≤8500m ≥2(90−m)， 解不等式组得：60≤m ≤65，所以，m 的值为：60，61，62，63，64，65，即该队共有6种购买方案，当m ＝60时，W 最小，m ＝60时，W ＝20×60+7200＝8400（元），答：该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元．7．（12分）（2020•贵州 毕节）（2020•毕节市）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（1）每个甲种书柜的进价是多少元？（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元，∴每个甲种书柜的进价为1.2x 元，∴54001.2x =6300x −6，解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原分式方程的解，答：每个甲种书柜的进价为360元．（2）设甲书柜的数量为y 个，∴乙书柜的数量为（60﹣y ）个，由题意可知：60﹣y ≤2y ，∴20≤y ＜60，设购进书柜所需费用为z 元，∴z ＝360y +300（60﹣y ）∴z ＝60y +18000，∴当y ＝20时，z 有最小值，最小值为19200元，答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．8．（12分）（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A （1，2），B （2，3），C （2，1），直线y ＝x +m 经过点A ，抛物线y ＝ax 2+bx +1恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．（1）判断点B 是否在直线y ＝x +m 上，并说明理由；（2）求a ，b 的值；（3）平移抛物线y ＝ax 2+bx +1，使其顶点仍在直线y ＝x +m 上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【解答】解：（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下：∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2），∴2＝1+m ，解得m ＝1，∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1， 解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上，∴p 24+q =p 2+1，∴q =−p 24+p 2+1，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54， ∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．9．（12分）（2020•辽阳）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得： {12k +b =9014k +b =80， 解得：{k =−5b =150， ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝﹣5x +150；（2）根据题意得：w ＝（x ﹣10）（﹣5x +150）＝﹣5（x ﹣20）2+500，∵a ＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值，∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大，∵10≤x ≤15且x 为整数，∴当x ＝15时，w 有最大值，即：w ＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元．10．（12分）（2020•呼和浩特）已知某厂以t 小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t ≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t +5t+1）元．（1）某人将每小时获得的利润设为y 元，发现t ＝1时，y ＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；令y ＝60（﹣3t +5t +1），当t ＝1时，y ＝180，∵当0.1＜t ≤1时，5t 随t 的增大而减小，﹣3t 也随t 的增大而减小， ∴﹣3t +5t 的值随t 的增大而减小，∴y ＝60（﹣3t +5t +1）随t 的增大而减小，∴当t ＝1时，y 取最小，∴他的结论正确．（2）由题意得：60（﹣3t +5t +1）×2＝1800，整理得：﹣3t 2﹣14t +5＝0，解得：t 1=13，t 2＝﹣5（舍），即以13小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷13=24千克．∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；（3）设利润为L ，生产680千克该产品获得的利润为：L ＝680t ×60（﹣3t +5t+1）， 整理得：L ＝40800（﹣3t 2+t +5），∴当t =16时，L 最大，且最大值为207400元．∴该厂应该选取16小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．11．（8分）（2020•四川 广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A ，B 两种树苗，第一次购进A 种树苗30棵，B 种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A 种树苗24棵，B 种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A ，B 两种树苗各自的单价均不变）（1）A ，B 两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A ，B 两种树苗共42棵，总费用为W 元，购买A 种树苗t 棵，B 种树苗的数量不超过A 种树苗数量的2倍．求W 与t 的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．【解答】解：（1）设A 种树苗每棵的价格x 元，B 种树苗每棵的价格y 元，根据题意得： {30x +15y =135024x +10y =1060， 解得{x =40y =10，答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，∴42﹣t≤2t，解得：t≥14，∵t是正整数，∴t最小值＝14，设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，∵k＞0，∴W随t的减小而减小，当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．12．（10分）（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y 轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（−√2，0），直线BC的解析式为y=−√23x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移√2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=−√23x+2，令y＝0，则x＝3√2，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3√2，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+√2）（x﹣3√2）＝a（x2﹣2√2x﹣6）＝ax2﹣2√2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=1 3，故抛物线的表达式为：y=−13x2+2√23x+2①；（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−√23（x+√2）②，联立①②并解得：x＝4√2，故点D（4√2，−10 3），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2√23x+2，当x＝3√2时，y BC=−√23x+2＝﹣2，即点H（3√2，﹣2），故BH＝2，设点E（x，−13x2+2√23x+2），则点F（x，−√23x+2），则四边形BECD 的面积S ＝S △BCE +S △BCD =12×EF ×OB +12×（x D ﹣x C ）×BH =12×（−13x 2+2√23x +2+√23x ﹣2）×3√2+12×4√2×2=−√22x 2+3x +4√2， ∵−√22＜0，故S 有最大值，当x =3√22时，S 的最大值为25√24，此时点E （3√22，52）；（3）存在，理由：y =−13x 2+2√23x +2=−13（x −√2）2+83，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）向左平移√2个单位， 则新抛物线的表达式为：y =−13x 2+83， 点A 、E 的坐标分别为（−√2，0）、（3√22，52）；设点M （√2，m ），点N （n ，s ），s =−13n 2+83；①当AE 是平行四边形的边时， 点A 向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到E ，同样点M （N ）向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到N （M ）， 即√2±5√22=n ， 则s =−13n 2+83=−112或56， 故点N 的坐标为（7√22，−112）或（−3√22，56）； ②当AE 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：−√2+3√22=n +√2，解得：n =−√22， s =−13n 2+83=156， 故点N 的坐标（−√22，156）；综上点N 的坐标为：（7√22，−112）或（−3√22，56）或（−√22，156）．2021年九年级中考数学复习专题：函数与最值问题三答案一、 1．【解答】解：A 、将二次函数y =14x 2−6x +a +27=14(x −12)2+a −9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后， 表达式为：y =14(x −10)2+a +1， 若过点（4，5），则5=14(4−10)2+a +1，解得：a ＝﹣5，故选项正确； B 、∵y =14(x −12)2+a −9，开口向上， ∴当x ＝12 时，y 有最小值a ﹣9，故选项正确；C 、当x ＝2时，y ＝a +16，最小值为a ﹣9，a +16﹣（a ﹣9）＝25，即x ＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D 、△=(−6)2−4×14×(a +27)=9−a ，当a ＜0时，9﹣a ＞0，即方程14x 2−6x +a +27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，故选项正确， 故选：C ． 2．【解答】解：如图，连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴点B 与点D 关于AC 对称， ∴BF ＝DF ，∴△BFE 的周长＝BF +EF +BE ＝DE +BE ，此时△BEF 的周长最小， ∵正方形ABCD 的边长为4， ∴AD ＝AB ＝4，∠DAB ＝90°， ∵点E 在AB 上且BE ＝1， ∴AE ＝3，∴DE =√AD 2+AE 2=5， ∴△BFE 的周长＝5+1＝6， 故选：B ．3．【解答】解：如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长 =90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2， 故选：C ． 二、填空题 4．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x ﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x ﹣1）个， 还要装上下面行程中要停靠的（n ﹣x ）个服务驿站的货包共（n ﹣x ）个． 根据题意，完成下表：服务驿站序号 在第x 服务驿站启程时快递货车货包总数1 n ﹣12 （n ﹣1）﹣1+（n ﹣2）＝2（n ﹣2） 32（n ﹣2）﹣2+（n ﹣3）＝3（n ﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．5．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MCOB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线yx﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴，∴，∴MN ，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值5×（1）＝2， 故答案为2． 三、 6．【解答】解：（1）设购买A 品牌足球的单价为x 元，则购买B 品牌足球的单价为（x ﹣20）元， 根据题意，得900x=720x−20，解得：x ＝100，经检验x ＝100是原方程的解， x ﹣20＝80，答：购买A 品牌足球的单价为100元，则购买B 品牌足球的单价为80元； （2）设购买m 个A 品牌足球，则购买（90﹣m ）个B 品牌足球， 则W ＝100m +80（90﹣m ）＝20m +7200，∵A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴{100m +80(90−m)≤8500m ≥2(90−m)， 解不等式组得：60≤m ≤65，所以，m 的值为：60，61，62，63，64，65， 即该队共有6种购买方案， 当m ＝60时，W 最小，m ＝60时，W ＝20×60+7200＝8400（元），答：该队共有6种购买方案，购买60个A 品牌30个B 品牌的总费用最低，最低费用是8400元． 7．【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x 元， ∴每个甲种书柜的进价为1.2x 元， ∴54001.2x=6300x−6，解得：x ＝300，经检验，x ＝300是原分式方程的解， 答：每个甲种书柜的进价为360元． （2）设甲书柜的数量为y 个， ∴乙书柜的数量为（60﹣y ）个， 由题意可知：60﹣y ≤2y ， ∴20≤y ＜60，设购进书柜所需费用为z 元， ∴z ＝360y +300（60﹣y ） ∴z ＝60y +18000， ∴当y ＝20时，z 有最小值，最小值为19200元，答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少． 8．【解答】解：（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下： ∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2）， ∴2＝1+m ，解得m ＝1， ∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3， ∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1，解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上， ∴p 24+q =p2+1，∴q =−p 24+p2+1， ∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54，∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．9．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得： {12k +b =9014k +b =80， 解得：{k =−5b =150，∴y 与x 之间的函数关系为y ＝﹣5x +150；（2）根据题意得：w ＝（x ﹣10）（﹣5x +150）＝﹣5（x ﹣20）2+500， ∵a ＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值， ∴当x ＜20时，w 随着x 的增大而增大， ∵10≤x ≤15且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值，即：w ＝﹣5×（15﹣20）2+500＝375，答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元． 10．【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论； 令y ＝60（﹣3t +5t +1），当t ＝1时，y ＝180，∵当0.1＜t ≤1时，5t 随t 的增大而减小，﹣3t 也随t 的增大而减小，∴﹣3t +5t 的值随t 的增大而减小， ∴y ＝60（﹣3t +5t +1）随t 的增大而减小，∴当t ＝1时，y 取最小， ∴他的结论正确．（2）由题意得：60（﹣3t +5t+1）×2＝1800， 整理得：﹣3t 2﹣14t +5＝0， 解得：t 1=13，t 2＝﹣5（舍），即以13小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷13=24千克．∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；（3）设利润为L ，生产680千克该产品获得的利润为：L ＝680t ×60（﹣3t +5t +1）， 整理得：L ＝40800（﹣3t 2+t +5），∴当t =16时，L 最大，且最大值为207400元．∴该厂应该选取16小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．11．【解答】解：（1）设A 种树苗每棵的价格x 元，B 种树苗每棵的价格y 元，根据题意得： {30x +15y =135024x +10y =1060， 解得{x =40y =10，答：A 种树苗每棵的价格40元，B 种树苗每棵的价格10元； （2）设A 种树苗的数量为t 棵，则B 种树苗的数量为（42﹣t ）棵， ∵B 种树苗的数量不超过A 种树苗数量的2倍， ∴42﹣t ≤2t ， 解得：t ≥14， ∵t 是正整数， ∴t 最小值＝14，设购买树苗总费用为W ＝40t +10（42﹣t ）＝30t +420， ∵k ＞0，∴W 随t 的减小而减小，当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．12．【解答】解：（1）直线BC的解析式为y=−√23x+2，令y＝0，则x＝3√2，令x＝0，则y＝2，故点B、C的坐标分别为（3√2，0）、（0，2）；则y＝ax2+bx+2＝a（x+√2）（x﹣3√2）＝a（x2﹣2√2x﹣6）＝ax2﹣2√2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=1 3，故抛物线的表达式为：y=−13x2+2√23x+2①；（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=−√23（x+√2）②，联立①②并解得：x＝4√2，故点D（4√2，−10 3），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=−2√23x+2，当x＝3√2时，y BC=−√23x+2＝﹣2，即点H（3√2，﹣2），故BH＝2，设点E（x，−13x2+2√23x+2），则点F（x，−√23x+2），则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（x D﹣x C）×BH=12×（−13x2+2√23x+2+√23x﹣2）×3√2+12×4√2×2=−√22x2+3x+4√2，∵−√22＜0，故S 有最大值，当x =3√22时，S 的最大值为25√24，此时点E （3√22，52）；（3）存在，理由：y =−13x 2+2√23x +2=−13（x −√2）2+83，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）向左平移√2个单位， 则新抛物线的表达式为：y =−13x 2+83，点A 、E 的坐标分别为（−√2，0）、（3√22，52）；设点M （√2，m ），点N （n ，s ），s =−13n 2+83； ①当AE 是平行四边形的边时， 点A 向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到E ，同样点M （N ）向右平移5√22个单位向上平移52个单位得到N （M ），即√2±5√22=n ， 则s =−13n 2+83=−112或56， 故点N 的坐标为（7√22，−112）或（−3√22，56）； ②当AE 是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：−√2+3√22=n +√2，解得：n =−√22， s =−13n 2+83=156，故点N 的坐标（−√22，156）； 综上点N 的坐标为：（7√22，−112）或（−3√22，56）或（−√22，156）．。
微专题：图形的旋转选择题专项——2021年九年级中考数学分类专题提分训练：(三)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯微专题：图形的旋转选择题专项——2021年中考数学分类专题提分训练：（三）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，连接DE，若∠DEC＝45°，则∠BAC的度数为．2．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△AB'C'，若B'，C，C'三点在同一条直线上，∠B'CB＝46°，则α的度数是．3．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，将△ABC绕A点按顺时针旋转60°，得到△AB'C′，则CC′＝．4．如图，直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），将△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…则第19个三角形中顶点A的坐标是．5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是度．6．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．8．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M 是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是．10．将点A（2，0）绕着原点按逆时针方向旋转135°得到点B，则点B的坐标为．11．如图，正方形ABCD的边长为1，P为AB上的点，Q为AD上的点，且△APQ的周长为2，则∠PCQ＝度．12．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A＝°．13．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是．14．如图，四边形ABCD的∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于E，△ABE绕着点A旋转后能与△ADF重合，若AF＝5cm，则四边形ABCD的面积为．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为．16．如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝°．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是．18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为，∠APB＝．19．已知A，B，O三点不共线，点A，Aʹ关于点O对称，点B，Bʹ关于点O对称，那么线段AB 与A ʹB ʹ的关系是 ．20．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，现将△ABC 绕着顶点B 旋转，记点C 的对应点为点C 1，当点A ，B ，C 1三点共线时，求∠BC 1C 的正切值＝ ．21．在平面直角坐标系中，点A （﹣1，1），将线段OA （O 为坐标原点）绕点O 逆时针旋转135°得线段OB ，则点B 的坐标是 ．22．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ．23．将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为 ．24．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB ′C ′D ′位置，此时AC ′的中点恰好与D 点重合，AB ′交CD 于点E ．若AB ＝3，则△AEC 的面积为 ．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 坐标为（8，4），将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转，使点B 落在y 轴上的点B ′处，得到矩形OA ′B ′C ′，OA ′与BC 相交于点D ，则经过点D 的反比例函数解析式是 ．参考答案1．解：连接AD，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD＝CD，∠DCB＝∠DBC＝60°，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BCE＝150°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝45°，∴∠CDE＝∠DEC＝45°，∴CD＝CE＝CB，且∠BCE＝150°，∴∠CBE＝∠CEB＝15°，∵∠ABE＝∠DBC＝60°∴∠ABD＝∠ACD＝∠CBE＝15°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝30°，故答案为：30°．2．解：由题意可得：AC＝AC′，∠C'＝∠ACB，∴∠ACC'＝∠C'，∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转α，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，∴∠B'CB+∠ACB＝∠C'+∠CAC′，∠B'CB＝∠CAC'＝46°．故答案为：46°．3．解：连接CC′，如图所示．由旋转，可知：AC＝AC′，∠CAC′＝60°，∴△ACC′为等边三角形，∴CC′＝AC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝＝，∴CC′＝．故答案为：．4．解：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∵△AOB连续作三次旋转变换回到原来的状态，而19＝3×6+1，∴第19个三角形的状态与第1个一样，∴第19个三角形中顶点A的横坐标为6×12＝72，纵坐标是4，即第19个三角形中顶点A的坐标是（72，3）．故答案为（72，3）．5．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝40°＝∠CAE，故答案为：40．6．解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252……3，∴点A2019的坐标为（，﹣）．故答案为（，﹣）．7．解：如图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，∵AB＝3，AD＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BF，∴3×4＝5BF，∴BF＝∴AF＝＝＝，∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，∴AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，且BF⊥AC，∴∠BAC＝∠BA'A，AF＝A'F＝，∠BA'A+∠EA'C＝90°，∴A'C＝AC﹣AA'＝，∵∠BA'A+∠EA'C＝90°，∠BAA'+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EA'C，∴A'E＝EC，且EH⊥AC，∴A'H＝HC＝A'C＝，∵∠ACB＝∠ECH，∠ABC＝∠EHC＝90°，∴△EHC∽△ABC，∴∴∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣＝，故答案为：．8．解：如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．∵AB＝4，M为AB的中点，∴A（﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，∴∠ECP＝∠FPB．由旋转的性质可知：PC＝PB．在△ECP和△FPB中，，∴△ECP≌△FPB．∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．∴C（x+y，y+2﹣x）．∵AB＝4，M为AB的中点，∴AC＝＝．∵x2+y2＝1，∴AC＝．∵﹣1≤y≤1，∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．故答案为：3．9．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．10．解：过B作BH⊥x轴于H，如图，∵点A的坐标为（2，0），∴OA＝2，∵点A绕着原点按逆时针方向旋转135°得到点B，∴OB＝OA＝2，∠AOB＝135°，∴∠BOH＝45°，∴△OBH为等腰直角三角形，∴BH＝OH＝×2＝2，∴B（﹣2，2）．故答案为（﹣2，2）．11．解：把Rt△CBP绕C顺时针旋转90°，得到Rt△CDE，如图，则E在AD的延长线上，并且CE＝CP，DE＝PB，∠ECP＝90°，∵△APQ的周长为2，∴QP＝2﹣AQ﹣AP，而正方形ABCD的边长为1，∴DE＝PB＝1﹣AP，DQ＝1﹣AQ，∴QE＝DE+DQ＝2﹣AQ﹣AP，∴QE＝QP，而CQ公共，∴△CQE≌△CQP，∴∠PCQ＝∠QCE，∴∠PCQ＝45°．故答案为：45．12．解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′∴∠ACA′＝35°，∠A'DC＝90°∴∠A′＝55°，∵∠A的对应角是∠A′，即∠A＝∠A′，∴∠A＝55°；故答案为：55°．13．解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，故答案是：30°．14．解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵AB＝AD，△BEA旋转后能与△DFA重合，∴△ADF≌△ABE，∴∠AEB＝∠F，AE＝AF，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝∠C＝∠F＝90°，∴四边形AECF是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AECF是正方形，∵AF＝5cm，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积＝52＝25cm2．故答案为：25cm2．15．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1＝BC，BB1＝B1C，AB＝AB1，∴BB1＝AB＝AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1＝∠B＝60°，∴∠CAC1＝60°，∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△AB1C1的位置，∴CA＝C1A，∴△AC1C是等边三角形，∴CC1＝CA，∵AB＝2，∴CA＝2，∴CC1＝2．故答案为：2．16．解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，∵点D正好落在BC边上，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠CAD＝180°﹣2×80°＝20°，∵∠BAE＝∠EAD﹣∠BAD，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD，∴∠EAB＝20°．故答案为：20．17．解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝30°，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴∠AC′C＝45°，∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣30°＝15°．故答案为15°．18．解：连接PP′，如图，∵△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，∴∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，∴△PAP′为等边三角形，∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，∵62+82＝102，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．故答案为6，150°．19．解：∵点A′与点A关于点O对称，点B′与点B关于点O对称，∴线段AB与A′B′关于点O对称．∴AB∥A′B′，且AB＝A′B′故答案为：平行且相等．20．解：如图作CE⊥AB，垂足为E，情形①当点C在线段AB上时，1∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝＝4，∵AB•CE＝AC•BC，∴CE ＝，∴EB ＝＝＝，∵BC ＝BC 1， ∴EC 1＝BC 1﹣EB ＝4﹣＝，∴tan ∠BC 1C ＝＝3．情形②当C 1′在AB 的延长线上时，tan ∠BC 1′C ＝＝＝．故答案为3或．21．解：∵点A 的坐标是（﹣1，1）， ∴OA ＝，线段OA （O 为坐标原点）绕点O 逆时针旋转135°得线段OB ，则B 一定在y 轴的负半轴上，且OB ＝OA ， 则B 的坐标是（0，﹣）．22．解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．23．解：将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点在x轴的正半轴上，到原点的距离为1，因而该点的坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．24．解：如图，由旋转的性质可知：AC＝AC'，∵D为AC'的中点，∴AD＝，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD＝30°，∵AB∥CD，∴∠CAB＝30°，∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，∴∠EAC＝30°，∴AE＝EC，∴DE＝，∴CE＝＝，DE＝，AD＝，∴＝．25．解：∵B（8，4），∴OA＝8，AB＝OC＝4，∴A′O＝OA＝8，A′B′＝AB＝4，tan∠COD＝＝，即＝，解得CD＝2，∴点D的坐标为（2，4），设经过点D的反比例函数解析式为y＝（k≠0），则＝4，解得k＝8，所以，经过点D的反比例函数解析式为y＝．故答案为：y＝．一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。
2021年九年级数学中考复习分类专题练习：等边三角形的判定与性质(三)
2021年九年级数学中考复习分类专题：等边三角形的判定与性质（三）一．选择题1．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，下列结论：①若AD＝AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对2．如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形3．设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM＝BN＝CP，则△MNP是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是（）A．30°B．45°C．120°D．15°6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有（）A．5条B．6条C．7条D．8条9．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（）A．5 B．7 C．8 D．910．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题11．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝．12．在△ABC 中，AB ＝AC ＝8cm ，∠B ＝60°，则BC ＝ cm ．13．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上一点，且AD ＝BE ＝CF ．则△DEF 的形状是 ．14．两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点．如图，∠A ＝30°，AC ＝8，则此时两直角顶点C ，C ′间的距离是 ．15．如图，已知△ABC 中高AD 恰好平分边BC ，∠B ＝30°，点P 是BA 延长线上一点，点 O 是线段AD 上一点且OP ＝OC ，下面的结论：①∠APO +∠DCO ＝30°；②△OPC 是等边三角形；③AC ＝AO +AP ；④S △ABC ＝S 四边形AOCP ．其中正确的为 ．（填序号）16．如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC 和△A 1B 1C 1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动三角板ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角板A 1B 1C 1的斜边A 1B 1上，当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C 1的距离是 ．三．解答题17．如图，已知：边长相等的等边△ABC和等边△DEF重叠部分的周长是6．（1）求证：△FGH和△CHL和△LEK和△KBJ和△JDI和△IAG都是等边三角形．（或证明∠AGF＝∠FHC＝∠CLE＝∠EKB＝∠BJI＝∠DIA＝120°）（2）求等边△ABC的边长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝8cm．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝10cm，求ED的长．19．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，且∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．求证：由线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．证明过程如下，请仔细阅读并将证明继续下去：证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°∴△AOO′是一个等边三角形∴AO＝OO′又∵OB＝O′C∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′请继续：20．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．（1）证明：△DEF是等边三角形；（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求的值．21．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形；所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠B＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，所以②正确．故选：C．2．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故选：C．3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AM＝BN＝CP，∴BM＝CN＝AP，在△AMP，△BNM和△CPN中，，∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS），∴PM＝MN＝NP，∴△MNP是等边三角形．4．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．5．解：设∠B＝x∵BD＝AD则∠B＝∠BAD＝x，∠ADE＝2x，∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝2x，∵AE＝EC，∠AED＝∠EAC+∠C∴∠EAC＝∠C＝x又BD＝DE＝AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE＝90°，则∠B+∠AED＝x+2x＝90°得x＝30°∴∠BAC＝180°﹣2x＝120°故选：C．6．解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．7．解：∵D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，∴AD＝BD＝BE＝EC＝CF＝FA＝DF＝DE＝EF＝AB＝AC＝∴等边三角形有：△ABC、△ADF、△BDE、△CEF、△DEF共5个，故选：D．8．解：如图，连接EF．∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠ADE＝∠ADF＝30°，△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，∴∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD，即图中与BD相等的线段有7条．故选：C．9．解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°，∵BE＝AB，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠DAC＝BAE，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，∴∠BAD＝∠EAC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（ASA），∴BD＝CE，∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，∴BD＝5，故选：A．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，∴选项A、B、C正确，选项D错误．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：如图，连OQ，∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ，∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ，∴∠POQ＝60°，∴△POQ为等边三角形，∴PQ＝PO＝2．故答案为2．12．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝8cm．故答案为：8．13．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE，∴AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，∴在△ADF与△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS）．同理证得△ADF≌△CFE（SAS），∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一个等边三角形．故答案是：等边三角形．14．解：如图，连接CC'，∵点M是AC中点，∴AM＝CM＝AC＝4，∵旋转，∴CM＝C'M，AM＝A'M∴A'M＝MC＝C'M＝4，∴∠A'＝∠A'CM＝30°∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M∴△CMC'是等边三角形∴C'C＝CM＝4故答案为：415．解：①连接OB，如图1，∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故③正确；④如图3，作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD ＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S △ABD ＝S △AHC ，∵四边形OAPC 面积＝S △OAC +S △AHC +S △CHP ，S △ABC ＝S △AOC +S △ABD +S △OCD∴四边形OAPC 面积＝S △ABC ．故④正确．故答案为：①②③④．16．解：如图，连接CC 1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M ，∴M 是AC 、A 1C 1的中点，AC ＝A 1C 1，∴CM ＝A 1M ＝C 1M ＝AC ＝5，∵∠A ＝30°，∴∠A 1＝∠A 1CM ＝30°，∴∠CMC 1＝60°，∴△CMC 1为等边三角形，∴CC 1＝CM ＝5，∴CC 1长为5．故答案为5．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠F＝60°，FG＝FH，FD＝BC，∴△FGH是等边三角形，同理△CHL、△LEK、△KBJ、△JDI、△TAG都是等边三角形；（2）∵△FGH是等边三角形，∴GH＝FG．同理，IJ＝ID，HL＝CL，JK＝KB，∴重叠部分的周长为：FD+BC＝6，∴FD＝BC＝3，即等边△ABC的边长是 3．18．解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图．∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BF＝BE＝8，∠EFB＝60°．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∴∠HDF＝30°，∴∠ADE＝∠HDF＝30°；（2）∵BC＝10，∴FC＝2．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BH＝CH＝BC＝5，∴HF＝5﹣2＝3．在Rt△DHF中，∵∠HDF＝30°，∴DF＝2HF＝6，∴DE＝8﹣6＝2．∴ED的长为2cm．19．证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°，∴△AOO′是一个等边三角形，∴AO＝OO′，又∵OB＝O′C，∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′，∵∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．∴∠AOC＝120°，∠AO′C＝120°∵△AOO′是一个等边三角形，∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°，∴∠O′OC＝∠OO′C＝60°，∴△OCO′是等边三角形，∴线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA，∵AD＝BE＝CF，∴BD＝EC＝AF，在△ADF、△BED和△CFE中∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形；（2）解：∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴△DEF∽△ABC，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，即BE＝BC，CE＝BC，∵EF＝EC•sin60°＝BC•＝BC，∴＝（）2＝（）2＝．21．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB＝EF＝2，BC＝1，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝。
安徽省2021年中考数学真题卷(含答案与解析)
【详解】解： 的绝对值是：9
故选:A
【点睛】本题考查绝对值的定义，正确理解定义是关键，熟记负数的绝对值是它的相反数是重点
2.《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为（ ）
A.89.9×106B.8.99×107C.8.99×108D.0.899×109
（1）将 向右平移5个单位得到 ，画出 ；
（2）将（1）中的 绕点C1逆时针旋转 得到 ，画出 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上， ， ， ， ．求零件的截面面积．参考数据： ， ．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数 图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
20.如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD 中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证： ．
六、（本题满分12分）
21.为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：kW•h）调查，按月用电量50～100，100～150，150～200，200～250，250～300，300～350进行分组，绘制频数分布直方图如下：
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设AD、BC交于点H，作 于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．由题意易证 ，从而证明ME为 中位线，即 ，故判断B正确；又易证 ，从而证明D为BG中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出 ，故判断C正确；由 、 和 可证明 ．再由 、 和 可推出 ，即推出 ，即 ，故判断D正确；假设 ，可推出 ，即可推出 ．由于无法确定 的大小，故 不一定成立，故可判断A错误．
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2021中考数学专题测试题及答案（3）
1．(2018·陕西中考)如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是( )
A．正方体B．长方体
C．三棱柱D．四棱锥
2．(2018·哈尔滨中考改编)六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是( )
3．(2018·宜宾中考)一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是( )
A．圆柱B．圆锥
C．长方体D．球
4．(2018·阜新中考)如图所示，是一个空心正方体，它的左视图是( )
5．(2018·河南中考)某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是( )
A．厉 B．害C．了D．我
6．(2018·包头中考)如图，是由几个大小相同的小立方块所搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是( )
7．(2018·河北中考)尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是( )
A．①－Ⅳ，②－Ⅱ，③－Ⅰ，④－Ⅲ
B．①－Ⅳ，②－Ⅲ，③－Ⅱ，④－Ⅰ
C．①－Ⅱ，②－Ⅳ，③－Ⅲ，④－Ⅰ
D．①－Ⅳ，②－Ⅰ，③－Ⅱ，④－Ⅲ
8．如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为______m.
9．某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是______．
10.(2019·原创题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c. 求作一点P，使得P点到Rt△ABC的三边距离相等．
11．(2018·通辽中考)如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的全面积是( )
A．18πB．24π
C．27πD．42π
12．(2018·呼和浩特中考)下面是几个一样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可知小正方体的个数为( )
A．6个B．5个
C．4个D．3个
13．(2017·朝阳中考)如图是某物体的三视图，则此物体的体积为________(结果保留π)．
14．(2018·南京中考)如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB，AC的垂直平分线，分别交AB，AC于点D，E，连接DE.若BC＝10 cm，则DE＝______cm.
15．如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体的主视图与俯视图，根据视图可以判断组成这个几何体至少要______个小立方体．
16．(2018·济宁中考)在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图
所示)面积的方法，现有以下工具：
①卷尺；②直棒EF；③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB)．
(1)在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图；(保留画图痕迹，不写画法)
(2)如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10 m，请你求出这个环形花坛的面积．
17．(2019·改编题)在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是图形W上的任意两点．若|x1－x2|的最大
值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度l x ＝m ；若|y 1－y 2|的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度l y ＝n.已知点A(3，3)，B(4，1)．如图所示，若图形W 为△OAB，则l x ＝______，l y ＝______．
参考答案
【基础训练】
1．C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.C 7.D 8．3 9.5 10．解：如图．
【拔高训练】 11．C 12.C
13.875
3
π 14.5 15.8
16．解：(1)如图，点O 就是大圆的圆心．
(2)如图，设EF 与小圆相切于点H ，连接OH ，OM.
∵EF 与小圆相切于点H ， ∴OH⊥EF，
∴MH＝12MN ＝1
2×10＝5.
在Rt △OMH 中，
由勾股定理得OM 2－OH 2＝MH 2＝52＝25，
∴S 圆环＝π·OM 2－π·OH 2＝π(OM 2－OH 2)＝25π. 答：这个环形花坛的面积为25π m 2. 【培优训练】 17．4 3。