第1讲集合的含义与表示【学案】

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集合的含义与表示教案

集合的含义与表示教案集合的含义与表示教案（精选6篇）作为一位杰出的老师，常常要根据教学需要编写教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。

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集合的含义与表示教案篇1教学目的：要求学生初步理解集合的概念，理解元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.教学重难点：1、元素与集合间的关系2、集合的表示法教学过程：一、集合的概念实例引入：⑴ 1~20以内的所有质数;⑵ 我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;⑶ 金星汽车厂2003年生产的所有汽车;⑷ 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;⑸ 所有的正方形;⑹ 黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.二、集合元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写练习：判断下列各组对象能否构成一个集合⑴ 2，3，4⑵（2，3），（3，4）⑶ 三角形⑷ 2，4，6，8，…⑸ 1，2，（1，2），{1，2}⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解三、集合相等构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等四、集合元素与集合的关系集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A五、常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N；除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）A直角三角形 B 锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？六、集合的表示方式（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）例 1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内的所有质数组成。

集合的含义与表示教案

集合的含义与表示教案主题：集合的含义与表示教案目标：1. 理解集合的基本含义。

2. 掌握集合的表示方法。

3. 能够用集合的表示方法描述给定的情境。

4. 能够运用集合的基本操作解决问题。

教学重点：1. 集合的含义与基本操作。

2. 集合的表示方法。

教学难点：1. 运用集合的表示方法描述实际情境。

教学准备：1. PowerPoint课件。

2. 教学板书。

教学过程：Step 1：导入新知1. 教师出示一些实物，如水果、玩具等，引导学生思考这些实物有什么相同之处。

2. 引导学生总结归纳，提出“集合”的概念，解释集合的基本含义。

Step 2：集合的含义1. 引导学生研究集合的定义：集合是由一些元素组成的整体。

2. 通过实例让学生理解集合的概念，如{1, 2, 3}表示由1、2、3三个元素组成的集合。

Step 3：集合的表示方法1. 教师出示集合的符号表示方法，如用大括号{}括起来的元素列表。

2. 通过实例让学生掌握集合的符号表示方法，如{苹果, 香蕉, 梨子}表示由苹果、香蕉、梨子三个元素组成的集合。

3. 教师引导学生讨论集合中的元素是否有顺序之分，解释集合与序列的区别。

4. 教师出示集合的文字表示方法，如用描述性的句子来表示集合。

Step 4：集合的基本操作1. 教师引导学生了解集合的基本操作：包含关系、相等关系、子集关系。

2. 通过实例让学生掌握集合的基本操作，如集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2}，则A包含B，B是A的子集。

Step 5：运用集合的表示方法描述实际情境1. 教师设计一些情境，如描述班级同学的集合、描述某个地区的居民集合等。

2. 学生进行小组讨论，用集合的表示方法描述给定情境。

3. 学生报告讨论结果，集体分享。

Step 6：拓展应用1. 教师引导学生思考集合在数学中的应用，如数集、函数等。

2. 学生进行小组讨论，分享集合的拓展应用。

3. 教师总结讨论结果，提出个人思考问题。

Step 7：小结与评价1. 教师总结集合的基本含义与表示方法，并强调集合的基本操作。

集合的含义与表示教案

集合的含义与表示教案第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义引导学生理解集合的概念，了解集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

通过举例说明集合的表示方法，如用大括号{}括起来的一组元素。

1.2 集合的元素解释集合中的元素是指构成集合的各个对象。

强调元素的唯一性和确定性。

1.3 集合的表示方法介绍集合的表示方法，包括列举法和描述法。

举例说明如何用列举法表示集合，以及如何用描述法表示集合。

第二章：集合的运算2.1 集合的并集解释并集的定义，即两个集合中所有元素的集合。

引导学生了解并集的表示方法，如A∪B。

2.2 集合的交集解释交集的定义，即两个集合中共有元素的集合。

引导学生了解交集的表示方法，如A∩B。

2.3 集合的补集解释补集的定义，即在全集U中不属于集合A的元素的集合。

引导学生了解补集的表示方法，如A'。

第三章：集合的性质3.1 集合的互异性强调集合中元素的唯一性，即集合中的元素不重复。

通过举例说明如何判断集合中元素的互异性。

3.2 集合的确定性解释集合的确定性，即集合中的元素是明确指定的。

强调集合中的元素是确定的，不会有歧义。

3.3 集合的无序性解释集合的无序性，即集合中元素的顺序无关紧要。

强调集合中的元素无论顺序如何排列，其表示的集合是相同的。

第四章：集合的例子4.1 自然数集合介绍自然数集合N，包括0和所有正整数。

解释自然数集合的性质，如无限性和递增性。

4.2 整数集合介绍整数集合Z，包括所有正整数、0和所有负整数。

解释整数集合的性质，如无限性和对称性。

4.3 实数集合介绍实数集合R，包括所有有理数和无理数。

解释实数集合的性质，如无限性和连续性。

第五章：集合的应用5.1 集合在数学中的应用强调集合在数学中的基础作用，如解决方程、不等式等问题。

通过举例说明集合在数学中的应用。

5.2 集合在科学中的应用解释集合在科学中的作用，如分类和归纳。

举例说明集合在科学研究中的应用。

5.3 集合在生活中的应用强调集合在日常生活中的应用，如购物时的商品分类、旅行时的景点选择等。

新人教版高中数学必修一《集合的含义与表示》导学案

1.1.1集合的含义与表示一．学习目标：l.知识与技能(1)通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系；(2)掌握集合中元素的三要素：确定性.互异性.无序性；(3)熟练应用常用数集及其专用记号；会用集合语言表示有关数学对象.二. 学习重点、难点：重点：集合的含义与表示方法.难点：集合的三要素：确定性、互异性、无序性.三．自学指导：(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：通过PPT 图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引导学生举出一些集合的例子。

通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.2.用6分钟时间预习教材P2～P5，完成下列内容：（1）、集合：一般地，我们把统称为元素，把一些元素组成的叫做集合，简称为：。

（2）、集合元素的三要素（三特征）：、、；若两个集合相等，那么必须有：。

（3）、元素与集合的关系：若a 是集合A 的元素，则记作：a A ；若a 不是集合A 的元素，则记作：a A 。

（4）、常用数集的记法：自然数集：；有理数集：；整数集：；实数集：；正实数集：；正整数集： .（5）集合的表示方法列举法：把集合中的元素，并用括起来表示集合的方法叫列举法描述法：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在内写上表示这个集合元素的及取值（或变化）范围，再画，最后在后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

四．教学过程：（一）、问题导学：检查自学指导内容，并分组探讨一下问题：a.如何判断所给对象是否组成集合？b.集合中元素的特征性质有哪些？如何判断两个集合是相等的？判断集合A={-2，2}与集合2{|40}B x R x =∈-=一样吗？c.试着总结集合的表示方法有哪些？并试比较各自的特点和适用的对象。

（二）.自学检测：完成以下练习：1．下面给出的四类对象中，能组成集合的是（）A.高一某班个子较高的同学B.比较著名的科学家C.无限接近于4的实数D.到一个定点的距离等于定长的点的全体2.用符号∈或∉填空：（1）0 *N ;（2;(3)23 Q ;(4)π Q 。

集合的含义及表示教案

1.1.1集合的含义及其表示（一）达高中：何汶娉教学目标：1.知识技能：使学生初步理解集合的基本概念，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法和集合中元素的特性. 了解有限集、无限集、空集概念，2.过程方法: 让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. 让学生通过观察、归纳、总结的过程，提高抽象概括能力。

3. 情感态度:使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.教学重点：集合概念、性质；“∈”，“ ”的使用教学难点：集合概念的理解；课型：新授课教学手段：启发引导教学过程：一创设情境，引入课题1.通过预习，在初中学习中，我们接触过哪些集合？请举例说明。

2.提问：根据你对集合的理解，能在生活中举出几个集合的实例吗？生活实例如军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在操场集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

设计说明]顺应学生的认知规律，从他们熟悉的集合入手，消除学生学习新知识的恐惧感，同时，适时地引出，集合的含义究竟是什么呢？这就是本节课要解决的问题，恰当地引出课题——下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。

二研探新知，建构概念1.概念思考1：（1）1～20以内的所有质数；（2）绝对值小于3的整数；（3达高中高一7班的所有男同学；（4）平面上到定点O 的距离等于定长的所有的点.上述四例能否组成集合？并说出集合由什么组成。

板书：把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写字母A ，B ，C ，…表示.[设计说明] 让小组讨论，代表发言，师生共同补充答案，目的是活跃课堂气氛，并轻松地概括出集合及其元素的含义。

集合的含义与表示(学案及练习)

集合的含义与表示学案(1)学习目标：（1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；（2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；（3）掌握常用数集及其记法；学习内容：（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；x+=的解；（4）方程210（5）某校2007级新生；（6）血压很高的人；（7）着名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点（9）全班成绩好的学生。

5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：a∉A例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A4∉A，等等。

6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

７．常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；（二）相关例题：例1．用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z ；（4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

高中数学必修一集合的含义及其表示教案

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；（2）初步了解“属于”关系的意义；（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义；教学重点：集合的含义与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

教学过程：一、问题引入：我家有爸爸、妈妈和我；我来自燕山中学；省溧中高一（1）班；我国的直辖市。

分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。

二、建构数学：1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。

集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。

集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。

如a 、b 、c 、p 、q ……指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市；（2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母；（5）大于100的数；（6）小于0的正数。

2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念：5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N +Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *6．集合的表示方法：集合的表示方法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

学案1集合的含义与表示

学案1 集合的含义与表示学习目标：要求初步理解集合的概念,能正确地判定某一元素是否属于某一集合．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.知道常用数集与其记法；初步了解集合的分类与性质.一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手。

(一)阅读课本,完成下列题目。

1、一渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明的集合的意义,于是他请教数学家：“尊敬的先生,你能告诉我,什么是集合吗？”数学家想了一会,没有马上回答渔民的问题,而是走到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻的一拉,许多鱼虾在网中跳动,数学家非常激动,高兴的地告诉渔民：“这就是集合！”那么这里的集合究竟指的是什么呢？同学们能帮助渔民进一步解释集合的定义吗？知识提炼：集合的含义：2、①渔民问数学家：“所有鲜美的鱼能不能构成集合呢？” ②渔民又问：“所有一公斤以上的鱼能不能构成集合呢？” 知识提炼：集合的中元素的三个特性：3、元素与集合的关系如何表示？4、集合的共有三种表示法,你知道是哪些吗？它们有什么区别？5、集合的分类：有限集,无限集.6、我们把叫做空集,记为.7、N 表示 Z 表示 Q 表示 R 表示. (二)试试你的自学能力1、下列对象不能构成集合的是()A.高一年级女生全体B.高一年级开设的所有科目C.高一年级数学成绩好的学生D.高一(1)班的家长全体 2、设集合A ＝{a},则下列各式正确的是()A.0∈AB.a ∉AC.a ∈AD.a=A 3、已知集合A ＝{x ∈R| x －1＜3},则()A.3∈A 且－3∈AB.3∈A 但－3∉AC.3∉A 且－3∉AD.3∉A 但－3∈A 4、已知a 、b 、c 均为非零实数,则集合{x |abc|abc ||c |c b |b ||a |a +++=x }用列举法表示为. 5、用描述法表示下列集合.(1)所有被4整除的自然数 (2)坐标平面内第一象限内点的集合.6、判断正误①高一级部成绩好的同学可以构成一个集合。

集合的含义与表示教案

集合的含义与表示教案教学目标：1. 了解集合的含义和表示方法。

2. 学会使用集合符号和描述法表示集合。

3. 能够解决与集合相关的基本问题。

教学内容：一、集合的含义1. 集合的定义2. 集合的元素3. 集合的特点二、集合的表示方法1. 集合符号表示法2. 描述法表示法3. 集合的列举法三、集合的关系1. 子集的概念2. 真子集与非真子集3. 集合的包含关系四、集合的运算1. 集合的并集2. 集合的交集3. 集合的补集五、集合的应用1. 集合的分类2. 集合在数学中的应用3. 集合在日常生活中的应用教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入集合的概念，引导学生思考日常生活中遇到的集合现象。

2. 举例说明集合的特点，引起学生对集合的兴趣。

二、讲解集合的含义（15分钟）1. 给出集合的定义，解释集合的元素和特点。

2. 通过示例让学生理解集合的概念。

三、学习集合的表示方法（20分钟）1. 介绍集合符号表示法和描述法表示法。

2. 讲解集合的列举法，让学生学会用符号表示集合。

四、探讨集合的关系（15分钟）1. 讲解子集的概念，区分真子集与非真子集。

2. 引导学生理解集合的包含关系。

五、学习集合的运算（20分钟）1. 讲解集合的并集、交集和补集的定义和性质。

2. 通过示例让学生掌握集合的运算方法。

六、集合的应用（10分钟）1. 讲解集合的分类，让学生了解不同类型的集合。

2. 引导学生思考集合在数学和日常生活中的应用。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生的参与度和提问反馈。

3. 课后作业的完成质量和学生的掌握程度。

教学资源：1. PPT课件。

2. 集合的相关例题和习题。

3. 教学参考书籍和网络资源。

教学建议：1. 在讲解集合的含义时，举例要贴近学生的生活，让学生更容易理解。

2. 在学习集合的表示方法时，引导学生动手练习，加深对集合符号的理解。

3. 在探讨集合的关系和运算时，注重引导学生思考和发现规律，提高学生的逻辑思维能力。

高一数学 1集合的含义与表示学案

1.1.1集合的含义与表示学习目标1.了解集合的含义，体会元素与集合间的“从属关系”.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.掌握集合的表示方法常用数集及其记法集合元素的三个特性.学习重点元素和集合的关系，集合中元素的三个特性，集合的表示方法.学习过程一、自主学习：仔细阅读教材P 2—P 5，思考下列问题1.集合常见的表示方法有：2.试用列举法或描述法表示下列集合：（1）方程012=-)x (x 的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；（3）方程组⎩⎨⎧=+=+2732223y x y x 解集；（4）抛物线12-=x y 上的所有点组成的集合。

二、合作探究例1：下列所给的对象能构成集合的是（1）高一数学必修1课本上的所有难题（2）比较接近1的正整数全体（3）某校高一年级的16岁以下的学生（4）参加北京奥运会的年轻运动员（5）最小的整数例2：改用列举法表示下列集合（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 916 （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=∈=N x ,x y N y B 916 （3）⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=+=24y x y x )y ,x (C （4）{}N y ,N x ,x y y D ∈∈+-==52例2：已知{}z n m n m x x A a ∈+==-=,,3,321，则a 与A 之间有什么关系。

三、知识反馈1.含有三个实数的某一集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}02,b a ,a +，则=+20102009b a 。

2.已知数集{}732,a ,a A +=，且16∈A ，求实数a 的值。

3.已知集合{}0322=--∈=x mx R x A ，若集合A 中至多有一个元素，求实数m 的取值范围。

[自我评价]你认为本小节你的学习目标完成的（A 、很好，B 、一般，C 、不好）。

集合的含义(导)学案 (1)

1．1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义【课标要求】1．通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．2．体会元素与集合间的“从属关系”．3．记住常用数集的表示符号并会应用．【核心扫描】1．利用集合中元素的三个特性解题．(重点)2．准确认识元素与集合之间的符号“∈”、“∉”．(难点)新知导学1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．(4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．温馨提示：集合是原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明，它的本质是某些确定元素组成的总体．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示；而通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R互动探究探究点1 我们班的“阳光女孩”能否构成集合？为什么？提示不能．因为“阳光女孩”没有明确的评判标准，不符合集合中元素的确定性．探究点2 某同学说“方程x2＋2x＋1＝0的解的集合中有两个元素”，你认为这种说法对吗？为什么？提示不对．虽然方程x2＋2x＋1＝0有两个根，但这两个根相等，根据集合中元素的互异性知，此集合中只有一个元素．探究点3 洋思中学2013级高一年级26个班构成一个集合A.(1)高一·2班、高二·20班是这个集合A中的元素吗？(2)若a∈A，b∈A，则元素a，b有什么关系？为什么？提示(1)高一·2班是A中的元素，高二·20班不是A中的元素．(2)a≠b，这是因为集合A中的元素具有互异性．探究点4 若a∈N，但a N*，那么a为何值？提示∵a∈N，a N*，∴a＝0.类型一集合的基本概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2013年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者．[思路探索]紧扣集合的定义，根据集合元素的确定性逐一分析，作出判断．解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)2012年度诺贝尔文学奖获得者是中国作家莫言，是确定的，能构成集合．综上：(1)，(2)不能构成集合；(3)，(4)能构成集合．[规律方法] 1.判断元素能否构成集合，关键在于是否有一个明确的客观标准来衡量这些对象，即看这些元素是否具有确定性，如果条件满足就可以断定这些元素可以组成集合，否则就不能构成集合．2．注意集合元素的互异性，相同的元素在集合中只能出现一次．【活学活用1】(2013·信阳高一检测)下列各组对象可以组成集合的是()．A．数学必修1课本中所有的难题B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C．直角坐标平面内第一象限的一些点D.3的近似值的全体解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B中只有两个元素3与－3，是确定的，B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．答案 B类型二元素与集合的关系【例2】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A 中的元素．[思路探索]根据元素与集合的关系判断，可令a＝2，b＝－2.解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝2，b＝－2，即可得到6－22，所以6－2 2 是集合A中的元素．[规律方法] 1.(1)判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征．(2)要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示什么数集．2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．【活学活用2】(2013·杭州高一检测)下列所给关系正确的个数是()．①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2 C．3 D．4解析∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.答案 B类型三集合中元素的特性及应用【例3】已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值．[思路探索]令－3＝a－3或－3＝2a－1→求出a值→检验解∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.[规律方法] 1.由于集合B含有两个元素，－3∈B，本题以－3是否等于a－3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．2．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．【活学活用3】已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成的，且2是A中的一个元素，求m的值．解∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，则m＝2或m＝±1.当m＝2时，集合A中的元素为：2,5,1，符合题意；当m＝1时，集合A中的元素为：1,2,1，不满足互异性，舍去；当m＝－1时，集合A中的元素为：－1,2,1，符合题意．综上知：m＝2或m＝－1.易错辨析忽略集合中元素的互异性致误【示例】写出由方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合A.[错解]x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0.x＝a或x＝1，因此A＝{1，a}．[错因分析]错解没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．[正解]由x2－(a＋1)x＋a＝0，得x＝1或x＝a.若a＝1，则方程的解组成的集合为{1}，若a≠1，则方程的解组成的集合为{1，a}．[防范措施] 1.涉及含参数的集合问题，切忌忽视集合元素的互异性，务必将求得的参数取值代入，验证是否满足集合中元素的互异性，进而对结果进行取舍．2．若方程中字母参数影响解的取值，要选择恰当分类标准，注意分类讨论思想的应用.课堂达标1．下列能构成集合的是( )． A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案 C2．下列关系正确的是( )． ①0∈N ；②2∈Q ；③12∉R ；④－2∉Z .A ．③④B ．①③C ．②④D ．① 解析 ①正确，∵0是自然数，∴0∈N ； ②不正确，∵2是无理数，∴2∉Q ； ③不正确，∵12是实数，∴12∈R ；④不正确，∵－2是整数，∴－2∈Z .答案 D3．集合A 与集合B 相等，且0A ，则0________B(填“∈”，“∉”)．解析由于集合A 与集合B 相等，故它们的元素完全相同，而0∉A ，则0∉B. 答案4．若x ∈N ，则满足2x －5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________．解析由2x －5＜0，得x ＜52，又x ∈N ，∴x ＝0,1,2，故所有元素之和为3.答案 35．A 为含有两个元素2a ＋1和a －2的集合，求实数a 的取值条件．解 ∵2a ＋1，a －2是集合A 中的两个元素， ∴2a ＋1≠a －2，∴a ≠－3， ∴a 的取值条件为a ≠－3.课堂小结1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元素是否确定．若元素不确定，则不能构成集合．2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否构成集合的依据．3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.。

集合的含义及其表示1学案(人教A版必修1)

第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ，即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。

《集合的含义与表示》学案1

第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示【自主整理】1.集合(1)含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.(2)相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．2.表示（1）字母表示法：用一个大写英文字母表示集合,如A 、B 、C 等. 常见数集的表示：自然数集记为 N ；整数集记为 Z ；正整数集记为 N ＋或 N ＊；有理数集记为 Q ；实数集记为 R ；（2）列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号”{ }”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法.（3）描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.3.元素与集合（1）关系：仅有两种：属于和不属于.（2）关系表示：如果a 是集合A 中的元素，就说元素a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 中的元素，就说元素a 不属于集合A ，记作a ∉A .【高手笔记】1．集合的概念是数学中的原始概念，在学习过程中，应结合具体实例搞清它的含义．2．集合元素的性质：给定的集合,它的元素必须是明确的, 即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性；一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的，这就是集合的互异性；集合中的元素是没有顺序的，这就是集合的无序性．判断一些对象能否构成一个集合的关键是看是否满足集合元素的确定性．3．∈和∉只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.4．集合的分类：按集合中元素的个数分为有限集和无限集. 有限集是指含有有限个元素的集合；无限集是指含有无限个元素的集合．如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示；如果一个集合是有限集且所含元素较多或是无限集时，通常选择描述法表示.5．用描述法表示集合时，在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分．如：{直角三角形}等．【名师解惑】1.为什么“爱好唱歌的人”不能构成一个集合？剖析：学习了集合的概念后，很多同学对此产生质疑，总是迷惑不解.其原因是对集合元素的确定性理解不够充分，突破这个疑点的途径是从集合的含义来分析.教材中指出，把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，教材只是这样作了简单地描述. 我们可以这样来理解：研究对象就是构成集合的每个对象即元素，一个对象是不是我们研究的对象（元素）呢？其结果只有两种：是或不是.这才符合数学具有严格性的特点，这就是我们所说的集合元素的重要性质――确定性.因此给定一个集合，任意一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一. 如果你是班内的文艺委员，让爱好唱歌的同学到音乐教室开会，那么就会出现：你认为爱好唱歌的同学没有去，而你认为不爱好唱歌的同学反而去了，出现这种情况的原因是没有明确的标准来判断是否爱好唱歌.因此说“爱好唱歌的人”不能构成一个集合，这不符合集合元素的确定性.2.如何区分数集和点集？剖析：难点是一些用描述法表示的集合，不容易区分是点集还是数集，是一个易错点.突破的途径是理解描述法的表示形式.如果一个集合中所有元素均是实数，那么这个集合称为数集，如果一个集合中所有元素均是点，那么这个集合称为点集.例如：集合{}12=<<A x x ，集合A 中元素代表符号是x ，满足12x <<，即大于1且小于2的实数组成集合A ，故集合A 是数集. 集合{}(,)21B x y y x ==+，集合B 中元素代表符号是(,)x y ，其中,x y 满足21y x =+，则(,)x y 是一次函数21y x =+图象上的点，故集合B 是点集.因此，形如{}x x x ∈R 的特征，的集合是数集，形如{}(,),,x y x y x y ∈R 的特征，的集合是点集.【讲练互动】【例题1】（2007浙江省宁波市高三第一次“十校联考” ，理科1）在数集},2{2x x x -中，则实数x 的取值范围是 .【解析】本题主要考查集合元素的互异性．实数x 的取值满足集合元素的互异性，则22x x x ≠-，解得03x x ≠≠且，∴实数x 的取值范围是{}03x x x ≠≠且．答案：{}03x x x ≠≠且【绿色通道】在解决参数问题和判断集合元素的个数问题时，要灵活应用集合元素的确定性、互异性、无序性，这也是处理集合有关问题的一个隐含条件．【黑色陷阱】本题的答案易错写成{}03x x x ≠≠或，其原因是对数学中“且”与“或”的含义混淆不清．在数学中，“且”表示同时成立的含义，而“或”表示至少一个成立的含义．03x x ≠≠且表示全体实数中除去1和3剩下的实数，而03x x ≠≠或表示全体实数．防止出现此类错误的方法是明确“且”与“或”的含义．【变式训练】1.已知集合{}22,6,A x x =-，则实数x 的取值范围是．【解析】利用集合元素的互异性列出不等式，解得实数x 的取值范围．由题意得222,6.x x x x ⎧-≠⎪⎨-≠⎪⎩解得123x x x x ≠≠≠≠－2且－且且，即实数x 的取值范围是{}123x x x x x ≠≠≠≠－2且－且且．答案：{}123x x x x x ≠≠≠≠－2且－且且2．（2007届广东省韶关市高三摸底，理科1）下列各组两个集合P 和Q ,表示同一集合的是（） A ．P ={}π,3,1,Q ={}3,1,-π B ．P ={}π,Q ={}14159.3 C ．P ={}3,2,Q ={})32(，D ．P ={}11,N x x x -<≤∈,Q ={}1 【解析】只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就表示同一集合．{}3,1,-π＝{{}ππ=，所以A 正确；由于 3.14159π≠，所以B 错误；集合{}3,2中的元素是实数，而集合{})32(，中的元素是点，所以C 错误；集合{}11,N x x x -<≤∈＝{}0,1，所以D 错误，故选A ．答案：A【例题2】判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示:(1) 被3除余1的自然数组成的集合；(2) 由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3) 二次函数2210y x x =+-图象上的所有点组成的集合；(4) 设,a b 是非零实数,求a b ab y a b ab=++的所有值组成的集合. 【思路分析】本题主要考查集合的表示法和集合的分类. 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素，二要明确元素满足的条件，三是根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．解：（1）由于被3除余1的自然数有无数个，所以此集合是无限集，则选择描述法表示，又这些自然数常表示为31(N)n n +∈．即表示用为：{}31,N x x n n =+∈；（2）由题意得满足条件的正整数有：3,5,7,11,13,17,19．则此集合中的元素有7个，所以此集合是有限集，则用列举法表示为：{}3,5,7,11,13,17,19；（3）由于二次函数2210y x x =+-图象上的点无数个，所以此集合是无限集，则用描述法表示．通常用有序数对(,)x y 表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为：{}2(,)210x y y x x =+-；（4）当0ab <时，1a b ab y a b ab=++=-；当0ab >时，则0,0a b >>或0,0a b <<．若0,0a b >>，则有3a b ab y a b ab =++=，若0a <，0b <，则有1a b ab y a b ab=++=-． ∴a b ab y a b ab=++的所有值组成的集合共有两个元素－1和3，此集合是有限集，则用列举法表示为：{}1,3-.答案：（1）无限集，{}31,N x x n n =+∈；（2）有限集，{}3,5,7,11,13,17,19；（3）无限集，{}2(,)210x y y x x =+-；（4）有限集，{}1,3-. 【绿色通道】一般情况下，常根据集合中所含元素的个数来选择表示集合的方法，对所含元素较少的有限集宜采用列举法，如（2）（4）；对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法，如（1）（3）．【变式训练】1.集合{}32+N x x ∈-<的另一种表示法是 ( )A.{}0,1,2,3,4B. {}1,2,3,4C. {}0,1,2,3,4,5D. {}1,2,3,4,5 【解析】{}32x x ∈-<+N ={}5+N x x ∈<={}1,2,3,4,故选B.答案:B2. 用适当的形式表示下列集合(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；(2)方程2(35)(2)(3)0x x x -++=的实数解组成的集合；(3) 一次函数6y x =+图象上所有点组成的集合．【解析】元素较少的有限集宜采用列举法；对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法．(1) 绝对值不大于3的整数表示为3x ≤，是有限集，用列举法表示为｛-3，-2，-1，0，1，，2，3｝；(2) 方程2(35)(2)(3)0x x x -++=的实数解仅有两个是5,23-，用列举法表示为5,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；(3) 一次函数6y x =+图象上有无数个点，用描述法表示为{}(,)6x y y x =+．【例题3】（2007年山东省滨城区月考，文科17）已知集合{}2210,R A x ax x x =--=∈，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【思路分析】本题主要考查元素与集合之间的关系，以及集合的表示法．由描述法可知集合A 是关于x 的方程2210ax x --=的实数解集，首先考虑方程是不是一元二次方程．解：当0a =时，方程只有一个根12-，则0a =符合题意；当0a ≠时，则关于x 的方程2210ax x --=是一元二次方程，由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程2210ax x --=有两个相等的实数根或没有实数根，所以△＝440a +≤，解得1a ≤-．综上所得，实数a 的取值范围是{}01a a a =≤-或．答案：{}01a a a =≤-或【绿色通道】将集合语言具体化为自然语言，将它们描述的语言形象化、直观化，是解决集合问题的常用技巧．本题转化为关于x 的方程2210ax x --=的实数根的个数问题，这样就容易解决．【变式训练】1．已知集合{}0x ax =是无限集，则实数a ＝．解析：集合{}0x ax =是关于x 的方程0ax =的解集．当0a =时，方程0ax =有无数解，则0a =符合题意；当0a ≠时，则关于x 的方程0ax =是一元一次方程，得0x =，即此时集合{}0x ax =仅有一个元素，则0a ≠不合题意．故0a =，填0．答案：0 2．设集合1,3n A x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，若12,x A x A ∈∈，则必有（） A. 12x x A +∈ B. 12x x A ∈ C. 12x x A -∈ D. 12x A x ∈ 【解析】如果元素具有1(3n n ∈N)的形式，你们这个元素属于集合A ．∵12,x A x A ∈∈，∴有11(3m x m =∈N)，21(3k x k =∈N)，又11111333m k m k x x +==，m k +∈N ，∴12x x A ∈，故B 正确；当113x =，213x =时，1221332x x A +==∉，故A 错误；按同样方法可以验证选项C 、D 也是错误的；故选B ．答案：B【教材链接】1.教材第2页思考：上面的例（3）到例（8）也能组成集合吗？它们的元素分别是什么？归纳总结这些例子，你能说出它们的共同特征吗？答：例（3）到例（8）也能组成集合.例（3）的元素是：金星汽车厂2003年生产的每一辆汽车；例（4）的元素是：2004年1月1日之前与我国建立外交关系的每一个国家；例（5）的元素是：每个正方形；例（6）的元素是：到直线l 的距离等于定长d 的每一个点；例（7）的元素是：方程2320x x +-=的每个实数根即1、2；例（8）的元素是：新华中学2004年9月入学的每个高一学生.这些例子的共同特征是：每一个研究对象是元素，这些元素组成的总体构成了集合.2. 教材第3页思考：判断以下元素的全体是否构成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流答：（1）大于3小于11的偶数组成集合，这个集合的元素是4，6，8，10.（2）我国的小河流不能组成集合，因为小河流没有明确的标准，不符合集合元素的确定性，所以不能组成集合.3. 教材第4页思考：（1）你能用自然语言描述集合{}2,4,6,8吗？（2）你能用列举法表示不等式73x -<的解集吗？答：（1）自然语言：小于10的所有正偶数组成的集合.或大于1且小于9的所有偶数组成的集合．（答案不唯一）（2）不能用列举法表示.因为不等式73x -<的解是10x <，小于10的实数有无数个，并且这些数是连续的，所以不能用列举法表示.列举法适用于表示元素个数是有限个且较少的集合.4.教材第6页思考：（1）结合上述实例，试比较用自然语言、列举法、描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象．（2）自己举出几个集合的例子，并分别用自然语言、列举法、描述法表示表示出来．答：（1）自然语言的特点是富有表现力，是最基本的语言形式，但是具有多义性，有时难于表达，适用的范围非常广泛；列举法的特点是直观、明白，但有局限性，适用于元素个数较少的有限集；描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于所含元素较多的有限集或无限集．（2）例如，自然语言：联合国常任理事国；列举法：｛中国，美国，英国，法国，俄罗斯｝；描述法：｛x ∣x 是联合国常任理事国｝．【教研中心】[教学指导]一、课标要求1. 通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题，提高语言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识；2．知道常用数集及其专用符号，了解集合元素的确定性、互异性、无序性，并能够用其解决有关问题，提高学生分析、解决问题的能力，培养应用意识．二、教学建议集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中，集合的初步知识与其它内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础.教材从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合、不等式的解等）出发，结合实例给出元素、集合的含义，教材注重体现逻辑思考的方法，如抽象、概括等．本节的重点是集合的含义与表示，其突破方法是结合学生的已有知识经验，通过大量的实例来学习；本节的难点是表示具体的集合时，如何从列举法和描述法中做出恰当的选择，其突破方法是对同一个集合用不同的方法来表示，具体体会它们的各自特点，归纳、总结各自的适用范围．值得注意的问题：由于本小节的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读教材，然后进行交流，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校，可以利用网络平台让学生交流学习后的认识；也可以由教师给出问题，让学生读后回答问题，再由教师给出评价.这样做的目的，在于培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力．在处理集合问题时，根据需要，及时提示学生运用集合语言进行表述．在安排训练时，建议把握好分寸，不宜搞偏题、怪题.本节教学时间约需1课时．【走近大师】为科学而疯的人——康托康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯——德国数学家，集合论的创立人．康托自幼对数学有浓厚兴趣．23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究．他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础．1874年，康托的有关无穷的概念震撼了数学界．康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新思想模式，建立了处理数学中无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展．他发现了惊人的结果：有理数是可列的，而全体实数是不可列的．由于在研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又很荒谬的结果 (称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度．在1874—1876年期间，30岁的康托向神秘的无穷宣战．他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应．这样看起来，1厘米长线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论．康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂．有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”．来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院．他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的．真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩．1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作．”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦．1918年1月6日，康托病世．【同步测控】我夯基我达标1. 下列各组对象中不能构成集合的是A.北京尼赏文化传播有限公司的全体员工B.2006年全国经济百强县C.2007年全国五一劳动奖章获得者D.美国NBA 的篮球明星解析：根据集合元素的确定性来判断是否构成集合．因为A 、B 、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是篮球明星，故不能构成集合.故选D.答案：D2．下列关系中正确的是（）A.{}0(0,1)∈B. {}1(0,1)∈C.0N ∈D. 0+N ∈解析：首先明确各个集合中的元素．{}(0,1)中的元素是点，不是数，∴A 、B 错误；0是自然数，不是正整数，∴D 错误，C 正确，故选C ．答案：C3. 以下集合M 与N 中，是不同集合的是（）A.{}1,2,3M =，{}3,2,1N =B. {}1,2,3,4M =，{}4N n n =∈≤ZC. {}1,2M =，{}2320N x x x =-+= D ．{}1,1M =-，{}(1)n N x x ==- 解析：根据相同集合的定义来判断．由集合元素的无序性知A 中M N =;C 中{}{}23201,2N x x x M =-+===;D 中{}{}(1)1,1n N x x M ==-=-=；B 中{}4N n n =∈≤Z ＝{},2,1,0,1,2,3,4M =--≠,故选B ．答案：B4．有以下四个命题：①“所有相当小的正数”组成一个集合；②由1，2，3，1，9组成的集合用列举法表示为{}1,2,3,1,9；③{1，3，5，7}与{7，5，3，1}表示同一个集合；④{}y x =-表示函数y x =-图象上的所有点组成的集合.其中正确的是（）A.①③B.①②③C.③D.③④解析：依据集合元素的性质和描述法及列举法的表示含义来判断．①中“相当小的正数”的标准不明确，不能构成集合；②中元素1重复，不符合元素的互异性，构成的集合应是{}1,2,3,9；④的表示方法不对，由于集合的代表元素是点，而点用有序实数对(x ,y )来表示，即正确的答案应表示为{}(,)x y y x =-；③中依据集合元素的无序性知表示同一个集合，故选C ．答案：C5．对于集合{}2,4,6A =,若a A ∈,则6a A -∈,那么实数a 的值是 .解析：需对a 的值分类讨论．当2a =时, 64a A -=∈,则2a =符合题意；当4a =时, 62a A -=∈,则4a =符合题意; 当6a =时, 60a -=∈A ,则6a =不合题意，所以2,4a =．答案: 2,46.集合{}2(,)1,2,x y y x x x =-≤∈Z 可用列举法表示为．解析：首先依据题意确定x 的值，则对x 分类讨论．由2,x x ≤∈Z ，得2,1,01,2x =--，则有2,3.x y =-⎧⎨=⎩，1,0.x y =-⎧⎨=⎩，0,1.x y =⎧⎨=-⎩，1,0.x y =⎧⎨=⎩，2,3.x y =⎧⎨=⎩．故用列举法表示为{}(2,3),(1,0),(0,1),(1,0),(2,3)---．答案：{}(2,3),(1,0),(0,1),(1,0),(2,3)---7．用适当方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集．（1）不超过10的非负偶数的集合；（2）大于10的所有自然数的集合．思路分析：根据集合中元素的个数选择列举法还是描述法．解：（1）不超过10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，共6个元素，故用列举法表示为{}0,2,4,6,8,10，这个集合是有限集；（2）大于10的所有自然数的集合有无限个，故用描述法表示为{}10,x x x >∈N ，这个集合是无限集．答案（1）用列举法为{}0,2,4,6,8,10，是有限集；（2）用描述法表示为{}10,x x x >∈N ，是无限集．8．设集合A ＝{}2,,x x xy ，集合B ＝{}1,,x y ，且集合A 与集合B 相等，求实数,x y 的值.思路分析：由集合A 与集合B 中的元素完全相同列出关于,x y 的方程组，解方程组得实数,x y 的值，要注意依据集合元素的互异性验根．解：由题意得21,.x xy y ⎧=⎨=⎩………①或2,1.x y xy ⎧=⎨=⎩………②.解①得1,.x y =⎧⎨∈⎩R 或1,0.x y =-⎧⎨=⎩，经检验1,.x y =⎧⎨∈⎩R 不合题意舍去，则1,0.x y =-⎧⎨=⎩；解②得1,1.x y =⎧⎨=⎩，经检验1,1.x y =⎧⎨=⎩不合题意舍去. 综上所得1,0.x y =-⎧⎨=⎩．答案：1,0.x y =-⎧⎨=⎩我综合我发展9．（2006 山东高考卷，理科1文科1）定义集合运算：{}(),,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A B 的所有元素之和为（）A.0B.6C.12D.18解析：由于A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，,x Ay B ∈∈，故对,x y 的取值分类讨论．当x ＝0，y B ∈时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝6；当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为061218++=．故选D ．答案：D10．集合392781243,,,,23456⎧⎫⎨⎬⎩⎭可用描述法表示为．解析：观察集合中元素的规律即元素的共同特征，再用描述法表示．1233393273,,211321431===+++，458132433,541651==++，则元素的共同特征是3(,6)1+N nn n n ∈<+，则用描述法表示为3,,61+N nx x n n n ⎧⎫=∈<⎨⎬+⎩⎭．答案：3,,61+N nx x n n n ⎧⎫=∈<⎨⎬+⎩⎭11．由,,x x x - 思路分析：讨论这几个数的大小关系，根据集合元素的互异性来确定．解：设由,,x x x -M ,x x -＝，∴由集合元素的互异性知集合M 是由,,x x x -组成的．又∵,0,,0.x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩知x 必与,x x -中的一个相等，∴集合M 是由,x x -组成的集合．当x x ≠-，即0x ≠时，集合M 中元素的个数最多有两个,x x -．因此由,,x x x -组成的集合元素的个数最多为2个．答案：2个12．集合{}21y y x =+、{}21x y x =+、{}2(,)1x y y x =+三者之间有什么关系？思路分析：依据描述法的特点，明确集合中的元素是点还是实数，其元素具有什么特征．解：集合{}21y y x =+中的元素是y ，满足21y x =+，即集合{}21y y x =+是数集，是函数21y x =+的函数值组成的集合；集合{}21x y x =+中的元素是x ，满足21y x =+，即集合{}21x y x =+是数集，是函数21y x =+的自变量的取值组成的集合；集合{}2(,)1x y y x =+中的元素是(,)x y 为有序数对，满足21y x =+，即集合{}2(,)1x y y x =+是点集，是函数21y x =+的图象上所有点组成的集合．答案：集合{}21y y x =+和{}21x y x =+均是数集，而集合{}2(,)1x y y x =+是点集．集合{}21y y x =+是函数21y x =+函数值组成的集合，而集合{}21x y x =+是函数21y x =+的自变量的取值组成的集合，集合{}2(,)1x y y x =+是函数21y x =+的图象上所有点组成的集合．我创新我超越13．定义{},A B x x A x B -=∈∉，若{}1,2,3,4,5M =,{}2,3,6N =,试用列举法表示集合N M -．思路分析：由已知得集合A B -{},x x A x B =∈∉，即集合A 中不属于集合B 的元素组成的集合，也就是．集合A 中除去集合A 和集合B 的公共元素组成的集合．解：由题意得N M -是集合N 中除去集合M 和集合N 的公共元素组成的集合．观察集合M 、N ，它们的公共元素是2，3．集合N 中除去元素2，3还剩下元素6，则{}6N M -=．答案：{}6。

集合的含义与表示教案

集合的含义与表示教案教学目标：1. 理解集合的含义和特点；2. 学会使用集合的表示方法；3. 能够运用集合的概念解决实际问题。

教学内容：第一章：集合的概念1.1 集合的定义1.2 集合的元素1.3 集合的特点第二章：集合的表示方法2.1 列举法2.2 描述法2.3 图像法第三章：集合之间的关系3.1 子集的概念3.2 真子集与非真子集3.3 集合的相等第四章：集合的运算4.1 并集的定义及运算4.2 交集的定义及运算4.3 补集的定义及运算第五章：集合的实际应用5.1 集合在数学中的应用5.2 集合在生活中的应用5.3 集合在其他学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍集合的概念、特点、表示方法、关系和运算；2. 利用例题和练习题，让学生巩固集合的基本知识；3. 结合生活实例，让学生了解集合在实际中的应用。

教学步骤：第一章：集合的概念1.1 集合的定义1. 引入集合的概念，讲解集合的定义；2. 通过实例让学生理解集合的元素和特点。

1.2 集合的元素1. 讲解集合元素的特点；2. 分析集合元素的属性。

1.3 集合的特点1. 总结集合的特点；2. 通过练习题让学生巩固集合的特点。

第二章：集合的表示方法2.1 列举法1. 讲解列举法的概念和用法；2. 让学生通过练习题学会使用列举法表示集合。

2.2 描述法1. 讲解描述法的概念和用法；2. 让学生通过练习题学会使用描述法表示集合。

2.3 图像法1. 讲解图像法的概念和用法；2. 让学生通过练习题学会使用图像法表示集合。

第三章：集合之间的关系3.1 子集的概念1. 讲解子集的概念；2. 让学生通过练习题学会判断子集关系。

3.2 真子集与非真子集1. 讲解真子集与非真子集的概念；2. 让学生通过练习题学会判断真子集与非真子集关系。

3.3 集合的相等1. 讲解集合的相等概念；2. 让学生通过练习题学会判断集合的相等关系。

第四章：集合的运算4.1 并集的定义及运算1. 讲解并集的定义和运算方法；2. 让学生通过练习题学会计算并集。

集合的含义与表示学案及练习

2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

6．集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。

７．常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；；正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；（二）相关例题：例1．用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z ；（4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

集合的含义与表示优秀教案

篇一：《集合的含义与表示》教学设计《集合的含义与表示》教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用剖析《集合与函数的概念》是高中数学必修1的第一章内容，是高中数学的基础，集合作为一种数学思想在其它一些章节中也都有渗透，因此学好这一章内容是十分关键的。

本章又是高中数学课程的起始章，内容有一定的抽象性，研究的方法也与初中数学不一样，因此设计好这一章内容的教学不但对学生的知识掌握情况而且对学生能否入门高中数学都是很重要的。

2、教学内容与学情剖析本教材对集合的定位是将集合作为一种语言来学习的，通过教学使学生感受到用集合语言来表示数学内容时的简洁性、准确性，并使学生能用集合语言简洁、准确地表示数学对象。

高一新生经历了初中的启发式学习，对一些具体的知识已有了一定的掌握，但对一些抽象的知识还不能完全明了如何来学，一些良好的数学素养还需要去形成，一些能力还需要去培养、提高。

3、教学目标与重、难点剖析鉴于以上分析，又结合《课程标准》的要求，我确定本节课的教学目标、教学重、难点如下：（1）教学目标知识技能目标：①了解。

（集合的含义）②理解。

（元素与集合的关系）③掌握。

（集合的表示方法）④培养。

（学生观察、类比、归纳、表达的能力）过程与方法目标：①体验从特殊到一般的学习规律；②渗透分类思想；情感与价什观目标：①通过教学，激发学生的学习兴趣，培养学生积极的学习态度；②通过教学，让学生体会集合的文化价值，感受数学问题探究的过程之美及数学思维的严谨之美；（2）教学重、难点重点：集合的基本概念与表示。

难点：用集合的两种常用表示法――列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。

[难点突破：]对于难点，则是通过实例引导，启发学生分析、寻找概念区分点，尽而把握概念特点，从而达到准确表达等一系列活动来完成突破。

二、教法设计由于本节课的特殊地位，在本节课的教法设计中，我力图通过这一节课的教学不仅使学生能学到知识，更能使学生掌握怎样来学到知识，从而实现培养学生学习能力的目的。

第一章：集合的含义与表示(学案)

§1.1.集合的含义与表示（学案）班级________ 姓名___________一. 读一读(1分钟) :学习目标1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，掌握表示一个集合的恰当的方法.2.知道常用数集及其专用记号.3.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性. 二.试一试(15分钟):阅读课文P 3～P 5，并完成下列知识要点填空和练习。

1.知识要点填空：⑴集合概念：一般地，称为集合(简称为集). 叫作这个集合的元素.⑵元素与集合的关系：a 是集合A 的元素就说，记作，如果a 不是集合A 的元素就说，记作a ∉A.（注意：元素和集合的关系只能是属于或者不属于．．．．．．．．．．．．．．．．．．） ⑶常用数集及记法：自然数集记作，Q 表示集，整数集记作，正整数集记作，R 表示 .⑷集合的表示：①集合通常用字母表示，如A,B,C 等.元素通常用小写字母表示，如a ,b,c 等.②列举法：把表示集合的方法，如方程方程2560x x -+=的解集可表示为 .正奇数组成的集合可表示为 .③描述法：用表示集合的方法.如不等式30x ->的所有解组成的集合可表示为：注意：你在表示集合时怎样去选择合适的方法？⑸集合的分类：叫有限集，叫无限集. 叫空集，空集记作 .2．用适当的方法表示下列集合：⑴大于-3小于2的整数组成的集合： ; ⑵方程x 2－2=0的解组成的集合： ; ⑶小于3的有理数组成的集合： ; ⑷所有偶数组成的集合： ; (5)方程210x x ++=的解集: ; 3．下列各组对象能确定一个集合吗？如果能,请表示出来. （1）所有很大的实数（2）好心的人（3）1，2，2，3，4，4,4,5． 4.下列四个集合中,空集是( )A.{0}B.{x ｜x ＞8,且x ＜5}C.{x ∈N ｜x 2-1=0} D.{x ｜x ＞4} 三，讲一讲：（10分钟）四. 练一练：（9分钟）1．用符合“∈”或“∉”填空：课本P5练习题1在书上完成. 2．设a ,b 是非零实数，那么a b a b+可能取的值组成集合的元素是 .3．由实数x,－x,｜x ｜）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素 4．下列结论不正确的是( )A.O ∈NB. 2∉QC.O ∉QD.-1∈Z 5．下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a ∉NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则|a|∈QD.若a ∈R +R +. 五．记一记(5分钟)1．描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}不同.注意： { }已包含“所有”的意思，所以不能写{全体整数}。

1集合学案

第一章第一节集合大纲要求：集合必考内容与要求（1）集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.典例解析：题型1：集合的概念例1、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________题型2：集合的性质例2、图中的阴影表示的集合是()A．(∁U A)∩B B．(∁U B)∩AC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)题型3：集合的运算例3、已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，则A∩B＝B时a的值是() A．2 B．2或3C．1或3 D．1或2例4、若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝________.题型4：图解法解集合问题例5、已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝∅，则M∪N ＝()A．M B．NC．I D．∅题型5：集合综合题例6、已知集合A＝{x|(x－2)(x－3a－1)<0}，函数y＝lg 2a－xx－(a2＋1)的定义域为集合B.(1)若a＝2，求集合B；(2)若A＝B，求实数a的值．随堂练习：一、选择题1．集合M＝{a，b}，N＝{a＋1,3}，a，b为实数，若M∩N＝{2}，则M∪N＝() A．{0,1,2}B．{0,1,3}C．{0,2,3} D．{1,2,3}2．设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．[1,2)B．[1,2]C．(2,3] D．[2,3]3．集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则实数a的值为()A．1 B．－1C．±1 D．0或±1二、填空题4．已知集合M＝{x|xx－2<0}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于________．5．已知集合A＝{x∈R||x－1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．三、解答题6．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B；(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．7．已知集合A＝{x∈R|3x＋1≥1}，集合B＝{x∈R|y＝－x2＋x－m＋m2}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件大纲要求：常用逻辑用语① 理解命题的概念.② 了解“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.④ 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.⑤ 理解全称量词与存在量词的意义. ⑥ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.典例解析：题型1：“若p ，则q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题例1、命题“若－1＜x ＜1，则x 2＜1”的逆否命题是( )A ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1B ．若x 2<1，则－1<x <1C ．若x 2>1，则x >1或x <－1D ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1例2、命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数题型2：必要条件、充分条件与充要条件例3、“a ＝0”是“函数y ＝ln|x －a |为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件题型3：对含有一个量词的命题进行否定例4、(2012·日照模拟)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，q ：实数x 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．一、选择题1．设集合A ＝{x ∈R|x －2＞0}，B ＝{x ∈R|x ＜0}，C ＝{x ∈R|x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a 1，a 2，b 1，b 2均不为0，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“关于x 的不等式a 1x ＋b 1>0与a 2x ＋b 2>0的解集相同”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题4．给出命题：已知实数a 、b 满足a ＋b ＝1，则ab ≤14.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．5．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和直线l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.6．p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是q ：“a ·b >0”的________条件．三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．第一章第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词大纲要求：1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．典例分析：[例1](2012·齐齐哈尔质检)已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(非q)”是假命题；③命题“(非p)∨q”是真命题；④命题“(非p)∨(非q)”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[例2]下列命题中的假命题是()A．∀a，b∈R，a n＝an＋b，有{a n}是等差数列B．∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0C．∀x∈R,3x≠0D．∃x0∈R，lg x0＝0[例3](2013·武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是()A．所有能被2整除的整数都是奇数B．所有不能被2整除的整数都不是奇数C．存在一个能被2整除的整数是奇数D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数一、选择题1．命题p：x＝π是函数y＝sin x图象的一条对称轴；q：2π是y＝sin x的最小正周期，下列复合命题：①p∨q；②p∧q；③非p；④非q，其中真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知命题p 、q ，“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈(0，π2)， tan x >sin x ．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(非q )C ．p ∧(非q )D ．(非p )∧q 4．下列命题中是假命题的是( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数5．设集合A ＝{x |－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A ，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1或a >2B ．0<a <1或a ≥2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤26．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) 二、填空题7．命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋1<2x ”的否定非p ：________、非p 的真假为________．8．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“非p ”中是真命题的有________．9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈A ∪B ，则命题“非p ”是________．三、解答题10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解．(2)存在一个三角形，内角和不等于180°.。