东北师大附属中学高三一轮导学案：圆的方程【B】

圆的方程(学案)B

一、知识梳理 1.圆的方程

（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程

二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得

（x +2D ）2+（y +2

E ）2=4422

F E D -+.

当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－

2D ，－2

E ），半径r =

21

F

E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +

F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.

说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0） a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.

（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－

2D ，－2

E ），当D 2+E 2－4

F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.

（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程（4-4选讲内容） ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，

y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，

y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.

2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件

若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.

在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A

F

=0， 仅当（

A D ）2+（A E ）2－4·A

F

＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. （θ为参数）

. ① （θ为参数）

. ②

故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2

－4AF ＞0. 二、题型探究

[题型探究一]圆的标准方程

1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是

A.－1

71 B.－1

1

A.｜a ｜＜1

B.a ＜13

1

C.｜a ｜＜

51 D .｜a ｜＜13

1 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是

A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点

B.当a =r 时，圆与y 轴相切

C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b

4.将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2

=1，则a 的坐标为____________. 5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________. [题型探究二]圆的方程的应用：

【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.

【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.

【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交

的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

三、方法提升：

1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.

2.求圆的方程的一般步骤：

（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；

（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；

（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.

3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 四、反思感悟

1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.

2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.

3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－

2D ，－2

E

），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.

4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.

5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握. 五、课时作业：

1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则

A.D +E =0

B. B.D +F =0

C.E +F =0

D. D +E +F =0

2.在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线