非正弦交流电路

第5章 非正弦交流电路
5.1 非正弦周期量的分解 5.2 非正弦周期量的有效值 5.3 非正弦周期电流电路中的平均功率
5.1 非正弦周期量的分解
5.1.1非正弦周期量的产生
在电工技术中，除了正弦激励和响应外，还会遇到非正 弦激励和响应；且当电路中有几个不同频率的正弦激励时， 响应一般也是非正弦的；电力工程中应用的正弦激励只是近 似的，因为发电机产生的电压虽力求按正弦规律变动，但由 于制造等方面的原因，其电压波形是周期变化的，但与正弦 波形或多或少会有差别。由于发电机和变压器等主要设备中 都存在非正弦周期电流或电压，分析电力系统的工作状态时， 有时也需考虑这些周期电流、电压因其波形与正弦波的差异 而带来的影响。
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5.1 非正弦周期量的分解
1.周期函数为奇函数 满足f(t)＝-f(t)的周期函数称为奇函数，其波形对称于 原点。矩形波、梯形波、三角波都是奇函数。它们的傅里叶 级数展开式中，a0=0，ak=0，即无直流分量，无余弦谐波分 量，表示为：
f (t) bk sin kt k 1
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5.1 非正弦周期量的分解
3.周期函数为奇谐波函数
满足
f
(t)
f
(t
T 2
)
的周期函数称为奇谐波函数，其波形特
点是：将函数f ( t )波形移动半个周期后(图中虚线)，与原
函数波形对称于横轴，即镜像对称。矩形波、梯形波、三角
波都是奇谐波函数，它们的傅里叶级数展开式表示为
f (t) (ak cos kt bk sin kt) k 1
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5.1 非正弦周期量的分解
在电子设备、自动控制等技术领域大量应用的脉冲电路 中，电压和电流的波形也都是非正弦的，图5.1.1(a)、(b)、 （c）就是几种常见的非正弦交流电波形。
上述各种激励与响应的波形虽然各不相同，但如果它们 都是按一定规律周而复始地变化着，故则称为非正弦周期量。 不按正弦规律做周期性变化的电流或电压，称为非正弦周期 电流或电压。
将周期函数f ( t )分解为直流分量、基波和一系列不同 频率的各次谐波分量之和，称为谐波分析。它可以利用公式 (5.1.1)～(5.1.4)进行分析，但工程上更多的是利用查表法 进行分析。表5.1.1列出了电工技术中常遇到的几种周期函数 的博里叶级数展开式。
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5.1 非正弦周期量的分解
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5.1 非正弦周期量的分解
5.1.2周期函数与傅里叶级数
凡是满足狄利克雷条件的周期函数都可以分解为傅里叶
级数，电工中遇到的周期函数都是满足狄利克雷条件的。
f(t)
a0 2
(ak
k 1
cos k t
bk
sin k t )
其中
f(t ) A0 Ak sin(k t ψk ) k 1
如果周期函数f（t）同时具有两种对称性，则在它的傅 里叶级数展开式中也应兼有两种对称的特点。
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5.2 非正弦周期量的有效值
5.2.1电压、电流的有效值
非正弦周期信号的有效值定义与正弦波一样。如果一个 非正弦周期电流流经电阻R时，电阻上产生的热量和一个直流 电流I流经同一电阻R时，在同样时间内所产生的热量相同， 这个直流电流的数值I，叫做该非正弦电流的有效值。周期电 流、周期电压的有效恒等于它们的方均根值。
I rect
1 T
T
0
i dt
对上下半周期对称的周期电流，则有
I rect
2 T
T
2
0
i dt
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5.3 非正弦周期电流电路中的平均 功率
平均功率
非正弦周期性电流电路中，不同次（包括零次）谐波电 压、电流虽然构成瞬时功率，但不构成平均功率；只有同次 谐波电压、电流才构成平均功率；电路的功率等于各次谐波 功率（包括直流分量，其功率为U0I0）的和。
式中，无直流分量，无偶次谐波，只含奇次谐波，因而 称此种函数为奇谐波函数。
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5.1 非正弦周期量的分解
综上所述，根据周期函数的对称性，不仅可预先判断它 包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波不存在(这在工 程上常常是要用到的)，并且使傅里叶系数的计算得到简化。 傅里叶级数展开式中存在的谐波分量的系数仍可用式(5.1.2) 计算确定。
A0
a0 2
Ak ak2 bk2
ψk arc
tan
ak
bk
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5.1 非正弦周期量的分解
一个周期函数可分解为直流分量、基波及各次谐波之和。 若要确定各分量，则需计算确定各分量的振幅Ak和初相位。 由式(5.1.2)、式(5.1.4)可知，确定周期函数f ( t )的各 分量，实质上是计算傅里叶系数a0，ak，bk的值。
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5.1 非正弦周期量的分解
为了直观地表示一个周期函数分解为各次谐波后，其中 包含哪些频率分量及各分量占有多大比重，可画出如图5.1.4 所示频谱图，用横坐标表示各谐波的频率，用纵坐标方向的 线段长度表示各次谐波振幅的大小。这种频谱只表示各谐波 振幅，所以称为振幅频谱。
工程中常见的非正弦波具有某种对称性，波的对称性与 傅里叶系数有密切关系。对某非正弦波进行傅里叶分解时， 可先根据波的对称性，直观地判断出某些谐波分量存在与否， 从而可简化傅里叶级数分解计算。
5.2.2电压、电流的平均值
除有效值外，对非正弦周期量还引用平均值。非正弦周 期量的平均值是它的直流分量，以电流为例，其平均值
I av
1 T
T
0
idt
I0
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5.2 非正弦周期量的有效值
对于一个在一周期内有正、负的周期量，其平均值可能 很小，甚至为零。为了对周期量进行测量和分析(如整流效 果)，常把交流量的绝对值在一个周期内的平均值定义为整流 平均值，以电流为例，其整流平均值
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5.1 非正弦周期量的分解
非正弦周期电流产生的原因很多，通常有以下三种情况： 1.采用非正弦交流电源。如方波发生器，锯齿波发生器 等脉冲信号源，输出的电压就是非正弦周期电压。 2.同电路中有不同频率的电源共同作用。 3.电路中存在非线性元件。如图5.1.2所示的二极管整流 电路就是这样。
在这里所指的平均功率只适用于同频率的非正弦电压和 电流，电路消耗的平均功率为
P
U0I0
U1I1
cos
1
U2I2
cos
2
U3I3
cos
3
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图5.1.1 几种常见的非正弦交流电
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图5.1.2 二极管整流电路
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表5.1几种典型周期函数的傅立叶级数
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表5.1几种典型周期函数的傅立叶级数
傅里叶级数是一个收敛级数，理论上应取无限多项方能 准确表示出原非正弦周期函数，但在实际工程计算时只取有 限的几项，项取多少可根据工程所需精度而定。如表5.1.1中 矩形波傅里叶展开式中，若取式中前三项，即取到5次谐波， 并分别画出各谐波的曲线然后相加，得到如图5.1.3a)所示曲 线，可以看出，合成曲线与方波相差较大。若取展开式中前4 项．即取到7次谐波，其合成曲线如图5.1.3b)所示，就更接 近方波了。
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5.2 非正弦周期量的有效值
周期量的有效值等于它的各次谐波(包括直流分量，其有 效值即为I0)有效值的平方和的平方根。周期量的有效值与各 次谐波的初相无关，它不是等于而是小于各次谐波有效值的 和。
I
I2 0
I2 1
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I
2 2
I
2 k
U
U2 0
U2 1
U
2 2
U2 k
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5.2 非正弦周期量的有效值
5.1 非正弦周期量的分解
2.周期函数为偶函数
满足f(t)＝f(-t)的周期函数称为偶函数，如图5.1.5所
示的半波整流波，其波形对两于纵轴。半波整流、全波整流
波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk＝0，即无正弦 谐波分量，可表示为
f
(t)
a0 2
ak k 1
cos kt
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续表
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表5.1几种典型周期函数的傅立叶级数
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图5.1.3谐波合成示意图
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图5.1.4矩形波的振幅频谱
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图5.1.5奇谐波函数
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