材料力学 梁的弯曲问题

A
10
⑵超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反 力的梁。
F
F
A
11
●按梁的横截面 ⑴等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； ⑵变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。
汽车钢板弹簧
鱼腹梁
A
12
15.2 梁的内力及其求法
一、求梁的内力的方法——截面法 ●内力的形式及名称
1 F1
F2
A
1
FRA a
l
FRB
F =8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
FRB
3m
A
23
15.3 内力图──剪力图和弯矩图
为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯 矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力 和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。
A
3
●对称（平面）弯曲 (Planar bending)
对称平面 F2
F1
(b)
F2
F1
(a)
A
B
(c)
平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面(荷 载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。
A
4
梁的荷载和支座反力
一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该面平 行的平面）内的力偶。
第十五章 梁的弯曲问题
A
1
15.1 工程实际中的弯曲问题
一、平面弯曲的基本概念
梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴 线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变 形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。
F2 M
F1
A
B
A
2
●工程实例
建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水 槽壁等。
火车轴
厂房吊车梁
A
21
(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1 根据1-1截面左侧的外力计算可得：
FQ1 F R AF1587kN
M1 F R A 2 F 2 1 .5 2 6 k N m
根据1-1截面右侧的外力计算可得
FQ1 q3FRB7kN
M1 q 3 2 .5 F R B 4 2 6 k N m
M
⑵弯矩
M
向上凹变形为正
M
M
向上凸变形为负
A
15
例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F1=12kN， F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。
0.5mF1 1
F2
2 1m
A
1 FRA
2
B FRB
1m
1.5m
3m
解：(1) 求支座反力
MB 0 F 1 2 .5 F 2 1 .5 F R A 3 0FRA 15kN
可见计算结果完全相同。 F=8kN 1
q=12kN/m 2
A
1
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
3m
FRB
A
22
(3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：
FQ2 q1.5F R B11kN
M2 q 1 .5 0 .7 5 F R B 1 .5 3 0 k N m
2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧 （或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和 （包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针 （右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。
A
19
例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截面上的剪力和弯 矩的表达式。
e
c
1 F1 FQ
M1
l q
Me
f
d b
α
实际支承→理想支承 ⑶ 以简化后的荷载代替实际的荷载。
A
8
三、梁的分类 ●按支座情况 ⑴简支梁：一端固定铰，一端可动铰
⑵外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁
⑶悬臂梁：一端固定支座，另一端自由
A
9
●按支座反力的求解方法 ⑴静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；
FAy
FAx A
B
FB
MA
A
FAx
FAz
FRB
F2
F Q F1 ql F2sin FRB
M
F1
e
qle
c
l 2
Me
F 2sin f b FRB f
A
20
例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F =8kN 1
A 1
q=12kN/m 2
2 1.5m B
FRA 2m
1.5m
解：(1)求支座反力
FRB
3m
MB 0 F R A 6 8 4 .5 1 2 3 1 .5 FRA 15kN MA0 F R B 6 8 1 .5 1 2 3 4 .5 FRB 29kN
Fy 0 F R AF R BF 1F 20
A
FRB 7kN
16
(2)求1-1截面上的内力
0.5mF1 1 F2 2 1m
A
1 FRA
2
B FRB
1m
1.5m
3m
0.5m F1 M1 A
FQ1 FRA 1m
Fy 0 F R A F 1F Q 10 F Q 13 kN
MO 0 M 1 F R A 1 F 1 0 .5 0 M 1 9 k N m
F Me
A
5
3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。
q(x) q(x)=C
荷载集度： 分布荷载的大小 均布荷载 非均布荷载
A
用q(x)表示
6
二、梁的支座及支座反力 ●支座形式 1 固定铰约束
2 可动铰约束
3 固定支座
FRx
FRy
FR
MR
FRx
FRy
A
7
●计算简图 确定梁的“计算简图” 包含：
⑴ 以梁的轴线经代替实际的梁； ⑵ 以简化后的支座代替实际的支座；
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
A
18
FQ2FRAF1F2
FQ
F1
M 2 F R A 2 F 1 1 .5 F 2 0 .5
结论：
M FRA
F2 M2 FQ2
1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧 （或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、 约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下） 的外力使截面产生正号的剪力。
A
17
(3)求2-2截面上的内力
0.5mF1 1 F2 2 1m
A
1 FRA
2
B FRB
1m 3m 1.5m
F1
A
FBaidu NhomakorabeaA
F2 M2
FQ2
Fy 0 F Q 2 F R A F 1 F 2 0 F Q 2 7 k N
FQ2FRAF1F2
FQ2 FRB
M O
0
M 2 F R A 2 F 1 1 . 5 F 2 0 . 5 0 M 2 7 k N m
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0 FQ 剪力 N或kN
MO 0
M 弯矩
A
N·m或kN·m
13
●内力的求法
A
FRA
a
M
FQ
Fy 0
F RA F Q0 F QF RA
MO 0
M F R A a 0 M F R A a
F1 FQ M
F2
B?
FRA
A
14
●内力的正负号
⑴剪力
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下为正 左下右上为负