南通一模数学含答案
2023年江苏省南通市启东市中考一模数学试卷+答案解析
2023年江苏省南通市启东市中考一模数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向东走10m，记为，则向西走5m记为()A. B. C. D.2.2022年10月16日，习近平在中国共产党第二十次全国代表大会的报告中指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元．将81000用科学记数法表示应为() A. B. C. D.3.下列算式中，结果为的是()A. B. C. D.4.如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其主视图是()A. B. C. D.5.如图，A，B，C为上三点，，则的度数为()A. B. C. D.6.如图，，，，则()A. B. C. D.7.课堂上，老师给同学们布置了10道填空题，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，由图可知，全班同学答对题数的众数为()A.15B.18C.9D.108.关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是()A. B. C.且 D.且9.如图，中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿AC向点C运动，点Q以的速度沿AB向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．作▱，设运动时间为ts，▱与重合部分的面积为，则下列图象中能大致反映S与t的函数关系的是()A. B. C. D.10.如图，在等腰直角三角形ABC中，在边AC，AB上分别取点D和点E，使，，则线段AE的长为()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：______.12.圆锥的侧面积是，底面半径为2cm，则圆锥的母线长是______13.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺；屈绳量之，不足二尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余2尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_______________.14.三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为______.15.如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆AB的高度为___________结果保留整数，参考数据：，，16.如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，则这块矩形场地的最大面积为_______17.如图，在中，，延长AB到D，使，连接CD，则_________________.18.如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则_____.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
2024届江苏省南通市崇川区八一中学中考一模数学试题含解析
2024学年江苏省南通市崇川区八一中学中考一模数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣3的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3 2．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（ ）． A ．16 B ．12 C ．13 D ．233．如图，直线AB ∥CD ，AE 平分∠CAB ，AE 与CD 相交于点E ，∠ACD=40°，则∠DEA=（ ）A ．40°B ．110°C ．70°D ．140° 4．不等式组1030x x +>⎧⎨->⎩的解集是 ( ) A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜35．计算232332x y x y xy ⋅÷的结果是（ ）．A ．55xB ．46xC ．56xD ．46x y6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 是BD 的中点．若AB=10，则EF=（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．57．一元二次方程x 2﹣3x+1=0的根的情况（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．以上答案都不对8．一元二次方程x2+2x﹣15=0的两个根为（）A．x1=﹣3，x2=﹣5 B．x1=3，x2=5C．x1=3，x2=﹣5 D．x1=﹣3，x2=59．二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，正比例函数y＝ax与反比例函数y＝cx在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．分式2231x xx+--的值为0,则x的取值为( )A．x=-3 B．x=3 C．x=-3或x=1 D．x=3或x=-111．如图，△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE 等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°12．如图，△ABC的面积为12，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长可能是（）A．3 B．5 C．6 D．10二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为_____°．14．4的平方根是．15．函数13xyx-=-自变量x的取值范围是_____.16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，3cos5B=，则AC的长为_______ .17．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）满足如图所示的函数图象，那么每位乘客最多可免费携带____kg的行李．18．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=__．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，已知ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠．求证AB DC =．20．（6分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC DF AE ⊥＝，，垂足为F .（1）求证：AF BE ＝；（2）如果21BE EC ：＝：，求CDF ∠的余切值. 21．（6分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低．马迹塘一农户需要将A ，B 两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A ，B 产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A ，B 两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示： 品种A B 原来的运费45 25 现在的运费 30 20（1）求每次运输的农产品中A ，B 产品各有多少件；（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元．22．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，取AC 的中点E ，边结DE ，OE 、OD ，求证：DE 是⊙O 的切线．23．（8分）某村大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，该村果农小张种植了黄桃树和苹果树，为进一步优化种植结构，小张将前年和去年两种水果的销售情况进行了对比：前年黄桃的市场销售量为1000千克，销售均价为6元/千克，去年黄桃的市场销售量比前年减少了m%（m≠0），销售均价与前年相同；前年苹果的市场销售量为2000千克，销售均价为4元/千克，去年苹果的市场销售量比前年增加了2m%，但销售均价比前年减少了m%．如果去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，求m的值．24．（10分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，点P是边OB上的点．（1）利用直尺和圆规在图1确定点P，使得PM=PN；（2）设OM=x，ON=x+4，①若x=0时，使P、M、N构成等腰三角形的点P有个；②若使P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是____________．25．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．26．（12分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y=mx的图象在第一象限内交于点C（1，n）．求一次函数y=kx+2与反比例函数y=mx的表达式；过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=mx交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标．27．（12分）某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，每月能卖出500个.商场想了两个方案来增加利润：方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价1元，销售量就减少10个；方案二：售价不变，但发资料做广告．已知当这种商品每月的广告费用为m(千元)时，每月销售量将是原销售量的p 倍，且p =．试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，1的相反数还是1．【题目详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3.故选D.【题目点拨】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.2、B【解题分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.【题目详解】依题意得P （朝上一面的数字是偶数）=31=62 故选B.【题目点拨】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.3、B【解题分析】先由平行线性质得出∠ACD 与∠BAC 互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC 的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE 的度数，进而得到∠DEA 的度数．【题目详解】∵AB ∥CD ，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°﹣40°=140°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAE=12∠BAC=12×140°=70°， ∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°，故选B ．【题目点拨】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．4、B【解题分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集．【题目详解】1030x x +>⎧⎨->⎩①②， 解不等式①，得x ＞-1，解不等式②，得x＞1，由①②可得，x＞1，故原不等式组的解集是x＞1．故选B．【题目点拨】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．5、D【解题分析】根据同底数幂的乘除法运算进行计算.【题目详解】3x2y2 x3y2÷xy3＝6x5y4÷xy3＝6x4y.故答案选D.【题目点拨】本题主要考查同底数幂的乘除运算，解题的关键是知道：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.6、A【解题分析】先利用直角三角形的性质求出CD的长，再利用中位线定理求出EF的长.【题目详解】∵∠ACB=90°,D为AB中点∴CD=∵点E、F分别为BC、BD中点∴.故答案为：A.【题目点拨】本题考查的知识点是直角三角形的性质和中位线定理，解题关键是寻找EF与题目已知长度的线段的数量关系.7、B【解题分析】首先确定a=1，b=-3，c=1，然后求出△=b2-4ac的值，进而作出判断．【题目详解】∵a=1，b=-3，c=1，∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴一元二次方程x2-3x+1=0两个不相等的实数根；故选B．【题目点拨】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8、C【解题分析】运用配方法解方程即可.【题目详解】解：x2+2x﹣15= x2+2x+1-16=(x+1)2-16=0，即(x+1)2=16，解得，x1=3，x2=-5.故选择C.【题目点拨】本题考查了解一元二次方程，选择合适的解方程方法是解题关键.9、C【解题分析】根据二次函数图像位置确定a<0,c>0,即可确定正比例函数和反比例函数图像位置.【题目详解】解：由二次函数的图像可知a<0,c>0,∴正比例函数过二四象限,反比例函数过一三象限.故选C.【题目点拨】本题考查了函数图像的性质,属于简单题,熟悉系数与函数图像的关系是解题关键.10、A【解题分析】分式的值为2的条件是：（2）分子等于2；（2）分母不为2．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【题目详解】∵原式的值为2，∴2230 {10x xx+--≠＝，∴（x-2）（x+3）=2，即x=2或x=-3；又∵|x|-2≠2，即x≠±2．∴x=-3．故选：A．【题目点拨】此题考查的是对分式的值为2的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为2这个条件．11、C【解题分析】试题分析：∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB=65°.∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE=∠CAD，AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°．故选C．考点：1.面动旋转问题；2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质．12、D【解题分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是8，得出选项即可．【题目详解】解：如图：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，∴∠C′AB=∠CAB，∴BN=BM，∵△ABC的面积等于12，边AC=3，∴12×AC×BN=12，∴BN=8，∴BM=8，即点B到AD的最短距离是8，∴BP的长不小于8，即只有选项D 符合，故选D ．【题目点拨】本题考查的知识点是折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解题关键是求出B 到AD 的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、30或1．【解题分析】根据题意作图，由AB 是圆O 的直径，可得∠ADB=∠AD′B=1°，继而可求得∠DAB 的度数，则可求得答案．【题目详解】解：如图，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB=∠AD′B=1°，∵AD=AD′=1，AB=2，∴cos ∠DAB=cosD′AB=12， ∴∠DAB=∠D′AB=60°，∵∠CAB=30°，∴∠CAD=30°，∠CAD′=1°．∴∠CAD 的度数为：30°或1°．故答案为30或1．【题目点拨】本题考查圆周角定理；含30度角的直角三角形．14、±1． 【解题分析】试题分析：∵2(2)4±=，∴4的平方根是±1．故答案为±1． 考点：平方根．15、x≥1且x≠1【解题分析】根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解. 【题目详解】解：根据题意得：10{30 xx-≥-≠，解得x≥1，且x≠1，即：自变量x取值范围是x≥1且x≠1．故答案为x≥1且x≠1．【题目点拨】本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．16、8【解题分析】在Rt△ABC中，cosB=35BCAB=，AB=10，可求得BC，再利用勾股定理即可求AC的长.【题目详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10∴cosB=35BCAB=，得BC=6由勾股定理得故答案为8.【题目点拨】此题主要考查锐角三角函数在直角三形中的应用及勾股定理．17、2【解题分析】设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可．【题目详解】解：设乘客所携带行李的重量x（kg）与运费y（元）之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得30030 90050k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得，30600kb=⎧⎨=-⎩，则y=30x-1．30x-1=0，解得：x=2．故答案为：2．【题目点拨】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．18、1．【解题分析】由三角形BCD为直角三角形，根据已知面积与BD的长求出CD的长，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值，利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOC面积即可．【题目详解】∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD=12BD•CD=2，即CD=2．∵C（2，0），即OC=2，∴OD=OC+CD=2+2=1，∴B（1，2），代入反比例解析式得：k=10，即y=10x，则S△AOC=1．故答案为1．【题目点拨】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、见解析【解题分析】根据∠ABD=∠DCA，∠ACB=∠DBC，求证∠ABC=∠DCB，然后利用AAS可证明△ABC≌△DCB，即可证明结论．证明：∵∠ABD=∠DCA ，∠DBC=∠ACB∴∠ABD+∠DBC=∠DCA+∠ACB即∠ABC=∠DCB在△ABC 和△DCB 中ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DCB （ASA ）∴AB=DC【题目点拨】本题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是求证△ABC ≌△DCB ．难度不大，属于基础题．20、（1）见解析；（2）cot 5CDF ∠=. 【解题分析】（1）矩形的性质得到AD BC AD BC ＝，∥，得到AD AE DAF AEB ∠∠＝，＝，根据AAS 定理证明ABE DFA ≌；（2）根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.【题目详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是矩形， AD BC AD BC ∴＝，∥，AD AE DAF AEB ∴∠∠＝，＝，在ABE △和DFA 中，DAF AEB AFD EBA AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE DFA ∴≌，AF BE ∴＝；（2）ABE DFA ≌，AD AE DAF AEB ∴∠∠＝，＝，设CE k ＝，21BE EC ：＝：， 2BE k ∴＝，3AD AE k ∴＝＝， 225AB AE BE k ∴=-=，9090ADF CDF ADF DAF ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，CDF DAE ∴∠∠＝，CDF AEB ∴∠∠＝，225cot cot 55BE k CDF AEB AB k∴∠=∠===.【题目点拨】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.21、（1）每次运输的农产品中A 产品有10件，每次运输的农产品中B 产品有30件，（2）产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．【解题分析】（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产品有y 件，根据表中的数量关系列出关于x 和y 的二元一次方程组，解之即可，（2）设增加m 件A 产品，则增加了（8-m ）件B 产品，设增加供货量后得运费为W 元，根据（1）的结果结合图表列出W 关于m 的一次函数，再根据“总件数中B 产品的件数不得超过A 产品件数的2倍”，列出关于m 的一元一次不等式，求出m 的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．【题目详解】解：（1）设每次运输的农产品中A 产品有x 件，每次运输的农产品中B 产品有y 件，根据题意得：4525120030201200300x y x y +⎧⎨+-⎩＝＝， 解得：1030x y ⎧⎨⎩＝＝，答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8-m）=（38-m）件，根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+1060，由题意得：38-m≤2（10+m），解得：m≥6，即6≤m≤8，∵一次函数W随m的增大而增大∴当m=6时，W最小=1120，答：产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．【题目点拨】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组，（2）根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值．22、详见解析.【解题分析】试题分析：由三角形的中位线得出OE∥AB，进一步利用平行线的性质和等腰三角形性质，找出△OCE和△ODE相等的线段和角，证得全等得出答案即可．试题解析：证明：∵点E为AC的中点，OC=OB，∴OE∥AB，∴∠EOC=∠B，∠EOD=∠ODB．又∵∠ODB=∠B，∴∠EOC=∠EOD．在△OCE和△ODE中，∵OC=OD，∠EOC=∠EOD，OE=OE，∴△OCE≌△ODE（SAS），∴∠EDO=∠ECO=90°，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．点睛：此题考查切线的判定．证明的关键是得到△OCE≌△ODE．23、m的值是12.1．【解题分析】根据去年黄桃和苹果的市场销售总金额与前年黄桃和苹果的市场销售总金额相同，可以列出相应的方程，从而可以求得m的值【题目详解】由题意可得，1000×6+2000×4=1000×（1﹣m%）×6+2000×（1+2m%）×4（1﹣m%）解得，m1=0（舍去），m2=12.1，即m的值是12.1．【题目点拨】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出m的值，注意解答中是m%，最终求得的是m的值．24、（1）见解析；（2）①1；②：x=0或x=42﹣4或4＜x＜42；【解题分析】（1）分别以M、N为圆心，以大于12MN为半径作弧，两弧相交与两点，过两弧交点的直线就是MN的垂直平分线；（2）①分为PM=PN，MP=MN，NP=NM三种情况进行判断即可；②如图1，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；如图4，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x 取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【题目详解】解：（1）如图所示：（2）①如图所示：故答案为1．②如图1，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC ⊥OB ，∵∠AOB=45°，∴△MCO 是等腰直角三角形，∴MC=OC=4， ∴42OM ，=当M 与D 重合时，即424x OM DM =-=-时，同理可知：点P 恰好有三个；如图4，取OM=4，以M 为圆心，以OM 为半径画圆．则⊙M 与OB 除了O 外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN 为顶角，MN 为腰，符合条件的点P 有一个，以N 圆心，以MN 为半径画圆，与直线OB 相离，说明此时以∠PNM 为顶角，以MN 为腰，符合条件的点P 不存在，还有一个是以NM 为底边的符合条件的点P ；点M 沿OA 运动，到M 1时，发现⊙M 1与直线OB 有一个交点；∴当442x <<M 在移动过程中，则会与OB 除了O 外有两个交点，满足点P 恰好有三个；综上所述，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是：x=0或424x =或442x <<．故答案为x=0或424x =或442x <<．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．25、（1）证明见解析；（2）3或256．（3）65x =或0＜1x ＜ 【解题分析】 （1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当PEF EAB ∠=∠ 时，则得到四边形ABEP 为矩形，从而求得x 的值；当PEF AEB ∠=∠时，再结合（1）中的结论，得到等腰APE ．再根据等腰三角形的三线合一得到F 是AE 的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．（3）此题首先应针对点P 的位置分为两种大情况：①D 与AE 相切，② D 与线段AE 只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段AE 只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段AE 外的情况即是x 的取值范围．【题目详解】(1)证明：∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC .90.ABE ∴∠=∴∠PAF =∠AEB .又∵PF ⊥AE ，90.PFA ABE ∴∠=∠=∴△PFA ∽△ABE .(2)情况1,当△EFP ∽△ABE ，且∠PEF =∠EAB 时，则有PE ∥AB∴四边形ABEP 为矩形，∴PA =EB =3，即x =3.情况2,当△PFE ∽△ABE ，且∠PEF =∠AEB 时，∵∠PAF =∠AEB ，∴∠PEF =∠PAF .∴PE =PA .∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，5AE AB ====，15.22EF AE ∴==,PE EF AE EB = 即5253PE =， 25.6PE ∴= ∴满足条件的x 的值为3或25.6(3) 65x =或0 1.x << 【题目点拨】两组角对应相等，两三角形相似.26、()1一次函数解析式为22y x =+；反比例函数解析式为4y x =；()()22,0D ． 【解题分析】(1)根据A （-1,0）代入y =kx +2，即可得到k 的值；（2）把C （1，n ）代入y =2x +2，可得C （1,4），代入反比例函数m y x =得到m 的值； （3）先根据D （a ,0），PD ∥y 轴，即可得出P （a ,2a +2）,Q(a ，4a ),再根据PQ=2QD ，即可得44222a a a +-=⨯，进而求得D 点的坐标.【题目详解】（1）把A （﹣1，0）代入y =kx +2得﹣k +2=0，解得k =2， ∴一次函数解析式为y =2x +2；把C （1，n ）代入y =2x +2得n =4，∴C （1，4），把C （1，4）代入y =m x得m =1×4=4， ∴反比例函数解析式为y =4x ； （2）∵PD ∥y 轴，而D （a ，0），∴P （a ，2a +2），Q （a ，4a ）， ∵PQ=2QD ， ∴2a +2﹣4a =2×4a， 整理得a 2+a ﹣6=0，解得a 1=2，a 2=﹣3（舍去），∴D （2，0）．【题目点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.27、方案二能获得更大的利润；理由见解析【解题分析】方案一：由利润=（实际售价-进价）×销售量，列出函数关系式，再用配方法求最大利润；方案二：由利润=（售价-进价）×500p-广告费用，列出函数关系式，再用配方法求最大利润． 【题目详解】解：设涨价x 元，利润为y 元，则方案一：涨价x 元时，该商品每一件利润为：50+x −40，销售量为：500−10x ，∴22(5040)(50010)10400500010(20)9000y x x x x x =+--=-++=--+，∵当x =20时，y 最大=9000，∴方案一的最大利润为9000元；方案二：该商品售价利润为=(50−40)×500p ，广告费用为：1000m 元，∴()2250405001000200090002000( 2.25)10125y p m m m m =-⨯-=-+=--+， ∴方案二的最大利润为10125元；∴选择方案二能获得更大的利润.【题目点拨】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式，配方求出最大值.。
江苏省南通市2020届高三一模数学试卷及答案
南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．【答案】115．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值为▲．【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1End While Print a（第4题）【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（第18题）O（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，极大值极小值．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷(含答案)
江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,3,5,7}，B ={x|−x 2+4x ≥0}，则A ∩B =( )A. [1,3]B. [5,7]C. {1,3}D. {5,7}2.设函数f(x)={log 2 (2−x),x <1,2x−1,x⩾1,则f(−2)+f(log 210)=( )A. 4B. 5C. 6D. 73.“ln x >ln y ”是“ x >y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用I D =I 0e −KD 表示其总衰减规律，其中K 是消光系数，D(单位：米)是海水深度，I D (单位：坎德拉)和I 0(单位：坎德拉)分别表示在深度D 处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K 的值约为( ) (参考数据：ln 2≈0.7，ln5≈1.6)A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.145.函数y =f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )A. y =f(1−12x)B. y =−f(1−12x)C. y =f(4−2x)D. y =−f(4−2x)6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为( )A. 12B. 24C. 28D. 367.已知x >0，y >0，x +y =1，则12x +xy +1的最小值为( )A. 54B. 43C. 1D.228.若函数f(x)=e 2x4−axe x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−12)B. (−12,0)C. (12,+∞)D. (0,12)二、多选题：本题共3小题，共15分。
2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）下列结果中，是负数的是（）A．﹣（﹣2）B．﹣|﹣1|C．3×2D．0×（﹣4）2．（3分）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（）A．25.3×104B．2.53×104C．2.53×105D．0.253×106 3．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个立体图形，那么它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各图中，可看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC6．（3分）如图，直线l1∥l2，含有30°的直角三角板的一个顶点C落在l2上，直角边交l1于点D，连接BD，使得BD⊥l2，若∠1＝72°，则∠2的度数是（）A．48°B．58°C．42°D．18°7．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（）A．B．C．D．8．（3分）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4≤a＜﹣3 9．（3分）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q 从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP，PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知实数a，b满足4a2+b＝n，b2+2a＝n，b≠2a．其中n为自然数，则n的最小值是（）A．4B．5C．6D．7二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.）11．（3分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）因式分解：2x﹣8x3＝．13．（4分）底面圆半径为10cm、高为的圆锥的侧面展开图的面积为cm2．14．（4分）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．15．（4分）如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为．17．（4分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为．18．（4分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝3．20．（8分）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB ∥DF，AB＝DF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数．21．（10分）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用A、B、C、D表示）和4个化学实验考查内容（用E、F、G、H表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．（1）小刚抽到物理实验A的概率是；（2）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．22．（10分）青年大学习是共青团中央为组织引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神持续引向深人组织的青年学习行动．某校举办了相关知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图两幅统计图．成绩用x表示，并且分为A、B、C、D、E五个等级，并且分别是：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．七、八年级成绩的平均数、中位数众数如下表：平均数中位数众数七年级76m75八年级777678其中，七年级成绩在C等级的数据为77、75、75、78、79、75、73、75；八年级成绩在E等级的有3人．根据以上信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是，表中m的值为；（2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由；（3）请对该校学生“青年大学习”的掌握情况作出合理的评价．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝60°，⊙O的切线CD与AB的延长线相交于点D．（1）求证：BD＝BC；（2）若⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．24．（13分）随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？（3）若销售A种羽毛球拍每副可获利润25元，B种羽毛球拍每副可获利润20元，在第（2）问条件下，如何进货获利最大？最大利润是多少元？25．（13分）如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．（1）补全图形，求∠AFE的大小；（2）用等式表示线段CF，BE之间的数量关系，并证明；（3）连接CE，G是CE的中点，AB＝2，若点P从点B运动到点C，直接写出DG的最大值．26．（14分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．（1）在函数①y＝﹣x+3，②y＝，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是；（填序号）（2）设函数y＝﹣（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标．2024年江苏省南通市部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．【分析】利用相反数的意义及绝对值的性质化简A、B，再利用乘法法则计算即可得到C、D．【解答】解：∵A、﹣（﹣2）＝2，∴A项不符合题意；∵B、﹣|﹣1|＝﹣1，∴B项符合题意；∵C、3×2＝6，∴C项不符合题意；∵D、0×（﹣4）＝0，∴D项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，掌握绝对值的性质是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：253000＝2.53×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．5．【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，∵OA＝OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠DCB∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．6．【分析】根据平行的性质可得∠DEB＝∠1＝72°，根据三角形的外角的定义可得∠ADC＝42°，再根据平角进行计算即可得到答案．【解答】解：如图，设AB与l1相交于点E，∵l1∥l2，∠1＝72°，∴∠DEB＝∠1＝72°，∵∠A+∠ADC＝∠DEB＝72°，∠A＝30°，∴∠ADE＝42°，∵∠ADC+∠BDE+∠2＝180°，BD⊥l2，∴∠2＝48°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的定义，平角的定义是解题的关键．7．【分析】根据原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7即可得出答案．【解答】解：根据题意得：，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到等量关系：原来的米+向桶中加的谷子＝10，原来的米+桶中的谷子舂成米＝7是解题的关键．8．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．【解答】解：，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞a，∴该不等式组的解集是a＜x≤2，∵关于x的不等式组有且只有3个整数解，∴这三个整数解是0，1，2，∴﹣1≤a＜0，故选：A．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．9．【分析】当0＜t≤1时，点P在OE上，当1＜t≤2时，点P在OF上，分别求出S与t 的函数关系，即可解答．【解答】解：如图，当0＜t≤1时，由题得，PE＝BQ＝t cm，∵正方向ABCD是边长为2cm，∴P到BC的距离为（2﹣t）cm，∴S＝t•（2﹣t）＝﹣t2+t，如图，当1＜t≤2时，由题得，PF＝CQ＝（2﹣t）cm，∴四边形CFPQ为矩形，∴PQ＝CF＝1cm，∴S＝t•1＝t，故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象应用，三角形面积的计算是解题关键．10．【分析】由原式知，（4a2+b）﹣（b2+2a）＝0，进一步变形得（2a﹣b）（2a+b﹣）＝0，因为b≠2a，所以2a+b﹣＝0，得b＝﹣2a，代入b2+2a＝n得，（﹣2a）+2a＝n，配方法求极值．【解答】解：由原式知，（4a2+b）﹣（b2+2a）＝0，∴（4a2﹣b2）﹣（2a﹣b）＝0∴（2a﹣b）（2a+b）﹣（2a﹣b）＝0∴（2a﹣b）（2a+b﹣）＝0∵b≠2a∴2a+b﹣＝0，∴b＝﹣2a，代入b2+2a＝n得，（﹣2a）2+2a＝n，整理，得n＝4a2﹣2a+7＝（2a﹣）2+5≥5，∴自然数n的最小值为6故选C．【点评】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.）11．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．12．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：2x﹣8x3＝2x（1﹣4x2）＝2x（1+2x）（1﹣2x），故答案为：2x（1+2x）（1﹣2x）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．13．【分析】先求出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，高为10cm，∴圆锥的母线为＝20（cm），∴圆锥的侧面展开图的面积为×（2π×10）×20＝200π（cm2）．故答案为：200π．【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是求出圆锥的母线和掌握圆锥的侧面展开图的面积公式．14．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【解答】解：由题意得，S＝﹣0.25t2+10t＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣0.25（t﹣20）2+100，∵﹣0.25＜0，∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故答案为：20．【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．15．【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD 的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC•sin45°＝300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝600（米）．故答案为：600．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．16．【分析】证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF＝＝＝8，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．17．【分析】先根据一元二次方程的解的定义及根与系数的关系得出a +b ＝5，a 2＝5a +2，再将其代入整理后的代数式计算即可．【解答】解：∵a ，b 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个实数根，∴a +b ＝5，a 2﹣5a ﹣2＝0，即：a 2＝5a +2，∴，故答案为：5．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，，x 1•x 2＝．也考查了一元二次方程的解．18．【分析】过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，由△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍以及E 是AB 的中点即可得出S △ABC ＝2S △ABD ，结合CD ＝k 即可得出点A 、B 的坐标，再根据AB ＝2AC 、AF ＝AC +BD 即可求出AB 、AF 的长度，根据勾股定理即可算出k 的值，此题得解．【解答】解：过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，如图所示．∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点，∴S △ABC ＝2S △BCE ，S △ABD ＝2S △ADE ，∴S △ABC ＝2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ，∴AC ＝2BD ，又∵OC •AC ＝OD •BD ，∴OD ＝2OC ．∵CD ＝k ，∴点A 的坐标为（，3），点B 的坐标为（﹣，﹣），∴AC ＝3，BD ＝，∴AB ＝2AC ＝6，AF ＝AC +BD ＝，∴CD ＝k ＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）先化简，然后算加减法即可；（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）＝3+﹣1﹣＝+；（2）＝•＝＝＝，当x＝3时，原式＝＝﹣5．【点评】本题考查实数的运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．【分析】（1）由平行线的性质得∠A＝∠FDE，根据等式的性质可得AC＝DE，再由SAS 证明△ABC≌△DFE即可；（2）先根据三角形的外角可得∠DOC＝74°，由平行线的性质可得∠B＝∠DOC，最后由全等三角形的性质可得结论．【解答】（1）证明：∵AB∥DF，∴∠A＝∠EDF，∵AD＝CE，∴AD+CD＝CE+CD，即AC＝DE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°，∵AB∥DF，∴∠B＝∠DOC＝74°，∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE＝∠B＝74°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．21．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）小刚抽到物理实验A的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1，所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．22．【分析】（1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值；（2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案；（3）根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可．【解答】解：（1）由条形统计图可得，调查人数为2+5+8+2+3＝20（人），扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是360＝90°，将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝75，因此中位数是75分，即m＝75，故答案为：90°，75；（2）八年级学生的成绩较好，理由：八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好；（3）青年学生对深入学习宣传贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提．23．【分析】（1）连接OC，可证明△BOC是等边三角形，则∠BOC＝∠BCO＝60°，由CD 与⊙O相切于点C，得∠OCD＝90°，即可求得∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°，所以∠BCD＝∠D，则BD＝BC；（2）作CE⊥OB于点E，则CE＝OC•sin60°＝3，可求得S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝6π﹣9．【解答】（1）证明：连接OC，则OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝∠BCO＝60°，∵CD与⊙O相切于点C，∴CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOC＝30°，∠BCD＝90°﹣∠BCO＝30°，∴∠BCD＝∠D，∴BD＝BC．（2）解：作CE⊥OB于点E，则∠OEC＝90°，∵OC＝OB＝6，∴CE＝OC•sin60°＝6×＝3，∴S阴影＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×6×3＝6π﹣9，∴阴影部分的面积是6π﹣9．【点评】此题重点考查切线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可；（3）设总利润为w元，表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．【解答】解：（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据题意，得，解得x＝70，经检验，x＝70是原分式方程的根，且符合题意，70﹣20＝50（元），答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据题意，得70m+50（100﹣m）≤5900，解得m≤45，m为正整数，答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副；（3）设总利润为w元，w＝25m+20（100﹣m）＝5m+2000，∵5＞0，∴w随着m的增大而增大，当m＝45时，w取得最大值，最大利润为5×45+2000＝2225（元），此时购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍100﹣45＝55（副），答：购进A种羽毛球拍45副，B种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．25．【分析】（1）由轴对称的性质可得∠DAP＝∠EAP＝70°，AD＝AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解；（2）先求出∠AFE＝45°，通过证明△CDF∽△BDE，可得BE＝CF；（3）先确定点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；设∠BAP＝x，∴∠DAP＝90°﹣x，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴∠DAP＝∠EAP＝90°﹣x，AD＝AE，∴∠BAE＝90°﹣2x，AB＝AE，∴∠E＝∠ABE＝45°+x，∴∠AFE＝180°﹣（90°﹣x）﹣（45°+x）＝45°；（2）BE＝CF；证明：如图2，连接DF，DE，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝CD，∠CDB＝45°，∵线段AE与AD关于直线AP对称，∴DF＝EF，∠DFA＝∠AFE＝45°，∴∠DFE＝90°，∴∠FDE＝45°＝∠CDB，DE＝DF，∴∠CDF＝∠BDE，，∴△CDF∽△BDE，∴，∴BE＝CF；（3）如图3，连接AC，BD交于点O，连接OG，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，又∵G是CE中点，∴OG＝AE＝AD＝1，∴点G在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴点P从点B运动到点C，点G的运动到BD上时DG的值最大，且DG的最大值为DO+OG，∵OD＝AD＝，∴DG的最大值为1．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．26．【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x 得B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案；（3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x ﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m＝﹣，从而得M的坐标为（0，﹣）．【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y＝，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；故答案为：③；（2）在y＝﹣中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣，解得x＝2或x＝﹣2，∵x＞0，∴A（2，﹣2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b，解得x＝﹣，∴B（﹣，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），∴AB2＝2（2+）2，BC2＝+（2+）2，AC2＝4，若AB＝BC，则2（2+）2＝+（2+）2，解得b＝﹣3；若AB＝AC，则2（2+）2＝4，解得b＝﹣3﹣6或b＝3﹣6；若BC＝AC，则+（2+）2＝4，解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）；∴b的值为﹣3或﹣3﹣6或3﹣6或0；（3）设M（0，m），m＜﹣1，∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得：﹣x＝﹣x2+2x+2m，∴x2﹣3x﹣2m＝0，∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，∴Δ＝0，即9+8m＝0，∴m＝﹣，∴M的坐标为（0，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，等腰三角形，一元二次方程根的判别式，旋转变换等知识，解题的关键是读懂新定义，利用二次函数与一元二次方程的关系解决问题。
江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数学试卷(附答案)
江苏省南通市2024届高三年级第一次调研测试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A. {}2,1--B. {}0,1C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32 已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ） A. 25B. 16C. 9D. 53. 若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 95. 从正方体八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ）.的是A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 8990918892则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC 和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===．的（1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 通项公式；（2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，离心率为2．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值．21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 22. 已知函数()ln a f x x x=-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x的零点，1m n a ==+．①证明：0m x n ＜＜； ②探究0x 与2m n+的大小关系．的答案解析一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，则A B = （ ）A.{}2,1-- B.{}0,1 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,3【答案】C 【答案解析】【详细分析】根据题意，由集合的交集运算即可得到结果. 【答案详解】因为{}{}3,|230,1,2,A x x B =-<<=，所以A B = {}0,1,2.故选：C2.已知8,6i z z z z +=-=，则z z ⋅=（ ）A.25 B.16C.9D.5【答案】A 【答案解析】【详细分析】根据给定条件，求出,z z ，再利用复数乘法运算计算即得.答案详解】由8,6i z z z z +=-=，得43i,43i z z =+=-，所以()()43i 43i 25z z ⋅=+-=.故选：A3.若向量(,4),(2,)a b λμ==，则“8λμ=”是“a b∥”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【答案解析】【详细分析】由向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【答案详解】由题意8a b λμ⇔= ∥，则“8λμ=”是“a b ∥”的充要条件. 故选：C ．【4. 设{}n a 为等比数列，24623a a a =+，则4725a a a a -=-（ ）A.19B.13C. 3D. 9【答案】B 【答案解析】【详细分析】根据等比数列通项和已知条件求出公比，然后代入即可. 【答案详解】设等比数列公比为q ，24623a a a =+，即2422223q q a a a =+，所以24123q q =+，所以213q =，由25247325113a a q q q a a q --===--，故选：B ．5. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能．．．（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【答案解析】【详细分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个详细分析判断即可. 【答案详解】如图，11D BAC -每个面都是等边三角形，A 不选；11A DD C -每个面都是直角三角形，B 不选；1D ABC -三个面直角三角形，一个面等边三角形，C 不选，选D ．故选：D.的6. 已知直线1y x =-与抛物线()2:20C x py p =>相切于M 点，则M 到C 的焦点距离为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【答案解析】【详细分析】将直线与抛物线联立方程组，Δ0=求出p ，得点M 坐标得解.【答案详解】设抛物线C 的焦点为F ，联立212y x x py=-⎧⎨=⎩，消y 可得2220x px p -+=，因为直线与抛物线相切，则2480p p ∆=-=，0p > ，2p ∴=，()2,1M ∴，1122M pMF y ∴=+=+=. 故选：B.7. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为()0,∞+，若()2()xf x f x '<，则（ ） A. ()()()224e 216e e 4f f f <<B. ()()()22e 44e 216ef f f <<C. ()()()22e 416e 4e 2f f f <<D. ()()()2216e e 44e 2f f f <<【答案】C 【答案解析】【详细分析】方法一：设()()2f xg x x =利用导数得到函数单调性，从而求解； 方法二：设()1,f x =特例法得解.答案详解】方法一：∵()()2xf x f x '<，∴()()()'2320f x xf x f x x x ⎛⎫-⎝⎭'=< ⎪, 设()()2f xg x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递减， 所以()()()2e 4g g g >>，()()()22e 44e 16f f f ∴>>， 即()()()224e 216e e 4f f f >>，故C 正确．【方法二：设()1,f x =又22e 164e <<，C 正确． 故选：C8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm 和20cm 的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【答案解析】【详细分析】由已知作图如图所示，设AEF α∠=，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果.【答案详解】如图所示，10,20EF FG ==， 令AEF α∠=，则10sin ,2AF AFE παα=∠=-，则BFGa ?，20cos ,20sin ,2BF BG BGF πααα==∠=-，则,10cos CGH CG αα∠==∴周长()()22210sin 20cos 220sin 10cos AB BC αααα=+=+++π60sin 60cos 4ααα⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭故选：D ．【点评】关键点评：本题解决的关键是利用三角函数的定义表示出所求周长，再利用三角恒等变换即可得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲8791908993乙 89 90 91 88 92则（ ）A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 【答案】BC 【答案解析】【详细分析】由中位数、极差的概念即可判断AC ，由平均数、方程计算公式即可验算BD. 【答案详解】甲的极差93876-=，乙的极差92884-=，A 错． 甲的平均数8791908993905++++=，乙的平均数8990918892905++++=，B 对．甲的中位数90，乙的中位数90，C 对．2==，D 错.故选：BC ．10. 设函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数，(1)(1)f x f x +=-，(3)1f =，则（ ） A. ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-∑【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()f x 是周期为4的函数，然后结合条件即可求解. 【答案详解】由()f x 为奇函数，即函数()f x 的图象关于()0,0对称， 又()()11f x f x +=-，则()f x 的图象关于1x =对称， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-， 则(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x ∴为周期函数且周期为4T =，B 对．所以()()311f f =-=，A 对． 而(4)()()f x f x f x -=-=-，C 错．由上可知()()200f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()()123410100f f f f f +++=--+++=，则181()(1)(2)1k f k f f ==+=-∑，D 对．故选：ABD ．11. 已知点M 在圆22230x y x ++-=上，点()0,1P ，()1,2Q ，则（ ） A. 存在点M ，使得1MP = B. π4MQP ∠≤C. 存在点M ，使得MP MQ =D. MQ =【答案】ABD 【答案解析】【详细分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A 、B ，设(),M x y ，若MQ =，推出恒成立，即可判断C 、D.【答案详解】圆22230x y x ++-=即()2214x y ++=，圆心()1,0C -，半径2r =，又()0,1P ，所以CP =，因为点M 在圆22230x y x ++-=上，所以2MP ⎡∈+⎣，所以存在点M ，使得1MP =，故A 对．因为()2211284++=>，所以点Q 在圆外，又2CP r =<=，点P 在圆内，所以当QM 与圆C 相切时，MQP ∠取最大值， 此时π4MQP ∠=，所以π4MQP ∠≤，故B 对．对于D ，设(),M x y ，若MQ =222MQ MP ⇔=2222(1)(2)2(1)x y x y ⎡⎤⇔-+-=+-⎣⎦22230x y x ⇔++-=，又点M 在圆22230x y x ++-=上，MQ ∴=一定成立，故D 对，C 错.故选：ABD ．12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等．现有一个半径为R 的球，被一个距离球心为d （0d >）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为()1212,V V V V <，则（ ） A. 21π()(2)3V R d R d =-+ B. 2π(2)(2)(3)9V R d R d R d =+-+ C. 当2Rd =时，12527V V = D. 当3Rd ≤时，12720V V ≥ 【答案】ACD 【答案解析】【详细分析】对于A ，2301ππ3V R d d =-，3102π3V R V =-化简即可验算；对于B ，3202π3V R V =-化简即可验算；对于C ，21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将2R d =代入即可判断；对于D ，求()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-的最小值即可. 【答案详解】2301ππ3V R d d =-（同底等高），()()3233232121πππππ23()23333V R R d d R R d d R d R d =-+=-+=-+，A 对．()()()323221ππππ223339V R R d d R d R d R d =+-≠+-+，B 错． ()221323232π121()2321πππ23133R R R d R d V d d V R R R R d d d d ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，2Rd=，121551612127V V ⨯∴==+-，C 对． 对于D ，,33R R d d ≤∴≥时，()()()232(1)213231x x f x x x x -+=≥+-， ()()()()223223232121231,0231231x x x x f x f x x x x x --+==>+-+-'， ()f x 在[)3,+∞ ，()()7320f x f ≥=，D 对． 故选：ACD.【点评】关键点评：判断D 选项的关键是首先得到21322121231R R V d d V R R d d ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后通过换元求导得函数最小值即可验证，从而顺利得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2log (2),1,()21,1,xx x f x x +≥-⎧=⎨-<-⎩，则21log 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】23-##23- 【答案解析】【详细分析】根据定义域代入计算可得答案.【答案详解】21log 32112log 211333f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：23-. 14. 已知()()4234012534512x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则2a =________，12345a a a a a ++++= ________．【答案】 ①. 8 ②. 16 【答案解析】【详细分析】由二项展开式结合分配律可得第一空答案，由赋值法可得第二空答案. 【答案详解】4432(2)8243216x x x x x +=++++，2x 的系数为232248a =-=， 令0x =，0116a -⨯=，即016a =-；1x =，0123450a a a a a a =+++++，1234516a a a a a ∴++++=.故答案为：8；16.15. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()()1212f x f x x x ==-的最小值为π2，则π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案解析】【详细分析】由题意得π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ，结合题意可得ω，然后代入求值即可.【答案详解】π2sin 4i x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭()πsin ,1,242i x i ω⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭， 所以，π4π2π43i x k ω+=+或125ππ2π,,33k k x x ω+∈-≥Z ， ()ππ22π,,2sin 23334f x x ωω⎛⎫∴⨯=∴==+ ⎪⎝⎭，所以ππππ2sin 2sin 81243f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，设P ，Q 是E 上位于x 轴上方的两点，且直线12//PF QF ．若11224||||,2||5||,PF QF PF QF == 则E 的离心率为________．【答案】3【答案解析】【详细分析】根据椭圆定义用a 表示1122||||||||PF QF PF QF 、、、，再利用余弦定理可解. 【答案详解】设1||PF m =，则1||4QF m =，又222||5||,PF QF =由椭圆定义，()()22524,a m a m -=-得3am =， 所以1122452,,,,3333a a a a PF QF PF QF ==== 又因为12//PF QF ，所以1221cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，2222221254164499990,1524223333a a c a a c a a a a +-+-∴+=⋅⋅⋅⋅所以3c e a ==．故答案为：3. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知AB 是圆锥PO 的底面直径，C是底面圆周上的一点，2,PC AB AC ===，平面PAC和平面PBC 将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：OC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）证明见答案解析（2）7【答案解析】【详细分析】（1）由等腰三角形三线合一得OC AB ⊥，由线面垂直的性质得PO OC ⊥，结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，然后利用向量夹角公式即得. 【小问1答案详解】C 为底面圆周上一点，CA CB ∴⊥，又2,AC AB BC ==∴= ，又O 为AB 中点，OC AB ∴⊥， 又PO ⊥ 底面ABC ，OC ⊂底面ABC ，PO OC ∴⊥，又,AB PO O ⋂=,AB PO ⊂底面PAB ， OC ∴⊥平面PAB ．【小问2答案详解】PO ⊥ 底面ABC ，,OC OB ⊂底面ABC ，所以,PO OC PO OB ⊥⊥， 又因为OC AB ⊥，所以以O 为原点，,,OC OB OP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为2,PC AB AC ===，(()(),0,1,0,1,0,0PO P B C ==∴ ，(()0,1,,1,1,0PB BC ∴==-，设平面PBC 的一个法向量()1,,n x y z =，由11ꞏ0ꞏ0n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，00y x y ⎧=⎪∴⎨-=⎪⎩，取1z =，所以)1n = ，而平面APB 的一个法向量()21,0,0n =，设二面角A PB C --平面角为θ，显然θ为锐角，1212cos 7n n n n θ⋅∴=== ．18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知31tan ,tan ,654B C b ===． （1）求A 和c ；（2）若点D 在AC 边上，且222BD AD CD =+，求AD ． 【答案】（1）3π4（2）2AD = 【答案解析】详细分析】（1）由两角和正切得tan 1A =-，进一步得3π,sin 4A C B ===，结合正弦定理即可求解.（2）由222BD AD CD =+结合余弦定理即可求解.【【小问1答案详解】()17tan tan 20tan tan 131tan tan 120B CA B C B C +=-+=-=-=---， 且(),,0,πA B C ∈，3π,sin 4A C B ∴=== 在ABC中，6sin sin 3c b c C B =⇒=⨯=． 【小问2答案详解】 设,6AD x CD x =∴=-，222282(6)2BD x x x ⎛⎫∴=+-⋅⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 2162802x x x ⇒-+=⇒=或，1406x << ，2x ∴=，即2AD =．19. 记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1，n a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设集合13,N ,N n n k n a a A k a k n a **++⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，求集合A ． 【答案】（1）21n a n =- （2）{}8,11A =． 【答案解析】【详细分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得； （2）由（1）得，122721k a n n =++-，根据k a 为正奇数，得到1221n -为正整数即可解出. 【小问1答案详解】n a成等差数列，()2141n n n a S a ∴+==+①， ()21141n n S a ++=+②，222211111422,220n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++-⇒=-+-∴---=②①，()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=，因为0n a >，所以12n n a a +-=，且()211141,1a a a =+∴=， 所以{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，()12121n a n n ∴=+-=-．【小问2答案详解】 由（1）得，()()()2132125(21)821121227212121n n k n n n n n a a a n a n n n ++++-+-+====++---k a 为正奇数，又21n -为正奇数，∴1221n -为正整数． 所以211,3n -=，2n ∴=或1n =，当1n =时，212111;2k k n -===，时，21158k k -==，，{}8,11A ∴=．20. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右顶点分别为()()2,0,2,0A B -，．过点()4,0的直线l 与C 的右支交于M ，N 两点，设直线,,AM BM BN 的斜率分别为123,,k k k ． （1）若22k =，求3k ； （2）证明：()213k k k +为定值． 【答案】（1）32k =-（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）依题意，求得双曲线，设出直线MN 的方程，联立方程组，由韦达定理可解；（2）利用两点斜率公式，结合双曲线方程求得12k k ，再结合（1）中结论即可得证. 【小问1答案详解】由题意知2222212a a cb a a bc =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，双曲线：2214x y -=．易知直线MN 的斜率不为零，所以设直线MN 的方程为4x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，22444x my x y =+⎧∴⎨-=⎩，得()2248120m y my -++=， 则()()()222Δ8441216120m m m =--⨯=+>，则121222812,44m y y y y m m +=-=--， ()()()12121223212121212222224y y y y y y k k x x my my m y y m y y ∴=⋅==--+++++ 2222123412842444m m m m m m -==--+⋅+--，23,22k k =∴=-． 【小问2答案详解】因为2121111222111111422444x y y y k k x x x x -=⋅===+---，()2131223131442k k k k k k k ∴+=+=-=-为定值．.21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）现有编号为1~n 的n 位顾客按编号顺序依次参加活动，记X 是这n 位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记0X =．证明：()72E X <． 【答案】（1）50343（2）证明见答案解析 【答案解析】【详细分析】（1）先求一位顾客中奖的概率，然后求仅有最后一位顾客中奖的概率；（2）欲求随机变量X 的分布列，需先求随机变量X 可取的数值，然后求得其相应的概率，根据数学期望的公式求得随机变量X 的期望. 【小问1答案详解】一位顾客中奖的概率为21335338C C C 2C 7⋅+=， ∴仅有最后一位顾客中奖的概率55250777343P =⨯⨯=． 【小问2答案详解】X 的所有可能取值为0,1,2,,n ，()()()()15252520,1,2,,777777n n P X P X P X P X n -⎛⎫⎛⎫======⨯==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ X 的分布列如下：X12Ln()2125551237777n E X n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 令()221555512317777n n n S n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①， ()()221555555221777777n n n n S n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②， ①-②2125555177777n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51175757217n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭- ()492497,4742n S E X ∴<∴<⨯=． 22. 已知函数()ln a f x x x =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若a ＞0，记0x 为()f x 的零点，1m n a ==+． ①证明：0m x n ＜＜；②探究0x 与2m n +的大小关系． 【答案】（1）答案见答案解析（2）①证明见答案解析；②02m n x +<． 【答案解析】【详细分析】（1）求导讨论0a ≥和<0a 两种情况，根据导数的正负得到单调区间. （2）①证明：由()f x 在()0,∞+上单调递增，0m x n <<⇔()()0f m f n <<，()f m f ==，()()ln 11a f n a a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性进而求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，证得结果；②()1ln 22m n a f h a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭利用导数证明函数()h a 在()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=，即证得()002m n f f x +⎛⎫>= ⎪⎝⎭，由()f x 的单调性即可证得结果.【小问1答案详解】()221a x a f x x x x='+=+． 当0a ≥时，()()0f x f x '>，单调递增；当0a <时，令()0f x x a =⇒=-' ()f x 在()0,a -上单调递减；(),a ∞-+上单调递增．【小问2答案详解】①证明：()f x 在()0,∞+上单调递增， 要证：0m x n <<⇔证()()0f m f n << 而()f m f ==令()g a =， ()1021g a a ==='<+，()g a ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g a g <=． ()0,f m ∴<()()()1ln 1ln 1111a f n a a a a =+-=++-++， 令()()1ln 111p a a a =++-+，则()()()22110111a p a a a a =-=>+++'()p a ∴在()0,∞+上单调递增，()()00p a p >=． ()0f n ∴>()()00f m f n m x n ∴<<⇒<<．②()1ln 22m n a f h a +++⎛⎫== ⎪⎝⎭()h a ='====0=> ()h a ∴()0,∞+上单调递增，()()00h a h >=()0022m n m n f f x x ++⎛⎫∴>⇒< ⎪⎝⎭． 【点评】思路点评：本题利用函数的单调性将问题0m x n <<转化为()()0fm f n<<，()f m f ==，()()ln 11a f na a =+-+分别构造()g a =-，()()1ln 111p a a a =++-+，利用导数研究两个函数的单调性通过求得()()00g a g <=，()()00p a p >=，得出()()0f m f n <<.在。
江苏省南通市2023届高三一模(苏北七市)数学试题及答案
2023届高三第一次调研测试数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一､选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A =x 1≤x ≤3 ，B ={x 2<x <4 }，则A ∩B =()A.2,3B.1,4C.-∞,4D.1,+∞2.已知向量a ，b 满足a =1，b =2，a ,b =2π3，则a ⋅a +b =()A.-2B.-1C.0D.23.在复平面内，复数z 1，z 2对应的点关于直线x -y =0对称，若z 1=1-i ，则z 1-z 2 =()A.2B.2C.22D.44.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面S 1，近地点(长轴端点中离地面最近的点)距地面S 2，地球的半径为R ，则该椭圆的短轴长为()A.S 1S 2B.2S 1S 2C.S 1+R S 2+RD.2S 1+R S 2+R5.已知sin α-π6 +cos α=35，则cos 2α+π3=()A.-725B.725C.-2425D.24256.已知随机变量X 服从正态分布N μ,σ2 ，有下列四个命题：甲：P (X >m +1)>P (X <m -2)；乙：P (X >m )=0.5；丙：P X ≤m =0.5；丁：P (m -1<X <m )<P (m +1<X <m +2)如果只有一个假命题，则该命题为()A.甲B.乙C.丙D.丁7.已知函数f x 的定义域为R ，且f 2x +1 为偶函数，f x =f x +1 -f x +2 ，若f 1 =2，则f 18 =()A.1B.2C.-1D.-28.若过点P t ,0 可以作曲线y =1-x e x 的两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1y 2的取值范围是南通市Oxy π35π6-11()A.0,4e -3B.-∞,0 ∪0,4e -3C.-∞,4e -2D.-∞,0 ∪0,4e -2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点O ，则()A.AD 1∥平面BOC 1B.BD ⊥平面COC 1C.C 1O 与平面ABCD 所成的角为45∘D.三棱锥C -BOC 1的体积为2310.函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ <π2的部分图象如图所示，则()A.ω=2B.φ=π6C.f x 的图象关于点π12,0 对称D.f x 在区间π,5π4上单调递增11.一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝．从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B ，则()A.P A =13B.A ，B 为互斥事件C.P B ∣A =12D.A ，B 相互独立12.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，以该抛物线上三点A ，B ，C 为切点的切线分别是l 1，l 2，l 3，直线l 1，l 2相交于点D ，l 3与l 1，l 2分别相交于点P ，Q ．记A ，B ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则()A.DA ⋅DB =0B.x 1+x 2=2x 3C.AF ⋅BF =|DF |2D.AP ⋅CQ =PC ⋅PD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f x =1+log 22-x ,x <1,2x -1,x ≥1,则f f -2 =．14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列a n 的通项公式a n =．①a n a n +1<0；②a n <a n +115.已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ，B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为．16.已知正四棱锥S -ABCD 的所有棱长都为1，点E 在侧棱SC 上，过点E 且垂直于SC 的平面截该棱锥，得到截面多边形Γ，则Γ的边数至多为，Γ的面积的最大值为．(第一空2分，第二空3分)四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.(10分)在①S 1，S 2，S 4成等比数列，②a 4=2a 2+2，③S 8=S 4+S 7-2这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答已知数列a n 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，且满足，．(1)求a n 的通项公式；(2)求1a 1a 2+1a 2a 3+1a 3a 4+⋯+1a n a n +1注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（ ）A ．2132AB AC +u u ur u u u rB ．1124AB AC +u u ur u u u rC ．1123AB AC +u u ur u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线， 所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.6．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.8．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 11．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年江苏省南通市如东县、通州区中考数学一模试卷(含解析)
2023年江苏省南通市如东县、通州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算(−6)÷3=( )A. 2B. −2C. 12D. −122. 下列计算的结果为a8的是( )A. (a4)4B. a2⋅a4C. a4⋅a4D. a4÷a43. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”.若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为( )A. 0.84×10−5B. 8.4×10−5C. 8.4×10−6D. 84×10−74.某几何体由若干个小正方体组成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是( )A. B. C. D.5.一副直角三角板(∠ACB=30°,∠BED=45°)按如图所示的位置摆放，如果AC//DE，那么∠EBC的度数是( )A. 15° B. 20°C. 30°D. 35°6.如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连接OA，OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD=62°，则∠AOC的度数为( )A. 100°B. 118°C. 124°D. 130°7. 某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8. 如果一个函数同时满足条件：①图象经过点(1,1)；②图象经过第四象限；③当x>1时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是( )A. y=2x−1B. y=1xC. y=−x2+4x−2D. y=−2x2+3x9. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=5，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为E.设AE=x，S△A D E=y，则y关于x的函数图象大致是( )A. B.C. D.10.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点D′处.过AC的中点O作OE//BC交AD′于点E.若AB=8cm，BC=6cm，则OE的长为( )A. 103B. 4C. 256D. 5二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）11. 因式分解：m2−mn=______．12. 计算27−31的结果是．313. 二元一次方程组{x+3y=−1,2x+y=3的解是______ ．14.如图，D，E两点分别在AB，AC上，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，只需添加一个条件，则这个条件可以是______ ．15. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以O为圆心的一个圆，可简化为图2.若⊙O被水面所截的弦长AB=8米，⊙O的半径为5米，则筒车最低点距水面______ 米.16.如图，学校有一旗杆AB.为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°.若CD=EF=1.5m，则旗杆AB的高度为______ 米.(结果保留小数点后一位，2≈1.41，3≈1.73.)17. 如图，点A是函数y=2(x>0)图象上一点，连接AO并延x(x<0)的图象于点B，作AC⊥y轴，垂足为C，长，交函数y=kx连接BC，则△OBC的面积为______ (用含k的式子表示)．18.如图，等边三角形ABC 中，P ，Q 两点分别在边BC ，AC 上，BP =C Q ，D 是PQ 的中点.若BC =4，则CD 的最小值是______ ．三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。
2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题+答案解析(附后)
2022-2023学年江苏省南通市高三数学第一次全市联考模拟考试数学试题1. 已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若，则( )A. B.C. D.2. 设i是虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数的图象大致是( )A. B.C. D.4. 在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数图象的对称中心为6. 记“方程表示椭圆”，“函数无极值”，则p是q的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知、是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C的右顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. 3 D. 48. 已知O为坐标原点，点P为函数图象上一动点，当点P的横坐标分别为，，时，对应的点分别为，则下列选项正确的是( )A. B.C. D.9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )A. 当时，B. 当时，C. 满足的点表示的轨迹为直线D. 满足的点表示的轨迹为椭圆10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是( )A. 若则是等差数列B. 若则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且则，11. 已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于两点，则( )A. C的准线为B. 直线AB与C相切C. D.12. 已知函数，的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则( )A. B.C. D.13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过抛物线的焦点，且与直线相切于坐标原点O，则圆C的标准方程为__________.14. 已知函数的定义域为R，，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为__________.15. 已知圆，过x轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为，且满足，则点P的横坐标a的取值范围为__________16. 已知，则的最小值为__________.17. 设为等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和18. 已知函数求函数的最小正周期及对称轴方程；将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.19. 椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为求椭圆C的方程；过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.20. 如图，在四边形ABCD中，，求角A；若，求四边形ABCD的面积.21. 已知双曲线的离心率是，实轴长是求双曲线C的方程；过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.22. 已知函数当时，①求的极值；②若对任意的都有，，求m的最大值；若函数有且只有两个不同的零点，，求证答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算及集合的包含关系判断与应用，属于基础题．由题意知M，N为R的两个不相等的非空真子集，且，取，，从而依次判断即可．【解答】解：，N为R的两个不相等的非空真子集，，则，取，，对于A，，对于B，，故，对于D，，故，由排除法，可得C正确.故选2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，共轭复数，复数的四则运算，属于基础题.由题意利用复数的四则运算得，进而可求出在复平面内对应的点所在象限.【解答】解：，，即，故在复平面内对应的点为，在第四象限 .故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题.利用奇偶性和函数值的分布即可解答.【解答】解：函数的定义域为R，，则是奇函数，图象关于原点对称，故排除A，B，当时，，则，排除D，故选4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【解答】解：如图所示，根据平面向量的运算法则，可得故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，求正弦型函数的对称轴和对称中心、判断正弦型函数的单调区间以及正弦型函数的图象变换，属于中档题；利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项.【解答】解：由图象可知，，可得，因为，则，由图可知函数的最小正周期为，，所以对于A选项，因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故A错；对于B选项，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故B错；对于C选项，当时，则，由于在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C对；对于D选项，令，则，则函数的对称中心为，故D错.故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，涉及椭圆的定义及利用导数研究函数的极值，属于中档题.根据椭圆的定义，以及利用导数研究函数的极值问题，结合充分必要条件的判断进行判定即可.【解答】解：若p为真，则，解得且，所以；若q为真，“函数无极值”，则不存在相异的两个实根，即²，解得，所以\(p⇒q,q⇏p\)，所以p是q的充分不必要条件.故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质与直线方程的应用问题，是中档题．求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图所示，由题意知：，，，直线AP的方程为：，由，，则，代入直线AP：，整理得：，所求的双曲线离心率为故选8.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于较难题．设，，构造函数通过求导来判别其增减性，进而求得答案．【解答】解：设，则，令，，则，设，，则，所以在上为增函数，故，所以在上为增函数，因为，所以，即，故选9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查复数的模及其几何意义，复数的四则运算及其几何意义，属于中档题.根据复数的代数运算及模的运算可判定选项AB；根据复数的模的几何意义可判定选项【解答】解：设，，则点，，对于A，，，因为，可求得，所以，即，故A正确；对于B，当，可得，解得，由于a，b，c，d不会都为零，所以，故B错误；对于C，根据复数的几何意义可知，表示的几何图形是圆，故C错误；对于D，在复平面中，点到间距离为，设，，点的轨迹表示以、为焦点的椭圆，故D正确.故选10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查等比、等差数列的判定，涉及等比、等差数列的前n项和，属于中档题．对于选项A，由，求，再验证是否满足，即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当时求得，可判断其正误．【解答】解：对于A选项，若，当时，，不满足，故A错误；对于B选项，若，则，由于满足，所以是等比数列，故B正确；对于C选项，若是等差数列，则，故C正确；对于D选项，当时，，故当时不等式不成立，故不成立，所以D错误.故答案为11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系及其应用，以及抛物线的性质，属较难题．根据抛物线的性质、直线与抛物线的关系及弦长公式逐项判断，即可得出结论.【解答】解：点在抛物线上，即，所以准线为，所以A错误直线代入得：得，所以与C相切，故B正确；由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线，，，则，或，此时，，故C 正确，故D 正确．故选12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查抽象函数的奇偶性应用，奇偶函数的导数，周期性应用，属于较难题.通过变形，求得的周期，是本题解题的关键，在对题目中的等式进行相应的赋值相加可求得结果.【解答】解：由于是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，在，中令得，则，A正确；没法求得的值，B错；令得，，，则，无法求得，同理令得，，，因此，相加得，只有在时，有，但不一定为0，因此C错；在中令得，，在中令得，，两式相加得，即，D正确.故选13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查圆的标准方程的求解，以及抛物线的焦点，圆的切线问题，是中档题．求出抛物线的焦点，结合直线与圆相切的性质求出圆心和半径即可．【解答】解：抛物线的焦点为，圆与直线相切于坐标原点O，圆心在直线上，圆过原点O以及点，则圆心在直线上，即圆心横坐标为1，纵坐标为，即圆心为，半径，则圆的标准方程为，故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数解不等式，考查函数单调性的应用，属于中档题．令，求导可得单调递增，且，故不等式的解集为的解集．【解答】解：令，则，故在R上单调递增，又，的解集为，，故不等式等价于，即，，又，故答案为15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系及其求参，属于中档题.由题意可得圆的半径为2，动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，P到圆心的距离小于或等于6，即，由此求得a的范围.【解答】解：由题意可知：圆的半径为2，故弦长AB的范围是又，所以动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4，由于圆与x轴相离，故P到圆上的点的距离恒大于进而分析得：P到圆心的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有：，解得，故所求的a的范围是：，故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于较难题．利用基本不等式结合配凑求出结果．【解答】解：由于，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为d，由得：整理得，因为，，成等比数列，所以故舍去，或，又由，解得，，满足条件.故由得，所以，所以，所以……，则……，两式相减得：……，所以【解析】本题考查等比数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式，错位相减法求和，属于中档题.根据等差数列的通项公式与求和公式，结合等比数列的性质，列式求得，，从而求得；结合，得，再运用错位相减法求解即可.18.【答案】解：，，所以函数的最小正周期为，令，解得：，所以对称轴方程为：；将函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为：，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到：，令：，所以：，又，所以在上的单调递减区间为：，【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦型函数单调性、周期性、对称轴，三角函数图象的平移和伸缩变换，属于中档题．利用三角函数的恒等变换将解析式变形成余弦型函数，即可进一步求出函数的周期和对称轴方程；利用三角函数图象的平移和伸缩变换规律得到的解析式，即可求解在上的单调递减区间．19.【答案】解：由题意可知，，由可得，因为的面积为2，所以，又，，解得，则，故椭圆方程为当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立，得，所以，，因为的面积为2，，所以M纵坐标为，所以代入椭圆方程可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线l过点M，不符合题意，所以直线l的方程为【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，以及椭圆的定义，属于中档题．由椭圆的定义得到，再结合直角三角形勾股定理，即可求解；当直线l的斜率为0时，此时，不合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得m，进而可得答案．20.【答案】解：因为，，所以，从而，则因为，所以，所以，所以，解得在中，，，，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理得，所以，又因为，所以，即，又因为，所以，从而因此四边形ABCD的面积故四边形ABCD的面积【解析】本题考查了诱导公式、二倍角公式、三角形的面积，考查了正、余弦定理的综合应用，属于中档题.根据诱导公式结合二倍角公式可求出，即可求出答案；根据余弦定理求出BD，再根据正弦定理可得，进而得，最后结合三角形面积公式即可得出答案.21.【答案】解：依题意得，，解得，所以双曲线C的方程是；证明：由题意知，直线l的斜率一定存在，设，，，直线l的方程为，将直线方程代入双曲线方程，化简整理得，，则，，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，则应满足，即，解得，由，得，故，所以，又，所以点D的纵坐标为定值【解析】本题考查双曲线方程，直线与双曲线的综合应用中的定值问题，属于较难题.由题意得求得即可得双曲线方程;设直线l的方程为联立双曲线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出k的范围，根据题目条件带入坐标求出，即可得22.【答案】解：①当时，，定义域为，，，令，解得当x变化时，，的变化情况如下表：x-0+递减极小值递增所以的极小值为，没有极大值.②对任意的都有，即恒成立，由，故，所以由①知在上单调递增，因此，可得，即当时，的最小值为，所以m的最大值为证明：要证明，只需证明即可.依题意，，是方程的两个不等实根，因为，所以①､②相加得：，①､②相减得：，消去a，整理得，不妨设，令，则故只需证明当时，，即证明设，则于是在上单调递增，从而，因此所以【解析】本题主要考查函数的极值，函数的单调性以及最值问题，考查了导数的应用以及不等式证明，属于较难题.①将代入，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；②问题转化为恒成立，且，得，即，求出m的最大值最大值即可；问题转化为证明即可，求出，不妨设，令，则，证明，设，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.。
南通一模数学试题及答案
南通一模数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个选项是正确的。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 72. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 计算下列极限：lim(x→0) (sin(x)/x)。
A. 0B. 1C. π/2D. 24. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}5. 若方程2x - 3y = 6的解为(x, y)，求y/x的值。
A. -2/3B. 2/3C. 3/2D. -3/26. 计算下列定积分：∫(0 to 1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 17. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a·b。
A. -1B. 1C. 5D. -58. 计算下列二项式展开式中x^2的系数：(x + 2)^3。
A. 4B. 6C. 8D. 129. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)。
A. 3x^2 - 12x + 11B. 3x^2 - 12x + 6C. 3x^2 - 6x + 11D. 3x^2 - 6x + 610. 计算下列复数的模：z = 3 + 4i。
A. 5B. √(3^2 + 4^2)C. √(9 + 16)D. 7二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
12. 计算下列三角函数值：sin(π/6)。
13. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项a5。
江苏省南通、泰州、扬州、盐城、淮安、宿迁六市2021-2022学年高三一模数学试题及参考答案
本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}1,0,1A =-，{}20lg()B x x +>=，则A B = A ．{}1,0,1－B ．{}0,1C ．{}1D ．()1,-+∞2．已知复数z 与()228i z ++都是纯虚数，则z =A ．2B ．2-C ．2iD ．2i-3．已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一次．若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是A ．2月25日B ．2月26日C ．2月27日D ．2月28日4．把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象；再将()f x 图象上所有点向右平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x =A ．sin 4x-B ．sin xC ．2sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．5sin 43x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有A ．6种B ．7种C ．12种D ．14种6．()6322y x y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，63x y 的系数A ．10-B ．5C ．35D ．507．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为7的直线l 与C 在x轴上方的交点为A ．若112AF F F ＝，则C 的离心率是南通市2022届高三第一次调研测试2022.2数学A ．23B ．22C ．32D ．538．已知α，β均为锐角，且sin cos 2παββα+->-，则A ．sin sin αβ>B ．cos cos αβ>C ．cos sin αβ>D ．sin cos αβ>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷+答案解析
2023年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是()A. B.C.2D.52.下列图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.据国家统计局数据，2022年中国国内生产总值约1210000亿元．将1210000用科学记数法表示为()A.B.C.D.4.下列图形中，能围成正方体的是()A. B. C. D.5.若菱形ABCD 的对角线，，则菱形ABCD 的面积为()A.B.C.D.6.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为()A.8B. C.D.7.如图，直线，若，，则的度数是()A. B.C.D.8.如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是()A. B.C. D.9.如图，矩形ABCD中，，，动点E从点B出发，沿折线BCD运动到点D停止，过点E作交AD于点F，设点E的运动路程为x cm，，则y与x对应关系的图象大致是()A. B.C. D.10.抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则m的取值范围是()A. B.C.且D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.代数式在实数范围内有意义的条件是_______.12.分解因式：_________________.13.中国古代数学著作《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程_______________.14.如图，无人机A的探测器显示，从无人机看树顶B的仰角为，看树底部C的俯角为，无人机与树的水平距离为6m，则树高BC为_______________结果保留根号15.若关于x的不等式恰有3个正整数解，则t的取值范围是_________.16.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加___________________17.如图，AC是四边形ABCD的对角线，，点E在边AD上，连接BE交AC于F，取CE的中点若，，，则FG的最小值为_________________.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，是函数图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线OA交于点若，则k的值为____.三、解答题：本题共8小题，共64分。
2024年江苏省南通市海安市九年级中考一模数学试卷答案
海安市2024届初三学业质量监测（一）数学答案一､选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D CDDCCACDB二､填空题：本题共 8 小题，第11~12小题每小题 3 分，第13~18小题每小题 4 分，共 30 分.11. 5x ≥- 12. AB CD = 13. 4π 14. 20 15.(50+ 16.75817. 3 18.三､解答题：本题共 8 小题，共 90 分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 19.（1）13x -≤＜ （2）32m +20.（1）①9 ②8.8（2）选甲，方差最小最稳定 （3）＜21.（1）作对角线BD 的垂直平分线即可证明OED OFB ≅ 即可（2）设菱形边长为x ，AE =8-x ，在ABE 中，根据勾股定理得，()22248x x +-=， 解得5x =，则周长420x =.22.（1）23（2）根据题意列出树状图，由树状图可以看出，结果共有6种，满足题意的3种，所以3162P ==. 23.（1）连接OD ，∵1302C AOD ∠=∠=︒，∴OD AC ⊥又∵BD OD ⊥,所以AC BD .（2）21132263BOD S S S OD BD r ππ=-=⨯⨯-= 阴扇.24.（1）60（2）乙：()9180804h ÷=甲：()5100603h ÷=97531443⎛⎫ ⎪--= ⎪⎝⎭＞所以甲乙相遇时，乙正在中途休息，所以53h 相遇.（3）160y x =()()()2801800110018010080x x y x m x m x m ⎧-+≤≤⎪⎪=≤≤⎨⎪-++≥⎪⎩ 因为在距A 地不足100km 处相遇，因此乙车休息结束后出发才与甲车相遇，所以，608010080x x m =-++，解得，547mx +=当547m x +=时，1254607my y +==⨯，549060967m+≤⨯≤解得，1131820m ≤≤.25.（1）90°（2）∵ABP DPE∴3224y x x -=，即214243y x x =-+当16x =时，max 323y =（3）由题可知2222FK KQ FG QG +=+ ∴10QG =将四边形补足成矩形FGMN ，设QM=m ，KN=n ，则KM=45-n ，FN=m+10 由（2）中相似可知， 351030453530m n n m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪⎩，解得1821m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，()10451260S m =+⨯=.26.（1）对称轴2122b a x a a-=-=-= （2）由抛物线经过点()2,5--可得1a =-， 即抛物线解析式为223y x x =-++， 将A 、B 两点横纵坐标代入后作差，可得，()()222342434822424t t t t h t dt t ⎡⎤-++---+-+-+⎢⎥⎣⎦===---.（3）当43t -＞，即1t ＜时，()2141E t t -++，，2411t t -++≤-，2t ≤+ 当3t ＞时，直线BC ：1122y x =+ 41t -≤-，即5t ≥。
2025届江苏省南通市包场中学高三一诊考试数学试卷含解析
2025届江苏省南通市包场中学高三一诊考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 3．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人 C ．108人 D ．115人4．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A 10B ．3C 5D ．2 6．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．7 7．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=8．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，()1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．43B ．3C ．6D ．239．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ）①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-；②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数；③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ；④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1．A ．1B ．2C ．3D ．410．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+ D ．815i -- 11．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．22 B ．24 C ．22 D ．22-12．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD 82 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届江苏省南通市天星湖中学高考数学一模试卷含解析
2025届江苏省南通市天星湖中学高考数学一模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知0x >，a x =，22x b x =-，ln(1)c x =+，则（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<2．若||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m n的值为（ ） A ．13 B ．3 C ．33 D ．33．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．564．已知i 是虚数单位，若z 211i i =+-，则||z =（ ） A 2 B ．2 C 10 D ．105．若函数()()2(2 2.71828...x f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6．函数ln ||()x x x f x e =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤8．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ）A ．±6B ．6C ．-6D ．1329．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．210．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．3D ．211．已知α为锐角，且3sin 22sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13- D ．49- 12．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．c a c b -<-B ．22ac bc >C ．11a b <D ．1b a< 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2022届高三数学一模模拟试卷
江苏省南通市2022届高三数学一模模拟试卷一、单选题1．设集合A={x∣x=2k−1，k∈Z}，B={x∣0⩽x+1<6}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{−1，1，3}C．{−1，1，3，5}D．{1，3，5}2．复数z满足(1+2i)z=3−i，则|z|=（）A．√2B．√3C．2D．√5 3．若向量a⃗，b⃗满足|a |=1，|b⃗|=2，a⃗⊥(a⃗+b⃗)，则a⃗与b⃗的夹角为()A．π6B．π3C．2π3D．5π64．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=6.147.依据α=0.01的独立性检验(x0.01= 6.635)，结论为（）A．变量x与y不独立B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01C．变量x与y独立D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.015．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则经过该多面体的各个顶点的球的体积为（）A．43πB．5√2π3C．4πD．8π6．设a=sin7，则（）A ．a 2<2a <log 2|a|B ．log 2|a|<2a <a 2C ．a 2<log 2|a|<2aD ．log 2|a|<a 2<2a7．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.477） A ．5B ．7C ．8D ．98．已知正数x ，y 满足ylnx +ylny =e x ，则xy −2x 的最小值为（ ）A ．12ln2B ．2−2ln2C ．−12ln2D ．2+2ln2二、多选题9．设0<a <b ，且a +b =2，则( )A ．1<b <2B ．2a−b >1C ．ab <1D ．1a +2b⩾310．已知双曲线C ：x 29−k +y 2k−1=1(0<k <1)，则（ ）A ．双曲线C 的焦点在x 轴上B ．双曲线C 的焦距等于4√2C ．双曲线C 的焦点到其渐近线的距离等于√1−kD ．双曲线C 的离心率的取值范围为(1，√103)11．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+a ，ω>0，则下列结论正确的是（ ）A ．若对于任意的x ∈R ，都有f(x)⩽1成立，则a ⩽−1B ．若对于任意的x ∈R ，都有f(x +π)=f(x)成立，则ω=2C ．当φ=π3时，若f(x)在[0，π2]上单调递增，则ω的取值范围为(0，13]D ．当a =−√3时，若对于任意的φ∈R ，函数f(x)在[0，π2]上至少有两个零点，则ω的取值范围为[4，+∞)12．在数列{a n }中，对于任意的n ∈N ∗都有a n >0，且a n+12−a n+1=a n ，则下列结论正确的是（ ）A ．对于任意的n ≥2，都有a n >1B ．对于任意的a 1>0，数列{a n }不可能为常数列C ．若0<a 1<2，则数列{a n }为递增数列D ．若a 1>2，则当n ≥2时，2<a n <a 1三、填空题13．若f(x)=2sin(x +φ)−cosx 为奇函数，则φ= .（填写符合要求的一个值）14．第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“飞跃”“冰墩墩”"雪容融”等，小明现有“冬梦”"飞跃”“冰墩墩”"雪容融”邮票各2张，他打算从这8张邮票中任选3张赠送给同学小红，则在选中的3张邮票中既有“冰墩墩”邮票又有“雪容融”邮票的概率为 .15．F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是△PF 1F 2的内切圆圆心，若△PF 1F 2的面积等于△IF 1F 2的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为 .16．在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，AD =1，AB =2，将△ADE 沿DE 折起得到△A ′DE ，设A ′C 的中点为M ，若将△A ′DE 绕DE 旋转90∘，则在此过程中动点M 形成的轨迹长度为 .四、解答题17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N ∗都有a n+1=a n +2，且S 6=4a 5.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =S n cosnπ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .18．如图，在四边形ABCD 中，BD <AD ，sin(π3−∠A)cos(π6+∠A)=14.（1）求∠A ；（2）若AB =√3，AD =3，CD =1，∠C =2∠CBD ，求四边形ABCD 的面积.19．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =4，∠BAC =30∘，侧面BCC 1B 1是正方形，E 是BB 1的中点，CE =√5，CE ⊥AC .（1）求证：CC 1⊥AC ；（2）F 是线段AC 1上的点，若平面ABC 与平面CEF 的夹角为45∘，求AF 的长.20．为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用X 表示样本中次品的件数.（1）求X 的分布列（用式子表示）和均值；（2）用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过0.1的概率.参考数据：设P(X =k)=p k ，k =0，1，2，⋯，20，则p 5=0.06530，p 6=0.12422，p 7=0.17972，p 8=0.20078，p 9=0.17483，p 10=0.11924，p 11=0.06376，p 12=0.02667.21．已知抛物线E ：y 2=2px(p >0)的准线为l ，点P(x 0，√2)在E 上，且P 到l 的距离与P 到原点O 的距离相等.（1）求E 的方程；（2）A ，B ，C ，D 是E 上异于原点O 的四个动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，若OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M ，N ，求|MN|的最大值.22．已知函数f(x)=ax −lnx ，g(x)=x 2−nx +m .（1）讨论f(x)的单调性；（2）当0<a <14时，若对于任意的x >0，都有f(x)g(x)⩾0，求证：2<lnm <n 4.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】A,C 10．【答案】A,C,D 11．【答案】A,C,D 12．【答案】A,C,D13．【答案】π6（答案不唯一，符合题意均可） 14．【答案】51415．【答案】1216．【答案】√2π817．【答案】（1）解：由a n+1=a n +2得数列{a n }是等差数列，其公差d =2，由S 6=4a 5得6a 1+6×52d =4(a 1+4d)， 即6a 1+30=4(a 1+8)，解得a 1=1， 所以a n =1+2(n −1)=2n −1； （2）解：S n =1+2n−12⋅n =n 2，cosnπ=(−1)n ， 所以b n =(−1)n ⋅n 2，T 2n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n−1+b 2n =−12+22−32+42−⋯−(2n −1)2+(2n)2=1+2+3+4+⋯+2n −1+2n=1+2n 2⋅2n=2n 2+n .18．【答案】（1）解：因为(π3−∠A)+(π6+∠A)=π2，所以sin(π3−∠A)=cos(π6+∠A)， 所以sin(π3−∠A)cos(π6+∠A)=14可化为sin 2(π3−∠A)=14，由二倍角公式可得：cos(2π3−2∠A)=12因为BD<AD ，所以∠A ∈(0，π2)，所以(2π3−2∠A)∈(−π3，2π3)，所以2π3−2∠A =π3，解得∠A =π6.（2）解：在△ABD 中， AB =√3，AD =3 ， ∠A =π6，由余弦定理得：BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅ADcos∠A ，即BD 2=3+9−2×√3×3×√32=3所以BD =√3.在△BCD 中，由正弦定理得sin∠C sin∠CBD =BDCD =√3，所以sin∠C =√3sin∠CBD . 又因为△C=2△CBD ，所以cos∠CBD =√32.又因为∠CBD ∈(0，π)，所以∠CBD =π6，从而∠C =2∠CBD =π3，所以∠BDC =π2，.因此四边形ABCD 的面积S =12AB ·AD ·sin∠A +12BD ⋅CD =12×√3×3×12+12×√3×1=5√34.19．【答案】（1）证明：因为四边形BCC 1B 1为正方形，E 为BB 1的中点， CE =√5 ，所以BC=2.在△ABC 中，由正弦定理得：sin∠ACB =ABsin∠BAC BC =4×sin30°2=1，所以△ACB=90°，即AC△BC.因为AC△CE ，BC∩CE=C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，CE ⊂平面BCC 1B 1，所以AC△平面BCC 1B 1. 又因为CC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AC△CC 1.（2）解：由(1)得AC =2√3，BC =CC 1=2， AC ，BC ，CC 1两两垂直.以C 为原点， CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，E(0，2，1)， A(2√3，0，0)，C 1(0，0，2)，于是CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，1)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3，0，0)， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3，0，2).设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0，1)，则CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3−2√3λ，0，2λ)，设平面CEF 的法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⇀⋅CE ⇀=0，n ⇀⋅CF ⇀=0， 即{2y +z =0，(2√3−2√3λ)x +2λz =0， 令z=-2，得：n ⃗ =(2λ√3−√3λ1，−2).平面ABC 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0，0，1).所以cos⟨m ⃗⃗ ，n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |m ⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=−2√(2λ√3−√3λ)2+12+(−2)2 由平面ABC 与平面CEF 的夹角为45°，得|cos⟨m ⃗⃗ ，n ⃗ ⟩|=cos45°，即√(2λ√3−√3λ)2+12+(−2)2=√22，所以解得λ=35，所以AF =35AC 1=35×4=125.20．【答案】（1）解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立，所以由题意随机变量X 服从超几何分布， 所以X 的分布列为P(X =k)=C 40kC 8020−kC 10020，k =0，1，2，⋯，20，X 的均值为E(X)=np =20×40100=8；（2）解：样本中次品率f 20=X 20是一个随机变量，所以P(|f 20−0.4|⩽0.1)=P(6⩽X ⩽10)=P(X =6)+P(X =7)+P(X =8)+P(X =9)+P(X =10)=0.12422+0.17972+0.20078+0.17483+0.11924=0.79879. 所以误差不超过0.1的概率为0.79879.21．【答案】（1）解：设抛物线E 的焦点为 F ，点 P 到 l 的距离为 d ，则|PF|=d ，由题可得|PO|=d =|PF|，所以x 0=P 4，故(√2)2=2p ⋅P 4，p >0，∴p =2，∴E 的方程为y 2=4x ；（2）解：设直线AB 的方程为x =my +n ， 由{x =my +n y 2=4x，得y 2−4my −4n =0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2=−4n ，x 1x 2=(y 1y 2)216=n 2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=n 2−4n =−4， 解得n =2，∴直线AB 的方程为x =my +2，故直线AB 过定点Q(2，0)， 当m ≠0时，∠OMQ =90∘，点M 在以OQ 为直径的圆上， 当m =0时，点M 与点Q 重合，点M 在以OQ 为直径的圆上， 综上，点M 总在以OQ 为直径的圆上， 同理，点N 总在以OQ 为直径的圆上， 因此|MN|的最大值为圆的直径2.22．【答案】（1）解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=a −1x，当a ⩽0时，对于任意的x >0，都有f′(x)<0，所以f(x)在(0，+∞)内单调递减；当a >0时，令f′(x)>0，解得x >1a ；令f′(x)<0，解得0<x <1a ，所以f(x)在(0，1a )内单调递减，在(1a，+∞)内单调递增；（2）证明：因为当a ∈(0，14)时，f(x)在(0，1a )内单调递减，在(1a ，+∞)内单调递增，又f(1a )=1+lna <1−ln4<0，f(1)=a >0，f(1a 2)=2lna +1a >0，所以存在x 1∈(0，1a )，x 2∈(1a，+∞)，使得f(x 1)=f(x 2)=0，且当x ∈(0，x 1)时，f(x)>0，当x ∈(x 1，x 2)时，f(x)<0，当x ∈(x 2，+∞)时， f(x)>0， 因为对于任意的x >0，都有f(x)g(x)⩾0，所以x 1，x 2也是函数g(x)的两个零点， 即x 1，x 2是方程x 2−nx +m =0的根，所以x 1+x 2=n ，x 1x 2=m ，又因为ax 1=lnx 1，ax 2=lnx 2，所以lnm =ln(x 1x 2)=lnx 1+lnx 2=a(x 1+x 2)，所以2<lnm <n 4等价于2<a(x 1+x 2)<x 1+x24，因为0<a <14，所以a(x 1+x 2)<x 1+x 24，下面证明：x 1+x 2>2a .要证x 1+x 2>2a ，即证x 2>2a−x 1，因为x 2，2a −x 1∈(1a ，+∞)，f(x)在(1a ，+∞)内单调递增，所以只需证f(x 2)>f(2a −x 1)，又因为f(x 1)=f(x 2)，所以也只需证f(x 1)>f(2a−x 1)，设p(x)=f(x)−f(2a −x)，则p′(x)=f′(x)+f′(2a −x)=2a −2a x(2a −x)，因为x(2a −x)<1a 2，所以当x ∈(0，1a )时，p′(x)<0，所以p(x)在(0，1a ]上单调递减，又因为p(1a )=0，所以当x ∈(0，1a )时，p(x)>0，即f(x)>f(2a −x)，因为x 1∈(0，1a )，所以f(x 1)>f(2a−x 1)，所以x 1+x 2>2a成立，即a(x 1+x 2)>2， 因此2<lnm <n4.。
2024年江苏省南通市启秀中学中考一模数学模拟试题(含解析)
南通市启秀中学 2023—2024学年度第二学期单元练习初三数学一、单选题（每题3分）1．在﹣，0，1四个数中，最大的数是（ ）A ．1B ．0C ．﹣D ．2．2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.00519用科学记数法表示应为( )A ．B．C ．D ．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．5a 3﹣4a 2＝1B ．（﹣a 2b 3）2＝a 4b 6C ．a 9÷a 3＝a 3D ．a -（b +c ）＝a ﹣b +c 5．估计A ．和之间B ．和 之间C ．和之间D ．和之间6．一个多边形的内角和等于，则它是（ ）A ．五边形B ．七边形C ．九边形D ．十边形7．如图，直线，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，EG 平分，交CD 于点G ，若，则的度数是（ ）1414FAST 25.1910-⨯35.1910-⨯551910-⨯651910-⨯(7344556671260︒//AB CD BEF ∠170=︒∠2∠A ．60°B ．55°C ．50°D ．45°8．如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知实数m ，n 满足，则的最大值为（ ）A ．24B．C ．D ．Rt ABC 90ABC ∠=︒DB DE =AB AE =EDC BAC ∠=∠DAC C∠=∠222+=+m n mn ()()()22322m n m n m n -++-44316634-二、填空题（11-12每题3分， 13-18每题4分）11．在函数中，自变量x 的取值范围是 ．12．因式分解：= ．13．如图，在中，E 是边上的点，连接交于点F ，若，则的值是 ．1430°，圆锥的侧面积为 ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =32°，点B 、C 在上，边AB 、AC 分别交于D 、E 两点﹐点B 是的中点，则∠ABE = ．16．对于任意的，恒成立，则a 的取值范围是．17．如图，A 、B 是反比例函数（）图象上的两点，直线交y 轴正半轴于点E ．过点A ，B 分别作x 轴的平行线交y 轴于点C ，D ，若点B 的横坐标是4，,，则k 的值为 ．18．如图，腰长为8的等腰中，，D 是边上的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转，得到线段，连接，则线段长的最小值是 ．2x y x =-224a b -ABCD Y BC AE BD 2EC BE =BF FD O O CD 11x -≤≤230ax a +-<=k y x>0>0k x ，AB 3CD AC =3cos =5BED ∠Rt ABC △90ACB ∠=︒BC AD AD 45︒AE CE CE三、解答题19．（1）解不等式组，并将解集表示在数轴上（2）解分式方程：．20．新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，綦江区某校开展了“全民行动共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数90众数100方差52根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述图表中，，的值．(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）．(3)该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？22211x x -<⎧⎨-≥⎩2216124x x x --=+-⋅x 8085A x ≤<．8590B x ≤<．9095C x ≤<．95100)D x ≤≤．C b c 50.4a b c (90)x ≥21．如图，在中，平分为的中点．求证：．小芳同学解题过程如下：解：为的中点，．第一步平分，．第二步．第三步(1)小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步；(2)写出正确的解题过程．22．有三把不同的钥匙A ，B ，C 和两把不同的锁D ，E ，其中钥匙A 只能打开锁D ，钥匙B 只能打开锁E ，钥匙C 不能打开这两把锁．(1)随机取出一把钥匙，取出A 钥匙概率是 ；(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？23．如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且(1)求证：是的切线；(2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．24．水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为天，平均每颗榴莲的售价为元，由于榴莲需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第天的销售量，每颗榴莲的成本为元．与的函数关系如图所示．ABC AD ,BAC D ∠BC AB AC =D BC DB DC ∴=AD BAC ∠BAD CAD ∴∠=∠AB AC ∴=CD O B O A DC O OE BC ∥AB E D E∠=∠AE O OE O F OE O 330100x m y y x与之间的关系如表：第天销售量颗(1)求与的函数表达式．(2)若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？25．（1）问题发现：如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在AD 、AF 上，此时BD 与CF 的数量关系是_________，位置关系是__________；（2）拓展探究：如图2，当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点H ．已知AB=2，AD=线段DH 的长．26．定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．(1)当时，下列函数有界的是______（只要填序号）；①；②；③．(2)当时，一次函数的界值不大于2，求k 的取值范围；(3)当时，二次函数的界值为，求a 的值．m x x 116x ≤≤1630x <≤/m 1510x +y x W W x 21x -≤≤21y x =-2y x=-223y x x =-++2m x m ≤≤+()12y k x =+-2a x a ≤≤+223y x ax =+-94参考答案与解析1．A【分析】根据实数大小比较判断即可；【解答】∵1＞0＞﹣＞∴最大的数是1，故选：A ．【点拨】本题主要考查了实数比大小，准确分析计算是解题的关键．2．B【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10−3，故选：B ．【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．A【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为，故选：A ．4．B【分析】根据同类项的定义判断选项A ；根据积的乘方可以判断选项B ；根据同底数幂除法可以判断选项C ；根据去括号法则可以判断选项D ．【解答】解：选项A ，5a 3与﹣4a 2不属于同类项，不能合并，选项A 错误，不符合题意；选项B ，（﹣a 2b 3）2＝a 4b 6，选项B 正确，符合题意；选项C ，a 9÷a 3＝a 6，选项C 错误，不符合题意；选项D ，a ﹣（b +c ）＝a ﹣b ﹣c ，选项D 错误，不符合题意；故选：B ．【点拨】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂除法、积的乘方、去括号法则等知识点．掌握各计算法则是解题关键．145．A的近似值，进而得解．【解答】，∴，∴，∴估计的值应在和之间．故选：A ．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握以上的基础知识是解本题的关键．6．C【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为，，解得，故这个多边形为九边形．故选：C．【点拨】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为．7．B【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出,再根据三角形内角和求出 即可．【解答】 ，，，，，，，(77=1+ 479<<23<<314<<(734n (2)1801260n -⨯=n (2)1801260n -⨯=9n =n 2180()n -⨯︒2GEF ∠=∠2∠EG BEF ∠ 平分∴BEG GEF ∠∠＝AB CD ∥∴2BEG ∠∠＝∴2GEF ∠∠＝ AB CD ∥∴12180GEF ∠+∠+∠︒＝∴122180∠+∠︒＝∴1218070552∠⨯︒︒︒＝（﹣）＝故选．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的应用，证出是解题关键．8．D【分析】由尺规作图可知AD 是∠CAB 角平分线，DE ⊥AC ，由此逐一分析即可求解．【解答】解：由尺规作图可知，AD 是∠CAB 角平分线，DE ⊥AC ，在△AED 和△ABD 中：∵，∴△AED ≌△ABD(AAS)，∴DB=DE ，AB=AE ，选项A 、B 都正确，又在Rt △EDC 中，∠EDC=90°-∠C ，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°-∠C ，∴∠EDC=∠BAC ，选项C 正确，选项D ，题目中缺少条件证明，故选项D 错误．故选：D.【点拨】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．9．A【分析】分三种情形∶ ①当0＜x ≤2时， 重叠部分为△CDG ，②当2＜x ≤4时，重叠部分为四边形AGDC ，③当4＜x ≤8时，重叠部分为△BEG ，分别计算即可．【解答】解：过点A 作AM ⊥BC ，交BC 于点M ，在等边△ABC 中，∠ACB ＝60°，在Rt △DEF 中，∠F ＝30°，∴∠FED ＝60°，∴∠ACB ＝∠FED ，∴AC EF ，在等边△ABC 中，AM ⊥BC ，∴BM ＝CM＝BC ＝2，AM＝∴S △ABC ＝BC •AM ＝B 2GEF ∠=∠=90⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩AED ABD EAD BAD AD AD ∥1212①当0＜x ≤2时，设AC 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△CDG ，由题意可得CD ＝x ，DG∴S ＝CD •DG2；②当2＜x ≤4时，设AB与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为四边形AGDC ，由题意可得：CD ＝x ，则BD ＝4﹣x ，DG 4﹣x ），∴S＝S △ABC ﹣S △BDG ＝×（4﹣x）4﹣x ），∴S ＝2﹣x ﹣4）2③当4＜x ≤8时，设AB 与EF 交于点G ，过点G 作GM ⊥BC ，交BC 于点M ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△BEG ，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣x在Rt △BGM 中，GM 4﹣x ），∴S ＝BE •GM ＝（8﹣x ）4﹣x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，12121212121212故选：A ．【点拨】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．10．B【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质．先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．【解答】解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B ．11．【分析】本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解得答案．【解答】根据题意得，解得：；故答案为：．12．【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式=(a +2b )(a -2b ) ．故答案为：（a +2b ）（a -2b ）13．【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可．107mn -()22220m n m n mn +++=≥222+=+m n mn 23mn ≥-()()()22322m n m n m n -++-222241294m mn n m n =-++-225125m mn n =-+()5212mn mn=+-107mn =-()22220m n m n mn +++=≥222+=+m n mn 220mn mn ++≥32mn ≥-23mn ≥-441073mn -≤()()()22322m n m n m n -++-4432x ≠20x -≠20x -≠2x ≠2x ≠()()22a b a b +-13【解答】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．2π【解答】试题分析：如图，∠BAO=30°，在Rt △ABO 中，∵tan ∠BAO=，∴，即圆锥的底面圆的半径为1，∴，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积=．考点：圆锥的计算．15．【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案．【解答】解：如图，连接是的中点， ABCD Y ,BC AD BC AD =∥BEF DAF ∽BF BE FD AD=2EC BE =13BE BC =13BE AD =13BF FD =13BO AO2=121222ππ⨯⨯⨯=13︒,DC ,BDC BCD ∠=∠,ABE ACD ∠=∠,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠,DC B CD,,BDBC BDC BCD ∴=∠=∠故答案为：【点拨】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．16．【分析】本题主要考查解不等式和不等式的解集的应用．掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．由可得：，然后分、、三种类讨论求出不等式的解集，再根据对于任意的，恒成立，即可列出关于a 的不等式求解即可．【解答】解：由可得：，当时，不等式的解集为，对于任意的，恒成立，∴，解得：；∴，当时，恒成立，满足题意；当时，不等式的解集为，∵对于任意的，恒成立，∴，解得：，故符合题意；综上所述，．故答案为：．17． ,DEDE = ,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒ ()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒13.︒1a <230ax a +-<32ax a <-0a >0a =0a <11x -≤≤230ax a +-<230ax a +-<32ax a <-0a >32a x a-<11x -≤≤230ax a +-<321a a->1a <01a <<0a =30-<0<a 32a x a->11x -≤≤230ax a +-<321a a-<-3a <0<a 1a <1a <125【分析】由，设，，则，可求得，设，，由，可得，求出b 的值，再求出，，利用A 、B 是图象上的两点，即可求出答案．【解答】解：轴，，，∴设，，，∵点B 的横坐标为4，，则，，,设，，，∴，，，，则，，设B 点的纵坐标为n ，，则，，，A 、B 是反比例函数（）图象上的两点，，，3cos =5ED BED EB ∠=3DE a =5BE a =4BD a ==1a =AC b =3CD b AC BD ∥43AC BD EC ED ==412,55A n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()4B n ，BD x ∥=90EDB ∴∠︒3cos =5ED BED EB ∠= 3DE a =5BE a =4BD a ∴=4=4a ∴=1a =3DE ∴=3CD AC =AC b =3CD b AC BD 43AC BD EC ED ==34EC b ∴=315=344ED b b b ∴+=1534b ∴=45b =412=55AC CD ∴==OD n ∴12==5OC CD OD n ++412,55A n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭()4B n ， =k y x>0>0k x ，412455k n n ⎛⎫∴=⨯+= ⎪⎝⎭3=5n ∴．故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形及勾股定理得应用，表示出点A 、B的坐标是解题关键．18．【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，由“”可证，可得，时，有最小值，即有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】解：∵腰长为8的等腰中，，∴，，如图，在上截取，连接，线段绕点A 逆时针旋转，得到线段，，，即，在与中，，，，当时，有最小值，即有最小值，，，，，12=5k ∴1258-SAS HAD CAE △≌△HD CE =HD BC ⊥HD CE Rt ABC △90ACB ∠=︒AC BC =45BAC ABC ∠=∠=︒AB AH AC =HD AD 45︒AE AD AE ∴=45DAE BAC ∠==︒ BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠HAD CAE ∠=∠HAD △CAE V AH AC HAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS HAD CAE ∴ ≌HD CE ∴=∴HD BC ⊥HD CE 890AC BC AH ACB ===∠=︒ ，AB ∴=45A B C B A C ∠=∠=︒8BH AB AH ∴=-=DH BC ⊥，故答案为：19．（1），数轴见解答；（2）原方程无解【分析】（1）分别求出各个不等式的解集，再在数轴上表示即可．（2）先把分式方程化为整式方程求出的值，再代入最简公分母进行检验即可．【解答】解：（1），解不等式①得，解不等式②得，故不等式的解集为：；在数轴上表示为： ；（2）方程两边同乘以得，，解得，检验，当时，分母，是原方程的增根，故原方程无解．【点拨】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组和分式方程的步骤是解题的关键．20．(1)，，(2)八年级的成绩较好，理由：八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高（理由不唯一）(3)468人【分析】本题考查平均数、中位数、众数的定义以及意义、扇形统计图的相关信息．（1）求出C 组所占的百分比，再根据频率之和为1，即可求出a 的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级的中位数，和七年级的众数，确定b 、c 的值；（2）通过比较平均数、中位数、众数得出答案；（3）样本估计总体，用总体乘以七八年级中“优秀”占比即可得出答案．【解答】（1）解：，，根据占比和总人数可知：A 组有2人，B 组有1人，C 组有3人，D 组有4人，将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是94，45BHD DBH ∴∠=∠=︒8BD DH BH ∴===-8-14x ≤<x 22211x x -<⎧⎨-≥⎩①②4x <1x ≥14x ≤<2(4)-x 22(2)(4)16x x ---=2x =-2x =-240x -=2x ∴=-40a =94b =99c =31030%÷=%130%10%20%40%a =---=因此中位数是94，即，七年级竞赛成绩出现次数最多的是99，共出现3次，因此众数是99，即，故，，．（2）八年级成绩较好，∵七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，∴八年级的成绩较好．（3）七年级的学生有6人，八年级的学生有7人，人21．(1)三(2)见解析【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：（1）根据不能推导出，明显跳步，可得第三步错误；（2）过点D 作于点E ，于点F ，根据角平分线的性质可得，再证，可得，进而可证．【解答】（1）解：根据不能推导出，因此出现错误的是第三步，故答案为：三；（2）解：正确的解题过程如下：为的中点，．如图，过点D 作于点E ，于点F ，平分，，，，在和中，94b =99c =40a =94b =99c =(90)x ≥(90)x ≥6772046820+⨯=BAD CAD ∠=∠AB AC =DE AB ⊥DF AC ⊥DE DF =Rt DEB△()Rt HL DFC ≌B C ∠=∠AB AC =BAD CAD ∠=∠AB AC =D BC DB DC ∴=DE AB ⊥DF AC ⊥AD BAC ∠DE AB ⊥DF AC ⊥∴DE DF =Rt DEB △Rt DFC △，，，．22．(1)(2)【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】（1）解：随机取出一把钥匙，取出A 钥匙概率是，故答案为：；（2）解：画树状图如图：∴共有6个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，∴一次打开锁的概率为＝．【点拨】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，掌握画树状图或者列表的方法是解题的关键．23．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接，DE DF DB DC =⎧⎨=⎩∴Rt DEB △()Rt HL DFC ≌∴B C ∠=∠∴AB AC =13131313261332πOB BC BD ⊥90OBE ∠=︒BF BF OF =OBF 60BOF ∠=︒OB∵是的直径，∴，即，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：连接，∵，是的中点，∴，∵的半径为，，∴，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，，∴阴影部分的面积为：CD O BC BD ⊥90CBD ∠=︒OE BC∥90DGO CBD ∠=∠=︒90BGE DGO ∠=∠=︒90D DOG ∠+∠=︒D E ∠=∠DOE DBE ∠=∠OD OB =D OBD ∠=∠90OBD DBE D DOG ∠+∠=∠+∠=︒90OBE ∠=︒OB O AE O BF 90OBE ∠=︒F OE BF OF =O 390∠=︒DGO 3BF OF OB ===18090BGO DGO ∠=︒-∠=︒OBF 60BOF ∠=︒9030OBG BOF ∠=︒-∠=︒1322OG OB ==BG ===，∴阴影部分的面积为【点拨】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．24．(1)(2)第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与销售，利润的计算问题，掌握一次函数图象，二次函数图象的性质，增减性是解题的关键．（1）根据题意，设与的函数表达式为，运用待定系数法即可求解；（2）分类讨论，当时，根据一次函数图象的性质即可求解；当时，根据二次函数图象的性质即可求解．【解答】（1）解：设与的函数表达式为，把和分别代入得：，解得：，∴与的函数表达式为；（2）解：当时，，∵，∴随的增大而减小，∴当时，；当时，，∵不在范围内，当时，随的增大而减小，∴当时，；综上述，第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元．25．（1）CF=BD ，CF ⊥BD ；（2）成立，证明见解析；（3）【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论；2603133360222OBG OBF S S ⨯π⨯π-=-=扇形△32π60y x =+17621y x ()0y kx b k =+≠116x ≤≤1630x <≤y x ()0y kx b k =+≠()1070，()3090，()0y kx b k =+≠10703090k b k b +=⎧⎨+=⎩160k b =⎧⎨=⎩y x 60y x =+116x ≤≤()1510015600W y x =-=-+150-<W x 1x =585W =最大1630x <≤()()()22101003040015625W x y x x x =+-=-++=--+15x =1630x <≤1630x <≤W x 17x =621W =最大17621DH =（2）只需要证明△ABD ≌△ACF 即可得出结论；（3）连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ．根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求得DF 、DM 和DB ，证明△BDM ∽△FDH 即可求得．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AF ⊥AD ，AF=AD ，即CF ⊥BD ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=AB ，∴CF=BD ，故答案为：CF=BD ，CF ⊥BD ；（2）BD=CF 成立．理由：由旋转得：∠CAF=∠BAD=θ，由（1）得AC=AB ，AF=AD ，在△ABD 和△ACF 中，∵∴△ABD ≌△ACF ，∴BD=CF ；（3）如图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ．∵四边形ADEF 是正方形，∴∠MDA=45°，∵∠MAD=45°∴∠MAD=∠MDA ，∠AMD=90°，DH AD AF BAD CAFAB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AM=DM ，∵AD=在△MAD 中，AM 2+DM 2=AD 2，∴AM=DM=3，∴MB=AM-AB=3-2=1，在Rt △BMD 中，BM 2+DM2=BD 2，∴在Rt△ADF 中，AD=∴，由（2）得，△ABD ≌△ACF ，∴∠HFN=∠ADN ，∵∠HNF=∠AND ，∠AND+∠ADN=90°∴∠HFN+∠HNF=90°∴∠NHF=90°，∴∠DHF=∠DMB=90°，∵∠BDM=∠FDH ，∴△BDM ∽△FDH ，∴，∴【点拨】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考压轴题．26．(1)①③(2)或，函数(3)或【分析】（1）利用函数有意义时自变量x 的取值范围结合有界函数的定义判定；（2）分情况讨论，①k ＞0时；②k ＜0时，然后求出x =m 和x =m +2时的函数值，再结合有界函数与界高的定义列出方程求得k 的取值，最后得到一次函数的解析式；（3）先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，从而求得a ≤x ≤a +2时的最大值与最小值，再结合界值为求得a 的值．BD ==6DF ==BD DM DF DH=DF DM DH BD ⋅==21k -≤<-10k -≤<2y x=-34-14-94【解答】（1）解：函数，∵2＞0，∴y 随x 的增大而增大，；∵，∴，∴①有界；函数，-2＜0，∴函数的图像在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，或 ∴②无界如图，函数的称轴为，∵-1＜0，∴当时，y 随x 增大而增大，，如图，21y x =-21x -≤≤()min max 2215,2111y y =⨯--=-=⨯-=2y x=-212y ∴≥-=-221y ≤-=223y x x =-++()2121x =-=⨯-1x ≤21x -≤≤ ()()22min max 22235,12136y y ∴=--+⨯-+=-=+⨯+=③有界；故答案为：①③．（2）解：当时，；当时，．①当时，即时，y 随x 的增大而增大，由题意得，解得，．∴．②当时，即时，y 随x 的增大而减小，由题意得，解得，．∴．∴k 的取值范围为或．（3）解：∵，∴该抛物线开口向上，对称轴为．∴当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小．令，得；令，得；令，得．①当，即时，由题意得，，解得（舍去）；②当，即时，由题意得，，解得，（舍去）；③当，即时，由题意得，，解得，（舍去）；④当，即时，由题意得，，解得（舍去）．综上所述，a 的值为或．∴x m =()12y k m =+-1x m =+()()112y k m =++-10k +>1k >-()()()122122k m k m ++--+-≤⎡⎤⎣⎦0k ≤10k -≤<10+<k 1k <-()()()121222k m k m +--++-≤⎡⎤⎣⎦2k ≥-21k -≤<-21k -≤<-10k -≤<()222233y x ax x a a =+-=+--22a x a =-=-x a >-x a <-x a =233y a =-2x a =+2381y a a =++x a =-23y a =--a a -<0a >()229381334a a a ++--=732a =-1a a a ≤-<+102-<≤a ()22938134a a a ++---=114a =-274a =-12a a a +≤-<+112a -<≤-()2293334a a ----=134a =-234a =2a a -≥+1a ≤-()229333814a a a --++=2532a =-34-14-【点拨】本题考查了二次函数的性质、一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．。
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密封线____________号学____________名姓____________级班____________校学2016届高三年级第一次模拟考试(九)·数学第页(共6页) (2016届高三年级第一次模拟考试(九)数学本试卷包含填空题(共14题)、解答题(共6题)，满分为160分，考试时间为120分钟．参考公式：锥体的体积V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{－1，0，1}，则A∩B＝________．2. 若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则a的值为________．3. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是________．4. 根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10 000户家庭的月消费金额(单位：元)，所有数据均在区间[0，4 500]上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10 000户家庭中，有________户月消费额在1 000元以下．(第4题)(第5题)6. 设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6的值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)过点P (1，1)，其一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________．8. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1ADE 的体积为________．9. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －b ）， x≥0，ax （x ＋2）， x<0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．10. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (4，0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．12. 已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD →的值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为________．14. 已知函数f (x )＝2ax 2＋3b (a ，b ∈R )．若对于任意x ∈[－1，1]，都有|f (x )|≤1成立，则ab 的最大值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab. (1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积．16. (本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：(1) BE⊥AC； (2) BE∥平面ACD 1.(第16题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点A (2，1)，离心率为32.(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线l ：y ＝kx ＋m (k≠0)与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB⊥AC ，求直线l 的方程．(第17题)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点．(1)按下列要求建立函数关系：①设∠OPQ＝α(rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；②设OQ＝t(km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数．(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．(第18题)已知函数f(x)＝a＋xlnx(a∈R)．(1) 求f(x)的单调区间；(2) 试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”．(1) 已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－1.①求{a n}的通项公式；②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2) 已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z(n∈N*)．求证：{a n}为“等比源数列”．(这是边文，请据需要手工删加)密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学 2016届高三年级第一次模拟考试(九)·数学附加题 第页(共2页)2016届高三年级第一次模拟考试(九)数学附加题 本试卷为非选择题(第21～23题)．本卷满分为40分，考试时间为30分钟．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，．并作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的直径AB ＝10，C 为圆上一点，BC ＝6，过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．(第21-A 题)B. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1022，求逆矩阵M －1的特征值．C. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C)，求直线AC 的极坐标方程．D. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab(a 4＋b 4)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AD ＝AS ＝2，P 是棱SD 上一点，且SP ＝12PD.(1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值； (2) 求二面角APCD 的余弦值．(第22题)23. (本小题满分10分)已知函数f 0(x )＝x (sinx ＋cosx )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1) 求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2) 写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明．2016届高三年级第一次模拟考试(九)(南通市)数学参考答案1. {0，1}2. ± 53. 56 4. 14 5. 750 6. 637. 2x 2－y 2＝1 8.112 9. －1 10. 5911. [－22，22] 12. 274 13. 43 14. 12415. 解：(1) 在△ABC 中，由(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C＝－12.(3分)因为0<C<π，所以C ＝2π3.(6分)(2) (法一)因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B ，(8分)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin (A ＋B)，所以sin (A ＋B)＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，(10分)又－π3<A －B<π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2.(12分)所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.(14分)(法二)由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a×a 2＋c 2－b22ac ，(8分)化简得a ＝b ，(12分)所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.(14分)16. 证明：(1) 在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，连接BD 交AC 于点F ，连接B 1D 1交A 1C 1于点E. 因为四边形ABCD 是菱形，所以BD⊥AC. 因为ABCDA 1B 1C 1D 1为直棱柱．所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC?平面ABCD ， 所以，BB 1⊥AC.(3分)又BD∩BB 1＝B ，BD?平面B 1BDD 1，BB 1?平面B 1BDD 1， 所以AC⊥平面B 1BDD 1.(5分)而BE?平面B 1BDD 1，所以BE⊥AC.(7分)(通过证明等腰三角形A 1BC 1，得BE⊥A 1C 1，再由AC∥A 1C 1得BE⊥AC，可得7分) (2) 连接D 1F ，因为四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1为直棱柱， 所以四边形B 1BDD 1为矩形．又E ，F 分别是B 1D 1，BD 的中点， 所以BF ＝D 1E ，且BF∥D 1E.(9分) 所以四边形BED 1F 是平行四边形． 所以BE∥D 1F.(11分)又D 1F?平面ACD 1，BE?平面ACD 1， 所以BE∥平面ACD 1.(14分)17. 解：(1) 由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)离心率为e ＝c a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝14a 2.又点A(2，1)在椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上，所以4a 2＋1b2＝1，(2分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.所以，所求椭圆的方程为x 28＋y22＝1.(4分)(2) 将y ＝kx ＋m(k≠0)代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m)2－8＝0，整理，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－8＝0. ① 由线段BC 被y 轴平分，得x B ＋x C ＝－8mk1＋4k2＝0，因为k≠0，所以m ＝0.(8分)因为当m ＝0时，B ，C 关于原点对称，设B(x ，kx)，C(－x ，－kx)， 由方程①，得x 2＝81＋4k 2，又因为AB⊥AC，A(2，1)，所以AB →·AC →＝(x －2)(－x －2)＋(kx －1)(－kx －1)＝5－(1＋k 2)x 2＝5－8（1＋k 2）1＋4k 2＝0， 所以k ＝±12.(12分)由于k ＝12时，直线y ＝12x 过点A(2，1)，故k ＝12不符合题设．所以，此时直线l 的方程为y ＝－12x.(14分)18. 解：(1) ①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT ＝α，O 1T ＝1， 所以O 1P ＝1sin α. 又OO 1＝1，所以OP ＝1sin α＋1. 在Rt △OPQ 中，OQ ＝OP tan α＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1sin αtan α＝1＋sin αcos α.(3分) 所以，Rt △OPQ 的面积为S ＝12OP ·OQ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α1＋sin αcos α＝（1＋sin α）22sin αcos α＝（1＋sin α）2sin 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(5分) (取值范围不写或不正确扣1分)②由题设知，OQ ＝QT ＝t ，O 1T ＝1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以OP OQ ＝TP TO 1，即OP t ＝t 2＋OP 2－t 1，化简，得OP ＝2t2t 2－1(t>1)．(8分)所以，Rt △OPQ 的面积为S ＝12OQ ·OP ＝12t ·2t 2t 2－1＝t3t 2－1(t>1)．(10分) (取值范围不写或不正确扣1分)(2) 选用(1)中①的函数关系S ＝（1＋sin α）2sin 2α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.S ′＝2（1＋sin α）cos αsin 2α－（1＋sin α）22cos 2α（sin 2α）2＝2（1＋sin α）[cos αsin 2α－（1＋sin α）cos 2α]（sin 2α）2＝2（1＋sin α）[sin （2α－α）－（1－2sin 2α）]（sin 2α）2＝2（1＋sin α）2（2sin α－1）（sin 2α）2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(13分) 由S′＝2（1＋sin α）2（2sin α－1）（sin 2α）2＝0⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，得α＝π6. 列表所以，当α＝π6时，△OPQ 的面积S 的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝332(km 2)．(16分)(2) 选用(1)中②的函数关系S ＝t3t 2－1(t>1)．S ′＝3t 2（t 2－1）－t 3·2t （t 2－1）2＝t 2（t ＋3）（t －3）（t 2－1）2(t>1)(13分)由S′＝t 2（t ＋3）（t －3）（t 2－1）2＝0(t>1)，得t ＝ 3. 列表所以，当t ＝3时，△OPQ 的面积S 的最小值为（3）2（3）2－1＝332(km 2)．(16分) 19. 解：(1) 由函数f(x)＝a ＋x ln x (a∈R )，得f ′(x )＝12x(ln x ＋2)．(2分)令f ′(x )－2因此，函数(5分)(2) 由(1)可知，f min (x )＝f (e －2)＝a －2e －1.(6分)(i) 当a >2e －1时，由f (x )≥f (e －2)＝a －2e －1>0，得函数f (x )的零点个数为0.(8分)(ii) 当a ＝2e －1时，因f (x )在(e －2，＋∞)上是单调增，在(0，e －2)上单调减，故x ∈(0，e －2)∪(e －2，＋∞)时，f (x )>f (e －2)＝0. 此时，函数f (x )的零点个数为1.(10分)(iii) 当a <2e －1时，f min (x )＝f (e －2)＝a －2e －1<0. ①a ≤0时，因为当x ∈(0，e －2]时，f (x )＝a ＋x ln x <a ≤0，所以，函数f (x )在区间(0，e －2]上无零点；另一方面，因为f (x )在[e －2，＋∞)单调递增，且f (e －2)＝a －2e －1<0，又e －2a ∈(e －2，＋∞)，且f (e －2a )＝a (1－2e －a)>0，此时，函数f (x )在(e －2，＋∞)上有且只有一个零点． 所以，当a ≤0时，函数f (x )零点个数为1.(13分)②0<a <2e －1时，因为f (x )在[e －2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝a >0，f (e －2)＝a －2e －1<0，所以，函数f (x )在区间(e －2，＋∞)有且只有1个零点；另一方面，因为f (x )在(0，e －2]上是单调递减，且f (e －2)＝a －2e －1<0.又e －4a∈(0，e －2)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －4a ＝a －错误!>a －错误!＝0，(当x >0时，e x >x 2成立)此时，函数f (x )在(0，e －2)上有且只有1个零点．所以，当0<a <2e －1时，函数f (x )零点个数为2.综上所述，当a >2e －1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e －1，或a ≤0时，f (x )的零点个数为1；当0<a <2e －1时，f (x )的零点个数为2.(16分)20. 解：(1) ①由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2分)所以a n －1＝2n －1.所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1＋1.(4分)②数列{a n }不是“等比源数列”，用反证法证明如下：假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m<n<k)按一定次序排列构成等比数列．因为a n ＝2n －1＋1，所以a m <a n <a k .(7分)所以a 2n ＝a m ·a k ，得(2n －1＋1)2＝(2m －1＋1)(2k －1＋1)，即22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m＝1.又m<n<k ，m ，n ，k ∈N *，所以2n －m －1≥1，n －m ＋1≥1，k －1≥1，k －m ≥1.所以22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m 为偶数，与22n －m ＋1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列． 综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．(10分) (2) 不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0.当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d >0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m >0. 为了使得{a n }为“等比源数列”，只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m <n <k )，使得a 2n ＝a m a k 成立，即[a m ＋(n －m )d ]2＝a m [a m ＋(k －m )d ]，即(n －m )[2a m ＋(n －m )d ]＝a m (k －m )成立．(13分) 当n ＝a m ＋m ，k ＝2a m ＋a m d ＋m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列， 所以，数列{a n }为“等比源数列”．(16分) 附加题21. A. 解：因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，所以∠ACB ＝90°，AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8. 因为直线l 为圆O 的切线， 所以∠DCA ＝∠CBA .所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ， 所以AB AC ＝AC AD ＝BCDC.(5分)又因为AB ＝10，BC ＝6，所以AD ＝AC 2AB ＝325，DC ＝AC ·BC AB ＝245.由DC 2＝DE ·DA ，得DE ＝DC 2DA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫245325＝185.(10分)B. 解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 022⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10－112.(5分)M －1的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 01 λ－12＝(λ－1)⎝⎛⎭⎪⎫λ－12＝0，所以λ＝1或12. 所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1或12.(10分)C. 解法一：以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .圆C 的平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋(y －22)2＝8，圆心C (0，22)． A 的直角坐标为(2，2)．(4分)直线AC 的斜率k AC ＝22－20－2＝－1.所以，直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22，(8分) 极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝22，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2.(10分) 解法二：在直线AC 上任取一点M (ρ，θ)，不妨设点M 在线段AC 上． 由于圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫22，π2，S △OAC ＝S △OCM ＋S △OAM ，(4分)所以12×22×2sin π4＝12×2×ρsin(θ－π4)＋12×ρ×22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ(cos θ＋sin θ)＝22化简，得直线AC 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2.(10分)D. 证明：∵ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4) ＝a 5(a －b )－(a －b )b 5(2分)＝(a －b )(a 5－b 5)(4分)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)(8分)又a ≥0，b ≥0，所以a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0，即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 如图，分别以AB ，AD ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)． 设P(x 0，y 0，z 0)，由SP →＝13SD →，得(x 0，y 0，z 0－2)＝13(0，2，－2)，∴ x 0＝0，y 0＝23，z 0＝43，点P 坐标为(0，23，43)．CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43，43，AB →＝(1，0，0)，(2分)设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×0＋43×01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43×1＝34141.(4分)(2) 设平面APC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎨⎧m ·AC →＝x 1＋2y 1＝0，m ·AP →＝23y 1＋43z 1＝0.令y 1＝－2，则x 1＝4，z 1＝1，m ＝(4，－2，1)．(6分)设平面SCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由于DC →＝(1，0，0)，DS →＝(0，－2，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝x 2＝0，n ·DS →＝－2y 2＋2z 2＝0，令y 2＝1，则z 2＝1，n ＝(0，1，1)．(8分)设二面角APCD 的大小为θ，由于cos 〈m ，n 〉＝0×4＋1×（－2）＋1×12×21＝－4242，所以，由向量m ，n 的方向，得cos θ＝－cos 〈m ，n 〉＝4242.(10分) 23. 解：(1) 因为f n (x)为f n －1(x)的导数，所以f 1(x)＝f′0(x)＝(sin x ＋cos x)＋x(cos x －sin x) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x)，(2分)同理，f 2(x)＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x ．(4分)(2) 由(1)得f 3(x)＝f′2(x)＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ，(5分) 把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)分别改写为f 1(x)＝(x ＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)cos (x ＋π2)，f 2(x)＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)cos (x ＋2π2)， f 3(x)＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)cos (x ＋3π2)， 猜测f n (x)＝(x ＋n)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n)cos (x ＋n π2) (*)．(7分)下面用数学归纳法证明上述等式．(i ) 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立；(ii ) 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x)＝(x ＋k)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2.则当n ＝k ＋1时， f k ＋1(x)＝f′k (x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋cos (x ＋k π2)＋(x －k)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝(x ＋k ＋1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )sin(x ＋n π2)＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2成立．(10分)。