第八章 配方试验设计

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xj aj
aj为各自然变量对应的最小值（下界）：
3.单纯形格子点设计基本步骤
(1)明确试验指标，确定混料组分 (2)选择单纯形格子点设计表，进行试验设计 根据配方试验中的组分数m和所确定的阶数d，选择相 应的{m，d}单纯形格子点设计表。设计表中的数值为规 范变量zj，然后据此计算出自然变量xj的取值，并列出试 验方案。 (3)回归方程的建立 根据单纯形格子点设计表选择相应的回归模型，直接 将每号试验的编码及试验结果代入对应的回归模型，就 可求出各回归系数。
x j 0( j 1,2,, m)，x1 x2 xm 1
如果产品含有三种成分，其比例分别为x1、x2、x3，则 试验指标y与x1、x2、x3之间的三元二次回归方程可以表 示为：
2
第八章 配方试验设计
ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b23 x2 x3
3
单纯形是指在一定空间中最简单的图形，它是n维空间 中n+1个点的集合所形成的最简单封闭几何图形，如二维 空间的单纯形为一个正三角形，三维空间的单纯形是一个 正四面体，n维空间的单纯形有n+1个顶点。 若单纯形中任意两个顶点的距离都相等，则称这种单纯 形为正规单纯形。 例如组分数m=3的配方试验，各组分百分比xj(j=1,2,3) 只能取在二维正规单纯形——等边三角形上： A(1,0,0) x1
1
第八章 配方试验设计
配方试验设计又称混料试验设计，其目的是合理地选 择少量试验点，通过一些不同配比的试验，得到指标与 成分百分比之间的回归方程，并进一步探讨组成与指标 之间的内在规律，方法主要有：单纯形格子点设计、单 纯形重心设计、配方均匀设计。
8.1 配方试验设计约束条件
混料约束条件可以表示为：
m维的单纯形重心设计共有2m-1个重心，即试验点数为 2m-1个。 单纯形重心设计方案的确定可以直接参考单纯形重心设 计表（见书P228~229附录10）。 具体例子见书P150~151例9－2。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 1 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 x2 0 1 0 0 0.5 0 0 0.5 x3 0 0 1 0 0 0.5 0 0.5 x4 0 0 0 1 0 0 0.5 0 y 1.8 25.4 28.6 38.5 4.9 3.1 23.7 3.4 试验号 9 10 11 12 13 14 15 x1 0 0 0.33 0.33 0.33 0 0.25 x2 0.5 0 0.33 0.33 0 0.33 0.25 x3 0 0.5 0.33 0 0.33 0.33 0.25 x4 0.5 0.5 0 0.33 0.33 0.33 0.25 y 37.4 10.7 22.0 2.4 2.5 11.1 0.8
b12 10 b12 0.8
b23 4.4
由5＃试验得：
由6＃试验得：
ˆ y 6.5 z1 5.5 z2 7.5 z3 10 z1 z2 0.8 z1 z3 4.4 z2 z3
8.2 单纯形配方设计
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x3 0.1 x1 x2 由z j ，可得： z1 ，z2 ，z3 m 0.9 0.9 0.9 1 a j
8.3 配方均匀设计
8.2 单纯形配方设计
12
P148~149例9－1{3，2}单纯形格子点设计方案及试验结果：
试验号
1 2 3 4 5 6
z1
1 0 0 1/2 1/2 0
z2
0 1 0 1/2 0 1/2
z3
0 0 1 0 1/2 1/2
评分y
6.5 5.5 7.5 8.5 6.8 5.4
ˆ y b j z j bkj z k z j
{m，d} 格子点集中共有 2.单纯形格子点设计试验方案的确定
（1）无约束单纯形格子点设计 无约束配方设计中，每种组分xj可以在0~1范围内变化， 其取值与阶数d有关，为1/d的倍数，即：
1 2 d 1 x j 0, , ,, ,1 d d d
8.2 单纯形配方设计
7
无约束单纯形格子点设计自然变量与规范变量相等，即 xj=zj，不必区分规范变量与自然变量。 单纯形格子点设计表可参考书P228附录9。 （2）有约束单纯形格子点设计 混料组分除了受下式约束外：
将上表中的15个试验数据代入上式即可得到相应的偏 回归系数，从而得到如下的回归方程：
ˆ y 1.8 x1 25 .4 x2 28 .6 x3 38 .5 x4 34 .8 x1 x2 48 .4 x1 x3 14 .2 x1 x4 94 .4 x2 x3 21 .8 x2 x4 91 .4 x3 x4 624 .6 x1 x2 x3 530 .1x1 x2 x4 175 .8 x1 x3 x4 40 .8 x2 x3 x4 1614 .0 x1 x2 x3 x4
C′
F B′
B(0,1,0) x2
A′
C(0,0,1) x3
8.2 单纯形配方设计
4
等边三角形的高为1，三角形内任一点F到三边的距离 之和为1。 三角形的三个顶点分别代表单一组分的混料，三条边上 的点表示对应两顶点纯组分的二元混合物，FA′代表F点 的x1，FB′和FC′分别代表F点的x2、x3。
8.3 配方均匀设计
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配方及对应的指标值。 注意：利用回归分析法分析配方均匀设计结果，在选择配 方均匀设计表时，试验次数应多于回归方程系数的个数。 具体例子见书P153例9－3。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 0.817 0.684 0.592 0.517 0.452 0.394 0.342 0.293 x2 0.055 0.179 0.340 0.048 0.201 0.384 0.592 0.118 y 8.508 9.464 9.935 9.400 10.680 9.748 9.698 10.238 试验号 9 10 11 12 13 14 15 x1 0.247 0.204 0.163 0.124 0.087 0.051 0.017 x2 0.326 0.557 0.809 0.204 0.456 0.727 0.033 y 9.809 9.732 8.933 9.971 9.881 8.892 10.139
j 1 k j
m
b1 z1 b2 z 2 b3 z3 b12 z1 z 2 b13 z1 z3 b23 z 2 z3
8.2 单纯形配方设计
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由1＃试验得：b1 6.5 由2＃试验得：b2 5.5 由3＃试验得：b3 7.5 由4＃试验得：
b1 b2 b12 8.5 2 2 4 b1 b3 b13 6.8 2 2 4 b2 b3 b23 5.4 2 2 4
j 1 k j
m
8.2.3 单纯形格子点设计
1.单纯形格子点的表示 {m，d}表示正规单纯形顶点数为m（也就是组分数为 m），阶数为d（即每边的等分数）的格子点集。 比如三顶点正规单纯形的四阶格子点集记为{3，4}。
8.2 单纯形配方设计
6
(m d 1)! 个点，正好与 回 (m 1)！d ! 归方程中待估计的回归系数的个数相等，所以单纯形格 子点设计是饱和设计。常用单纯形格子点设计的试验次 数与m、d之间的关系见书P146表9－1。
xj aj
j 1
ˆ y 6.5 z1 5.5 z 2 7.5 z3 10 z1 z2 0.8 z1 z3 4.4 z 2 z3 0.833 7.32 x1 6.65 x2 8.33 x3 12.35 x1 x2 0.99 x1 x3 5.43 x2 x3
通过Excel规划求解可知z1=0.55，z2=0.45，z3=0时y取得 最大值8.525，即x1=0.495，x2=0.405，x3=0.1时y取得最大 值8.525。
8.2.4 单纯形重心设计
1、单纯形重心设计试验方案的确定 单纯形重心设计就是将试验点安排在单纯形的重心上。
15
8.2 单纯形配方设计
9
x1
z1
百度文库
这里只介绍有下界约束的 单纯形格子点设计，因为此 时试验范围为原正规单纯形 内的一个规则单纯形（如右 图所示），所以仍可使用单 纯形设计。
a3
a2
z2
x2
a1
z3
x3
在选用单纯形格子点设计前，应将自然变量转化为规 范变量： xj aj zj m 1 a j
j 1
8.2 单纯形配方设计
x j 0( j 1,2,, m)，x1 x2 xm 1
还受其他约束条件限制：
a j x j b j , j 1,2,, m
有上下界约束的配方试验其试验空间是正规单纯形 内的一个凸几何体，如m=3的有上下界约束的混料试 验区间如下：
8.2 单纯形配方设计
8
8.2 单纯形配方设计
8.2 单纯形配方设计
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ˆ y b j x j bkj xk x j
j 1 k j
m
l k j
b
lkj
xl xk x j b1234 x1 x2 x3 x4
b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b14 x1 x4 b23 x2 x3 b24 x2 x4 b34 x3 x4 b123 x1 x2 x3 b124 x1 x2 x4 b134 x1 x3 x4 b234 x2 x3 x4 b1234 x1 x2 x3 x4
8.2 单纯形配方设计
11
(4)最优配方的确定 根据回归方程以及有关约束条件，通过Excel中的“规 划求解”工具，可以预测最佳的试验指标值及其对应zj的 最佳取值，将其转换成自然变量，就可得到最优配方。 (5)回归方程的回代 如果各组分xj无约束，则不需要转换，如果各组分xj有下 界约束，需将y与zj的回归方程转换成y与xj的回归方程。 具体例子见书P148~149例9－1。
回归方程没有了常数项和二次项，只有一次项和交互项。 又由于x3 1 x1 x2，所以上述回归方程还可以表示如下：
2 ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b11 x12 b22 x2
8.2 单纯形配方设计
8.2.1 单纯形的概念
8.2 单纯形配方设计
8.2 单纯形配方设计
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8.3 配方均匀设计
单纯形配方设计虽然简单，但是试验点在试验范围内的 分布并不十分均匀，而且试验边界上的试验点过多，为了 克服上述缺点，可以运用配方均匀设计。 配方均匀设计表可参考书P229~239附录11。 配方均匀设计表规定了每号试验中每种组分的百分比， 这些试验点均匀地分散在试验范围内，用配方均匀设计表 安排好试验后，获得试验指标yi的值。 由于配方均匀设计的试验点分布比较均匀，所以试验结 果的分析可用直观分析法直接选用其中最好的试验点作为 最优配方。 也可利用“试验数据的回归分析”章节的知识建立回归 方程，然后利用Excel“规划求解”工具由回归方程确定最 优
8.2.2 单纯形配方设计的回归模型
m种组分的d次多项式回归模型如下： ①一次式（d＝1） A(1,0,0) x1
C′ F B′ A′
m
ˆ y bj x j
j 1
B(0,1,0) x2
C(0,0,1) x3
8.2 单纯形配方设计
5
②二次式（d＝2）
ˆ y b j x j bkj xk x j
2 2 b11 x12 b22 x2 b33 x3
由于b0 b0 ( x1 x2 x3 )，x12 x1( 1 x2 x3 )，
2 2 x2 x2 ( 1 x1 x3 )，x3 x3 ( 1 x1 x2 )
整理可得 ˆ b1 x1 b2 x2 b3 x3 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b23 x2 x3 y