高等数学曲线积分与曲面积分习题课非常有用

[P(ξi ,ηi
)Δxi
+Q(ξi
, ηi
)Δyi
]
联
系
∫LPdx+Qdy= ∫L(Pcosα +Qcosβ)ds
计 ∫L f (x, y)ds
∫=
β
f [ϕ, ψ]
ϕ′2 + ψ′2dt
α
算 三代一定
(α < β)
∫LPdx + Qdy
∫=
β
[
P
(ϕ,
ψ)ϕ′
+
Q(ϕ,
ψ
)ψ′]dt
α
二代一定 (与方向有关)
Байду номын сангаас
,
−
f
′
y
,
1
,
I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
= ∫∫ {P,Q, R}⋅ {dydz,dzdx,dxdy}= ∫∫ Ar ⋅ nr0ds
Σ
Σ
=
∫∫
{P
,Q,
R}
⋅
{−
f
′
x
,−
f
′
y
,1}dxdy
Σ
将Σ在xoy面投影∫∫ {P, Q, R}⋅ {− f x′, − f y′, 1}dxdy. Σ
b
f ( x)dx.
Σ
a
二重积分 当Σ → R2上区域D时,
∫Σ f (M )dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ . D
高等数学十
99//228★8
曲线积分 当Σ → R2上平面曲线L时,
∫Σ f (M )dσ = ∫L f ( x, y)ds.
三重积分 当Σ → R3上区域Ω时,
∫Σ f (M )dσ = ∫∫∫ f ( x, y, z)dV Ω
高等数学十
2277//228★8
例５ 计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z2dxdy, 其中 ∑ 为 ∑
锥面 z = x2 + y2 被平面 z = 1, z = 2 所截部分的外侧．
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫ Σ
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
∫∫
Σ
∂R ( ∂y
−
∂Q )dydz
∂z
+
∂P (
∂z
−
∂R )dzdx
∂x
+
∂Q (
∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
高等数学十
Green公式,Guass公式,Stokes公式之1144//228★8
Σ
Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 ∫L Pdx + Qdy = ∫ (P cos α + Q cosβ)ds
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
= ∫∫ (P cosα + Q cos β + Rcosγ )ds Σ
高等数学十
1122//228★8
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
高等数学十
55//228★8
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域 D 上 P( x, y),Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
价 (2) ∫C Pdx + Qdy = 0,闭曲线C ⊂ D
命 (3) 在D内存在U ( x, y)使du = Pdx + Qdy 题 (4) 在D内, ∂P = ∂Q
一、主要内容 二、典型例题
22//228★8
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
高等数学十
（一）曲线积分与曲面积分
对对弧弧长长的的
对对面面积积的的
曲曲
曲曲线线积积分分
曲曲面面积积分分
线线 积积 分分
定定 义义
联 系
计计 算算
定定 联 义义 系
计计 算算
对对坐坐标标的的 曲曲线线积积分分
23 . 15
高等数学十
例 2 计算
∫ I = (e x sin y − my )dx + (e x cos y − m)dy , L
其中 L为由点(a ,0)到点(0,0)的上半圆周 x 2 + y2 = ax, y ≥ 0.
解
Q
∂P = ∂ (e x sin y − my) = e x cos y − m ∂y ∂y
∂Q = ∂ (e x cos y − m) = e x cos y ∂x ∂x
即 ∂P ≠ ∂Q ∂y ∂x
(如下图)
高等数学十
1188//228★8
1199//228★8
∫ ∫ ∫ ∫ I = − = −
y
L+OA O A AMOA OA
∫ ∫∫= (∂Q − ∂P )dxdy
AMOA D ∂x ∂y
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
Stokes公式Green公式
计算 曲面积分
Guass公式
定积分
计算 重积分
高等数学十
88//228★8
积分概念的联系
n
∫ ∑ f (M )dσ = lim
Σ
λ →0
f (M )Δσ i , f (M )点函数
i =1
定积分 当Σ → R1上区间[a,b]时,
∫ ∫ f (M )dσ =
系Σ
Σ
计
∫∫ f (x, y,z)ds
Σ
∫∫R(x, y,z)dxdy
Σ
= ∫∫ f[x, y,z(x, y)] 1+ zx2 + z2ydxdy = ±∫∫R[x, y,z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
高等数学十
77//228★8
∫b f ( x)dx = F (b) − F (a)
(F ′( x) = f ( x))
a
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
∫∫ D
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
=
∫L
Pdx
+
Qdy
(沿L的正向)
格林公式
高等数学十
1133//228★8
3.三重积分与曲面积分的联系
∫∫∫ Ω
(∂P ∂x
= 1,
参数方程为⎨⎧ ⎩
x y
= =
cos3 sin 3
t, t,
(0 ≤ t ≤ π) 2
高等数学十
ds = ( xt′)2 + ( y′t )2dt = 3sin t cos tdt,
π
∫ S = 8 2 1 − cos6 t − sin6 t 3sin t cos tdt 0
π
∫ = 24 2 3sin2 t cos2 t sin t cos tdt 0
∑ 为平面 x − y + z = 1在第一卦限部分的上侧 ．
z
解 利用两类曲面积分之间的关系
1
Q ∑ 的法向量为 nr = {1,−1,1},
∑
∴cosα =
1
, cos β =
1
, cosγ
=
1
−1
.
3
3
3
o
1
x
y
高等数学十
2255//228★8
I
=
∫∫ {
∑
1[ 3
f
( x,
y,z) +
x]dydz
∫∫ ( Ar ⋅ nr )ds = ∫∫∫ div Ar dv
Σ
Σ
Ω
∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
dydz dzdx dxdy
∫∫ Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy
Σ
= ∫∫ Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
PQ R
=
∫Ω∫∫(∂∂Px
+
∂Q ∂y
+
∂R)dv ∂z
高等数学十
1155//228★8
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S = ∫∫ dS
Σ
∫∫ =
1
+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
Dxy
∫ x S =
f ( x, y)ds
L( A,B)
∫=
b
f (x, y)
1 + y′2dx
a
高等数学十
曲顶柱体的表面积
2211//228★8
如图曲顶柱体，
z z = f (x, y)
∫∫ S =
(1 +
1+
I = ∫L Pdx + Qdy
∫ ∫∫ I =
( x, y)
Pdx
( x0 , y0 )
+ Qdy 非闭 ∂P
=
∂Q
∂P ≠ ∂Q 闭合 I =
(∂Q − ∂P )dxdy D ∂x ∂y
∫ I = L Pdx + Qdy =0闭合 ∂y ∂x ∂y ∂x 非闭 补充曲线或用公式
高等数学十
1177//228★8
− 1 [2 f ( x, y, z) + y]dzdx + 1 [ f ( x, y, z) + z]}ds
3
3
=
1 3
∫∫
∑
(
x
−
y
+
z)ds
∫∫ = 1 1⋅ 3dxdy = 1 .
3 Dxy
2
高等数学十
2266//228★8
向量点积法
{ } 设Σ :
z=
f ( x, y),
法向量为
−
f
′
x
o
∫∫ = m dxdy = m πa2,
D
8
∫ ∫= a 0 ⋅ dx + (e x − m) ⋅ 0= 0, OA 0
M
x
A(a,0)
∫ ∫ ∴ I =
−
= m πa2 − 0 = m πa2.
AMOA OA
8
8
高等数学十
曲面面积的计算法
z
z = f (x, y)
S
2200//228★8
z
z = f (x, y)
（三）场论初步
梯度 gradu = ∂u ir + ∂u rj + ∂u kr ∂x ∂y ∂z
通量 散度
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ divAr = ∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z
∫ 环流量 Γ = Pdx + Qdy + Rdz Γ
旋度
r rotA
=
(
D
a y1 ( x )
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f ( x, y, z)dV =
b
dx
y2
(
x
)
dy
z2( x,y) f ( x, y, z)dz, (dV体元素)
Ω
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
∫ ∫ f ( x, y)ds =
b
f [ x, y( x)]
1 + y′2dx, (ds线元素(曲))
曲线积分 当Σ → R3上空间曲线Γ时,
∫Σ f (M )dσ = ∫Γ f ( x, y, z)ds.
曲面积分 当Σ → R3上曲面S时,
∫Σ f (M )dσ = ∫∫ f ( x, y, z)dS. S
高等数学十
1100//228★8
计算上的联系
∫∫ ∫ ∫ f ( x, y)dσ =
b
[
y2( x) f ( x, y)dy]dx, (dσ面元素)
∂R
−
∂Q
r )i
+
(
∂P
−
∂R)
r j
+
(∂Q
−
∂P
r )k
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
高等数学十
1166//228★8
∫ 例 1 计算I = ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy, L
其中L为由点O(0,0)到点 A(1,1)的曲线 y = sin π x. 2
思路:
∂y ∂x
高等数学十
66//228★8
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
∫∫ ∑ Σ
f (x, y,z)ds= lim λ→0 i=1
f (ξi ,ηi ,ζi )Δsi
n
∫∫ ∑ Σ
R(x,
y,z)dxdy= lim λ→0 i=1
R(ξi ,ηi ,ζi )(ΔSi )xy
联 ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(Pcosα +Qcosβ + Rcosγ )dS
∫π
= 24 3 2 sin2 t cos2 tdt
= 3 3 π.
0
2
高等数学十
2233//228★8
2244//228★8
例４ 计算
I = ∫∫[ f ( x, y, z) + x]dydz + [2 f ( x, y, z) + y]dzdx ∑
+ [ f ( x, y, z) + z]dxdy, 其中 f ( x, y, z) 为连续函数,
f2 x
+
f
2 y
)dσ
D
∫+ f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
高等数学十
2222//228★8
2
2
例 3 求柱面 x 3 + y 3 = 1在球面 x2 + y2 + z2 = 1内
的侧面积.
解 由对称性
∫ S = 8 zds L ∫= 1 − x2 − y2ds L
Q
2
L: x3 +
2
y3
间的关系
∫L
Pdx
+
Qdy
=
∫∫
D
(
∂∂QxAr−(∂∂MPy )d)为xdy平或面∫向L −量Qd场x +
Pdy
=
∫∫
D
(
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
)dxdy
∫LAr
⋅
dsr = ∫∫
D
推广
(
rotAr
⋅
kr)dxdy
∫L
(
r A
r A(
M
)为空间向量场
⋅
nr)ds
=
∫∫
r divAdxdy
D
推广
∫ΓA ⋅ dS = ∫∫ ( rot Ar ⋅ nr )dS
高等数学十
对对坐坐标标的的 曲曲面面积积分分
33//228★8
曲曲 面面 积积 分分
44//228★8
曲线积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
定
n
P(x, y)dx+Q(x, y)dy
∫ ∑ ∫ ∑ 义
L
f (x, y)ds= lim λ→0 i=1
f (ξi ,ηi )Δsi
L
n
=
lim
λ→0 i=1
L
a
∫ ∫ f ( x, y)dx = b f [ x, y( x)]dx, (dx线元素(投影))
L
a
高等数学十
1111//228★8
∫∫ f ( x, y, z)ds = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)] 1 + z′x2 + z′y2dxdy
Σ
Dxy
(ds面元素(曲))
∫∫ R( x, y, z)dxdy = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)]dxdy
解 由 I = ∫ ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy
知 ∂P = ∂ ( x2 + 2xy) = 2x
y
∂y ∂y
1
A
∂Q = ∂ ( x2 + y4 ) = 2x
∂x ∂x
o
即 ∂P = ∂Q , ∂y ∂x
x
1
故原式
=
∫1 x2dx + 0
∫1(1 + 0
y4 )dy
=