有向图的连通性

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推论11.2
有向图G是单侧连通图当且仅当G中存在经过每个顶点至少一次的通路。
推论11.3
简单有向图中的每个结点和每条边恰好位于一个弱分图中。
小结
理解有向图的连通性、单侧连通、强连通和弱连通及它们的性质百度文库关于有向图的连 通性 的思维形式注记图如下图所示。
至少有一个结点
定理11.5
在有向图G = <V, E〉中,它的每一个结点位于且仅位于一个强分图内。
e 证:(1 )设v V,令S是G中所有与v相互可达的结点的集合,当然S也包括v,而S 与顶
点在S中的边集构成的G'是G中的一个强分图,因此G中的每一个结点必位于-个强分图 中。 (2)设v位于两个不同的强分图Gi和G2中,因为Gi中的每一个结点与v可达,而v 与G2中的每一个结点也相互可达,Gi中的每一个结点与G2中的每一个结点通过v都 相 互可达,这与题设Gi为强分图矛盾,故G的每一个结点只能位于一个强分图中。
弱连通:在有向图G=<V, E>中,如果在图G中略去边的方向,将它看成无向图G
(基图)是连通的。
"1
易知,强连通n单侧连通n弱连通
/ VX V |
例图:
、 定义11.6 ‘
在简单有向图G中,具有强连通性质的极大子图G'称为G的强分图(或强连通分量);具 有单侧连通性质的极大子图G”称为G的单侧分图(或单侧连通分量);具有弱连通性质 的极大子图称为G的弱分图(或弱连通分量)
1 11. 3有向图的连通性
定义1L5
设G二<V, E>是有向图,巧,Vj V如果从H到Vj存在一条有向路径,则称vt到Vj 可达,记为 Vj T V"
规定:Vi/e K 匕t Vj.
单侧连通:在有向图G=<V, E〉中,若对于任意结点偶对,至少有一个结点到另一 个结点
是可达的。
强连通:在有向图G二<V, E>中,若对于任意结点偶对都是相互可达的。
-小结
图 回路 路径 存在路
无向图
有向图
可±
扩大路径法
k(G)公(G)
割点 点连通度、边连通度
割边

1 强连通 虽分图' 弱连

1 通 弱分图 单侧连通「单


侧分图

定理11.4
一个有向图是强连通的,当且仅当G中存在经过每个顶点至少一次的回路。
证: 先证充分性,再证必要性。 (1) 充分性:如果图中有一条回路,它至少包含每个结点一次,则G中任意两个结点都 是 互相可达的,故G是强连通的。 (2) 必要性:若有向图G是强连通的,则任意两个结点都是可达的,故必可作一回路经过 图 中 是的 互所 相有 可各达点,。与若强不连然通则的必条有件一矛回盾路。不包含某一结点v,而且,v与回路上的各结点不 证毕。
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