1.3二次根式的运算(3)

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二次根式的加减法

二次根式的加减法一、知识概述 1、同类二次根式、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似． 2、二次根式的加减法法则、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并； (2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．变．3、二次根式的混合运算、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．相同的根式进行合并．解：．例2、计算：、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘题可套用完全平方公式计算．法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．、计算下列各题例4、计算下列各题．解：化简：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样，继续运算可避免错误．则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a 、b 即可求出x 、y ．解：，于是，于是即a ＋b =3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222． ∴x ＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a 、b 是实数，且，问a 、b 之间有怎样的关系？请推导．样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是、下列计算结果正确的是( ( ( ) )A ．B ．C ．D ．2、下列计算正确的是、下列计算正确的是( ( ( ) )A ．B ．C ．D ．3、下列各式化简结果不正确的是（、下列各式化简结果不正确的是（）A ．B ．C ．D ．4、下列计算正确的是（、下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．5、计算等于（等于（）A ．·1 1B ．3C ．D ．6、在数轴上点A 表示实数，点B 表示，那么离原点较远的点是（，那么离原点较远的点是（）A ．A AB ．BC ．A 、B 的中点的中点D ．不能确定．不能确定B 卷二、填空题7、△、△ABC ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a 、b 满足则△则△ABC ABC 的周长的取值范围是取值范围是__________________．．8、若成立，则xy 的值为的值为__________________．．9、若，则____________．．1010、已知正数、已知正数a 、b ，有下列结论：，有下列结论：(1)(1)若若a=1a=1，，b=1b=1，则，则；(2)(2)若若，则；(3)(3)若若a=2a=2，，b=3b=3，则，则；(4)(4)若若a=1a=1，，b=5b=5，则，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6a=6，，b=7b=7，则，则____________．．三、解答题1111、计算或化简下列各题：、计算或化简下列各题：、计算或化简下列各题：1212、计算：、计算：、计算：1313、已知、已知，求代数式的值．的值．1414、计算、计算．[1515、先观察下列等式，再回答问题：、先观察下列等式，再回答问题：、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n （n 为正整数）表示的等式，并加以验证．验证．一．选择题一．选择题DDCBDB 二．填空题二．填空题7、△、△ABC ABC 的周长大于6且小于1010．．8、由题意有x=2x=2，，y=3y=3，∴，∴，∴x x y =8=8．．9、．1010、、=13=13．．三．解答题三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。

二次根式总结

二次根式总结一、引言二次根式是数学中一个重要的概念，涉及到对平方根的运算和性质。

掌握好二次根式的基本知识对于理解和解决数学问题至关重要。

本文将对二次根式进行总结，从定义、性质到应用方面进行探讨。

二、定义与基本性质二次根式可以表示为√a（其中a≥0），这里√a称为二次根，a称为被开方数。

在二次根式中，一些基本性质需要予以关注。

首先，二次根式满足乘法分配律。

对于任意的非负实数a和b，有√(ab)=√a × √b。

这个性质与平方根的性质一致，可以利用它对二次根式进行简化。

其次，二次根式可以进行合并化简。

如果a和b都是非负实数，则√a + √b可以合并成一个根式。

例如，√2 + √3 = √(2+3) = √5。

这一点在化简二次根式的过程中常常应用到。

另外，二次根式的乘法也有一定的规律。

对于任意非负实数a 和b，有(√a × √b) = √(ab)。

同样地，在乘法的过程中可以利用这一性质对二次根式进行化简。

三、进一步探讨与应用1. 二次根式的化简化简二次根式是使用二次根式的基本性质，将复杂的根式表示简化为更简洁的形式。

例如，√8可以化简为2√2，√5 × √3可以化简为√15。

化简二次根式有助于简化运算和解决数学问题。

在化简二次根式时，可以利用约束性质，并通过提取公因数的方式进行。

例如，对于√8，可以提取公因数2，即√(2 × 4) = 2√2。

2. 二次根式的加减运算二次根式的加减运算可以通过化简和合并根式进行。

对于√a + √b，如果a和b无法合并，则不能再继续进行简化。

例如，对于√2 + √3，不能再进行进一步的运算。

但是可以计算其近似值，如√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 ≈ 3.146。

3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算可以利用乘法分配律和二次根式的乘法规律进行。

利用这两个性质，可以轻松地计算复杂的二次根式。

1.3二次根式的运算(3)(小片叔叔新浙教版精品课件)

C
A
E
F
D
练习：
1 、已知RtΔ ABC，∠C＝Rt∠，BC＝a ， AC＝a ，则斜边上的高长。
B
A
C
2、长方形的面积是24，其中一边长是
2 3 ，则另一边长是
。
3、如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、②的面积分别为4和3，求图中阴影部分的面积。
浙教版初中数学八年级(上)
1. 3 二次根式的运算（3）
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引例
一辆汽车从一道斜坡上开过，已知斜坡的坡比为1：10，AC=20m，求斜坡的长.
B
A
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比
C
A
例1：消防车上的云梯AB长15m， AD：BD=1 ：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距
离AE吗？
D
E
B
C
例1：消防车上的云梯AB长15m， AD：BD=1 ：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距
离AE吗？
例2扶梯AB的坡比（BE与AE的长度之比）为 3 1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6，AE= 米， 1 2 BC= 2 CD。
一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程. B

2022年中考数学考点一遍过考点03分式与二次根式含解析202222281136

考点03 分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称A B为分式．（2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母．【注意】①若B ≠0，则AB有意义；②若B =0，则AB无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则（1）约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式． 4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 6．最简公分母几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=． ②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅．（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．用式子表示为：a c a d a db d bc b c⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数，0)b ≠．（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．二、二次根式1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)a b =≥≥；（50,0)a b ≥>． 3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除 0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一分式的有关概念1．分式的三要素：（1）形如AB的式子；（2）,A B均为整式；（3）分母B中含有字母．2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即0B≠．（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．典例1x的取值范围是A．x≥4B．x>4 C．x≤4D．x<4 【答案】D4-x>0，解得：x<4，即x的取值范围是：x<4，故选D．【名师点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．1．若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x>1考向二分式的基本性质分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．典例2 分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为A．扩大为原来2倍B．缩小为原来的12倍C．不变D．缩小为原来的14倍【答案】B【解析】∵若x、y的值都扩大到原来的2倍，则为()()()2234623123 12432323x yx y x y x y xy xy xy xy++++===⋅∴把分式233x yxy+中的x、y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值为原来的12，故选B．【名师点睛】本题考查了分式的基本概念和性质的相关知识．这类题目的一个易错点是：在没有充分理解题意的情况下简单地通过分式的基本性质得出分式值不变的结论．对照分式的基本性质和本题的条件不难发现，本题不符合分式基本性质所描述的情况，不能直接利用其结论．因此，在解决这类问题时，要注意认真理解题意．2．下列变形正确的是A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考向三分式的约分与通分1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．典例3 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确A．21 1x x +-约分的结果是1xB ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1 C ．22xx 约分的结果是1 D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ．【名师点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握． 3．下列分式中，是最简分式的是A ．2xyxB ．222x y-C ．22x y x y +-D ．22xx + 考向四分式的运算（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．典例4 化简：2291(1)362m m m m -÷---．【解析】2291(1)362m m m m -÷--- 33m m+=．【名师点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．4．先化简，再求值：2221()211x xx x x x+÷--+-，其中x=4．考向五二次根式的概念与性质1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．典例5 函数yA．x>0且x≠0B．x≥0且x≠12C．x≥0D．x≠12【答案】B【解析】根据题意得，x≥010≠，∴x≥0且x≠12．故选B．【名师点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数是非负数且分母不为零．5．已知：x>4=__________．典例6 下列二次根式是最简二次根式的是A B C D【答案】C【解析】A=，故原选项不是最简二次根式；B=C是最简二次根式；D =4，故原选项不是最简二次根式，故选C ．6；．其中是最简二次根式的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个考向六二次根式的运算1．二次根式的运算（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 2．比较分式与二次根式的大小（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．典例7 下列计算正确的是A =B 6=C 5=D 4=【答案】A【解析】A 、原式-B 、原式CD 、原式，错误，故选A ．7．计算：（1（2）（–2．典例8 比较大小：__________5（填“>” “<”或“=”）．【答案】>【解析】因为2228,525==，28>25，所以>5．故答案为：>．【名师点睛】比较二次根式的大小，可以转化为比较被开方数的大小，也可以将两个数平方，计算出结果，再比较大小．8．设a b 1，c，则a ，b ，c 之间的大小关系是 A ．c >b >a B ．a >c >b C ．b >a >cD ．a >b >c1(2)a -有意义，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≥B ．2a ≠C ．1a ≥-且2a ≠D ．a >22．若分式293x x -+的值为零，则x 值为A ．x =±3B ．x =0C ．x =-3D ．x =33．下列式子是最简二次根式的是ABCD ．4．在化简分式23311x x x-+--的过程中，开始出现错误的步骤是 A ．33(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+-+-+-B ．331(1)(1)x x x x --++-C ．22(1)(1)x x x --+-D ．21x -- 5．下列关于分式的判断，正确的是A ．当x =2时，12x x +-的值为零 B ．当x ≠3时，3x x -有意义C ．无论x 为何值，31x +不可能得整数值D ．无论x 为何值，231x +的值总为正数6．计算33a a a +-的结果是 A ．6a a + B ．6a a-C ．1aD ．17a 的值为 A ．1 B ．2C ．23D ．328．化简2211x ax ÷--的结果是21x +，则a 的值是A ．1B ．-1C ．2D ．-29．已知 1x <，则化简的结果是 A ．1x - B ．1x - C ．1x --D ．1x +10．下列运算中错误的是AB ．＋C2D 11．若分式11x x -+的值为0，则x 的值为 A ．1B ．−1C ．±1D ．无解12 A ．2B ．21x - C ．23x -D ．41x x --13．若x 、y ()2210y -=，则x y +的值等于A ．1B ．32 C ．2D ．5214a=，则1x x+的值为 A ．22a - B ．2a C ．24a -D ．不确定15．16最接近的整数是__________．17．比较大小：>、<、或=”）18．计算（-2）（-2）的结果是__________．19．已知a ，b 互为倒数，代数式222a ab b a b+++_____________．20．若1112a b -=，则a b abab a b--=-__________．21．计算：（10)a ≥；（2．22．先化简，再求值：22(1)a b a b a b -÷--，其中1a =，1b =． 23．先化简：22144(1)1m m m m m-+-÷--，再从-1≤m ≤2中选取合适的整数代入求值． 24．先化简，再求值：22121(1)1121m m m m m --÷-+--+，其中m 为一元二次方程230x x +-=的根． 25．先化简，再求代数式21211a aa a a -÷-+-的值，其中a =2cos30°．1．（2019•常州）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是A ．x =-1B ．x =3C ．x ≠-1D ．x ≠32．（2019x 的取值范围是 A ．x >0 B ．x ≥-1 C ．x ≥1D ．x ≤13．（2019•黄石）若式子2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ≥1且x ≠2B ．x ≤1C ．x >1且x ≠2D ．x <14．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是A BCD5．（2019•贵港）若分式211x x -+的值等于0，则x 的值为A ．±1B ．0C ．-1D ．16．（2019=A ．B ．4CD ．7．（2019•扬州）分式13x-可变形为 A ．13x + B ．13x -+ C ．13x -D ．13x --8．（2019•江西）计算1a ÷（21a-）的结果为 A ．a B ．-aC ．31a -D ．31a 9．（2019·天津）计算2211a a a +++的结果是 A ．2B ．22a +C ．1D ．41aa + 10．（2019•临沂）计算21a a --a -1的正确结果是A ．11a -- B ．11a - C ．211a a ---D ．211a a --11．（2019•北京）如果m +n =1，那么代数式22221()()m n m n m mn m++⋅--的值为 A ．-3B ．-1C ．1D ．312．（2019•河北）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在 A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④13．（2019·重庆A 卷）估计 A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间D ．7和8之间14．（2019有意义时，x 应满足的条件是__________．15．（2019的结果是__________．16=__________．17．（2019•吉林）计算：22yx·x y =__________．18．（2019·天津）计算1)的结果等于__________．19．（2019·南充）计算：2111x x x+=--__________．20．（2019•武汉）计算221164a a a ---的结果是__________．21．（20192）2 22．（2019•益阳）化简：2244(4)2x x x x+--÷． 23．（2019•深圳）先化简（132x -+）2144x x x -÷++，再将x =-1代入求值．24．（2019•河南）先化简，再求值：2212(1)244x x xx x x +--÷--+，其中x ． 25．（2019•烟台）先化简（x +373x --）2283x xx -÷-，再从0≤x ≤4中选一个适合的整数代入求值．26．（2019•安顺）先化简2221(1)369x x x x -+÷--+，再从不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．1．【答案】B 【解析】∵分式21xx-在实数范围内无意义， ∴1-x =0，即x =1，故选B ． 2．【答案】D【解析】A ．a b ≠22a b ++，故A 错误； B ．0.20.1a b b +=210a b b +，故B 错误；C ．a b -1=a b b-，故C 错误，故选D ． 3．【答案】D 【解析】A 、2xy x =yx，错误； B 、222x y -=1x y-，错误；C 、22x y x y +-=1x y-，错误；D 、22xx +是最简分式，正确．故选D ．4．【解析】2221()211x x x x x x+÷--+-=2(+1)2(111)()()x x x x x x x --÷--=2()(+1)111)(x x x x x x -⋅-+=21x x -，当x =4时，原式=2416413=-．5．【答案】B【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件知，必须101x x -≥⇒≥．故选B ．6．【答案】B==，=，∴ 故选B ．7．【解析】（1）原式162．（2）原式=（–4）÷2=4÷2=12． 8．【答案】D【解析】a −1），b −1，c）×−1），，∴a >b >c ．故选D ．1．【答案】C【解析】由题意得：a+1≥0，且a–2≠0，解得，1a≥-且2a≠．故选C．2．【答案】D【解析】∵分式293xx-+的值为零，∴x2-9=0且x+3≠0．解得：x=3．故选D．3．【答案】C【解析】A=B，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；CD、=故选C．4．【答案】B【解析】∵正确的解题步骤是：23311xx x-+--33(1)(1)(1)(1)(1)x xx x x x-+=-+-+-333(1)(1)x xx x---=+-，∴开始出现错误的步骤是331(1)(1)x xx x--++-．去括号是漏乘了．故选B．5．【答案】1【解析】∵x>4，∴x-4>0，∴原式=44xx--=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】33331a a a a a++--==，故选D ． 7．【答案】D【解析】1+4a a =-，解得32a =，故选D ． 8．【答案】A 【解析】22122111111x x a x x x x +=÷==--+--，∴a =1，故选A ． 9．【答案】B【解析】∵x <1，∴x -1<0x -1|=1-x ．故选：B ． 10．【答案】B【解析】A ．原式，所以A 选项的计算正确；B ．和B 选项的计算错误C ．原式=2，所以C 选项的计算正确；D ．原式=4，所以D 选项的计算正确．故选B ． 11．【答案】A【解析】∵分式11x x -+的值为0，∴|x |−1=0，且x +1≠0，解得：x =1．故选A ．12．【答案】B（13x -−11x -）•（x −3）=13x -•（x −3）−11x -•（x −3）=1−31x x --=21x -．故选B ． 13．【答案】B【解析】()2210y -=，∴()2121022101x x y y ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩．∴13122x y +=+=．故选B ． 14．【答案】Ax +2+1x =a ²，∴x +1x=a ²−2，故选A ． 15==．16．【答案】4<<，，故答案为：4． 17．【答案】<，因为12<18，所以18．【答案】-16【解析】原式=-（）（）=-（20-4）=-16．故答案为：-16． 19．【答案】1【解析】对待求值的代数式进行化简，得()ab a b a b +⋅+ab =，∵a ，b 互为倒数，∴ab =1，∴原式=1．故答案为：1． 20．【答案】–32【解析】∵1112a b -=，∴a −b =−2ab ．∴原式=−22ab ab ab ab --=−2+12=−32．故答案为：−32．21．【解析】（1）原式=4a 2．（2）原式． 22．【解析】22(1)a b a b a b-÷-- a b =+，当1a =，1b =时，原式11=23．【解析】原式=2-2(1)1(2)m m m m m -⋅-- =2mm -，根据分式有意义的条件可知：m =-1， ∴原式=13． 24．【解析】原式=()()()22122111111m m m m m m m --+--÷++-- =()()()()21121112m m m m m m m ---⋅++-- =()1111m m m m --++ =()()11m m m m --+=()11m m + =21m m+．由m 是方程230x x +-=的根，得到23m m +=，所以原式=13． 25．【解析】原式=2111(1)1a a a a --+÷-- =211(1)a a a a --⨯-，=1a． ∵a=2= ∴原式3=．1．【答案】D 【解析】∵代数式13x x +-有意义，∴x -3≠0，∴x ≠3．故选D ． 2．【答案】C【解析】由题意，得x -1≥0，解得x ≥1，故选C ． 3．【答案】A【解析】依题意，得x -1≥0且x -200，解得x ≥1且x ≠2．故选A ． 4．【答案】D 【解析】A 2=，故A 不符合题意； B 7=，故B 不符合题意； C =C 不符合题意；D D 符合题意．故选D ．5．【答案】D 【解析】21(1)(1)11x x x x x -+-==++x -1=0，∴x =1，经检验：x =1是原分式方程的解，故选D ． 6．【答案】B4==．故选B ．7．【答案】D 【解析】分式13x -可变形为：13x --．故选D ． 8．【答案】B 【解析】原式1a =·（-a 2）=-a ，故选B ． 9．【答案】A【解析】原式=222(1)211a a a a ++==++，故选A ． 10．【答案】B 【解析】原式()211a a a =-+-22111a a a a -=---11a =-．故选B ． 11．【答案】D【解析】原式=2()m n m n m m n ++--·（m +n ）（m -n ）=3()m m m n -·（m +n ）（m -n ）=3（m +n ），当m +n =1时，原式=3．故选D ．12．【答案】B 【解析】∵2222(2)1(2)111441(2)111x x x x x x x x x x ++-=-=-=+++++++，又∵x 为正整数，∴12≤x <1，故表示22(2)1441x x x x +-+++的值的点落在②，故选B ． 13．【答案】C【解析】，又因为，所以，故选C ． 14．【答案】x >8有意义时，x -8>0，解得x >8．故答案为：x >8． 15．【答案】3，故答案为：3．16．【答案】【解析】原式==．故答案为：17．【答案】12x【解析】22y x ·12x y x =，故答案为：12x． 18．【答案】2【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．19．【答案】x +1 【解析】2111x x x +--=2111x x x ---211x x -=-()()111x x x +-=-1x =+，故答案为：x +1． 20．【答案】14a + 【解析】原式()()()()244444a a a a a a +=-+-+-()()2444a a a a --=+-()()444a a a -=+-14a =+．故答案为：14a +． 21．【解析】原式63⨯=7．22．【解析】原式=2(2)2(2)(2)x x x x x -⋅+- =242x x -+． 23．【解析】原式21(2)21x x x x -+=⨯+-=x +2，将x =-1代入得：原式=x +2=1．24．【解析】原式=212(2)()22(2)x x x x x x x +---÷--- =322x x x -⋅- =3x ，当x时，原式25．【解析】（x +373x --）2283x xx -÷-=（29733x x x ----）2283x xx -÷- (4)(4)3x x x +-=-·32(4)x x x -- 42x x +=，当x =1时，原式145212+==⨯．26．【解析】原式232(3)3(1)(1)x x x x x -+-=⨯-+- =31x x -+，解不等式组24324x x x -<⎧⎨<+⎩①②得-2<x <4， ∴其整数解为-1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x 可取0，2．∴当x =0时，原式=-3，（或当x =2时，原式=13-）．。

1.3.2二次根式的运算课件2004年浙教版八年级下

4m B 6m
E 7m C1.3 Nhomakorabea二次根式的运算(2)
复习归纳
二次根式的性质：（ 1）
( a) a
2
（a≥0）
a (a≤0) 。
（2）
倍速课时学练
a |a|=
2
a (a≥0) ；
复习归纳
二次根式的性质：（ 3）
ab
a b （a ≥0 ， b≥0）
倍速课时学练
（ 4）
a b
a （a ≥0 ， b＞0） b
• (a-1)的值.
2
时，代数式(a-1)2-(a+
2)
倍速课时学练
• 比较 4 6 与 2 5 的大小，并说明理由.
倍速课时学练
• 如图，两根高分别为4m和7m的竹杆相距6m，一根绳子拉直系在两根竹杆的顶端，问两竹杆顶端间的绳子有多长？ D A
倍速课时学练
复习归纳
二次根式有下面运算的性质
a b
倍速课时学练
ab （a ≥0 ， b≥0）
（a ≥0 ， b＞0）
a b
a b
• 例3 先化简，再求出近似值（精确到0.01）：
1 1 12 1 3 3
倍速课时学练
• 例4 计算：
•
• （1）
27 3 6 2 ;
3 ( 3 3) 6 8
• （2）
• (3)
倍速课时学练
( 48 27 ) 3
• 例5 计算： • （1） • （2） • （3）倍速课时学练
(2 2 3 3 )(3 3 2 2 )

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案3

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案3一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》是学生在学习了实数、分数、代数等知识的基础上，进一步深化对二次根式的理解和应用。

本节内容通过具体的例子，引导学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，为后续学习二次根式的方程和不等式打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、分数、代数等知识，对数学运算有了一定的理解。

但二次根式的运算相对于其他运算来说较为复杂，需要学生有一定的空间想象能力和抽象思维能力。

同时，学生可能对二次根式的实际应用场景有一定的疑惑，需要教师在教学中进行解答。

三. 教学目标1.理解二次根式的加减乘除运算方法；2.能够熟练地进行二次根式的运算；3.了解二次根式的实际应用场景。

四. 教学重难点1.二次根式的加减乘除运算方法；2.二次根式的实际应用。

五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过教师的讲解和学生的练习，使学生掌握二次根式的运算方法。

六. 教学准备1.教师准备PPT，内容包括二次根式的运算方法、实例讲解、练习题等；2.学生准备笔记本，用于记录教学内容和做练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过PPT展示二次根式的实际应用场景，引导学生思考二次根式在实际问题中的作用，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次根式的加减乘除运算方法，并进行详细的讲解和示例。

学生在笔记本上做好笔记。

3.操练（10分钟）教师给出一些二次根式的运算题目，学生独立完成，并及时给予解答和指导。

4.巩固（10分钟）教师再次给出一些二次根式的运算题目，学生独立完成，并与同学进行讨论。

教师选取一些典型的题目进行讲解。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次根式运算在更复杂问题中的应用，如二次根式的方程、不等式等，为学生后续学习打下基础。

6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行小结，学生做好笔记。

浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算课件(共26张PPT)

拓展提升
如图，一张边长为22cm的等边三角形彩色纸，CD⊥AB，小明在
等边三角形纸片中裁出三条宽度相同的长方形纸条，其中最上面的那
个长方形恰好为正方形,分别求出三张长方形纸条的长度.
解：
？
22
22
22
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=c，BC=a，AC=b.
（1）若: =
1
，则:
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2

解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
AB=_______m.
B
？
A
？
2
C
斜坡的竖直高度和对应的水平距离的比叫做坡比.
例题分析
例6 如图，扶梯AB的坡比为1:0.8,滑梯CD的坡比为1:1.6，AE=
BC=

.一男孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从滑梯滑下,

A
E
C
F
D
m，
经过的总路
程为多少米（要求先化简，再取近似值，结果精确到0.01m）?
方法总结：
二次根式的运算
直角三角形三边计算
A
C
感悟提升
一个概念
斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比

八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版

ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意：如果被开方数是带分数，应先化成假分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》说课稿1

浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》说课稿1一. 教材分析《二次根式的运算》是浙教版数学八年级下册第1章第3节的内容。

本节课的主要内容有：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算。

这部分内容是整个初中数学中比较重要的一个部分，也是学生学习数学过程中难以理解的部分。

二次根式的运算不仅涉及到数学知识的运用，还涉及到数学思维的转化，对于学生来说是一个较大的挑战。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了实数、有理数和无理数的相关知识，对数学的基本概念和运算规则有一定的了解。

但是，对于二次根式的概念和运算规则，学生可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。

另外，学生可能对于数学思维的转化还不是很熟练，需要通过老师的引导和练习来提高。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。

2.过程与方法：培养学生对于数学思维的转化和运用，提高学生的数学运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法。

2.教学难点：二次根式的乘除运算和乘方运算，以及数学思维的转化。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生自主学习，培养学生的数学思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等，进行直观的教学展示，帮助学生理解和掌握二次根式的运算规则。

六. 说教学过程1.导入：通过复习实数、有理数和无理数的相关知识，引导学生进入二次根式的学习。

2.讲解：讲解二次根式的加减运算、乘除运算和乘方运算的规则和方法，通过具体的例子来进行讲解，让学生理解和掌握。

3.练习：进行一些相关的练习题，让学生巩固所学的知识，并及时发现和解决问题。

4.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。

5.作业：布置一些相关的作业，让学生进行巩固和提高。

八年级数学暑假同步讲义第3讲二次根式的运算(解析版)

二次根式的运算内容分析二次根式的加减法和乘除法是八年级数学上学期第一章第一节内容，是二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算．它是以二次根式的概念和性质为基础，同时又紧密地联系着整式、分式的运算，也可以说它是运算问题在初中阶段一次总结性、提高性的综合学习．知识结构模块一：二次根式的加减法知识精讲1.二次根式的加法和减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（化简合并）．班假暑级年八2 / 19【例1】计算：（1）4817543--；（2）11(0.53)(75)38---．【答案】（1）332；（2）3442+．【解析】（1）原式43311=533433--=；（2）原式232353234⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22235343244=--+=+．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例2】计算：（1）2391634m m +；（2）850()p q p q-+-．【答案】（1）m 5；（2）()q p q p -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+225．【解析】（1）2323916342353434m m m m m m m +=⨯+⨯=+=；（2）82250()52()2()52()p q p q p q p q p q p q p q ⎛⎫-+=-+-=+- ⎪---⎝⎭．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例3】计算：例题解析（1）32832222x x x x x x + （2315032222x x x x x 【答案】（1）x x x 223422⎪⎭⎫ ⎝⎛++；（2）xx 22-【解析】（1）原式22322422224222x x x x x x x x x x ⎛=+=++ ⎝；（2）原式2122422522252222x xx x x x x x x x x x x x =⋅+-==- 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例4】如图，长方形内有两个正方形，面积分别为4和2，求阴影部分的面积．【答案】222-．【解析】阴影部分的宽为22-，长为2．【总结】本题主要考查利用二次根式的运算求几何图形的面积．【例5】计算：（133244()(0)a b a b a a b a --->；（25072()m n m n--；（3221a b a b a b a b a b -++--(0)a b >>．【答案】（1）()b a b --2；（2）()n m n m -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+256；（3222221b a b b a +--．【解析】（1）由题可知：0>-b a ，则原式((22a b a b a b a b b a b =----=--（2）原式()()5562()262m n m n m n m n m n ⎛=--=+- --⎝（3）原式2222222222111a b a b a b a b a b a b a b ---⎛=-=--- +--⎝ 222221b a b b a+--．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【例6】先化简，再求值：336436y x x xy xy x y y ⎛⎛+- ⎝⎝，其中32x =，27y =．【答案】2225．【解析】原式364x x y ⎛⎛=+⋅-+ ⎝⎝43x y ⎛==- ⎝当32x =，27y =时，原式=22252723272343=⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，注意先化简再带值计算．【例7】设直角三角形的两条直角边分别为a b ，，斜边为c ，周长为C ．（1）如果a b ==C ；（2）如果a b ==，求C ．【答案】（1）230；（2）17058+．【解析】（1）因为2133382885022==+=+=b a c ，所以2302132122521328850=++=++=C ；（2）因为1701254522=+=+=b a c ，所以170581705553+=++=C ．【总结】本题主要考查二次根式的化简以及加法运算在几何图形中的运用．【例8】解不等式：24x x +>- 【答案】5125<x ．【解析】由24x x +>24x x >-2x ->x ．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解不等式中的运用，注意判断不等式两边所除的数的符号．1、二次根式的乘法和除法（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．【例9】计算：（1）1232⨯；（2）4xy y ⋅．【答案】（1）68；（2）x y 2．例题解析知识精讲模块二：二次根式的乘除法师生总结1、二次根式加减法的步骤是什么？【解析】（1（2．【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【例10】计算．（1（2；（3（4．【答案】（1）3；（2）y xy 26；（3）y yx 552；（4．【解析】（13==；（2=；（3= （422=．【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【例11】计算：（1；（2；（3）53；（4【答案】（1）z xyz ；（2）36；（3）a ax 1562；（4）22222222y x y x --．【解析】（113=（2332⎛=÷== ⎝⎭；（3）53536a ax ax ==；（4 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用．【例12】计算：（1（2）（3（0,0x y >>）；（4 （0a b >>）．【答案】（1）b b a --2；（2）ab 330；（3）y y x +；（4）cbca cbca ++．【解析】（1）由题意可得：0<b 2a a =⋅-=-；（2）=（3x yy+；（4=．【例13】计算：（1）；（2）⎛- ⎝【答案】（1）2-2）-【解析】（1）1515288=-=-=-（2）⎛- ⎝332122⎛⎫=-⋅-- ⎪⎝⎭ 【总结】本题主要考查二次根式的乘除运算，注意法则的准确运用以及符号的准确判定．班假暑级年八8 / 19EDCBA【例14】如图所示，在面积为2a 的正方形ABCD 中，截得直角三角形ABE 的面积为33a ，求BE 的长．【答案】36a ．【解析】正方形的边长为a 2，则a AB BE 3321=⋅⋅，则36aBE =．【总结】本题主要考查二次根式的运算在几何图形中的运用．【例15】已知2和10是等腰三角形的两条边，其面积为192，求等腰三角形的高．【答案】腰上的高为：10190；底边上的高为382．【解析】由题意可得：等腰三角形的三边长为10，10，2，由2191021=⋅⋅h ，解得：10190=h ，即腰上的高为10190；由119222h ⋅⋅=，解得：382h =，即底边上的高为382．【总结】本题考查的知识点较多，一方面考查二次根式的乘除运算，另外考查了三角形的三边关系，另一方面此题没有说明是哪条边的高，因此要分类讨论．【例16】解方程：32622x -=-．【答案】324312x +=．【解析】由32622x -=-，得：26223x =+，则22326x +=，化简，得：324312x +=．【总结】本题主要考查二次根式的运算在解方程中的运用．随堂检测【习题1】计算：（1）（2；（3）(⎛- ⎝．【答案】（1）52511；（2）33172417-；（3）334．【解析】（1）；（2）33172417354233224227581312325.0-=---+=---+；（3）(⎛-== ⎝ 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题2】计算：（1（2）-．【答案】（1）26-；（2）12431--．【解析】（1-（2）-+11==．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题3】计算：（1）（2）263x ⎛ ⎝；（38a 【答案】（1）y x52+；（2）xy x x 7+；（3）a a 2．【解析】（1）+= （2）2623x ⎛=+= ⎝；（3822a == 【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并．【习题4】计算：（1）(-；（2）⎛- ⎝ ；（3）；（4）(⎛÷ ⎝；【答案】（1）-108；（2）34-；（3）10；（4）3236+-．【解析】（1）((108-=-=-；（2）(43⎛-=-=- ⎝ ；（3）(=；（4）((18⎛⎛÷=÷=- ⎝⎝⎭【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．【习题5】计算：（1）(3-；（2）3（3）a ．【答案】（1）()b ab b a -+；（2）()xy y x +-4；（3）a a a a 2221522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．【解析】（1）原式(3232b a ab =+-（2）(34x y -+（3）原式21252522a a a a ⎛=++- ⎝【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简再合并，另外只有同类二次根式才能合并．【习题6】计算：（1）(2；（2）（3 （4）32⎛⨯ ⎝ 【答案】（1）61230-；（2）331-；（3）332-．【解析】（1）(2121830=+-=-（2）1-（3）原式223=-=（4）原式271633881=⨯⨯== 【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．【习题7】计算：（1）（2）（3）3⎛ ⎝；（4）(．【答案】（1）x 365；（2）y x 2108；（3）35；（4）y xy x 2137-+．【解析】（1）155636x÷==；（2）22186108x y x y ==⋅=；（3）533⎛÷= ⎝；（4）(7272x y x y =+=+．【总结】主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用以及符号的判定．【习题8】计算．（1（20)y >；（3(-；（4(-⨯ 【答案】（1）c abc 2；（2）xy 32；（3）a a 434-；（4）x x y 8-．【解析】（12=（2；（3((44233a a --⨯-（4(-⨯=--= 【总结】本题主要考查二次根式的乘法运算，注意法则的准确运用．【习题9】计算．（1）（20)a b >>；（30)u >；（4）- 【答案】（1）1530；（2）bcac bc ac --；（3）uv uv515；（4）b 15-．【解析】（1）263=；（2=；（3；（4）564-=-⨯-．【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用．【习题10】计算：（1）3⎛ ⎝；（2()370,0a m ⎛<< ⎝．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）原式2230x x y x y ⎛=+=-= ⎝；（2）原式237a m a ⎛=⋅+=- -⎝⎭【总结】本题主要考查二次根式的除法运算，注意法则的准确运用，（2）中要特别注意被开方数的符号．【习题11】先化简后求值，当149x y ==，【答案】0．-1y =⋅=-所以当149x y ==，时，原式30=-=．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值．班假暑级年八14 / 19【作业1】计算：（1）1175253108833+--；（2）()2120.12563232⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 11484340.533⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）121813324312-+-．【答案】（1）313-；（2）2417631+-；（3）22335+；（4）31123+．【解析】（1）118875253108853318331333333+--=+--=-；（2）()2122211720.1256326642623232434⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 1145484340.54333223223333⎛⎫⎛⎫---=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）1218133333221221124312263-+-=-+-=+．【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业2】计算．（1）233835082aa a a a a +-；（2）323272750.755c c c c c+-；（3）22218638xx x x x x ++；课后作业（4）34⎛⎛- ⎝⎝()00x y >>，．【答案】（1）a a 2162；（2）c c 33；（3）x x229；（4）xy y 8．【解析】（1）32152162aa a a a ⋅（2）原式225c c =⋅-=（3）原式22623x x x =⋅+=（4）原式7834x x ⎛⎛=--⋅ ⎝⎭⎝88==【总结】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．【作业3】计算．（10.6；（2（3（4）【答案】（1）205；（2）8；（3）23；（4）35【解析】（110.60.63==；（28；（33122==；（4）1135+6326==-=．【总结】本题主要考查二次根式的乘除混合运算，注意法则的准确运用．【作业4】计算：（1）22--；（2）(；（3）(⎛⨯ ⎝；（4）62x 【答案】（1）158；（2）-6；（3）25+-a a ；（4）x 3- 【解析】（1）((22512512-=++-+-=；（2）(12186=-=-；（3）(552a ⎛⨯=+=- ⎝；（4）原式(2233x =-=-．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业5】计算．（1(；（2）1(102(0)3m m >；（3(-()00x y >>，．【答案】（1）ab b a 29；（2）m m ；（3）x xy8-．【解析】（1）原式22223(992b a b a b =⋅-=-=-；（2）原式21(102223m m m =⋅==；（3）原式16(483y x =-⋅=- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业6】化简：（1（2)20x y >>．【答案】（1）ab b ；（2）xy ．【解析】（1）原式2222b b a b a b =++（2）原式22y y x y x y ===-- 【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业7】若直角三角形的面积是2，求另一条直角边长及斜边上的高线长．【答案】62；632．【解析】另一条直角边长为：623182=÷；斜边上的高为：63233362=÷⋅．【总结】本题一方面考查二次根式的化简，另一方面考查等积法的运用．【作业8】化简：2(0,0)a a b m n ÷>>．【答案】2221ba ab a +-．【解析】原式2221(n a m a b =⋅222222111a ab a ab m m m a b a b ⎛-+=-+= ⎝．【总结】本题主要考查二次根式的混合运算，注意法则的准确运用．【作业9】已知3a =+3b =-22a b ab -的值．【答案】544-．【解析】由题意有：11-=ab ，54=-b a ，所以()2211ab a b a b ab =-=⨯=--- 【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求代数式的值．【作业10】解关于x 的不等式：（11>；（2）())211x x +-．【答案】（1）2332--<x ；（2）52362+-->x ．【解析】（11>+，1x >，则1x >⎝⎭，1>，解得：x <-；（2）由())211x x +-，得：)22x >则x ，所以5x >．【总结】本题主要考查二次根式在解不等式中的运用，注意判定不等式两边所除的二次根式的符号．【作业11】已知：3a b +=-，23ab =，求+的值．【答案】6623-．【解析】由题意可得：0<a ，0<b ，则=+== 代入3a b +=-，23ab =，得原式==．【总结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题时注意判定a 、b 的符号，最后利用整体代入的思想求值．【作业12】求下列式子的值：22x xy y -+，其中x y == 【答案】22．【解析】由题意有：72=+y x ，2=xy ，∴()(222233222x xy y x y xy -+=+-=-⨯=．【总结】本题主要考查利用整体代入的思想求多项式的值．。

完整浙教版八年级上数学教案全集

完整浙教版八年级上数学教案全集一、教学内容本节课的教学内容选自浙教版八年级上册数学，主要包括第四章“二次根式”和第五章“实数与方程”的相关内容。

第四章主要介绍二次根式的概念、性质和运算，第五章则侧重于实数与方程的求解。

具体教学内容如下：1. 第四章：二次根式1.1 二次根式的概念1.2 二次根式的性质1.3 二次根式的运算2. 第五章：实数与方程2.1 实数的概念2.2 实数的运算2.3 一元一次方程的解法二、教学目标1. 理解二次根式的概念和性质，掌握二次根式的运算方法。

2. 掌握实数的概念和运算，能够运用实数解决实际问题。

3. 学会一元一次方程的解法，能够运用方程解决简单的生活问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：二次根式的混合运算，实数的运算。

2. 教学重点：二次根式的概念和性质，实数的概念和运算，一元一次方程的解法。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具：笔记本、尺子、圆规、橡皮擦。

五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，引入二次根式和实数的概念。

2. 新课讲解：2.1 讲解二次根式的概念，通过示例让学生理解二次根式的意义。

2.2 讲解二次根式的性质，让学生通过实践得出结论。

2.3 讲解二次根式的运算方法，让学生通过例题学会运算。

3. 课堂练习：布置一些有关二次根式的练习题，让学生巩固所学知识。

4. 讲解实数的概念：通过实际例子，让学生理解实数的概念。

5. 讲解实数的运算：让学生通过实践，掌握实数的运算方法。

6. 课堂练习：布置一些有关实数的练习题，让学生巩固所学知识。

7. 讲解一元一次方程的解法：通过示例，让学生学会解一元一次方程。

8. 课堂练习：布置一些有关一元一次方程的练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计板书设计如下：1. 二次根式1.1 概念1.2 性质1.3 运算2. 实数2.1 概念2.2 运算3. 一元一次方程3.1 解法七、作业设计（1）√(4x 16)（2）√(9 x^2)（1）2√3 + √5 √(45)（2）(3 + √2)(3 √2)（1）2x + 3 = 7（2）x 4 = 0八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对二次根式和实数的理解和运用情况如何，一元一次方程的解法是否掌握。

数学浙教版八年级下册全册教案

第1章二次根式1.1 二次根式【教学目标】知识与技能1．理解二次根式的概念。

2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。

过程与方法1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。

2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。

3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。

情感态度与价值观1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。

3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。

教学重难点重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。

难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。

【教学过程】知识回顾求一求：（1）3的平方根是_____；（2）3的算术平方根是_____；（3呢？归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________；②一个非负数a 的算术平方根可以表示为。

情景导入根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：2 cm a cm图1.1-1直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。

学生写出表示算术平方根的式子。

问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。

探究新知1.二次根式的概念引导学生概括二次根式的概念：像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。

2.深化二次根式的概念：① 提问：9-1呢？② 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。

③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。

④ 巩固练习一：下列式子，哪些是二次根式？3.讲解例题例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（1）1+a ；（2）a 43-；（3）x - .教师提问，学生回答，教师板书解题过程。

1.3二次根式的运算(1,2,3)

1.3 二次根式的运算（1）【要点预习】1.二次根式的运算法则：(1)____(0,0)a b ≥≥； (2)____(0,0).a b =≥>【课前热身】1. = . 答案：92. .3.,则此长方形的面积是 .答案：4.(2008广州中考的倒数是 .【讲练互动】【例1】计算：.解：(1)原式=(2)原式.(3)原式20. 【绿色通道】二次根式乘除运算的一般步骤：一是运用法则，化归为根号内的实数运算；二是完成要根号内相乘、相除（约分）等运算；三是化简二次根式. 【变式训练】 1. 计算：；.答案：(1)(2)；(3)(4)○【例2】若一个等边三角形的高为，求此等边三角形的面积.分析：根据题意作出图形，由于三角形的高已知，故要求面积的关键是求等边三角形的边长，这可在△ABD中由勾股定理可求得.解：如图，AD是等边△ABC的一条高，且AD=设等边△ABC的边长为x cm，则BD=CD=12x cm.∵AB2=BD2+AD2，∴(22212x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴23244x=，x2=32，∵x>0，∴x=∴S△ABC=12⨯=【黑色陷阱】注意当题中没有预定精确度的要求时，最后结果可用化简的二次根式表示. 【变式训练】2.如图, Rt△ABC中,∠ACB=90°, BCAC=求斜边AB上的高CD.解：∵∠ACB=90°, ∴AB2=AC2+BC2=(2227+=.∵AB>0，∴AB=.∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CD，∴AC BCCDAB⋅===【黑色陷阱】【同步测控】基础自测○1.(2007淮安中考)）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：4DCBADCBA2. 的结果是……………………………………………………………（）A. B. 答案：B3. 下列各式，计算正确的是…………………………………………………………………（）A .= B.=C.=D. 答案：C4.(2007厦门中考)= .5.如果等边三角形的高是3cm ，那么它的边长是___________cm.答案：6.方程0+的解是 .答案：x =7.计算：；； (4).答案：；(2)(3)(4)8.cm ，下底是上底的2，求这个梯形的面积(精确到0.1cm 2)．解：S =12=cm 2. 能力提升9.,则此直角三角形的面积是……（）A.2B.4C.8D.解析：=于是可得此直角三角形2=. 答案：A10. (2007青岛中考)1-＝ .解析：原式11211 -==-=.答案：111.不等式>的解是 .解析：不等式两边同除以x<=--.答案：x<-○12.==后，认为它们是一样的. 因此他认为一个化简过程：==2=是正确的. 你认为他的化简对吗? 说说理由.==成立的前提是必须满足a≥0且b>0，而本题在化简过程都不符合这一前提，故化简不对.解：不对.等都无意义.创新应用○13.已知等腰三角形的两边长分别为方程组41==①②的两个根，求这个等腰三角形的面积.分析：先利用加减消元法求得x，y的值，然后分x为腰长、y为底边及x为底边、y为腰长两种情况进行讨论，最后利用勾股定理分别求得两种情况下的等腰三角形底边上的高的长，进而求得这等腰三角形的面积.解：①+②，得x 5，∴x=①-②，得3=，∴y ==..===∴S 12=S 12=.1.3 二次根式的运算（2）【要点预习】1.二次根式的运算法则：整式运算的均适用于二次根式的运算.二次根式的加减运算实质是把合并.【课前热身】1.）A.±B.C.D.12答案：B2.（2007_________．答案：11＝_______．3. 计算：)答案：2【讲练互动】【例1】先化简，再求出近似值. (精确到0.01)=≈.解：原式 5.20【绿色通道】可以合并的项的特征是所含的二次根式完全相同，合并的方法与多项式中合并同类项的方法一样.【变式训练】1.的结果是………………………………………………………( )Ｂ.1 C.Ｄ.答案：A【例2】计算:(2).解：(1)原式.(2)原式2121+-=. 【绿色通道】二次根式的四则混合运算的次序是先乘除，后加减；同时运算律同样适用于二次根式的计算. 【变式训练】 2.计算：(1) (2)答案：1. 【例3】计算：(1) ； (2) 22-.解：(1)原式=6612-=-.(2)原式=()()20502050+--=【绿色通道】多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式相乘. 【变式训练】 3.计算：(1)(5⎛+ ⎝； (2) .答案：(1)(2)5-【同步测控】基础自测1.(2007威海中考)下列计算正确的是………………………………………………………（）4=D.(11+-=答案：C2.(2007荆门中考)下列计算错误．．的是………………………………………………………( )= = D.3= 答案：D3. (2007绍兴中考)下列计算正确的是………………………………………………………( )= 答案：A4.（2007 ．5. (2007黄冈中考)计算：2)= . 答案：16. (2007十堰中考)计算：21)＝_________________.答案：3-7. (2007宜昌中考)的结果是 .答案：8.计算：；； (3)(2007温州中考021)(1)+-；(4)-⋅ (5) (1+.答案：(1)-1；(3)(4)18-；(5)能力提升9. (2007临汾中考)的结果是………………………………（） A. 6 B.34 C.632+ D.12解析：先分别对每个二次根式化简，得原式＝(12== 答案：D10. 计算)211+的结果是………………………………………………………（）＋1 B.)31C.1D.-1解析：原式=))1111⎡⎤=⎣⎦.答案：A11. (2008烟台中考)已知2,2a b ==） A. 3 B. 4 C. 5 D.6 解析：原式5.答案：C12. (2007桂林中考)规定运算：()a b a b *=-，其中a、b为实数，则)3+.333+=. 答案：3○13. (2008徐州中考) 已知21,23.x x x =--求的值解：原式=)22(1)41141x --=--=-. ○14.2-=.2=2=，x =创新应用○15. 阅读下列解题过程2==.==请回答下列问题(1)______________________.(2)利用上面所提供的解法,请化简：+.(3)不计算近似值,试比较与-的大小, 并说明理由. 分析：对于(1)，注意到1==(2)，可依次取n =2，3，…，99代入即可进行化简；对于(3)可用倒数法进行比较，即通过它们倒数大小的比较，进而来比较这两数的大小.解：(2))119-+++⋅⋅⋅+===；=<,<, .1.3 二次根式的运算（3）【要点预习】1.二次根式的应用：在日常生活和生产实践中，在解决一些问题,尤其是涉及边长计算的问题时，经常用到及其运算.【课前热身】1. 下列计算中，正确的是…………………………………………………………………（）A.=3C.=3- 答案：B2. 在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠,记,,.AB c BC a AC b === (1)若:b a =则:a c = ；(2)若:3,b c c == a = .答案：2；(2)【讲练互动】【例1】一铁路路基的横断面是梯形ABCD ,如图,已知AD =BC ,CD =8m,路基的高度DE =6m,斜坡BC的坡比是求路基下底宽AB 的长度(精确到0.1m). 解：作CF ⊥AB 于F , 则CF=DE =6m. ∵ i BC=CF BF =∴BF=在Rt △ADE 中, AD=BC , DE=CF , ∴Rt △ADE ≌Rt △BCF , ∴AE=BF=m. ∵EF=CD=8m, ∴AB=(8)m.【绿色通道】坡比是坡的垂直高度与水平宽度的比值. 有关坡比问题，往往通过作梯形的两条高（这两条高相等），将问题转化为解两个直角三角形和一个长方形的问题来解. 【变式训练】1. 水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE =30米，坝顶宽CD =10米，求大坝的截面的周长 (结果精确到0.01). 答案：198.07mFE DCBA【例2】如图，B 地在A 地的正东方向，两地相距282km ，A ，B 两地之间有一条东北走向的高速公路，A ，B 两地分别到这条高速公路的距离相等．上午8:00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A 地的正南方向P 处．至上午8:20，B 地发现该车在它的西北方向Q 处，该段高速公路限速为110km ／h ，问该车有否超速行驶?分析：要判断汽车有否超速，必须求出汽车在PQ 路段的速度，由于该路段行驶时间已知为20分钟，故只需求出PQ 的长即可，亦即求出PC 和CQ 的长即可，这可分别通过△APC 和△BCQ 来求得.解：由题意, 得∠ACP =∠BCQ =45°,∠B =45°,AP ⊥AB , 则 △ APC 和△BCQ 均为等腰直角三角形.又AC=BC=12AB=142km. ∴PC =228AC =km, PQ =142=km, ∴PQ =42km.∴V =12613PQ=km/h. ∴超速行驶. 【变式训练】2. 从一张斜边为30cm 等腰直角三角形的纸板中剪一个尽可能大的正方形，某同学分别给出了两种不同的剪法,但他不知道这两种剪法哪个正方形的面积大?你能通过计算帮他解决这个问题吗?分析：只需求出这两个正方形的边长即可，图甲中正方形的边长显然是以斜边的一半即15cm 为斜边的等腰直角三角形的直角边的长；图乙中正方形的边长显然为斜边长的三分之一，即10cm.解：S 1=2225222= ⎪⎝⎭；S 2=2301003⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴S 1>S 2.【同步测控】基础自测1. 一个正方形鱼池的边长是6cm,另一个正方形鱼池的面积比第一个大45cm 2,则另一个鱼池的边长为……………………………………………………………………………………（）FE D CBAQPCBAA.8B.9C.10D.11 答案：B2. 如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了…………………（） A.41米 B.41米 C.3米 D.9米答案：B3. 在一道坡比为1∶7的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离为10米，则这两棵小树的高度差为 …………………………………………………………………………………( ) A.2米 B.2米 C.5米 D.5米答案：B4. (2007莱芜中考)王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，这时王英同学离A 地的距离是……………………………………（） A. 150m B.503m C.100m D.1003m答案：D5. 一个等腰三角形的腰长为10，底上的高为3，则底为 . 答案：276. 若10的整数部分是x ,小数部分是y ,则22x y -的值为 . 答案：61010-7. (2007辽宁中考)已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是．答案：(2)n8.某村兴修水利,要挖一条深为1米,上口宽为1.5米的灌水渠道.如图是渠道横断面的示意图.已知渠道两侧内坡的坡比均为2∶1.AB CD EFG(1)求渠道内坡AB 和渠道底面宽BC 的长;(2)已知渠道总长为500米,求挖出的土石方是多少立方米? 答案：(1)0.55m, BC =0.5m ；(2)500立方米. 能力提升 ○9.若16x x +=，0＜x ＜1，则1x x-的值是……………………………………（） A ．2- B ．－2C ．±2D ．±2解析：()222114642x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0＜x ＜1，故1x x <，即12x x-=-. 答案：A10. (2007苏州中考)如图，小明作出了边长为1的第1个正△A 1B 1C 1，算出了正△A 1B 1C 1的面积. 然后分别取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2，作出了第2个正△A 2B 2C 2，算出了正△A 2B 2C 2的面积. 用同样的方法，作出了第3个正△A 3B 3C 3，算出了正△A 3B 3C 3的面积……，由此可得，第10个正△A 10B 10C 10的面积是…………………（） A.931()44⨯ B.1031()44⨯ C.931()42⨯ D.1031()42⨯ 解析：边长为1的正△A 1B 1C 1的面积为2211311224⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，取△A 1B 1C 1的三边中点A 2、B 2、C 2后，易证得△A 1B 2C 2≌△A 2B 1C 2≌△A 2B 2C 1≌△A 2B 2C 2，故△A 2B 2C 2的面积为△A 1B 1C 1的面积的14，即3144⨯，同理，△A 3B 3C 3的面积为△A 2B 2C 2的面积的14，即△A 1B 1C 1的面积的214⎛⎫ ⎪⎝⎭，亦即23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，以此类推，△A n B n C n 的面积为△A 1B 1C 1的面积的114n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，即13144n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.当n =10时，即得正△A 10B 10C 10的面积. 答案：C11. (2007佳木斯中考)如图，等腰直角△ABC 直角边长为1，以它的斜边上的高AD 为腰，做第一个等腰直角△ADE ；再以所做的第一个等腰直角△ADE 的斜边上的高AF 为腰，做第二个等腰直角△AFG ；……以此类推，这样所做的第n 个等腰直角三角形的腰长为．AB CEFG解析：由于等腰直角三角形中直角边是斜边的22=，由于本题中第一个等腰直角三角形的直角边恰为第二个等腰直角三角形的斜边长，故每次变化腰长缩小为原来的2倍，以此类推，便可求得第n 个等腰直角三角形的腰长.答案：2n⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC =45°，∠ACB =30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.分析：本题即求森林公园中心A 点到公路BC 的距离AH 与300米的半径的大小关系. 解：作AH ⊥BC 于H . 设AH=x m.∵∠ABC =45°，∠ACB =30°，∴BH=x m, CH =3x m. ∵BC =1000m, ∴31000x x +=, ∴31x =+≈366m>300m, ∴不会穿过该森林公园.○14. (2007宁夏中考)如图，网格中的小正方形边长均为1，ABC △的三个顶点在格点上，求ABC △中AB 边上的高．分析：要求AB 边上的高，只需求出△ABC 的面积和AB 边的长即可.解：∵S △ABC =1115332311232222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=∴AB 边上的高=252422ABC S AB ==△.创新应用14. 如图，自卸车车厢的一个侧面是长方形ABCD ，AB =3米，BC =0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度为45°，问此时车厢的最高点A 距离地面多少米（精确到0.01米）？分析：作AP ⊥CE 于P ， DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q 后，车厢的最高点A 距离地面即为AQ ，PQ (DF )，1.2米三线段的和.解：作AP ⊥CE 于P ，DF ⊥CE 于F ，DQ ⊥AP 于Q .ABC∵∠DCE=45°，∴∠DAQ=45°.∴AQ=DQ=22=m，PQ=DF=3222=m.∴AP=23722 2.4824+=≈m.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

根式的运算法则含根式的运算法则

根式的运算法则含根式的运算法则一：[根式的运算法则]二次根式的运算知识点总结一、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

二、有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

三、二次根式运算法则：（1）加法法则（合并同类二次根式）；（2）乘、除法法则。

四、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

常见考法二次根式的运算是中考命题的热点，二次根式的运算在中考中多以混合运算为主，解决时，我们还要与分母有理化以及各运算法则，公式相结合。

题型既有选择填空，也有计算解答。

误区提醒二：[根式的运算法则]3.二次根式的运算3.二次根式的运算★★★二次根式的加法和减法★★★整式的加减归结为合并同类项. 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式.要点解析1.二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，因此在进行二次根式加减时，化简二次根式和合并同类二次根式是关键.不是同类二次根式不能合并，如就是最简结果，不能再合并.2.有理数的交换律、结合律都适用于二次根式运算.二次根式的乘法法则★★★ 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将积的算术平方根性质逆用得到的.2.根据这一法则可以对二次根式进行恒等变形，或将根号内的因式变形后移到根号外，或将根号外面的非负因式平方后移到根号内.3.乘法交换律、结合律、分配律在二次根式中仍然适用，适当地应用运算律有时会简化计算；4.法则可推广,如：.二次根式的除法法则★★★ 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将商的算术平方根性质逆用得到的.2.二次根式的混合运算顺序与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的.3.二次根式运算的结果必须化为最简根式.三：[根式的运算法则]★初二数学根式及其运算专题复习初二数学根式及其运算专题复习二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为__2＜0，1__＜0，所以原式=2__+__1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(__4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以__4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a ＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)。

考点02 二次根式(解析版)

考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b ab a b =≥≥；除法法则：(0,0)a aa b bb=≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．1．在函数12x y x -=-中，自变量x 的取值范围是（）A ．0x ≥且2x ≠B ．2x >C ．1x ≥且2x ≠D ．1x >且2x ≠【答案】C【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得．【详解】解：在函数12x y x -=-中，．B．．D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．-【答案】2a-【答案】（1）5；（2）2a(1)______的解法是错误的；(2)当2a =时，求26911a a a -++-的值．【答案】(1)小亮OA=__________(1)填空：210(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：(133+(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分正方形(3)把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点的数为______．【答案】(1)4cm(1)则原来大正方形的边长为号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少2 1.414,3 1.732,≈≈【答案】(1)42；2A．20cm B．5【答案】A【分析】本题考查二次根式的应用，出关系式，去括号合并即可得到结果．。