2016_2017学年高中数学第二章概率2.6正态分布学案

2.6 正态分布1．了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征．(重点、难点) 2．会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题．(重点)[基础·初探]教材整理1 正态密度曲线阅读教材P 75～P 76第三自然段，完成下列问题．1．正态密度曲线的函数表达式是P (x )＝12πσe －x －μ2σ2，x ∈R ，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X 的均值，σ2是随机变量X 的方差，且σ>0，μ∈R .不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象具有如下特征：(1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线；(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称；(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( )(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )【解析】(1)×因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√因为离散型随机变量最多取有限个不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√由正态分布曲线的形状可知该说法正确．(4)×因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______．(填序号)①曲线b仍然是正态曲线；②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.【解析】正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．【答案】③教材整理2 正态分布阅读教材P76第四自然段～P79部分，完成下列问题．1．正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．N(0,1)称为标准正态分布．2．正态变量在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)时，(1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，(2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，(3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.由于落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取(μ－3σ，μ＋3σ)内的值．3．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6，∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】④[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]111222如图2­6­1所示，则有______________________________________________．图2­6­1①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.(2)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)；②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)；③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)；④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)．【精彩点拨】(1)根据μ，σ对密度曲线特征的影响进行比较；(2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验．【自主解答】(1)由两密度曲线的对称轴位置知：μ1<μ2；由曲线的陡峭程度知：σ1<σ2.(2)因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确；因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|＞a)＝1，所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|＞a)(a＞0)，所以④正确．【答案】(1)①(2)②④1．正态密度函数中，有两个参数μ，σ.μ即均值，σ为标准差．2．在正态密度曲线中，参数μ确定了曲线的对称轴，σ确定了曲线的陡峭程度．[再练一题]1．关于正态曲线P(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．【解析】根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．【答案】①③⑥⑦(1)求c的值；(2)求P(－4＜x＜8)．【精彩点拨】(1)利用对称性求c的值；(2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解．【自主解答】(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X ＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.(2)P(－4＜x＜8)＝P(2－2×3＜x＜2＋2×3)＝0.954.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．3．注意概率值的求解转化：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；(3)若b＜μ，则P(X＜b)＝1－Pμ－b＜X＜μ＋b2.[再练一题]2．若随机变量X～N(0,1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤1.2)；(4)P(X≤－2.1)．【解】(1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.[探究共研型]探究1径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.探究 2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．【精彩点拨】将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．【自主解答】μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[再练一题]3．(2016·镇江质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布X ～N (50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率. 【导学号：29440061】【解】 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X ≤60)＝P (30<X ≤50)＋P (50<X ≤60) ＝12P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＋12P (μ－σ<X ≤μ＋σ) ＝12×0.954 4＋12×0.682 6＝0.818 5. 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.[构建·体系]1．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (ξ＜0)＝________.【解析】 ∵P (ξ＜0)＝P (ξ＞0)，且P (ξ＞0)＋P (ξ＜0)＝1，∴P (ξ＜0)＝12.【答案】 122．设正态密度曲线P (x )＝122πe －x －28，x ∈R ，则总体的均值为________，方差为________．【解析】 结合正态密度曲线的定义可知，总体的均值为1，方差为4. 【答案】 1 43．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.【解析】 由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.【答案】 124．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.84，则P (X ≤0)＝________. 【导学号：29440062】【解析】 由X ～N (2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x ＝2，则P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝1－P (X <4)＝1－0.84＝0.16.【答案】 0.165．随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0)． 【解】 如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.841 3，所以P (ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X ＜3)＝________.【解析】 由正态分布图象(图略)知，μ＝3为该图象的对称轴，P (X ＜3)＝P (X ＞3)＝12. 【答案】 122．若随机变量X 服从标准正态分布N (0,1)，则X 在区间(－3,3]上取值的概率等于________．【答案】 0.9973．如图2­6­2是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是________．图2­6­2【解析】 由已知得12πσ2＝12π，∴σ2＝1.由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以σ1＜σ2＜σ3.【答案】 σ1＜σ2＜σ34．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ 在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【解析】 由对称性知，P (1<ξ<2)＝P (0<ξ<1)＝0.4， ∴P (0<ξ<2)＝P (0<ξ<1)＋P (1<ξ<2)＝0.8. 【答案】 0.85．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点. 【导学号：29440063】【解析】 由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x ＝0.2时，正态曲线f (x )达到最高点． 【答案】 0.26．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X ＜a )＝0.32，则P (a ≤X ＜4－a )＝________.图2­6­3【解析】 由正态分布图象的对称性可得：P (a ≤X ＜4－a )＝1－2P (X ＜a )＝0.36. 【答案】 0.367．已知X ～N (0，σ2)且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________. 【解析】 ∵P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)＝0.4， ∴P (X ＞2)＝12(1－2×0.4)＝0.1.【答案】 0.18．已知正态分布N (μ，σ2)的密度曲线是P (x )＝12πσe －x －μ22σ2，x ∈R .给出以下四个命题：①对任意x ∈R ，P (μ＋x )＝P (μ－x )成立；②如果随机变量X 服从N (μ，σ2)，且F (x )＝P (X <x )，那么F (x )是R 上的增函数； ③如果随机变量X 服从N (108,100)，那么X 的期望是108，标准差是100； ④随机变量X 服从N (μ，σ2)，P (X <1)＝12，P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)＝1－2p .其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 【解析】 画出正态分布N (μ，σ2)的密度曲线如图． 由图可得：①图象关于x ＝μ对称，故①正确；②随着x 的增加，F (x )＝P (ξ<x )也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N (108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④. 【答案】 ①②④二、解答题9．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且P (80)＝182π .(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72 mm ～88 mm 之间的零件大约占总数的百分之几．【解】 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值．因此得μ＝80，12πσ＝182π，所以σ＝8.故正态分布密度函数的解析式是P (x )＝182πe －x －2128(x ∈R )．(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X 在区间(72,88)内的概率是0.683.因此尺寸在72 mm ～88 mm 间的零件大约占总数的68.3%.10．设X ～N (6,1)，求P (4＜X ≤5)．【解】 由已知得μ＝6，σ＝1.∵P (5＜X ≤7)＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.683，P (4＜X ≤8)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954.如图，由正态分布的对称性知P (4＜x ≤5)＝P (7＜x ≤8)．∴P (4＜x ≤5)＝12[P (4＜x ≤8)－P (5＜x ≤7)] ＝12×0.271＝0.135 5. [能力提升]1．对于正态分布N (0,1)的概率密度函数P (x )＝12πe －x 22，有下列四种说法：①P (x )为偶函数；②P (x )的最大值为12π；③P (x )在x ＞0时是单调减函数，在x ≤0时是单调增函数；④P (x )关于σ＝1对称．不正确的是________(填序号)．【解析】 ∵X ～N (0,1)，∴曲线的对称轴为x ＝μ＝0.【答案】 ④2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于________．【解析】 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2.由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6，∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3. 【答案】 0.33．若随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，已知P (ξ≤－1.96)＝0.025，则P (|ξ|≤1.96)等于________．【解析】 由随机变量ξ服从正态分布N (0.1)，得P (ξ＜1.96)＝1－P (ξ≤－1.96)，所以P (|ξ|≤1.96)＝P (－1.96＜ξ＜1.96)＝P (ξ≤1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.【答案】 0.9504．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图2­6­4(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )． 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26.。