初二数学-面积法解题
巧用面积法解题
Ｂ Ｃ＝２ ， 角 形 内 有 一 点 Ｐ ４三 到各 边 的距 离相 等 ， 则这 个距 离为 （ ） （ ｌ Ａ） （ ３ Ｂ） Ｅ Ｄ（ ） ５ ｃ
Ｐ Ｐ Ｐ 由此 联 想 到 三 角 形 的 面积 ， 例 １类 Ｄ、Ｅ、 Ｆ， 与 似 ， 接 Ｐ 、 、 Ｃ 贝 △ ＝Ｓ Ｐ ＋． 朋 连 Ａ 船 Ｐ ， ０Ｓ ａ仙 ｓ ｃ＋ △
ｓ Ａ． Ｐｃ
的角度 可 以得 到不 同的关 于 面 积 的表 达 式 ， 但这 个
５删 ＝ １ｘ／ ５＝５３ △ ÷×０ ￣ｏ一 ２，， １ ／ －
Ｉ ＋ △ ｃ Ｉ ＝，×０・Ｄ＋｝× ｏ ｓ △ ｓ朋 ＋ △ｃ １ Ｐ — ｌ ・ ｓ ｔ Ｉ
１
图形 的面积为一定值 ， 这样便可得到有关线段的等 积 式 ， 这些等 积式用 于证 明或计 算 ， 将 往往 可 以使 问
题 化难 为易 ， 因此关 于线 段 的 问题往 往 可 以用 面积
方 面发挥 着重 要 的作 用． 那么 数 学 教学 就 不 能仅 停 留在知识 层 面上 ， 要 培 养学 生 多 种角 度 看 问题 的 还 思维方式 ， 从而提高学生的思维水平． 在解决某些几
初中数学几何与面积法综合应用含答案竞赛题精选
F G E 图 2ACBD面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。
A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .图 1ACBD3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .F E图 3ACBDECFA BDGFPE图 4AC BDO图 5AC BD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔 〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167FEC ABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 37、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔 〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，那么矩形的内接三角形的面积总比数的〔 〕小或相等。
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学指的是在初二数学中，使用等面积法解题的示例问题。
等面积法是一种常用的数学解题方法，主要基于面积的守恒原理，通过比较不同图形之间的面积关系来解决问题。
在初二数学中，等面积法常用于解决与面积有关的问题，如面积的证明、计算等。
以下是一些初二数学中应用等面积法的示例问题：
题目1：有一个矩形和一个三角形，它们的面积相等。
矩形的一条边长为6厘米，对应的另一条边长为8厘米。
三角形的底边长为12厘米，底边上的高为5厘米。
求矩形的另一条边长。
解法：我们设矩形的另一条边长为x厘米。
由于矩形的面积为长乘宽，所以矩形的面积为6×8=48平方厘米。
同理，三角形的面积为1/2×12×5=30平方厘米。
由于两者的面积相等，所以有：6x=30，解得x=5，所以，矩形的另一条边长是5厘米。
题目2：证明以下等式成立：a^2 + b^2 = c^2。
解法：我们可以将两个边长为a和b的正方形拼接成一个大的矩形，该矩形的长度为a+b，宽度为a。
矩形的面积为(a+b) × a = a^2 + ab。
由于大矩形的面积为两个小正方形的面积之和，所以有：a^2 + b^2 = c^2。
总的来说，“等面积法例题初二数学”就是初二数学中使用等面积法的例子及解析，通常用在解答关于几何形状的问题时帮助学生找到更快捷和直观的方法找到解题途径。
以上解答和解析仅供参考，如有疑问可以咨询数学老师或查阅教辅练习的解析。
数学方法篇：面积法
数学方法篇三：面积法用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。
（一）怎样证明面积相等。
以下是常用的理论依据1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的417.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的418.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路）1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4.还可以利用面积解决其它问题。
【范例讲析】一、怎样证明面积问题1. 分解法例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。
2. 作平行线法例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点，二、用面积法解几何问题1. 用面积法证线段相等例1. 已知：如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。
求证：CF=BE。
2. 用面积法证两角相等例2. 如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。
求证：∠AOC=∠BOC 。
3. 用面积法证线段不等例3. 如图，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。
求证：BD>CD。
4. 用面积法证线段的和差例4. 已知：如图，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。
浅谈初中数学面积法在解题中的应用
浅谈初中数学面积法在解题中的应用[论文摘要]随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。
教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。
笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。
一、直接运用公式法和割补法：对于三角形或者特殊四边形的面积，可以直接运用面积公式求解；对于不规则的几何图形的面积，可以运用割补法求解。
（一）规则图形面积有关的公式（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形二、运用转化法求解图形的面积：此法就是通过等积变换、平移、旋转等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
（一）等积变换：同底等高，等底同高（二）通过平移变换求解面积（三）通过旋转变换求解面积随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。
教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。
笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。
所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或成比例的方法。
它在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。
许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。
下面列举几个例子说说面积法在解题中的应用。
一、直接运用公式法和割补法 ：对于三角形或者特殊四边形的 面积，可以直接运用面积公式求解；对于不规则的几何图形的面积，可以运用割补法求解。
（一）规则图形面积有关的公式1、三角形的面积公式：ah S 21=2、矩形的面积公式：S=长⨯宽3、平行四边形面积公式: S=底⨯高4、梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高 对于这些规则图形直接运用面积公式计算即可。
（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形1、 作对角线，化四边形为三角形例1. 如图1所示，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别是3、4、12和3，，求四边形ABCD 的面积。
面积法在初中数学解题中的应用
师生园地２０２２年４月下半月㊀㊀㊀面积法在初中数学解题中的应用◉辽宁省大连市第五十一中学㊀穆永强１引言面积法解题的基本思想是以 面积 当作思维起点,将题目中的已知量与未知量通过面积公式联系起来,这样显得更为简洁与直观,有助于学生快速理清思路,使其充分体会到面积法的妙用与价值．２应用面积法证明线段相等问题证明线段相等是一类较为常见的平面几何类问题,虽然运用常规方法能够证明,但有时,过程较为繁琐㊁步骤较多,有时学生容易陷入到思维障碍当中,影响他们的解题自信．对此,教师可以指导学生应用面积法证明线段相等的问题,使其转变解题思路,帮助他们找到正确的证明流程与方法．图１例１㊀如图１,已知在等腰三角形A B C 中,A B 和A C 相等,点D 在B C 边上,其中D B 的长度与D C 相等,D E 垂直于A B ,垂点是E ,D F 垂直于A C ,垂点为F ,请尝试证明D E 与D F 相等．分析:学生通过初步审题与观察图形,发现虽然题设中给出的条件较多,也极具条理性,不过他们一时间难以想到用何种方法来证明这两条线段相等,以至于陷入到困境当中．教师可提示学生应用面积法进行证明．具体证明方法如下:因为B D ＝C D ,所以әA B D 的面积同әA C D 的面积相等,得出１２A B D E ＝１２A C D E ,又因为AB ＝AC ,所以DE ＝DF ．虽然本题可以使用全等三角形的相关知识进行证明,不过采用面积法思路更为简洁,既可以培养学生一题多解的意识,还能够让他们感受到面积法的优势,扩充认知范围．３应用面积法准确求出线段长度求线段长度是数学解题训练中的惯设题目,贯穿于小学㊁初中㊁高中整个教学阶段,虽然这类题目大多数难度都不是特别大,不过部分题目中给出的隐藏条件难以发现,影响解题的正常进行．此时,教师在教学中,应指引学生尝试应用面积法来处理此类题目,使其通过面积的拆分准确求出线段长度,帮助他们建立解题自信．图２例２㊀如图２所示,在三角形A B C 中,B C ＝９０c m ,A D 为高,A D ＝６０c m ,正方形P Q MN 的顶点Q ,M 在BC 边上,顶点P ,N 分别在边A B ,A C 上,其中AD 垂直于B C ,垂点是D ,同正方形的边P N 相交于点E ,那么正方形P Q MN 的边长是多少?分析:学生读完题目后,发现题目中给出的具体数据仅限于三角形,似乎与正方形的关系不大,所以他们很难找准切入点,极易遇到解题障碍,所以教师可引导学生应用面积法,并结合方程相关知识求解．设正方形的边长是x c m ,因为１２ˑB C ˑA D ＝１２ˑP N ˑA E ＋１２ˑB Q ˑP Q ＋１２ˑC M ˑMN ＋P Q ２,代入相关数据可得,１２ˑ９０ˑ６０＝x ２ˑ(６０－x )＋１２ˑP Q (B Q ＋C M )＋P Q ２,由此得１２ˑ９０ˑ６０＝x２ˑ(６０－x )＋x ２ˑ(９０－x )＋x ２,将这个方程化简,解得的x 值即为正方形的边长．在本例中,常规解法是用相似三角形的相似比等于对应高线的比列出比例式求得结果,这里用面积的拆分求解有异曲同工之妙,可以有效活化学生的解题思路．４应用面积法求得线段长度的和不少平面几何类问题都与线段有一定的联系,除０９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀师生园地㊀㊀㊀㊀求一条线段的长度以外,还会求几条线段的总长,这类题目难度通常较大,学生处理起来颇费周折．为此,教师在教学中,可以引导学生尝试应用面积法求几条线段长度的和,使其通过拆分面积及面积公式顺利求得正确答案．图３例３㊀如图３所示,已知梯形A B C D 中,A D ʊB C ,A B ＝D C ,对角线A C 与B D 相交于点O ,E 为B C 上的一个动点(E 不与B ,C 两点重合),在点E 运动过程中,如果点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,而B C ＝８,B D ＝６,梯形的高DF 的长度是３,求E P ＋E Q 的和．分析:本题涉及的元素较多,线段较为复杂,还存在一个动点,结果要求两条线段之和,对学生来说难度相对较大,不易找到突破口．应用面积法的解答方法如下:因为四边形A B C D 是一个等腰梯形,对角线A C 与B D 相交于点O ,据此能证明әO B C 是一个等腰三角形,又因为点E 是梯形下底上的一个动点,点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,作辅助线延长B D 至H ,与C H 垂直,再根据等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高这一性质,得出E P ＋E Q ＝C H ．因为S әD B C ＝１２B C D F ＝１２B DC H ,由已知条件,求得C H ＝４,E P ＋E Q 的和是４．本案例,由于点E 是动点学生觉得无从下手,只要证明定理 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 ,再结合同一个三角形面积的不同表示问题就轻松解决．５应用面积法求证线段比例等式求证线段比例也是初中数学解题教学中的一类常见题型,由于涉及到比例难度相对较大,对学生的解题能力与思维水平要求较高,通常要用到代数方面的知识,他们很难轻松证明．教师可引领学生巧妙采用面积法证明线段的比例等式,主要通过构建面积这一载体 ,证明几何图形的线段比例等式关系,显得清晰又直观．例４㊀已知在әA B C 中,D 是B C 上的一点,设点E 是A D 的中点,连接B E ,并延长与A C 交于点F ,假设B D ʒC D ＝２ʒ１,求证A F ʒF C ＝２ʒ３．分析:首先,根据题意画出图形,如图４,把点C 与点E 连接起来．设әC E D 的面积是x ,因为A E ＝D E ,所以әA E C 的面积也是x ．又因为B D ʒC D ＝２ʒ１,图４可得әB E D 的面积是２x ,又因A E ＝D E ,可得әA E B 的面积也是２x ．设әE F C 的面积为y ,则A F F C ＝S әA B F S әB F C ＝３x －y３x ＋y①A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －yy②由式①㊁②式联立,可得x ＝５３y ．所以A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －y y ＝５３y －y y ＝２３yy＝２３,即A F ʒF C ＝２ʒ３成立．本题采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙,借助面积这一纽带,清楚地证明几何图形中线段比例的等式关系,使学生的解题思路变得愈加开阔．６应用面积法有效解决函数问题在求解初中函数类试题时,除运用待定系数法之外,还经常用到数形结合法,而面积法就属于数形结合思想的一种．有时,借助面积法也可以有效解决函数问题．例５㊀如果一次函数y ＝４x ＋b 的图象与两个坐标轴之间围成一个面积为８的三角形,求该一次函数的解析式．图５分析:本题虽然是一道代数题,但其求解过程要利用三角形的面积．为此,利用函数式找出两直角边的长即可．如图５所示．列出算式１２ˑ|b |ˑ|b |４＝８,解之得b ＝８,或b ＝－８,所以该一次函数的解析式为y ＝４x ＋８,或y ＝４x －８．本例结合面积法处理代数中的一次函数类题目,其实是对数形结合思想的巧妙应用,以此增进数与形之间的关系,使其掌握更多解题方法,优化他们的解题思路．总的来说,在初中数学解题教学活动中,教师很有必要把面积法的思想融会贯通至解题实践中,引领学生学会转变解题思路,思维变得发散与开阔起来,使其通过面积法的有效应用,将一些比较抽象㊁难懂㊁复杂的数学试题变得直观㊁易懂与简单,这对培养学生的解题能力㊁数学思想等均有着相当积极的意义．Z １９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
面积法在初中数学解题中的应用-最新教育文档
面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。
其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。
学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。
平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。
面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。
文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。
在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。
通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。
这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。
对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。
一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。
与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。
早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。
在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。
初二数学知识点专题讲解与练习23---面积的计算(培优版)
A
EF
D
5
8
10
B 例1图 C
【例 2】如图，在△ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，
那么△AAB．C 的12面积等于 (
．)
B 14
．C 16
(全国初中数学联赛) ．D 18
BG
上，ABCD
和
DEFG
都是正方形，面积分别为
7cm2
和
，则△ 11cm2
CDE
的面
积等于___________cm2.
（武汉市竞赛试题）
2．如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PA＝PB＝10，并且 P 到 CD 边的距离也等于 10，那么正方形
的面积是 ABCD
_______________.
A
D
K
M
B 第 10 题图 C
11．如图 ， ， 1 AB CD 是两条线段，M 是 AB 的中点， ， ， △ △ △ S DMC S DAC S DBC 分别表示△DMC，△DAC，
△ 的面积，当 ∥ 时，有 ＝ ＋ ① DBC
AB CD
△S DMC △S DAC 2 S△DBC……….. .
(1) 如图 2，若图 1 中 AB 与 CD 不平行时，①式是否成立？请说明理由.
秒，AE 的长为 y.
(1) 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2) 当 x 为何值时，△BDE 的面积 S 有最大值，最大值为多少？
(江西省中考试题)
解题思路：对于(1)利用△ADE∽△ABC 可得 y 与 x 的关系式；对于(2)先写出 S 关于 x 的函数关系式，
初二数学等面积法压轴题
初二数学等面积法压轴题
等面积法是解决几何问题的一种重要方法，特别是在求解压轴题时。
以下是一道典型的初二数学等面积法压轴题：
题目：
已知矩形ABCD，AB = 3，AD = 2，以A为圆心作图，设⊙A的半径为r，用等面积法求证：r > 2 - √7。
证明：
第一步，由于题目没有明确说明哪些图形与圆相切，我们首先考虑与圆相切的特殊情况。
假设⊙A与线段CD相切于点E，则AE为半径，即r = AE。
第二步，根据矩形的性质和勾股定理，我们有AE² + DE² = AD²。
代入已知的AB、AD和AE的值，我们可以得到一个关于DE的二次方程。
第三步，解这个二次方程，我们得到DE = √7 - 1。
由于DE < CD（因为CD = AB = 3），我们知道这种情况是不可能的。
第四步，为了证明r > 2 - √7，我们需要找到一个与⊙A相切且使得r满足这个不等式的切线。
考虑到线段CD与⊙A相切的情况，我们可以使用等面积法来找到这条切线。
第五步，根据等面积法，我们知道矩形的面积等于圆的面积加上四分之一圆的面积。
即3 × 2 = πr² - (1/4)πr²。
解这个方程，我们得到r = 2 + √7。
第六步，根据第五步的结果，我们得到r > 2 - √7。
综上，我们证明了r > 2 - √7。
(完整)初二数学---面积法解题
初二数学---面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
【 重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。
难点：灵活运用所学知识证明面积问题。
【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。
147. 14三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
【典型例题】（一）怎样证明面积问题 1. 分解法例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。
FEAB D C分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等高，故S S ADE ADB ∆∆=②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ∆∆=③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC2. 作平行线法例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点求证：S S ADM ABCD ∆=12分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为hD CN MA BS S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ∆∆∆=+=⋅=1212证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为hMN DC AB=+2则S MN h ABCD =⋅又ΘS S S MN h AMD AMN MND ∆∆∆=+=⋅12∴=S S ADM ABCD ∆12（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比 性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比 1. 证线段之积相等例3. 设AD 、BE 和CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·ABAFEB D C分析：从结论可看出，AD 、BE 、CF 分别是BC 、AC 、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学摘要：一、等面积法基本概念1.等面积法的定义2.等面积法在初二数学中的应用二、等面积法例题解析1.例题一1.题目描述2.解题思路3.解题步骤2.例题二1.题目描述2.解题思路3.解题步骤3.例题三1.题目描述2.解题思路3.解题步骤三、等面积法在数学中的意义1.等面积法在几何证明中的应用2.等面积法在实际问题中的应用四、等面积法的学习方法与技巧1.掌握基本概念2.多做例题练习3.培养空间想象力正文：一、等面积法基本概念等面积法，是数学中一种常用的解题方法。
它是指在解决数学问题时，如果已知两个或多个图形的面积相等，那么可以通过面积相等这一条件，推导出其他相关量之间的关系。
在初二数学中，等面积法常常应用于几何证明和实际问题解决。
二、等面积法例题解析为了更好地理解等面积法的应用，我们通过以下三个例题来进行解析：例题一：已知矩形ABCD的面积为12平方厘米，矩形EFGH的面积为6平方厘米，若矩形ABCD与矩形EFGH的长和宽之和相等，求矩形ABCD与矩形EFGH的长和宽。
解题思路：由于已知矩形ABCD与矩形EFGH的面积之和，我们可以利用等面积法，设矩形ABCD的长为x，宽为y，矩形EFGH的长为a，宽为b，则有xy=ab=12和x+y=a+b。
通过解这个方程组，我们可以求得矩形ABCD与矩形EFGH的长和宽。
解题步骤：1.根据已知条件列出方程组：xy=12, x+y=a+b2.将第一个方程变形得到：y=12/x，代入第二个方程得到：x+12/x=a+b3.化简得到：x^2-ab+12=04.求解得到：x=2, y=6, a=3, b=2所以，矩形ABCD的长为2厘米，宽为6厘米，矩形EFGH的长为3厘米，宽为2厘米。
例题二：已知等腰三角形ABC，底边BC=6厘米，高AD=8厘米，求等腰三角形ABC的面积。
解题思路：由于已知等腰三角形ABC的底边和高，我们可以利用等面积法，设等腰三角形ABC的腰长为x，则有x^2=8^2+(6/2)^2=64+9=73。
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
中考数学复习指导：例谈用面积法求几何问题
例谈用面积法求几何问题用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的 应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。
例1. 如图1，AD 是R t A B C∆的斜边BC 上的高，且A C =60，AB ＝45，求AD 。
AB D C图1解：由勾股定理得：B C A B A C =+=+=22224560751212AB AC BC AD ⨯=⨯ ∴=⨯=⨯=A D A BA C B C 45607536例2 .如图2，已知在∆A B C 中，BD ：CD ＝2：1，E 为AD 的中点，连结BE 并延长交AC 于F ，求AF ：FC图2 解：连结CE ，设S x C E D ∆= 由AE ＝DE ，可知S x A C E ∆= 由BD ：CD ＝2：1，可知S x B E D ∆=2 由AE ＝DE ，∴==S S x A E B B E D∆∆2设S y E F C∆=，则∴==-+A F F C S S x y x y A B FB F C∆∆33 （1）A F F C S S x y y A E FE F C==-∆∆ （2） 由（1）（2）得：33x y x y x yy-+=- ∴=x y 53代入（2）中，得A F F C x y y y yy =-=-=5323例3 .如图3 ,把矩形OABC 放置在直角坐标系中, OA ＝6,OC ＝8 ，若将矩形折叠，使点B 与O 重合得到折痕EF,求折痕EF 的长。
图3 图3.1分析: 因为矩形折叠使点B 与点O 重合，所以折痕EF 是线段OB 的垂直平分线， 如图3.1，易证 FOG EBG ∆≅∆，得GF ＝GE ，从而得四边形BFOE 是菱形 ，利用菱形的面积等于OB EF ∙21又等于OA EB ∙ 。
列方程求出折痕EF 的长. 解: 如图3.1 ,连结OE 、BF ∵ 矩形折叠使点B 与点O 重合∴ 折痕EF 是线段OB 的垂直平分线 ∵ BE//FO ∴ FOG EBG ∠=∠ ∴ FOG EBG ∆≅∆ ∴ GF ＝GE∴ 四边形BFOE 是菱形 设AE ＝y 则OE ＝BE ＝8－y根据勾股定理得,222)8(6y y -=+解得y ＝47 ,∴ 8－y ＝415 又由勾股定理得,OB ＝10∴ s 菱形 ＝OB EF ∙21＝OA EB ∙∴ 21×10×EF ＝415×6 ∴ EF ＝215图3.2点评:解决本题的方法有很多，如图3.2，过点E 作EH ⊥OC, 构造直角三角形,运用勾股定理解决,或在直角BEG ∆中, 先用勾股定理求出EG ,进而求出EF 等方法解决．例4 .如图4，已知点A(2,-4) 、B(4,0),连接AB,把AB 所在的直线沿ｙ轴向上平移,使它经过原点O,得到直线ｌ,设P是直线ｌ上一动点，设以点A、B、O、P 为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,求S与x的函数关系式。
等面积法例题初二数学
等面积法例题初二数学
摘要：
1.等面积法的概念和原理
2.等面积法的应用举例
3.初二数学中常见的等面积题目类型
4.如何解答等面积题目
正文：
等面积法是一种用于解决数学问题的方法，主要通过将一个复杂的数学问题转换为简单的面积问题来解决。
这种方法在初二数学中非常常见，可以帮助学生更好地理解和掌握一些复杂的数学概念。
等面积法的原理非常简单，就是利用两个形状的面积相等来解决一些复杂的数学问题。
例如，如果一个学生需要求解一个三角形的面积，他可以利用等面积法将这个三角形转换为一个矩形，然后通过计算矩形的面积来求解三角形的面积。
在初二数学中，等面积法通常用于解决一些几何问题，例如求解三角形的面积、计算两个图形的交集面积等。
这些问题通常需要学生具备一定的几何知识和数学技巧，而等面积法则可以帮助学生更好地理解和解决这些问题。
对于等面积题目，学生需要先理解题目的要求和条件，然后找到一个合适的方法来解决这个问题。
例如，如果一个学生需要求解一个三角形的面积，他可以先找到这个三角形的底和高，然后利用等面积法将这个三角形转换为一个矩形，最后通过计算矩形的面积来求解三角形的面积。
总的来说，等面积法是一种非常实用的数学方法，可以帮助学生更好地理
解和掌握一些复杂的数学概念。
在初二数学中，等面积法通常用于解决一些几何问题，例如求解三角形的面积、计算两个图形的交集面积等。
平面几何面积法 专题
专题27 面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果． 下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题； （2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】 如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题)解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？DEFA BC P【例2】 如图，△AOB 中，∠O ＝090，OA ＝OB ，正方形CDEF 的顶点C 在DA 上，点D 在OB 上，点F 在AB 上，如果正方形CDEF 的面积是△AOB 的面积的52，则OC ：OD 等于( ) A ．3：1 B ．2：1 C ．3：2 D ．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．EFAOBDC【例3】 如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BE ＝DF ，BE 与DF 交于G ，求证：∠BGC ＝∠DGC .（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC ＝∠DGC ，即证CG 为∠BGD 的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．GDBC A F E【例4】 如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP 交BC ，CA ，AB 于点D 、E 、F .求证：（1）1=++CF PFBE PE AD PD ； （2）2=++CFPCBE PB AD PA . （南京市竞赛试题）解题思路：过P 点作平行线，产生比例线段.EPBAC DF【例5】 如图，在△ABC 中，E ，F ，P 分别在BC ，CA ，AB 上，已知AE ，BF ，CP 相交于一点D ，且1994=++DP CD DF BD DE AD ，求DPCDDF BD DE AD ⋅⋅的值. 解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）FDABC EP【例6】如图，设点E ，F ，G ，H 分别在面积为1的四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ， DA上，且k HADHGD CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形EFGH 的面积． （河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比． 线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有： (1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比； (2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比； (3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．ABCDHEFG能力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 是AD 的中点，BM ⊥EC ，垂足为M ，则BM ＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD 中，P 为AB 上一点，AP ＝ 2BP ，CE ⊥DP 于E ，AD ＝a ，AB ＝b ，则CE ＝__________.（南宁市中考试题）MEADBCEDACBP1214814425CBAHGF DEQ TPR第1题图 第2题图 第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH 中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR ＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题）4. 在△ABC 中，三边长为3=a ，4=b ，6=c ，a h 表示a 边上的高的长，b h ，c h 的意义类似，则(a h ＋b h ＋c h )⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛++c b ah h h 111的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC 的边AB ＝2，AC ＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题）6．如图，过等边△ABC 内一点P 向三边作垂线，PQ ＝6，PR ＝8，PS ＝10，则△ABC 的面积是 ( )．A. 3192B. 3190C. 3194D.3196（湖北省黄冈市竞赛试题）ⅢⅠⅡEBADCRSQAPCBDBCA第5题图 第6题图 第7题图 7．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD ＝∠DAB ＝060，AC ＝3，AB ＝6，则AD 的长是( )．A ．2 B. 212 C.3 D. 2138．如图，在四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，AN ，BN ，DM ，CM 划分四边形所成的7个区域的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，6S ，7S ，那么恒成立的关系式是( )．A. 2S +6S =4SB.1S +7S =4SC. 2S +3S =4S D ．1S +6S =4SS 1S 2S 6S 7S 5S 3S 4NMAB DC9．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别为1h ，2h ，3h ，△ABC 的高为h ．若点P 在一边BC 上（如图1），此时03 h ，可得结论：1h ＋2h ＋3h ＝h . 请直接用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内（如图2）、点P 在△ABC 外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，1h ，2h ，3h 与h 之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）图3图2图1MM M F E DAF E DA EDA BCPBC P BCP10.如图，已知D ，E ，F 分别是锐角△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且AD 、BE 、CF 相交于P 点，AP ＝BP ＝CP ＝6，设PD ＝x ，PE ＝y ，PF ＝z ，若28=++zx yz xy ，求xyz 的值．（“希望杯”邀请赛试题）EPDACBF11.如图，在凸五边形ABCDE 中，已知AB ∥CE，BC ∥AD ，BE ∥CD ，DE ∥AC ，求证：AE ∥BD .（加拿大数学奥林匹克试题）DABC ER P Q E DC B A F 12.如图，在锐角△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上的三等分点. P ，Q ，R 分别是△ADF ，△BDE ，△CEF 的三条中线的交点.(1) 求△DEF 与△ABC 的面积比；(2) 求△PDF 与△ADF 的面积比；(3) 求多边形PDQERF 与△ABC 的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 至E ，F ，G ，H ，使m DAAHCD DG BC CF AB BE ====， 若ABCD EFGH S S 四边形四边形2=，求m 的值． （上海市竞赛试题）HEFGAD CB14. 如图，一直线截△ABC 的边AB ，AC 及BC 的延长线分别交于F ，E ，D 三点，求证：1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ． （梅涅劳斯定理）EBDA CF15．如图，在△ABC 中，已知21===FA FB EC EA DB DC ，求ABC GHI S S ∆∆的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
八年级数学竞赛例题专题讲解27：面积法 含答案
专题27 面积法阅读与思考平面几何学的产生源于人们测量土地面积的需要，面积关联着几何图形的重要元素边与角．所谓面积法是指借助面积有关的知识来解决一些直接或间接与面积问题有关的数学问题的一种方法．有许多数学问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积联系着几何图形的重要元素，所以借助于有关面积的知识求解，常常简捷明快．用面积法解题的基本思路是：对某一平面图形面积，采用不同方法或从不同角度去计算，就可得到一个含边或角的关系式，化简这个面积关系式就可得到求解或求证的结果．下列情况可以考虑用面积法：（1）涉及三角形的高、垂线等问题；（2）涉及角平分线的问题．例题与求解【例1】如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的边长为______________．(全国初中数学联赛试题) 解题思路：从寻求三条垂线段与等边三角形的高的关系入手．等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高，那么等边三角形呢？等腰梯形呢？【例2】如图，△AOB中，∠O＝，OA＝OB，正方形CDEF的顶点C在DA上，点D在OB上，点F在AB上，如果正方形CDEF的面积是△AOB的面积的，则OC：OD等于( )A．3：1 B．2：1C．3：2 D．5：3解题思路：由面积关系，可能想到边、角之间的关系，这时通过设元，即可把几何问题代数化来解决．【例3】如图，在□ABCD中，E为AD上一点，F为AB上一点，且BE＝DF，BE与DF 交于G，求证：∠BGC＝∠DGC.（长春市竞赛试题）解题思路：要证∠BGC＝∠DGC，即证CG为∠BGD的平分线，不妨用面积法寻找证题的突破口．【例4】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D、E、F.求证：（1）；（2）. （南京市竞赛试题）解题思路：过P点作平行线，产生比例线段.【例5】如图，在△ABC中，E，F，P分别在BC，CA，AB上，已知AE，BF，CP相交于一点D，且，求的值.解题思路：利用上例的结论，通过代数恒等变形求值.（黄冈市竞赛试题）【例6】如图，设点E，F，G，H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA 上，且（是正数），求四边形EFGH的面积．（河北省竞赛试题）解题思路：连对角线，把四边形分割成三角形，将线段的比转化为三角形的面积比．线段比与面积比的相互转化，是解面积问题的常用技巧．转化的基本知识有：(1) 等高三角形面积比，等于它们的底之比；(2) 等底三角形面积比，等于它们的高之比；(3) 相似三角形面积比，等于它们相似比的平方．能力训练1．如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD的中点，BM⊥EC，垂足为M，则BM＝______.（福建省中考试题）2．如图，矩形ABCD中，P为AB上一点，AP＝ 2BP，CE⊥DP于E，AD＝，AB＝，则CE＝__________.（南宁市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，已知八边形ABCDEFGH中四个正方形的面积分别为25，48，121，114，PR＝13，则该八边形的面积为____________.（江苏省竞赛试题）4. 在△ABC中，三边长为，，，表示边上的高的长，，的意义类似，则(＋＋)的值为____________. （上海市竞赛试题）5．如图，△ABC的边AB＝2，AC＝3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分的面积之和的最大值是__________.（全国竞赛试题）6．如图，过等边△ABC内一点P向三边作垂线，PQ＝6，PR＝8，PS＝10，则△ABC的面积是 ( )．A. B. C. D.（湖北省黄冈市竞赛试题）第5题图第6题图第7题图7．如图，点D是△ABC的边BC上一点，若∠CAD＝∠DAB＝，AC＝3，AB＝6，则AD的长是( )．A．2 B. C.3 D.8．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN，BN，DM，CM划分四边形所成的7个区域的面积分别为，，，，，，，那么恒成立的关系式是( )．A. +=B.+=C. += D．+=9．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为，，，△ABC的高为．若点P在一边BC上（如图1），此时，可得结论：＋＋＝.请直接用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图2）、点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立．请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．（黑龙江省中考试题）10.如图，已知D，E，F分别是锐角△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD、BE、CF 相交于P点，AP＝BP＝CP＝6，设PD＝，PE＝，PF＝，若，求的值．（“希望杯”邀请赛试题）11.如图，在凸五边形ABCDE中，已知AB∥CE，BC∥AD，BE∥CD，DE∥AC，求证：AE∥BD.（加拿大数学奥林匹克试题）12.如图，在锐角△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的三等分点. P，Q，R分别是△ADF，△BDE，△CEF的三条中线的交点.(1) 求△DEF与△ABC的面积比；(2) 求△PDF与△ADF的面积比；(3) 求多边形PDQERF与△ABC的面积比.13．如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若，求的值．（上海市竞赛试题）14.如图，一直线截△ABC的边AB，AC及BC的延长线分别交于F，E，D三点，求证：．（梅涅劳斯定理）15．如图，在△ABC中，已知，求的值.（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）。
巧用面积法 妙解几何题
温故知新
填空：
1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积
为 25。
2.已为知AD为S△△AABBDC=的S△中。A线CD，则S △ABD与S △ACD的大小关系
3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形
论，并说明理由。
A
分析：此题的条件虽然发生了变化，
但是思路、方法不变，还是应用面
积法。连结PA、PB、PC，根据
S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP， 由AB=BC=AC，可得正确结论：
D B
EH
F C
PD+PF－PE=AH
P
• 证角相等
例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在 AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接BD、 AE交于O点，再连接OC，求证：∠AOC=∠BOC.
（提示：AB︰AC=S△ABD︰S△ACD）
※7.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已 知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求证： 1/a2+1/b2=1/h2（提示：a2+b2=c2）
A C
C
B
D
第6题
B AD
第7题
例2.（1）已知： △ABC中，AB=AC，P为底边
BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
BF⊥AC于F，求证：PD+PE=BF.
A
分析：此题可构造矩形来证明，但较麻
烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可
尝试面积法。连接AP，根据
F
S△ABC=S△ABP+S△ACP，结合AB=AC，可得证。 D
例谈等面积法在初数学解题中的应用
例谈等面积法在初中数学解题中的应用贵州省榕江县三江中学 潘光联等面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法。
它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题。
在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简捷。
下面举例说明等积法在初中数学解题中的应用：一．求三角形的高例1.如图1所示，在△ABC 中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB 边上的高CD 的长.解：在△ABC 中，.10010,10086222222===+=+AB AC BC Θ.222AB AC BC =+∴∴△ABC 是直角三角形.利用三角形面积计算公式得,.2121CD AB BC AC ⋅=⋅ 即8.41068=⨯=⋅=AB BC AC CD Θ 二．求图形的面积例2. 如图2所示，⊙O 的半径为3，OA=6,AB 切⊙O 于B ，弦BC ∥OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积是多少？分析：连接OB 、OC ，将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形0BC 的面积是解决此问题的切入点和关键.解:连接OB 、OC ，由BC ∥OA 知，△OCB 与△ACB 的边CB 上的高相等.故由等积性质可知,CB ACB S S 0∆∆=易知，∠BOC=ο60. 所以ππ2336036020=⨯==CB S S 扇形阴影. 三.求三角形内切圆半径例3.如图3所示,已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠C=ο90，AC=4，BC=3. 求⊙O 的半径.解:设⊙O 的半径为r ，连接0A 、0B 、OC 、OE 、OF 、OG..∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OG ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，且OE=OF=OG=r.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得.5432222=+=+=AC BC AB于是由ACO BCO ABO ABC S S S S ∆∆∆∆++=，得.21212121AC BC r AC r BC r AB ⋅=⋅+⋅+⋅ 即 .)(AC BC r AC BC AB ⋅=++ ∴.143543=++⨯=++⋅=AC BC AB AC BC r 四．求函数的解析式例4．如图4所示，线段AB=8，直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，P 是直线m 上的一点,PB 交以AB 为直径的圆于C,连结AC.设PB=x,AC=y,求y 与x 的函数关系式.分析：因为AB 是⊙O 的直径，所以AC ⊥BP ，又因为把直线m 与⊙o 相切于点 D,且m ∥AB ，所以DO ⊥AB,BP和AC 看成三角形的底和高，于是很自然地连接AP 、OD ，利用同一个三角形的面积相等的性质，就可以得到x 与y 的关系.解:连结AP ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BP .又∵直线m 与⊙o 相切于点D,且m ∥AB ，∴DO ⊥AB即△ABP 的AB 边上的高是4, ∴,42121⨯=⋅AB AC BP 即xy=8×4. xy 32= (x ＞4). 五.在探究规律题中的应用例5.如图-5所示，将一个边长为1的正方形平均分成两个面积是21矩形，又将一个面积为21矩形平均分成两个面积是41的矩形，再将一个面积为41的矩形平局分成两个面积是81的矩形，如此进行分割下去，如果分割n 次后，按图中揭示的规律计算： n 2121212*********++++++Λ 分析：分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积根,得.21221121212121161814121444432-=-=+++=+++ 于是利用这个规律就可以把问题解决.解：n 2121212*********++++++Λ=.212211n n n -=- 总之，等面积法是一种重要的数学解题思想方法。
初二数学几何题求圆面积
初二数学几何题求圆面积
题目描述：
在平面直角坐标系中，已知圆心坐标为（2，3），半径为4，求圆的面积。
解题思路：
圆面积的公式为：S=πr^2，其中r为圆的半径，π约等于3.14。
因为已知圆的半径为4，所以可以直接带入公式计算，得到圆的面积为S=π×4^2=16π。
但是，在计算过程中需要注意几个问题，具体如下：
解题步骤：
1.算出圆的半径r：4。
2.将半径r代入圆的面积S的公式：S=πr^2。
3.将半径r=4代入公式得：S=π×4^2=16π。
4.最后化简公式，求出圆面积的近似值，约为50.24。
解题总结：
数学几何题中，有一些常见的图形的面积需要掌握，如长方形、正方形、三角形、梯形、圆等。
对于圆来说，掌握求圆面积的公式和计算方法，就能很好地解决圆的相关问题。
在解题过程中，要仔细地阅读题目，抓住核心思想，依据公式计算，注意化简过程，最后得到准确的结果。
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初二数学---面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题【教学目标】1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
【 重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。
难点：灵活运用所学知识证明面积问题。
【教学过程】（一）证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。
147. 14三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
（二）证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
【典型例题】（一）怎样证明面积问题 1. 分解法例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。
FEAB D C分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等高，故S S ADE ADB ∆∆=②二是△，和上面一样，ADF S S ADF ADC ∆∆=③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可 由S △CFE ＝S △CFB故可得出S △AEF ＝S △ABC 证明：∵AD//BE//CF∴△ADB 和△ADE 同底等高 ∴S △ADB ＝S △ADE同理可证：S △ADC ＝S △ADF ∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF 又∵S △CEF ＝S △CBF ∴S △ABC ＝S △AEF∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC ∴S △DEF ＝2S △ABC2. 作平行线法例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点求证：S S ADM ABCD ∆=12分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为hA BS S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ∆∆∆=+=⋅=1212证明：过M 作MN//AB ∵M 为腰BC 的中点 ∴MN 是梯形的中位线 设梯形的高为hMN DC AB=+2则S MN h ABCD =⋅又 S S S MN h AMD AMN MND ∆∆∆=+=⋅12∴=S S ADM ABCD ∆12（二）用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质： 性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比 性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比 1. 证线段之积相等例3. 设AD 、BE 和CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·ABAFEB D C分析：从结论可看出，AD 、BE 、CF 分别是BC 、AC 、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。
证明：∵AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高∴=⋅=⋅=⋅S AD BC BE AC CF ABABC ∆222∴⋅=⋅=⋅AD BC BE AC CF AB2. 证等积问题例4. 过平行四边形ABCD 的顶点A 引直线，和BC 、DC 或其延长线分别交于E 、F ，求证：S △ABF ＝S △ADEA DB E CF分析：因为AB//DF ，所以△ABF 与△ABC 是同底AB 和等高的两个三角形，所以这两个三角形的面积相等。
证明：连结AC ∵CF//AB∴==S S SABF ABC ABCD ∆∆12平行四边形又∵CE//AD∴==S S SADE ACD ABCD ∆∆12平行四边形∴=S S ABF ADE ∆∆3. 证线段之和例5. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BH ⊥AC ，求证：PE+PF ＝BHAHF EB P C分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP ，则S S S AB PE AC PF ABC ABP APC ∆∆∆=+=⋅+⋅1212又由，所以AB AC S AC PE PF ABC ==⋅+∆12()又S AC BHABC ∆=⋅12故PE+PF ＝BH证明：连结AP ，则S S S ABC ABP APC ∆∆∆=+∵AB ＝AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴=⋅+⋅=⋅+S AB PE AC PF AC PE PF ABC ∆121212()又∵BH ⊥AC∴=⋅S AC BH ABC ∆12∴⋅+=⋅1212AC PE PF AC BH ()∴PE+PF ＝BH4. 证角平分线例6. 在平行四边形ABCD 的两边AD 、CD 上各取一点F 、E ，使AE ＝CF ，连AE 、CF 交于P ，求证：BP 平分∠APC 。
分析：要证BP 平分∠APC ，我们可以考虑，只要能证出B 点到PA 、PC 的距离相等即可，也就是△ABE 和△BFC 的高相等即可，又由已知AE ＝FC 可联想到三角形的面积，因此只要证出S △ABE ＝S △BCF 即可由平行四边形ABCD 可得S △ABE ＝S △ABC ，S △BFC ＝S △ABC 所以S △ABE ＝S △BFC ，因此问题便得解。
证明：连结AC 、BE 、BF∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴S △ABE ＝S △ABC S △BFC ＝S △ABC ∴S △ABE ＝S △BFC 又∵AE ＝CF而△ABE 和△BFC 的底分别是AE 、CF ∴△ABE 和△BFC 的高也相等 即B 到PA 、PC 的距离相等 ∴B 点在∠APC 的平分线上 ∴PB 平分∠APC【模拟试题】（答题时间：25分钟）1. 在平行四边形ABCD 中，E 、F 点分别为BC 、CD 的中点，连结AF 、AE ，求证：S △ABE ＝S △ADFD F CEA B2. 在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点，求证：S S S ADM DCM ABM ∆∆∆=+D CMA B3. Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，a 、b 为两直角边，斜边AB 上的高为h ，求证：111222a b h += Cb a hB4. 已知：E 、F 为四边形ABCD 的边AB 的三等分点，G 、H 为边DC 的三等分点，求证：S S EFGH ABCD =13DA G EF H B C5. 在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且CEAC13，CD和BE交于G，求△ABC和四边形ADGE的面积比。
ADG EB C【试题答案】1. 证明：连结AC ，则S S ABC ADC ∆∆= 又∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点∴=S S ABE ABC ∆∆12S S ADF ADC ∆∆=12 ∴=S S ABEADF ∆∆2. 证明：过M 作MN//DC//AB∵M 为腰BC 上的中点∴△DCM 和△ABM 的高相等，设为h 1∴+=⋅+⋅=+⋅S S DC h AB h DC AB h DCM ABM ∆∆121212111()又∵△DMN 与△AMN 的高也为h 1 ∴=+S S S ADM DMN AMN ∆∆∆=⋅+⋅=+=⋅12121211111MN h MN h MN h h MN h ()∵MN 为梯形的中位线 ∴MN AB CD =+12() ∴=+S S S ADMDCM ABM ∆∆∆3. 证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB∴==⋅S ab AB h ABC ∆1212∴=⋅ab AB h∴=⋅=+⋅a b AB h a b h 2222222()∴两边同时除以a b 22+得：111222ab h += 4. 证明：连结FD 、FG 、FC则由已知可得S S FGH DFC ∆∆=13①作DM//AB ，设它们之间的距离为h ，G 到DM 的距离为a ，则由已知可得H 、C 到DM 的距离分别为2a 、3a∴=+S EF h a EFG ∆12()S S AF h BF h a AFD BFC ∆∆+=⋅+⋅+12123()=⋅+⋅+⋅EF h EF h EF a1232=⋅+⋅3232EF h EF a=⋅+⋅31212()EF h EF a =⋅⋅+312EF h a ()=3S EFG ∆即S S S EFG AFD BFC ∆∆∆=+13()②①+②得：S S EFGH ABCD=135. 证明：作DF//AC 交BE 于FB C可得△DFG ≌△CEG∴==⋅S S ABE CEG DFG ∆∆∆1412=⋅⋅=141223112S S ABC ABC∆∆而S S S S ADGE ABC ABC ABC=-=12112512∆∆∆∴△ABC 和四边形ADGE 的面积比是12：5。