面积法在初中数学计算和证明中的应用

面积法在初中数学计算和证明中的应用

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.

先从三角形的面积说起：

可以以三角形的任意一条边为底，

那么对应不同的底边就有三条不同的高线，

在计算三角形的面积时，需要注意底和高的对应关系。

根据上面的式子可知，若已知三角形的一组对应的底边和高的长度以及另一组底边的长度，可以算出另一组底边上的高线的长度，反之亦然，

这种方法就是利用同一个三角形面积的不同表示方法来计算线段的长度，一般是求垂线段的长度，因此称为等面积法求垂线段的长度。在初中几何中，经常会出现利用等面积法求垂线段长度的题目。

等面积法求垂线段长度

直角三角形中，等面积法求斜边上的高

因此，我们得到一个常用的公式：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。

格点中，等面积法求垂线段长度

等腰三角形中，等面积法求线段比例关系

将一个三角形分成若干个小三角形，这些小三角形的面积之和

等于这个三角形的面积，分别表示出各个三角形的面积，即可

得到线段之间的关系，进而可以求出线段之和或线段之间的和

差关系。

直角三角形中，等面积法求角平分线交点到三边的距离

等腰三角形中，等面积法求两线段之和

矩形中，等面积法求垂线段长度之和

矩形中，等面积法证明线段和差关系

等面积法证明垂线段之间的数量关系

平方差公式、完全平方公式都可以用几何方法来证明，证明的过程就用到等面积法；勾股定理也常用等面积法来证明。

等面积法证明勾股定理

等面积法与乘法公式

等面积法在几何综合探究题中的应用

留一道练习题：