面积——等面积法

面积法在中学数学解题中的巧用
利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。

利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数〞的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。

运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明〞的效果。

有关面积的公式
〔1〕矩形的面积公式：S=长⨯宽〔2〕三角形的面积公式：ah S 2
1
=
〔3〕平行四边形面积公式: S=底⨯高
〔4〕梯形面积公式: S=2
1
⨯(上底+下底)⨯高
〔5〕对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半〔如正方形、菱形等〕 有关面积的公理和定理 1、面积公理
〔1〕全等形的面积相等；
〔2〕一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理
〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；
如下图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD
〔2〕等底等高的平行四边形、梯形〔梯形等底应理解为两底的和相等〕的面积相等；
〔3〕等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；
〔4〕相似三角形的面积的比等于相似比的平方；
〔5〕在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；
〔6〕等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。

问：长方形的面积是__________平方厘米。

等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。

如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△92cm
如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。

在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是〔 〕
等面积法的应用二：利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值。

已知直角三角形两直角边长分别为5和12，斜边上的高为_________ AH 是菱形ABCD 的高，且AC=6，BD=8，则AD=____
把矩形OABC 放置在直角坐标系中, OA ＝6,OC ＝8 ，若将矩形折叠，使点B 与O 重合得到折痕EF,求OB 、折痕EF 的长。

〔提示：BFOE 是菱形，利用菱形的面积
等于OB EF •2
1
又等于EB*OA ，列方程求出折痕EF 的长.〕
D
C
B
P A
F
E
D
C B A
O
25 35
30
40
如图，由图中已知的小三角形的面积的数据，求三角形ABC 的面积？210 平行四边形ABCD 中AC 与BD 交于点O ，AB=10，AD=8，O 到AB 的距离为2，则O 到BC 的距离为__
在平行四边形ABCD 中，∠BAD=300，AB=5cm ，AD=3cm ，E 为CD 上的一个点，且BE=2cm ，则点A 到直线BE 的距离为______。

正方形ABCD 内接于圆O ，E 是CD 的中点，圆的半径为2，则点O 到BE 的距离为_____
如图，矩形ABCD 中AB ＝a ，BC ＝b ，M 是BC 的中点，D EA M ⊥，E 是垂足 求证：D E a b a b
=
+242
2
等面积法的应用三：利用同一图形的面积相等，可以列方程证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明。

三边长分别为6、8、10的三角形的三条高的比分别为____ 看图，写代数恒等式:__________________
如图，边长为a 的正ABC △内有一边长为b 的内接正DEF △，则AEF △的3
)a b - 如图，已知P 为等边三角形ABC 内一点，过P 作三垂直，三角形ABC 的高为h.试说明PD PE PF h ++=
A
B
C
D P
F
E
已知P 为边长是3的等边三角形ABC 内一点，则P 点到三边的距离之和为___ 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高〔运用面积法可以证明〕，等腰三角形底边延长线上任一点点到两腰距离的差等于腰上的高。

请应用上述结论完成下题：已知直线33+-=x y 和直线34
3
+=x y ，在直线
33+=x y 上有一点P ，且点P 到直线34
3
+=x y 的距离是2，求P 点的坐标
已知:如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD 相交于O。

求证：∠AOC=∠BOC〔提示：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD〕
已知：如图，AD是∆A B C的角平分线。

求证：AB
AC
BD
DC
=
已知：如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。

求证：CF=BE
已知：如图，在∆A B C中，A B A C
>，BD、CE分别为AC、AB边上的高。

求证：B DC
E
>
等面积法的应用四：面积等分线
等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；两条平行直线之间的距离处处相等
一、平分三角形面积
〔1〕过一顶点作等积分割线：找中线；〔2〕过边上一点作等积分割线
二、平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；
三、平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形
方案一：连结梯形上、下底的中点E、F
方案二：分别量出梯形上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE＝1
2
(a＋b)，连
接AE。

如果用尺规作图，就是把上底平移到下底一旁作出两底之和，再取两底之和的中点
方案三：取一腰中点，等积变形成三角形或平行四边形
四、平分一般四边形：变形成等积的三角形。

〔1〕过一顶点作等积分割线；〔2〕过边上一点作等积分割线
五、平分五边形的面积
练习题1、如图，在△ABC中，BD：DC=1：2，E为AD中点，若△ABC面积为120，则阴影部分面积为
2、有一块方角形钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分。

3、如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A，并且只能修在AC和点E之间，同时还要平分四边形面积，
请你帮助设计
工人师傅想对如图1的直角铁皮，用一条直线m将其分成面积相等的两部分．图2是甲、乙、丙、丁四位同学给出的做法，其中做法正确的学生数是〔〕
现有如图所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案(要求：①分割的两部分两图不能完全相同，否则视作一种；②须有必要的数据说明或标记)
请你画一条直线，把下图分成面积相等的两部分
如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分，这样的直线可以画几条？〔〕
无数条
如图，一个圆和一个平行四边形．请你画出一条直线l，同时把这两个图形分成面积相等的两部分．
如图，X大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，X大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分．请你为X大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由
7-1
7-2
7-3
7-3
如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A〔1，0〕，对角线的交点P〔2.5 ，1〕
〔1〕写出B、C、D三点的坐标；
〔2〕若在线段AB上有一点E〔3，0〕，过E点的直线将矩形ABCD的面积分为相等的两部分，求直线的解析式
图所示，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为〔12，5〕，直线y＝0.25x+b 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分．那么b=
等面积法在数学中应用广泛，除此等积变换模型之外，涉与面积的知识还有以下模型：
蝴蝶模型：在任意四边形中有3
4
21S S OB OD S S ==
在梯形中有①21:S S
=OD ：OB=34S :S ②2213::S S a b = 相似模型：〔金字塔模型、沙漏模型〕
金字塔模型沙漏模型
①
AD AE DE AF AB AC BC AG
===
； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

燕尾定理模型
S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC
S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB 练习题：
如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，X 大伯常走这两条小路，他知道DF ＝DC ，且AD ＝2DE 。

则两块地ACF 和CFB 的面积比是_______
如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是___6.5〔提示：连接AE ，△ACE 与△BCE 面积之比为5:8〕
如图，将三角形ABC 的AB 边延长1倍到D ，BC 边延长2倍到E ，CA 边延长3倍到F 。

如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是__________
如图，四边形EFGH 的面积是65平方米，EA ＝AB ，CB ＝BF ，DC ＝CG ，HD ＝DA ，求四边形ABCD 的面积。

13
矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数
x
k k y 122++=图象上，若点A 的坐标为〔-2，-2〕，则k 的值为〔 〕
如图，正比例函数y=-x 与反比例函数y=x 2
-
的图象相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作y
轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接AD ，BC ，则四边形ACBD 的面积为___
.
如图，在6×5的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则sin∠BAC的值为___
如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是___〔3或6根据两部分面积相等列方程〕
.。