基于剑桥模型的砂土剪胀模型

其中: 1, 2, 3 为 3 个主应力. 2 1 弹性体应变及弹性模量
由图 4, 设比体积 v = 1+ e. 对于砂土正常固结 线有
e= a-
p pa
( 7)
回弹线有
p e = b - pa
( 8)
式中: a, b , , , 均为材料参数; p 为固结围压.
图 4 砂土固结线与回弹线
Fig. 4 N CL and SL
接近时, e0 e , p c. 根据状态参量的定义并将
其引入到相变应力比, 则有
M p = M en( ep- ec) = M en
( 4)
式中: M p 和 M 分别为相变应力比和临界应力比; n 为量纲一的系数. 当 ep = ec 时, 指数为 0, 则 M p= M , 为松砂; 当 ep < ec 时, 指数为负, M p < M ; 当 ep
( 15)
1+ e0 pa
pa
可以看出弹性模量随平均压力而变化.
2 2 塑性变形
在相变状态时塑性体应变增量为零, 采用相变
状态时的能量耗散方程, 可得塑性势函数为
g=
q2 +
M
2 p
p
2-
M
2 p
pxp
=
0
( 16)
由式( 11) 和式( 16) 可得
p pa
1+
q2
M
2 p
p
2
=
1+ -
e0
p v
性, 但却无法恰当的描述中密及密实砂土相变后的 剪胀特性[ 6 9] . 对于剪胀性材料, 其应力 应变曲线上 都会出现一个特征点, 即体积由剪缩向剪胀过渡的 点, 该点处体应变增量为零, 是土体变形过程中最密 实的状态, 即相变点[ 10] , 利用相变点能够反映密实 砂土初始阶段和以后的体变特性. 本文作者基于临
ec, M p M .
1 4 硬化参数的构造
文献[ 17] 的研究表明, 平均应力引起的塑性体
应变与应力路径无关; 剪应力( 或者应力比) 引起的 那部分塑性体应变与应力路径相关. 根据文献[ 17]
的硬化参数构造思想, 将塑性体应变中与应力路径
相关的因素去除掉即可, 从而得到
d R(
p v
)
=
(d
p=
c-
e - e0
pa p min
,
其中: 当 e - e0> 0 时 e - e0 = e - e0; 当 e - e0
0 时 e - e0 = 0.
Verdugo( 1996) 给出了砂土在不排水时三轴试
验的结果, 也能得出同样的结论, 参见文献[ 11] .
1 3 状态参量
在 e- ( p / p a) 坐标下相变线与临界状态线的
图 2 相变线与稳态线的关系[ 16]
F ig. 2 Relationship betw een PT L and CSL
由图 2 也可以看出, 砂土的临界状态线和相变 线 PT L 在对数坐标下已经不再是直线, 根据相变点 的特点建议相变线采用公式
p ep = e0- p p a
( 2)
式中: e0 为初始孔隙比; p 为参数. 对于剪胀性砂土存在一个临界剪胀围压 p min,
收稿日期: 2006 11 06 基金项目: 北京市自然科学基金资助项目( 8052015) 作者简介: 迟明杰( 1978 ) , 男, 山东青岛人, 博士生. email : 03115049@ jt u. edu. cn
50
北京交通大学学报
第 32 卷
土的临界状态线在 e ( p ) 平面上近似为直线, 建
px pa
=
1+ -
e0
p v
+
p0 pa
( 11)
对各向同性材料, 弹性应变由广义虎克定律得
d
e ij
=
1+ E
d ij - E d mm ij
( 12)
式中: d
e ij
为
弹性
应变增
量;
d
ij 为应力增量; d
mm =
d 11+ d 22+ d 33为平均应力增量; E 为弹性模量;
为泊松比; ij =
关系, 见图 3. 鉴于以往的状态参数的定义形式, 这
里状态参量定义为
= e p - ec
( 3)
图 1 相变时孔隙比与有效应力的关系[ 15] F ig. 1 Relationship betw een e and p p
Verdugo 对丰浦砂的研究结果表明[ 16] , 对于初 始孔隙比相同的砂土, 施加初始有效围压越大, 相变 点的有效平均压力就越大, 相变点就越逼近稳态线 CSL( 最终破坏线或临界状态线) , 见图 2.
迟明杰, 赵成刚
( 北京交通大学 土木建筑工程学院, 北京 100044)
摘 要: 对于中密砂和密砂, 剪胀现象是一个比较显著的特征, 相变线是描述剪胀现象的一条特征
线, 相变线比较容易确定. 本文在已有弹塑性模型基础上, 对硬化参数进行修正, 并引入与相变线相
关的状态参量, 建立了一个新的剪胀性砂土本构模型. 该模型尤其适合于中密砂和密砂, 对于松砂
第 32 卷 第 1 期 2008 年 2 月
北京交通大学学 报 JOU RN AL O F BEIJIN G JIAOT O NG U N IV ERSI T Y
文章编号: 1673 0291( 2008) 01 0049 05
基于剑桥模型的砂土剪胀模型
V ol. 32 N o. 1 Feb. 2008
当围压超过临界剪胀围压时, 砂土不再发生剪胀现 象[ 5] , 可认为此时 ep= ec, 由式( 1) 和式( 2) 得
图 3 相变线与临界状态线
Fig . 3 PT L and CSL
当初始孔隙比 e0< ec 时, ep < ec; 当 e0 ec 时, ep= ec. 可以看出, 在初始孔隙比由密实状态向临界状态
p v
)
= 0,
其中: d
p v
为总塑性体应变增量;
(
d
p v
)
= 0为平均应
力引起的塑性体应变; 应力比 为偏应力与有效平
均应力之比; R ( ) 为应力路径修正函数.
构造应力路径修正函数为
R(
)=
(M4-
4)
(
M
4 p
-
M
4
M
4 p
4) =
d
p v
(d
p v
)
=0
( 5)
根据剪胀性岩土材料的特点, 平均应力只能引
则退化为原弹塑性模型. 模型包含 9 个材料参数, 参数比较容易确定. 数值模拟结果能较好的描述
砂土的主要特性.
关键词: 岩土工程; 砂土; 本构模型; 硬化参数; 相变线; 状态参量
中图分类号: T U 411 3
文献标志码: A
Dilatant Model of Sand Based on the Cam Clay Model
第1期
迟明杰等: 基于剑桥模型的砂土剪胀模型
51
起塑性体缩, 即( d
p v
)
=0
0. 相变时, 即 = M p 时,
d
p v
=
0,
R(
) = 0; 临界状态时, 即
=
M
时, d
p v
=
0, R (
)=
0; 各 向等 压 加 载 时 d
p v
=
(d
p v
)
= 0,
R ( ) = 1. 可得硬化参数
界状态理论, 在已有的弹塑性模型基础上引入与相 变点相关的状态参量, 提出一个能够较好反应岩土 材料剪胀性的弹塑性本构模型.
1 状态参量及硬化参数的确定
1 1 砂土临界状态线 Roscoe 等人的试验研究表明, 重塑黏土的临界
状态线在 e lg p ( 孔隙比 有效应力) 平面上为直线, 然而对于砂土等无黏性土, 由于材料成分以及组构 与黏性土不同, 必然影响应力 应变曲线. 研究者早 就发现临界状态线在 e lg p 平面上并非直线[ 11 13] . L i 等人( 1998) 在对早期文献研究的基础上, 认为砂
1, ( i = j ) .
0, ( i j )
由式( 12) 可得弹性体应变增量为
d
e v
=
d
e 1
1
+
d
e 22
+
d
e 33
=
3( 1 - 2 E
) dp ( 13)
式( 10) 两边微分得
d
e v
=
1+
e0
p pa
-
1
1 pa
d
p
( 14)
由式( 13) 和式( 14) 得到弹性模量
E=
3( 1 - 2 ) p -1 1
议采用如下的基本形式作为砂土的临界孔隙比计算 公式[ 14]
p ec = e - c pa
( 1)
式中: e , c, 为材料常数; p a 为单位大气压, 通常 取 101 kP a; p 表示有效平均应力. 1 2 砂土相变线
文献[ 15] 对丰浦砂( T oyoura sand) 的研究结果
表明, 初始围压一定, 相变孔隙比 ep 与相变有效平 均应力 p p 成线性关系, 见图 1.
剪胀性是岩土材料的基本特性之一[ 1] . 英国剑 桥大学的 Roscoe 等人基于饱和正常固结土 和重塑 土试验[ 2] , 提出了 Cam clay 弹塑性模型[ 3] 和修正剑 桥模型[ 4 5] , 该模型是反映压硬性和剪缩性最简单、 物理意义最明确的弹塑性模型之一. 剑桥弹塑性模 型能够比较成功的描述正常固 结土的一些重 要特
+
p0 pa
( 17)
采用相关联流动法则, 由式( 17) 得屈服函数为
f
=
1+
e0
p pa
1+
q2
M
2 p
p2
-
- p0 1+ e0 p a
-
p v
=
0
( 18)
用修正的硬化参数取代屈服函数中的塑性体变
得屈服函数得
f
=
1+ e0
p pa
1+
q2
M
2 p
p
2
-
- p0 1 + e0 p a
- H= 0
流动法则得
d
p ij
=
g=
ij
f =A
ij
M
2 p
p
2+
q2
-1
M
2 p
p
M
2 p
p
2-
q2
M
2 p
p
2
ij
3
+
2q 3( ij - p ij )
H = dH =
d(
p v
)
= 0=
d R(
p v
)
=
M
4
M
4 p
( M 4-
4) (
M
4 p
-
4) d
p v
( 6)
2 砂土的本构模型
在推导过程中采用的平均应力
p=
1 3
(
1+
2+
3)
为有效平均应力, 剪应力为
q = 1 ( 1 - 2) 2 + ( 2 - 3) 2 + ( 3 - 1) 2. 2
( 19)
由一致性条件得
df =
f p
dp
+
f q
d
q
+
f H
dH
=
f p
dp
+
f q
d
q
-
1 R(
)d
p v
=
f p
dp
+
f q
d
q
-
1 R( )
f p
=
0
( 20)
式中:
=
dp
+
M
2 p
2qp p 2-
q 2dq
R(
).
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北京交通大学学报
第 32 卷
塑性应变增量与塑性势面正交, 并采用相关联
CHI M ingj ie ; ZHA O Chenggang
( School of Civil Eng ineering and Architectur e, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
Abstract: Dilat ant phenomenon is one of the key feat ures of medium dense sand and dense sand, and phase transition line can be used to describe t his phenom enon. Based on the Cam Clay model, an elas t ic plast ic model is proposed. T o character the dilat ant behavior of sand correct ly, a f unction modify ing the hardening parameter is int roduced, and a st at e paramet er involv ing the void ratio of phase transi t ion is suggest ed. T he model includes 9 parameters, w hich can be easily det ermined. T he principal be haviors of medium dense sand and dense sand have been precisely represent ed. Key words: g eotechnical engineering; sand; constitutive model; hardening paramet er; phase t ransit ion line; st at e paramet er
由式( 7) , p 0 p x 等向固结, 则体应变为
v=
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+
p v
=
1+
e0
px pa
-
p0 pa
( 9)
式中:
v,
e v
,
p v
分别为总体应变、弹性体应变分量、
塑性体应变分量.
由式( 8) , p x p 0 回弹, 则体应变为
e v
=
1+
e0
px pa
-
p0 pa
( 10)
由式( 9) 和式( 10) 可得