奥数知识点：三角形的四心之重心
三角形四心定理以及相关证明
引言概述：在几何学中，三角形是研究的重要对象之一。
而三角形四心定理是关于三角形内四个特殊点的定理，它们分别是三角形的重心、外心、内心和垂心。
这个定理不仅有着重要的理论价值，而且在实际应用中也有广泛的应用。
本文将详细介绍三角形四心定理以及相关的证明。
正文内容：一、重心（G）重心是三角形内部三条中线的交点，也称为质心。
重心的坐标可以通过三个顶点的坐标求得。
设三角形的顶点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），则重心的坐标为G（(x₁+x₂+x₃)/3，(y₁+y₂+y₃)/3）。
大点1：重心的性质小点1：重心与顶点的连线成比例小点2：重心与重心连线中点的连线平行于底边小点3：重心是内心和外心连线的中点大点2：重心的应用小点1：稳定平衡问题小点2：质心的分割线小点3：质心的建模应用二、外心（O）外心是可以通过三角形的三个顶点构造出的唯一圆的圆心。
外心到三角形的每个顶点距离相等。
大点1：外心的性质小点1：外心是垂直平分线的交点小点2：外心到各顶点的距离相等小点3：外心是三角形内切圆的圆心大点2：外心的应用小点1：计算三角形的外接圆半径小点2：设计圆形邮票小点3：构造圆锥曲线三、内心（I）内心是可以通过三角形的三条内切圆的切点构造出的唯一点。
大点1：内心的性质小点1：内心到三边的距离相等（接切性质）小点2：内心是角平分线的交点小点3：内心是三角形外角平分线的交点大点2：内心的应用小点1：计算三角形的内切圆半径小点2：解决三角形的内接问题小点3：优化布局问题四、垂心（H）垂心是通过三角形的三条高的交点构造出的唯一点。
大点1：垂心的性质小点1：垂心是中线的垂直平分线的交点小点2：垂心到各边的距离相等小点3：垂心是三角形外心的反演点大点2：垂心的应用小点1：计算三角形的三条高的长度小点2：解决三角形与圆的位置关系问题小点3：优化三角形的面积总结：三角形四心定理是几何学中重要的定理，包括重心、外心、内心和垂心。
三角形的四心
三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
三角形的“四心”是初中三角形的重难点，也与高中向量、三角函数等知识联系甚紧，需要认真学懂。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC 的重心一般用字母O 表示。
性质：1、外心到三顶点等距，即OC OB OA 。
2、外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ,,. 3、AOB C AOC B BOC A 21,21,21。
二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ,,；CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC B CIA 2190，C AIB 2190。
三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC 的垂心一般用字母H 表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母G 表示。
性质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GFGC GE GB GD GA 2,2,23.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x .4.ABC AGB CGA BGC S S S S 31。
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
(完整版)三角形四心及其性质总结
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。
二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。
性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、内心：三条内角平分线交于一点。
即三角形内切圆的圆心。
性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC的重心一般用字母O表示。
性质：1.外心到三顶点等距，即OA OB OC。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC,OE AC,OF AB.3. A 1BOC,B1AOC,C1AOB。
2 2 2二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径．23. AEAF,BF BD,CD CE；AE BF CD三角形的周长的一半。
4. BIC1A,CIA1B，AIB1C。
90 90 902 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC的重心一般用字母H表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CH AB。
2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。
四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母G 表示。
性质：1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。
2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GA2GD,GB2GE,GC2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x G x A x B xC,y Gy A y B yC .334.向量性质：（1）GAGB GC0 ；（2）PG 1(PAPB PC)，31S5.S BGC SCGASAGBABC 。
3五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为 ABC 所在的平面内一点，满足OAOB OBOC OCOA ，则点O 为 ABC 的垂心。
最新三角形四心及其性质总结
三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。
二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。
性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
四、内心：三条内角平分线交于一点。
即三角形内切圆的圆心。
性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形的四心
A
O
A
O
B
C
B
C
二、垂心 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心 垂心。 三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。
C′ F
AE DBiblioteka B′证明垂心定理B
A′
证明: 三条高， 证明 AD、BE、CF为∆ABC三条高， 、 、 为 三条高 过点A、 、 分别作对边的平行线 过点 、B、C分别作对边的平行线 相交成∆A′B′C′，AD为B′C′ 相交成 ， 为 的中垂线；同理BE、 也分别为 的中垂线；同理 、CF也分别为 C A′C′、A′B′的中垂线， 的中垂线， 、 的中垂线 由外心定理，它们交于一点， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证． 命题得证．
F G B D C E
重心
四、内心
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。 三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心， 内心。
证明内心定理
的平分线相交于I, 证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I, ID⊥BC，IE⊥AC， 过I作ID⊥BC，IE⊥AC， IF⊥AB，则有IE=IF=ID IE=IF=ID． IF⊥AB，则有IE=IF=ID． A 因此I也在∠ 的平分线上， 因此I也在∠C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点． 交于一点． I
三角形的“四心” 三角形的“四心”
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心， 外心。 三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点 ， 的中垂线交于点O， 证明 、 的中垂线交于点 则有OA=OB=OC， 则有 ， 也在AC的中垂线上 故O也在 的中垂线上， 也在 的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等 到三顶点的距离相等， 因为 到三顶点的距离相等， 故点O是∆ABC外接圆的圆心． 故点 是 外接圆的圆心． 外接圆的圆心 因而称为外心． 因而称为外心．
三角形的四心
三角形的四心
重心：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
外心：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
3、外心到三顶点的距离相等
垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
内心：三角形的三条内角平分线交于一点，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、内心到三角形三边距离相等。
初中数学竞赛辅导-三角形的四心
学科: 奥数教学内容：三角形的四心【内容综述】三角形的四心，指的是三角形的垂心。
重心、内心、外心，它们的性质在几何证明与计算中具有重要的作用。
（1）三角形的垂心是指三条高线的交点。
垂心常用字母H来表示。
（2）三角形的垂心是指三条中线的交点。
重心常用字母G来表示。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的二倍。
（3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。
内心常用字母I来表示。
内心到三边的距离相等。
（4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
【例题分析】★★★例1 已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。
求证：AO=BE+CF。
思路直接证AO=BE+CF比较困难。
可考虑连AG延长交BC于D，过D 作于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即可得证。
证明如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。
∵G是重心，BD=DC。
过D 点作于H，又∴DH为梯形BCFE的中位线，又∵△AOG∽△DHG,即因此，AO=BE+CF。
★★★例2 如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，试求ID和IE之长。
思路分析由I，D，C，E四点共圆可知，又由Ｉ为△ABC的内心知故可求得这时问题即可解决。
解∵I， D， C， E共圆，又∵I为△ABC的内心。
从而知连CI则∵I, D, C, E 共圆。
因而ID=IE。
在△DIE中，即由余弦定理解得★★★例3 已知△ABC的重心G和内心O的连线GO//BC，求证AB+CA=2BC。
思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证之。
证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，AO 和CO分别为的平分线。
又∵CO是∠ACB的平分线，得CA=2CT。
同理可证AB=2BT。
九年级奥数培训.三角形的“四心”-奥数精讲与测试
知识点、重点、难点三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容,是初中数学竞赛的热点。
1.外心三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心,即该三角形外接圆的圆心,△ABC 的外心通常用字母O 表示。
它具有如下性质：(1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径； (2)在△ABC 中,若∠A 是锐角,则∠BOC =2∠A ；若∠A 是钝角,则 ∠BOC ＝360°－2∠A . 2.内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即是该三角形内切圆的圆心,△ABC 的内心一般用字母I 表示．它具有如下性质：(1)内心在△ABC 三边距离相等,这个相等的距离是△ABC 内切圆的半径；(2)若I 是△ABC 的内心,则11190,90,90222BIC A CIA B AIB C ∠=+∠∠=+∠∠=+∠；(3)若I 是△ABC 的内心,AI 延长线交△ABC 外接圆于D ,则有DI =DB ＝DC ,即D 为△BCI 的外心。
3.重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,它具有如下性质： (1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；(2)若G 是△ABC 的重点,则13GBC GCA GAB ABC S S S S ∆∆∆∆===； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。
4.垂心三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”,它具有如下性质：(1)图中有六组四点共圆（如A 、F 、H 、E ；A 、B 、D 、E 等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH ·HD =BH ·HE =CH ·FH ；(2)垂心H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上；(3) H 、A 、B 、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心；(4) △ABC 的内接三角形（即顶点在△ABC 的边上）中,以垂足△DEF的周长最短。
三角形四心”定义与性质
三角形四心”定义与性质
一、什么是三角形四心
三角形四心是指三角形的一类特殊的内部点，可以用来证明三角形形状的一些特性。
三角形四心包括内心（Incenter）、外心（Circumcenter）、垂心（Orthocenter）和重心（Centroid）。
二、各心的定义
1、内心（Incenter）
是指经过三条边的交点，是三条边的中线的交点。
内心一定在三角形内，而且和三角形各边中点垂直。
3、垂心（Orthocenter）
是三面垂直（三角形的外角均为90度）时才存在的第四心，它是三个顶点的垂线的交点，也是高的垂线的交点。
垂心的位置可能在三角形内，也可能在三角形外。
三、各心的性质
1、内心的性质
（1）设a，b，c为三角形的边长，I为三角形的内心，则三角形的内接圆半径为：rI＝a×b×c/4S，其中S是三角形的面积。
（2）如果满足外角和的三倍等于内角和，则三角形的内心就与重心等同。
（3）如果三角形的三边呈等腰三角形（即有一条边等于另外两条边的1/2），则三角形的内心会在一条内角垂线上，且离该条边的长度等于另外两条边的1/3。
2、外心的性质
（1）如果三角形满足外角和的三倍等于内角和，则它的外心与重心也会相等。
（2）外心到三角形三边的距离相等，等于三角形外接圆半径，该半径可以用以下公式计算：rO＝a×b×c/4R，其中R是三角形外接圆的半径。
三角形的四心
2、垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线 垂直于对边．
在向量表达形式中，若H是△ABC的垂心，则
3、内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内 切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．
在向量表达形式中，若点I是△ABC的内心，则有
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A E
B
D
C
4、外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形 外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．
三角形“四心”的概念与性质
1、重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到 对边中点距离之比为2∶1.
（1）在向量表达形式中，设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是 △ABC的重心时，
（2）在向量的坐标表示中，若G，A，B，C分别是三角形的重心和三 个顶点，且分别为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
AB CA
BA CB
CA BC
则O为三角形ABC的 心.
（3）设点O在三角形ABC的内部，且
OA 2OB 3OC 0, 则 SABC : SAOC
.
在向量表达形式中，若点O是△ABC的外心，则
例6 （1）若点O为三角形ABC所在平面内的 一定点，P是面ABC呢一动点，若
(PB PC) (OB OC) (PC PA) (OA OC) 0
则O为三角形ABC的 心.
（2）三个不共线的向量OA,OB,OC 满足
OA ( AB CA ) OB ( BA CB ) OC ( CA BC ) 0,
三角形的四心（重心，垂心，外心，内心）轨迹
三⾓形的四⼼（重⼼，垂⼼，外⼼，内⼼）轨迹四⼼定义
·重⼼
三⾓形的重⼼是指三⾓形三条中线的交点。
三⾓形重⼼定义
·垂⼼
三⾓形垂⼼是指三⾓形的三条⾼或其延长线的交点。
三⾓形垂⼼定义
·外⼼
三⾓形外⼼是指三⾓形三条垂直平分线（中垂线）的交点，也是外接圆的圆⼼。
三⾓形外⼼定义
·内⼼
三⾓形内⼼是指三个内⾓的⾓平分线的交点，也是内接圆的圆⼼。
三⾓形内⼼定义
动点做直线运动时的四⼼轨迹
·重⼼
重⼼轨迹之动点直线运动
·垂⼼
垂⼼轨迹之动点直线运动
·外⼼
外⼼轨迹之动点直线运动
·内⼼
内⼼轨迹之动点直线运动
动点做圆周运动时的四⼼轨迹
·重⼼
重⼼轨迹之动点圆周运动
·垂⼼
垂⼼轨迹之动点圆周运动
·外⼼
外⼼轨迹之动点圆周运动
·内⼼
内⼼轨迹之动点圆周运动
欧拉线
感兴趣的朋友可以⾃⾏证得垂⼼-重⼼-外⼼三点共线，⽽且当三⾓形为等腰三⾓形时，内⼼也共线。
此线称为欧拉线。
三⼼共线之欧拉线。
三角形的四心
三角形的四心一、重心 三角形的重心是三角形三条中线的交点。
性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
二、外心 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.（1）三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
（2）锐角三角形的外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部。
2.OA=OB=OC=R3.∠BOC=2∠BAC ，∠AOB=2∠ACB ，∠COA=2∠CBA 4C B A R Rabc S ABC sin sin sin 24==∆ 三、内心 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
性质1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3. 2)(c b a r S ABC ++=∆ 4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5. A BOC ∠+︒=∠2190 四、垂心 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。
性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2. 垂心O 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上3.△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF4. H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形四心及其性质总结
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三角形四心
重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1 o
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3 , （Y1+Y2+Y3 ）⑶。
、外心：三条边的垂直平分线交于一点。
该三角形外接圆的圆心,
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。
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三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)
三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ． 三条中线的交点B ． 三条高线交点C ． 三个内角平分线交点D ． 三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 ．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的 ．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝ ．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。
三角形的各个心总结与归纳
三角形的四种心
重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点;
内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;
外心:三中垂线的交点;
当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.
一、三角形重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
二、三角形垂心的性质
垂心:三高的交点;
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
三、三角形内心
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
3、（内角平分线分三边长度关系）
⊿ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b.
四、三角形外心
1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
3、GA=GB=GC=R.。
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三角形的四心之—重心
三角形重心是三角形三边中点与对角连线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
在求阴影部分的面积问题中时常会用到它的性质。
性质一：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
AO= 2OD，BO= 2OE，CO= 2OF
初中生可以证明：(提示：EH是三角形ABF的中位线。
)
性质二：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等S△BOC=S△AOC=S△AOB=1/3S△ABC
利用性质一就可以证明。
顺口溜：
三条中线必相交，交点命名为“重心”
重心分割中线段，线段之比二比一；。