投影与直观图
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2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点
学生活动
投影规律： 1.平行性不变;但形状、长度、夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投
影长不变；等等。
（2）画直观图时，把它们画成对应的 o' x',o' y',o' z'
轴，使 x'o' y' 450 或135 0 , x'o' z' 900. x'o' y' 所确定
的平面表示水平平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在
直观图中分别画成平行于 x'轴 y'轴或 z'轴的线段；
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 来的一半
投射, 并在该面上得到图形的方法.
知识探究（一）：中心投影与平行投影
1.光是直线传播的，一个不透明物体 在光的照射下，在物体后面的屏幕上会 留下这个物体的影子，这种现象叫做投 影.其中的光线叫做投影线，留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
2.我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影，把在一束平行光 线照射下形成的投影叫做平行投影.
1.1.4投影与直观图
手影表演
手影表演
手影表演
物体在灯光或日光的照射下, 就会在地面或墙壁上产生影 子,这是一 种自然 现象.投影 ( project) 就 是由这类自然现 象抽象出来的 .生活中有许多 利用投影的例子.如手影表演 皮影戏等.
投影是光线 投射线 通过物体,向选定的面(投射面 )
x/
B/ G/ C/
BG C
F/
E/
A/
D/
B/
C/
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
例题解析
例3 画正五棱锥的直观图.
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
y A
B
E
x
G
O
H
y’
O’
x’
C
FD
规则：
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 oy,再取oz轴，使∠xoy=450，且∠xoz=900 ；
二、中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平
面上，这个图形的影子就是它在这个平面的中心投影.
注意：投射线交于一点.
A
B B’
D C
D’
C’
想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?
2. 将一个水平放置的平面图形 画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)
感受立体图
归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
(2)画空间图形时，首先画与坐标轴平行的 线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线 段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个 端点，然后连接成线段。
平行性不变，相交及交点不变。但垂直性会 变，形状、长度、夹角也会改变；
例题解析
例2 画水平放置的正六边形的直观图.
y
y/
FHE
A
O
H/
F/
E/
Dx
A/
O/
D/
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
斜二测画法规则：
（1）在已知图形中Байду номын сангаас互相垂直的x轴和y轴,两轴相交
于点O.画直观图时,把它们画成对应的 x'轴和 y'轴,两
轴相交于O′,且使 x'o' y' 450 或135,0它们确定的平面
表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观
图中分别画成平行于 x' 或轴 y'轴的线段；
例2 画棱长为2cm正方体的直观图.
z`
D`
C`
B` A`
y`
解 画法按如下步骤完成. 第一步 作水平放置的正方形的直观图 ABCD,使BAD 450 , AB 2cm, AD 1
D
450
A
B
D`
A`
B`
C cm. x` 第二步 过A作z`轴,使BAz` 900.分别
过点B,C, D作z`轴的平行线,在z`轴及这 C` 组平行线上分别截取AA` BB` CC`
第二步 在x`轴上取O`A` OA,O`B` OB,O`C` 1 / 2OC.
第三步 连结A`C`, B`C`, 所得的 三 角 形A`B`C`就是正三角形ABC的直观图.
(1)“斜”：互相垂直的OX、OY轴画线
O′X′、O′Y′轴，使 x'o' y' 450 或135 0
“二侧”：横不变，纵折半。
F
F’
练习1：下列说法是否正确？
（1）水平放置的正方形的平行投影可能是梯（形×. ）
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行（. ×）
(3) 互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂
直.
（×）
（4）等腰三角形的水平放置的平行投影仍是等腰
三角形.
（×）
注意：当图形中直线或线段平行于投射线时.
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
B`
正投影
图1 1 21
（1） 点的平行投影：已知 图形F，直线l与平面α相交， 过F上任一点M作直线l’平 行于l，交平面α于点M’，则 M’叫做点M在平面α内关于 直线l的平行投影.
（2）图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投 射线。
太阳光线（假定太阳光线是平行的） 把一个长方形形状的窗框投射到地 板上，变成了什么图形？
一、平行投影
投影线相互平行的投影称为平行投影, 平行投影按投射 方向是否正对着投影面, 可分为斜投影 和正投影两种, 如
图1 1 21所示.
投
射A
方 向
B
C
投
射 方
向
A`
C`
B`
斜投影 平行投影
A
C
B
A`
C`
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 一半
y C
AO
Bx
y`
C`
450
A`
O` B` x`
C`
A`
B`
图1 1 29
例1 画水平放置的正三角形的 直观图.
画法按如下步骤完成: 第一步 在已知的正三角形ABC中, 取AB所在的直线为x轴, 取对称轴 CO为y轴. 画对应的x`轴、y`轴,使 使x`O`y` 450.
三、平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有下列性质. 1 、直线或线段的平行投影仍是直线或线段. 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线. 3、平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长. 4、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等. 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
学生活动
投影规律： 1.平行性不变;但形状、长度、夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投
影长不变；等等。
（2）画直观图时，把它们画成对应的 o' x',o' y',o' z'
轴，使 x'o' y' 450 或135 0 , x'o' z' 900. x'o' y' 所确定
的平面表示水平平面；
（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在
直观图中分别画成平行于 x'轴 y'轴或 z'轴的线段；
（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 来的一半
投射, 并在该面上得到图形的方法.
知识探究（一）：中心投影与平行投影
1.光是直线传播的，一个不透明物体 在光的照射下，在物体后面的屏幕上会 留下这个物体的影子，这种现象叫做投 影.其中的光线叫做投影线，留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
2.我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影，把在一束平行光 线照射下形成的投影叫做平行投影.
1.1.4投影与直观图
手影表演
手影表演
手影表演
物体在灯光或日光的照射下, 就会在地面或墙壁上产生影 子,这是一 种自然 现象.投影 ( project) 就 是由这类自然现 象抽象出来的 .生活中有许多 利用投影的例子.如手影表演 皮影戏等.
投影是光线 投射线 通过物体,向选定的面(投射面 )
x/
B/ G/ C/
BG C
F/
E/
A/
D/
B/
C/
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
例题解析
例3 画正五棱锥的直观图.
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
y A
B
E
x
G
O
H
y’
O’
x’
C
FD
规则：
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、 oy,再取oz轴，使∠xoy=450，且∠xoz=900 ；
二、中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平
面上，这个图形的影子就是它在这个平面的中心投影.
注意：投射线交于一点.
A
B B’
D C
D’
C’
想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?
2. 将一个水平放置的平面图形 画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)
感受立体图
归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
(2)画空间图形时，首先画与坐标轴平行的 线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线 段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个 端点，然后连接成线段。
平行性不变，相交及交点不变。但垂直性会 变，形状、长度、夹角也会改变；
例题解析
例2 画水平放置的正六边形的直观图.
y
y/
FHE
A
O
H/
F/
E/
Dx
A/
O/
D/
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
斜二测画法规则：
（1）在已知图形中Байду номын сангаас互相垂直的x轴和y轴,两轴相交
于点O.画直观图时,把它们画成对应的 x'轴和 y'轴,两
轴相交于O′,且使 x'o' y' 450 或135,0它们确定的平面
表示水平面；
（2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观
图中分别画成平行于 x' 或轴 y'轴的线段；
例2 画棱长为2cm正方体的直观图.
z`
D`
C`
B` A`
y`
解 画法按如下步骤完成. 第一步 作水平放置的正方形的直观图 ABCD,使BAD 450 , AB 2cm, AD 1
D
450
A
B
D`
A`
B`
C cm. x` 第二步 过A作z`轴,使BAz` 900.分别
过点B,C, D作z`轴的平行线,在z`轴及这 C` 组平行线上分别截取AA` BB` CC`
第二步 在x`轴上取O`A` OA,O`B` OB,O`C` 1 / 2OC.
第三步 连结A`C`, B`C`, 所得的 三 角 形A`B`C`就是正三角形ABC的直观图.
(1)“斜”：互相垂直的OX、OY轴画线
O′X′、O′Y′轴，使 x'o' y' 450 或135 0
“二侧”：横不变，纵折半。
F
F’
练习1：下列说法是否正确？
（1）水平放置的正方形的平行投影可能是梯（形×. ）
（2） 两条相交直线的平行投影可能平行（. ×）
(3) 互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂
直.
（×）
（4）等腰三角形的水平放置的平行投影仍是等腰
三角形.
（×）
注意：当图形中直线或线段平行于投射线时.
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
B`
正投影
图1 1 21
（1） 点的平行投影：已知 图形F，直线l与平面α相交， 过F上任一点M作直线l’平 行于l，交平面α于点M’，则 M’叫做点M在平面α内关于 直线l的平行投影.
（2）图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投 射线。
太阳光线（假定太阳光线是平行的） 把一个长方形形状的窗框投射到地 板上，变成了什么图形？
一、平行投影
投影线相互平行的投影称为平行投影, 平行投影按投射 方向是否正对着投影面, 可分为斜投影 和正投影两种, 如
图1 1 21所示.
投
射A
方 向
B
C
投
射 方
向
A`
C`
B`
斜投影 平行投影
A
C
B
A`
C`
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的 一半
y C
AO
Bx
y`
C`
450
A`
O` B` x`
C`
A`
B`
图1 1 29
例1 画水平放置的正三角形的 直观图.
画法按如下步骤完成: 第一步 在已知的正三角形ABC中, 取AB所在的直线为x轴, 取对称轴 CO为y轴. 画对应的x`轴、y`轴,使 使x`O`y` 450.
三、平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有下列性质. 1 、直线或线段的平行投影仍是直线或线段. 2、平行直线的平行投影是平行或重合的直线. 3、平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长. 4、与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等. 5、在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.