北师大版高中数学必修5等比数列 第2课时

等比数列

（第二课时）

教学目标：

进一步熟悉等比数列的有关性质

教学重点：

等比数列的性质

教学过程

一、复习引入：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），

即：1-n n

a a =q （q ≠0）

2.等比数列的通项公式:

)

0(11

1≠⋅⋅=-q a q

a a n n ，

)

0(≠⋅⋅=-q a q

a a m m

n m n

3．｛

n

a ｝成等比数列⇔n n a a 1

+=q （+

∈N n ,q ≠0）

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到：

1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。

2、若q p n m +=+，则q

p n m a a a a =

三、

例1：已知无穷数列 ,10

,10,10,105

152

51

50

-n ，

求证：（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的

10

1，

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1）

51

5

251

1

1010

10==

---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2）

10

110

10

101

5

451

5

=

==

-+-+n n n n a a ，即：5

10

1+=

n n a a

（3）5

2

5

1

5

110

10

10

-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p

∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，

∴⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧

∈--+5

1n 5

2

1010

q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，①

18

3

1=q a ， ②

由②÷①可得第2

3=q ③

把③代入①可得8 3

16121==∴=

q a a a

答：这个数列的第1项与第2项是3

16和8.

例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.

证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：

n

n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )

()

(21111

211121111

2

11

1

1与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅

.)

()(211

2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n

n

n n n ==

⋅⋅-++

它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列

{}n a 中，2

2

-=a ，

54

5=a ，求

8

a ，

解：

1458

2

54

542

553

58-=-⨯

=⋅

==a a a q a a

小结：本节课主要学习了等比数列性质