复数

复 数

A 级——夯基保分练

1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i

D ．－i

解析：选B ∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝2

1＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，则复数z 的虚部为－1.故选

B.

2．已知复数z ＝2i

1＋i ，则z 的共轭复数为( )

A ．1＋i

B ．1－i

C ．2＋2i

D.12－12

i 解析：选B ∵复数z ＝2i

1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(i ＋1)2＝1＋i ，∴复数z 的共轭复数z ＝1

－i.故选B.

3．设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i

1＋i

，则实数a ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0

D ．－1

解析：选C ∵1－i ＝2＋a i 1＋i ，2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋a 2＋a －2

2i ，∴⎩⎨⎧

2＋a

2＝1，a －2

2＝－1，解得a ＝0.故选C.

4．(2020·山西太原模拟)设复数z ＝1－3i(i 是虚数单位)，则z z

的虚部为( )

A.

3

2

i B ．－

32 C.32 D ．－32

i 解析：选C ∵z ＝1－3i ，∴z

z ＝z

2

z ·z ＝(1＋3i )2|z |2＝1＋23i －34＝－12＋3

2i.∴z z 的虚

部为

3

2

.故选C. 5．已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选A 因为z ＝3i 1＋i ＝32＋32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫32，3

2，

在第一象限，故选A.

6．若z ＝4＋3i ，则z |z |

＝( )

A ．1

B ．－1 C.45＋3

5

i D.45－35

i 解析：选D 因为z ＝4＋3i ，所以z ＝4－3i ，|z |＝5，故z

|z |＝45－35i. 7．(多选)下列命题正确的是( )

A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数

B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数

C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)

D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→

(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1

解析：选BC 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，由题可知，A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y,2x

－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1，y ＝4，

故D 错误．故选B 、C. 8．(多选)已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．复数z ＝1＋2i 1－i

的虚部为32

B ．复数z ＝2＋5i

－i

的共轭复数z ＝－5－2i

C ．复数z ＝12－1

2i 在复平面内对应的点位于第二象限

D ．复数z 满足1

z ∈R ，则z ∈R

解析：选ABD 对于A ，z ＝

1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )

＝－12＋32i ，其虚部为3

2，故A 正确；

对于B ，z ＝2＋5i －i ＝(2＋5i)i ＝－5＋2i ，故z ＝－5－2i ，故B 正确；对于C ，z ＝12－1

2i ，在

复平面内对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫12

，－1

2，位于第四象限，故C 不正确；对于D ，设z ＝a ＋b i(a ，

b ∈R )，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2，又1

z

∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R ，故D 正确．

9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a

b 的值为________．

解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝1，a ＝2，

所以a b ＝2.

答案：2

10．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－3i 1＋i 2

＝________.

解析：原式＝12＋(

2)2＋

(1－3i )2(1＋i )2

＝3＋－2－23i

2i ＝3＋i －3＝i.

答案：i

11．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．

解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

所以z 1＝a －b i ，z 2＝z 1－i z 1＝a ＋b i －i(a －b i)＝a ＋b i －a i －b ＝a －b ＋(b －a )i ，因为z 2的实部是－1，

所以a －b ＝－1，所以z 2的虚部为b －a ＝1. 答案：1

12．(一题两空)若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.

解析：∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．

由根与系数的关系知⎩⎨⎧

(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，

(1＋2i )(1－2i )＝c ，

∴b ＝－2，c ＝3. 答案：－2 3

B 级——提能综合练

13．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )

A ．内心

B ．垂心

C ．重心

D ．外心

解析：选D 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 的三个顶点距离相等，z 对应的