复数知识点总结

复数知识点小结

1、复数的概念

复数 (,)z a bi a b R =+∈Re Im a z b z ⎧⎨

⎩——实部————虚部——，其中21i =-，i 叫做虚

数单位.

2、复数的分类

(0) (,)(0) (0b z a bi a b R b a =⎧=+∈⎨≠=⎩实数复数虚数特别地，时为纯虚数) 3、两个复数相等

定义：如果两个复数),(1R b a bi a z ∈+=和),(2R d c di c z ∈+=的实部与虚部分别相等，即d b c a ==且，那么这两个复数相等，记作di c bi a +=+.

只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.

4、复平面——建立了直角坐标系来表示复数的平面。复平面中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。

5、复数的向量表示

OZ Z 向量复平面上点复数↔↔+=),(b a bi a z

6、复数的模

复数模（绝对值）的定义，几何意义：

复数（∈R ）所对应的点Z()到坐标原点的距离。

022≥+b a .

[说明] ||||z z a ==为实数时，，

所以实数绝对值是复数模的特殊情形。当且仅当0时，0

7、复数的四则运算性质：R d c b a ∈,,,

1）、加法：i d b c a di c bi a )()()()(+++=+++

2）、减法：i d b c a di c bi a )()()()(-+-=+-+

3）、乘法：i bc ad bd ac di c bi a )()())((++-=++

4）、除法：i d c ad bc d c bd ac di c bi a 2

222+-+++=++ （目的：分母实数化） [要点说明]①计算结果一律写成),(R b a bi a ∈+的代数形式； ②复数的加法满足交换律、结合律；

③复数乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配

律；

交换律：1221z z z z ⋅=⋅

结合律：)()(321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅

分配律：3121321)(z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅

④实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内

仍然成立，即

n

n n mn n m n m n m z z z z z z z z z N n m C z z z 2121*321)(,)(,,,,,=⋅==∈∈+时：

8、i 的整数指数幂的周期性特征：

414243441, 1, , 1k k k k k i i i i i i ++++==-=-=若为非负实数，则（）；

024*******=+++++++k k k k i i i i ）（

9、||21z z -的几何意义：

设12, (,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 则2221)()(|)()(||)()(|||d b c a i d b c a di c bi a z z -+-=-+-=+-+=- 几何意义：对应复平面上点

12(,), (,)Z a b Z c d 两点间距离22)()(d b c a d -+-=

10、共轭复数

1）定义： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫做互为共轭复数，记为bi a z -=

问题：当R z ∈时，是否有共轭复数？两者关系如何？z z R z =⇔∈

2）运算性质：结论可推广到n 个

2121)1(z z z z ±=± 2121)2(z z z z ⋅=⋅ )0()()()3(22

121≠=z z z z z

3）模的运算性质：① 121212||||||||||z z z z z z -≤±≤+；

② 1212z z z z ⋅=⋅，可推广至有限多个，特别地n n z z = ③

2121z z z z = ④ 22z z z z ==，特别地，当1=z 时，1=z z 即 1z z

=. 11、复数的平方根：

在复数集C 内，如果),,,(,R d c b a di c bi a ∈++满足：di c bi a +=+2)(，

则称bi a +是di c +的一个平方根.

从运算结果可以看出，一个非零复数的平方根有两个，且互为相反数.

12、复数的立方根 设i 2321+-=ω，则：

322331322(1) 1; (2) 10 ; (3) ;

(4) 1,{}3.n n n n T ωωωωωωωωωωω++=++======即是的等比数列

13、实系数一元二次方程根的情况

1）20(0)ax bx c a ++=≠实系数一元二次方程在复数集内根的情况： ① 0 ,∆>当时有两个不相等的实根；② 0 ∆=当时，有两个相等的实根； ③ 0 ∆<当时，有两个共轭虚根.

2）0∆<当时，2212112122Re ,||||b c x x x x x x x a a +==-⋅=== 3

）120||x x a ∆≥-=当时，

120||||22||b b x x a a a --∆<-=-=当时，

12||x x -=综上：