平面向量应用举例 ppt课件
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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
平面向量应用举例课件
F
由
200 2 cos
3
2
≤
200,
cos
2
≥
3 2
,
2
≤
6
,
≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2
1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
平面向量的应用举例精选课件
A
F
E
a
B
P D
b
c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D E A
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
2.5 平面向量应用举例
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
λ1λ2=-1；
③若向量 a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),则 a + b 与 a - b 的夹角为90°； ④若向量 a 、 b 满足| a |=3,| b |=4,| a + b |= 13 ,则 a , b 的夹角为60°.
F
E
a
B
P D
b
c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D E A
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
2.5 平面向量应用举例
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
λ1λ2=-1；
③若向量 a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),则 a + b 与 a - b 的夹角为90°； ④若向量 a 、 b 满足| a |=3,| b |=4,| a + b |= 13 ,则 a , b 的夹角为60°.
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
平面向量应用举例课件PPT
解： (1)粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s＝sb－sa＝(4,3)－(3，－4)＝ (1,7)． (2)设 s 与 sa 的夹角为 θ，则 s 在 sa 方向上的投影为 |s|cos θ＝|s||ss|··s|saa|＝s|s·saa| ＝1×33＋2＋7×－4－24＝－5.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
《平面向量的概念》平面向量及其应用PPT课件
概念介绍
➢ 共线向量：平行向量也叫做共线向量，这是因为
任一组平行向量都可移到同一直线上
a
b
c
➢ 注：平行向量可以在同一直线上
要区别于两平行线的位置关系
·
巩固拓展
已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与 、 相等的向量；
巩固拓展
（1）平行向量是否一定方向相同？
方向相同或相反的向量叫做平行向量
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
零向量
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ 零向量
（5）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（6）共线向量一定在同一直线上吗？
长度相等，方向相同
不一定，例如不在同一条直线
①质量
②速度 ③位移 ④力
⑤加速度 ⑥面积 ⑦年龄 ⑧身高
向量两要素：
大小、方向
向量的表示
数量
实数
数轴上的点一一对应
➢ 有向线段：
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假
设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，
具有方向的线段叫做有向线段.
通常在有向线段的终点处画上箭头表示方向。
➢ 注：
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
平面向量的概念
人教A版高中数学必修二第六章第一节
- .
回顾旧知
情景一：小船由A地航行15 km到达B地。
试问小船能到达B地吗？
情境二：小船由A地向东南方向航行15
km到达B地。试问小船能到达B地吗？
位移有大小，
也有方向
位移有大小，
平面向量应用举例PPT课件
化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
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3 3
3 3
3 3
故AT=RT=TC
用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。
如图所示，已知⊙O，AB为直90°
A
B
分u 析uur：要uu证ur∠ACBuu=ur90uu °u r，只须证向
O
量ACCB，即 ACCB0 。
解：设u A u O u ra r,O u u C u rb r则 u A u C u r a r b r ,C u u B u r a r b r，
ER
T
A
B
解：设u A u u B r a r ,u A u u D r b r ,u A u u R r r r ,则 u A uu C ra rb r
由于
uuur AR
与
uuur AC
共线，所以设
r ru r r n (a b ),n R
Qu E u B u ru A u B u ru A u E u ra r1b r
如距离、夹角、共线、垂直等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点， BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、 TC之间的关系吗？
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
由此可得：u A u C u rC u u B u ra r b ra r b r
a r2b r2 |a r|2|b r|2r2r2 0
uuu ruu u r 即 ACCB0 ，∠ACB=90°
“垂直问题”
已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用
向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 .
B
F 4x
u B u E u r 4 2 3 2 5 ,C u u F u r 2 2 6 2 2 1 0
cosu B uE u r,C uuF u ru u B u uu E u rrC u uu u F u ru r 26 13 10 BECF 52 10 50
已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用
1、体会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题 及其他一些实际问题的过程．
2、体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高 运算能力和解决实际问题的能力．
3、掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量方法解决 几何问题的“三步曲”．
自学教材P109—P112 解决下列问题
一、掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量 方法解决几何问题的“三步曲”． 二、《创新设计》 新知导学. 三、《教材》 P113 习题1、2.
C
A
r
B
解：设 ABa,ADb ，则 A Cab; D Bab
a
22
A2 B B2 C C2 D D2 A 2 (ab)
一 A 2 B C 2 a D b 2 a b 2
般 过 程
⑴选基底，用基底表示有关向量 (基向量法) ⑵ a 找2 几2 a 何b 元b 2 素 间a 2 的2 a 关b 系b ，2 并2 用a 2 向b 量2 运2 算a 2 b 2
向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 .
法二: 设 u A u B u r a r ,u A u C u r b r ,则 u B u E u r a r 1 b r ,C u u F u r b r 1 a r
1.平面几何中的向量方法
平面几何图像的许多性质如距离、平行、三点共线、 垂直、夹角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r D B A B A D , A C A B A D ,
A 2 B B2 C C2 D D 2 A2 C B2D “长度或距离问题”
⑶把运算结果“翻译”成几何关系
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(基向量法;坐标法) （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，
uuur uuur
2
rD
F
C
又因为 ER与E共B线，
b
E
所以设 u E uR urmu E uB urm(ar1br)
2
因为
u u u r u u u ru u u r A R A E E R
A
R
ar
T B
所以
rr 1brm(ar1br)
2
2
因 此 n (a rb r)1b rm (a r1b r)
2
2
因 此 n (a rb r)1b rm (a r1b r)
2
2
即 (nm )a r(nm 1)b r0 r
Q
r a,
br不共线，
2
rD
F
C
n m 0
n
m 1 2
0
b
ER
T
A
ar B
解得：n=m= 1 3
所 所 以 以 u A u A u u R u r R u r 1 1 u A u A u u C u r C u r ,同 ,同 理 理 T u u T u C u r u C u r 1 1 u A u A u u C u r u C r ,于 ,于 是 是 u R u R u T u u r T u r 1 1 u A u A u u C u r u C r
uuur uuur 1.如四边形ABCD为矩形，试证明 |DB||AC|
2.如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻
边长度之间的关系吗？
D
C
D
C
r b
A
r a
BA
B
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
已求知证：：A 平2 行 四B 边2 形C AB2 C DD 。2 A A 2 C B 2D br D
解法一：如图以AB,AC分别为x轴,
y
C
y轴建立平面直角坐标系,
6
则 A 0 ， 0 ,B 4 ， 0 ,C 0 ， 6 ,
E
易 知 两 中 点 为 E 0 ， 3 ,F 2 ， 0 ,
u u u r u u u r
A
B E 4 ,3 ,C F 2 , 6
u u u r u u u r
O
B E C F 4 2 3 6 2 6