2020高等数学期末考试大纲

高等数学（理学、工学类专业Ⅱ）考试大纲
Ⅰ考试性质
《高等数学》是高等院校理工科的一门专业基础课。

是机制、物理、电子、自动化、交通运输、
计算机、通讯工程、物管、物联、化学、应用化学、环境工程、无机材料、食品等许多理工科专业
的重要课程。

通过教学使学生熟练掌握高等数学的基本理论和基本方法，培养学生具有一定的分析问题和解决问
题的能力以及计算能力，运用微积分学知识解决实际问题的能力，为后续课程的学习打下好的基础。

因此，考试应有较高信度、效度、必要的区分度和适当的难度。

第六章微分方程
1、考试内容：微分方程的基本概念，一阶微分方程；二阶微分方程。

2、考试要求：
（1）掌握微分方程，微分方程的阶、解、特解，通解的概念。

（2）掌握一阶可分离变量的微分方程，齐次微分方程和线性微分方程的解法；
（3）掌握可降阶的特殊二阶微分方程的解法；掌握二阶常系数齐次解法，了解非齐次线性微分方程的
解法。

第七章向量与空间解析几何
1、考试内容：空间直角坐标；向量及其运算；空间的平面和直线方程，基本二次曲面。

2、考试要求：
（1）掌握空间直角坐标系，向量及其运算。

（2）掌握空间平面方程、直线方程，点到平面、点到直线的距离。

（3）平面、直线之间的夹角，相互关系。

（4）掌握几个常见的二次曲面。

第八章多元函数的微分学
1、考试内容：多元函数基本概念；二元函数的极限和连续；偏导数、全微分；多元复合函数与隐
函数的导数；多元函数的极值、最值问题。

1、考试要求：
（1）掌握多元函数，二元函数的极限、连续、偏导数、全微分概念；
（2）能熟练计算偏导数，复合函数求导和隐函数求导；
（3）掌握多元函数极值的求法，二元函数求最值问题。

第九章微分法的应用及方向导数
1、考试内容：空间曲线的切线与法平面；空间曲面的切平面与发线；方向导数与梯度。

2、考试要求：
（1）掌握空间曲线的切线与法平面的求法；
（2）掌握空间曲面的切平面与法线的求法；
（3）方向导数与梯度的求法。

第十章多元函数的积分
1、考试内容：二重、三重积分的概念及计算，二重积的应用。

2、考试要求：
（1）掌握二重、三重积分的概念和性质；
（2）训练掌握在直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算；
（3）掌握在直角坐标系下三重积分的计算，了解在柱面坐标、球面坐标系下三重积分的计算；
（4）能应用二重积分求曲面面积，平面薄片重心等。

第十一章曲线积分与曲面积分
1、考试内容：第一、二型曲线积分概念与计算；格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。

2、考试要求：
（1）了解第一、二型曲线积分的概念，性质。

（2）掌握曲线积分的计算；
（3）掌握第一、二型曲线积分之间的关系。

（4）能应用格林公式解题。

第十二章无穷级数
1、考试内容：常数项级数的概念和性质；正项级数，任意项级数，级数的收敛半径，
收敛域；函数的幂级数展开式。

2、考试要求：
（1）掌握数项级数的概念，收敛级数的性质；正项级数，交错级数的收敛判别法及绝对收敛的概念。

（2）熟练掌握幂级数的收敛半径，收敛域计算。

（3）掌握基本初等函数的幂级数展式，能将基本初等函数展为幂级数，并能用展开式作近似计算。

Ⅱ考试形式及试卷结构
一、考试形式
闭卷、笔试。

试卷满分为100分，考试时间为120分钟。

二、试卷题型比例
填空题：约占15%；
选择题：约占15%；
计算题：约占62%
证明解答题：约占8%
三、试卷题型示例
复习题
1、已知向量 (1,1,1),a =--(3,2,1)b =- ，计算 (5).a b ⋅
2、设 2
2
ln(23)z x y =+，求全微分 d z .
3、求过点(1,2,0)A -且与平面 3570x y z +-+=垂直的直线方程。

4、求下列微分方程的通解： （1）2;y xy '=
（2）5
22(1);1
y
y x x '-
=++ （3）60y y y '''+-=； （4）250y y y '''-+=； （5）2
21.y y y x x '''-+=++。

5、已知Ω是由平面123
+
+=y z
x 及三个坐标面围成，计算三重积分 d d d Ω
⎰⎰⎰x y z 。

6、判断下列直线和平面的位置关系：
（1）
134221;273x y z
x y z -+==--=-- 和 （2）132463;123x y z x y z +-==-+=- 和
（3）2112213
x y z x y z -+-==++=- 和 .
7、求下列极限 ： （1）60
sin()
lim
;x y xy y →→
（2
）00
→→x y
（3）222220
ln(1)
lim .x y x x y x y →→- 8、设D 是圆 2
2
(1)(2)25x y -++= 所围成的平面闭区域，计算二重积
(32)d d .D
x y x y ++⎰⎰
9、交换下面积分的次序
（1
）12
1
d (,)d d (,)d x
x f x y y x f x y y +⎰⎰
⎰．
（2
）
1
d (,)d .y
y f x y x ⎰
10、求曲线 sin ,1cos ,4sin 2t x t t y t z =-=-=， 在点
(1,1,2
π
- 处的切线与法平面方程．
11、求曲线 t x =，2
t y =，3
t z = 在点 )1,1,1( 处的切线方程．
12、求曲面 2
2
2
236x y z ++= 上点 (1,1,1) 处的切平面方程与法线方程． 13、求曲面 2
2
1z x y =++ 上点 (1,2,6) 处的切平面方程与法线方程．
14、用参数方程表示直线10,
2340
x y z x y z +++=⎧⎨
-++=⎩。

15、设 v
z u =，2
2
u x y =+，23v x y =+，求
z z x y
∂∂∂∂及。

16、求函数2
2
(,)()x
f x y x y e =+的极值； 17、计算二重积分d d D
xy x y ⎰⎰
，其中D 是由曲线2
y x =和y x =所围成的平面闭区域．
18、求函数=u xyz 在点(5,1,2)A 处沿方向为 (4,3,12)=l 的方向导数。

19、求幂级数
1
3∞
=⋅∑
n
n n x n
的收敛域。

20、证明曲线积分423
(23)d (4)d -++-⎰
L
xy y x x xy y 在整个xoy 面内与积分路
径无关；设L 为曲线2
(1)=-y x 上由点(1,0)A 到点(2,1)B 的一段弧，试计算该曲线积分．
21、用格林公式计算曲线积分
22
(2)d ()d -++⎰L
xy x x x y y ，其中L 为曲线22,==y x y x 围成的区域的正向曲线。

22、若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=z
e xyz x x 确定，求(0,1)
d .z
23、设平面区域D 是由直线0,==y y x ，及=x π所围成，计算
sin d d ⎰⎰D
x
x y x .。