第1讲实数课后练习
2016中考复习第1讲实数(含二次根式)
幻灯片1数学陕西省第一章数与式第1讲实数及其运算幻灯片2幻灯片3幻灯片4幻灯片5幻灯片6幻灯片7幻灯片81．(2014·陕西)4的算术平方根是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．162．(2013·陕西)下列四个数中最小的数是( ) A ．－2 B ．0 C ．－13D ．53．(2012·陕西)如果零上5℃记作＋5℃，那么零下7℃可记作( )A ．－7℃B ．＋7℃C ．＋12℃D ．－12℃B A A幻灯片94．(2015·陕西)计算：(－23)0＝( )A ．1B ．－32C ．0D .235．(2011·陕西)－23的倒数为( )A ．－32B .32C .23D ．－23AA幻灯片106．(2011·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学记数法表示为()A．1.37×109B．1.37×107C．1.37×108D．1.37×10107．(2014·陕西)计算：(－13)－2＝__ __．8．(2011·陕西)计算：|3－2|＝__________．(结果保留根号)A92－3幻灯片119．(2014·陕西)用科学计算器计算：31＋3tan 56°≈________.(结果精确到0.01)10．(2013·陕西)计算：(－2)3＋(3－1)0＝____． 11．(2013·陕西)比较大小：8cos 31°____35.(填“>”“＝”“<”)12．(2012·陕西)计算：2cos 45°－38＋(1－2)0＝_________.13．(2012·陕西)用科学计算器计算：7sin 69°≈____．(精确到0.01)10.02 －7 ＞－52＋12.47幻灯片1214．(2015·陕西)将实数5，π，0，－6由小到大用“＜”号连起来，可表示为_______________．15．(2015·陕西)计算：3×(－6)＋|－22|＋(12)－3.解：原式＝8－ 2－6＜0＜5＜π幻灯片13【例1】(2015·黔西南州)下列各数是无理数的是()A.4B．－1 3C．πD．－1【例2】(2015·绥化)在实数0，π，227，2，－9中，无理数的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个CB幻灯片14【点评】判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循环小数，初中常见的无理数共分三种类型：(1)化简后含π(圆周率)的式子；(2)含根号且开不尽方的数；(3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助于识别无理数．幻灯片15[对应训练]1．(2015·益阳)下列实数中，是无理数的为( ) A . 3 B .13C ．0D ．－32．(2015·长沙)下列实数中，为无理数的是( ) A ．0.2 B .12C . 2D ．－5A C幻灯片163．下列各数3.14159，－38，0.131131113…，－π，25，－17中，无理数的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个B幻灯片17【例3】 (2015·重庆)计算：4＋(－3)2－20150×|－4|＋(16)－1. 解：原式＝2＋9－1×4＋6＝11－4＋6＝13【例4】 (2015·兰州)计算：2－1－3tan 60°＋(π－2015)0＋|－12|；解：原式＝12－3×3＋1＋12＝－1幻灯片18【点评】实数运算要严格按照法则进行，特别是混合运算，注意符号和顺序是非常重要的．[对应训练]1.(2015·广安)计算：－14＋(2－22)0＋|－2015|－4cos60°.解：原式＝20132．(2015·东营)计算：(－1)2015＋(sin30°)－1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.解：原式＝4－3 2幻灯片19【例5】(2015·资阳)餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为()A．5×1010千克B．50×109千克C．5×109千克D．0.5×1011千克【例6】(2015·内江)一种微粒的半径是0.00004米，这个数据用科学记数法表示为() A．4×106 B．4×10－6C．4×10－5 D．4×105AC幻灯片20【点评】(1)科学记数法一般表示的数较大或很小，所以解题时一定要仔细；(2)科学记数法写出这个数后可还原成原数进行检验．幻灯片21[对应训练]1．(2015·青岛)某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001 s．把0.000000001 s 用科学记数法可表示为()A．0.1×10－8s B．0.1×10－9sC．1×10－8s D．1×10－9s2．(2015·海南)据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9420000人，数据9420000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是()A．4 B．5C．6 D．7DC幻灯片223．(2015·天水)某种细胞的直径是0.000067厘米，将0.000067用科学记数法表示为() A．6.7×10－5 B．6.7×10－6C．0.67×10－5 D．67×10－6A幻灯片23【例7】(2015·绍兴)比较－3，1，－2的大小，下列判断正确的是()A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2A【例8】(2015·河北)a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是()A．2，3 B．3，2C．3，4 D．6，8【点评】实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几种方法来进行．A幻灯片24[对应训练]1．(2015·武汉)在实数－3，0，5，3中，最小的实数是()A．－3 B．0C．5 D．32．(2015·河南)下列各数中最大的数是()A．－8 B. 3C．πD．53．比较2.5，－3，7的大小，正确的是()A．－3＜2.5＜7 B．2.5＜－3＜7C．－3＜7＜2.5 D.7＜2.5＜－3ADA。
第一讲实数
第一讲 实数§考点归纳及典型例题：一、实数的分类与有关概念：1.实数的定义与分类；2.实数的大小比较；3.数轴；4.相反数、倒数、绝对值；5.无理数的估算 二、实数的运算：1.平方根与立方根；2.实数的混合运算 三、科学计数法与近似数： 1.科学记数法；2.近似数§例题讲解：例1．若a=-a ，则a ；若a=a1，则a ；若a =a ，则a ；若a =a ，则a . 例2．实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ． a c ＞bcB ． |a ﹣b|=a ﹣bC ． ﹣a ＜﹣b ＜cD ． ﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c例3．若a ，b 互为负倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，求c 2-d 2+（ab ）-1÷（1-2e+e 2）值.例4．设n 为正整数，且n ＜＜n+1，则n 的值为（ ） A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8例5.下面是按一定规律排列的一列数：248163579--⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，那么第n 个数是___________．例6.计算(1)()()10221312315-++⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-+ (2) 2001( 3.14)tan 60π--++--例7. 未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ） A ． 0.845×104亿元 B ． 8.45×103亿元 C ． 8.45×104亿元 D ． 84.5×102亿元§基础知识过关：1. 81的平方根是______ , -12的绝对值是_____ , 2-1=______ ,（-1）2008= ． 2. 某种零件，标明要求是φ=20±0.02 mm （φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm ，该零件 .（填“合格” 或“不合格”） 3. 下列各数中：－3，41，0，23，364，0.31，722，2π，2.161 161 161…，（－2 005）0是无理数的是___________________________．4．若0)1(32=++-n m ，则的值为 ．5.已知a b ，互为相反数，b c ，互为倒数，d 的绝对值等于3，试求2120049a b bc d d +++的值是 ．6. 2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.7.若53+的小数部分是a ， 5-3的小数部分是b ，则a+b= ．8.，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 8 9最接近的数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．若x 的相反数是3，│y │＝5，则x ＋y 的值为（ ） A ．－8 B ．2 C ．8或－2 D ．－8或2 11．已知|a|＝8，|b|＝2，|a －b|=b －a,则a+b 的值是（ ） A.10 B.－6 C.－6或－10 D.－1012．2010年5月27日，上海世博会参观人数达到37.7万人，37.7万用科学记数法表示应为（ ） A ． 0.377×l06B ．3.77×l05C ．3.77×l04D ．377×10313.计算：m n +12345314,3110,3128,3182,31244,+=+=+=+=+=L 200931+§拓展提升：例1.若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值例2．已知实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，abc ＜0，x ＝++，则x 2019的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．32019D ．﹣32019例4．（1）数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是 ．数轴上表示x 和2-的两点A 和B 之间的距离是 如果2=AB ，那么=x（2）当代数式++1x 2-x 取最小值时，相应的X 的取值范围是 ．§课堂练习：1. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。
中考数学第1讲 实数(含答案)
第1讲 实数【回顾与思考】（1）实数的有关概念{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数 负无理数①实数： 和 统称实数， 和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
） ②有理数: 和 的统称.任何一个有绿树都可以写成分数pq的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。
③无理数：无限 叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ；④对实数进行分类，应先 ，后 。
(2)数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。
和数轴上的点是一一对应．．．．的。
（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
）(3)相反数： 实数的相反数是一对数(只有 的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是 )． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于 对称．(4)绝对值①从数轴上看，一个数的绝对值就是 的距离。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a②一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，零的绝对值是 。
(5)倒数： 实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零 倒数．（6）平方根：如果 ,即 ，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。
一个正数有 平方根，且互为相反数；0的平方根是 ；负数 平方根。
（7）算术平方根：如果 ，即 ，那么这个正数x 叫做a 的算．术．平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是 。
即00=。
（8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根是 。
专题1-实数的相关概念(考点讲练)(解析版)_1
专题1 实数的相关概念考点一：实数的分类1．（2022·山东聊城·中考二模）下列各数：3.1415926，9−17，2π，其中是无理数的是（ ）A ．3.1415926B ．2πC ．17D ．9−【答案】B【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的定义判断．【详解】解：是无理数的是2π， 故选：B ．【点睛】此题考查了无理数的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键．A ．()3−−B ．()22−C ．|4|−D ．5−【答案】D【分析】根据负数的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、()33−−=，3不是负数，故本选项不符合题意；B 、()224−=，4不是负数，故本选项不符合题意；C 、44−=，4不是负数，故本选项不符合题意；D 、5−是负数，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了负数的定义以及实数的基本知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．3．（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x 0（x ≠0），cos30°，38中，有理数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．【详解】解：在实数2，x 0（x ≠0）=1，3cos302=°，382=中，有理数是382=，x 0=1， 所以，有理数的个数是2，故选：B ．【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．4．（2022·江苏南通·中考真题）若气温零上2℃记作2+℃，则气温零下3℃记作（）A．3−℃B．1−℃C．1+℃D．5+℃【答案】A【分析】根据气温是零上2℃记作＋2℃，则可以表示出气温是零下3℃，从而可以解答本题．【详解】解：∵气温是零上2℃记作＋2℃，∴气温是零下3℃记作−3℃．故选：A．【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．5．（2021·黑龙江大庆·中考真题）在π，12，3−，47这四个数中，整数是（）A．πB．12C．3−D．47【答案】C【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解．【详解】解：选项A：π是无理数，不符合题意；选项B：12是分数，不符合题意；选项C：3−是负整数，符合题意；选项D：47是分数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键．6．（2021·四川遂宁·九年级期中）给出一组数，－2021，sin45°，π539，2.12112111211112…（每相邻两个2之间依次多一个1）中，无理数有___________个【答案】4．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．【详解】解：sin45°=22，93=，则无理数有：sin45°，π，5，2.12112111211112…（每相邻两个2之间依次多一个1）共4个；故答案为：4．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．7．（2022·山东·邹城市郭里中学一模）从实数227，tan 30︒21，2π，23−，0.101001−39−______． 【答案】47 【分析】找出所给实数中的无理数的个数，然后与所给实数的个数相除即可．【详解】解：227是分数属于有理数； 3tan 303︒=是无理数； 21+是无理数；2π是无理数；()2133−=是有理数； 0.101001−是有理数； 39−是无理数，∴无理数有4个，∴任意抽取一个数是无理数的概率为47， 故答案为：47． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，理解掌握无理数和有理数的定义是解题的关键．考点二：相反数、绝对值、倒数8．（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（ ）A ．2023B ．﹣2023C ．12023D ．12023− 【答案】A【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，所以，﹣2023的绝对值等于2023．故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．9．（2022·海南省直辖县级单位·二模）实数12的倒数是（ ）A ．12−B ．12C ．2−D ．2 【答案】D【分析】根据倒数的定义，即可求解．【详解】解：∵1212⨯=， ∴12的倒数是2．故选：D【点睛】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． A ．2022B ．2022−C ．12022D ．12022− 【答案】A【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【详解】解：∵一个数的相反数是|2022|−−，即-2022，∴这个数是：2022．故选：A ．【点睛】本题主要考查了相反数，正确把握定义是解题关键．11．（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③12022的倒数是2022． A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】A【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可．【详解】①－2022的相反数是2022，故此说法正确；②－2022的绝对值是2022，故此说法正确；③12022的倒数是2022，故此说法正确； 正确的个数共3个；故选：A ．【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，熟知定义是解题的关键．12．（2022·广东·深圳市中考模拟）计算：0|232022+的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．33【答案】D【分析】根据实数的运算法则计算即可．【详解】解：0232022-+ 231=-+33=−故选：D ．【点睛】此题考查了化简绝对值、零指数幂、二次根式的加减法，解题的关键熟悉运算法则．22【答案】 2 12##0.5【分析】先根据负整数指数幂计算出12−的值，再根据倒数及绝对值的定义作答即可．【详解】解：11112==22−， ∴12−的倒数为2，绝对值为12．故答案为：①2；②12．【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算法则，倒数及绝对值的定义，即乘积为1 的两个数互为倒数，熟练掌握知识点是解题的关键．π【答案】1−π【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【详解】解：1π−的相反数是：1−π．故答案为：1−π．【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是正确掌握相关定义即：指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．15．（2022·四川南充·中考一模）若5x =，则x =______．【答案】5或-5【分析】由绝对值的意义即可求得，绝对值意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．【详解】5x =表示到原点距离等于5的数，数轴上到原点距离为5的数有两个：5或者-5，。
第1讲 实数及其有关概念
数和式班级___________姓名__________学号__________ 一、选择题1. 如果一个正数的平方根为2a ＋1和3a －11，则a ＝( )A ．±1B ．1C ．2D ．9 2. (－13)－1－4cos 30°＋|－12|的计算结果为( ) A ．－4 B ．4 C ．－3 D ．－23. 小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a 元，白色珠子每个b 元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费( ) A ．(3a ＋4b )元 B ．(4a ＋3b )元 C ．4(a ＋b )元 D ．3(a ＋b )元4.(2016·雅安)已知a 2＋3a ＝1，则代数式2a 2＋6a －1的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. (2015·天水)定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝0，则(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ；④若a ⊗b ＝0，则a ＝0或b ＝1，其中结论正确的序号是( )A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④ 6. (2016·北京)如果a ＋b ＝2，那么代数式(a －b 2a )·a a －b的值是( )A ．2B ．－2 C.12 D. －127.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，，()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--， B ．()53， C ．()53-， D ．()53-，8．计算的值是( ) .(A ) 1 (B ) 5 (C ) (D ) 59．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-22001二、填空题1. 若实数m ，n 满足|m －2|＋(n －2014)2＝0，则m －1·n 2＝___________．2. 计算：(π－2015)0＋(－12)－3－2cos 60°＝__________．3. 已知x 2＋x －5＝0，则代数式(x －1)2－x (x －3)＋(x ＋2)(x －2)的值为_____________．4. (2016·滨州)观察下列式子：1×3＋1＝22; 7×9＋1＝82; 25×27＋1＝262; 79×81＋1＝802； …可猜想第2016个式子为________________________．5. (2016·雅安)P 为正整数，现规定P ！＝P (P －1)(P －2)×…×2×1，若m ！＝24，则正整数m ＝______________．6. 刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数： a 2+b －1，例如把（3，－2）放入其中，就会得到32+（－2）－1=6.现将实数对（m ，－2m ）放入其中，得到实数2，则m =______．7. (2015·黔西南)已知x ＝5－12，则x 2＋x ＋1＝______________． 8.,0141258422=+-++a b b a 则=-b a 3271________ 三、解答题1. (2016·哈尔滨)先化简，再求代数式(2a ＋1－2a －3a 2－1)÷1a ＋1的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°.2. 利民商店出售一种原价为a 的商品，有如下几种方案：(1)先提价10%，再降价10%；(2)先降价10%，再提价10%；(3)先提价20%，再降价20%.问用这三种方案调价的结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？3. 已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，求2a ＋b 的值．4. 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016的值．5. (2016·重庆A)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p ，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解．并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所有3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34.(1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1;(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．6. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推. （1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边 形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.O1 ABD2A 2B 2A 1B 1O 16．(2015·重庆A)如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．21．利民商店出售一种原价为a的商品，有如下几种方案：(1)先提价10%，再降价10%；(2)先降价10%，再提价10%；(3)先提价20%，再降价20%.问用这三种方案调价的结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？解：(1)a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a；(2)a(1－10%)(1＋10%)＝0.99a；(3)a (1＋20%)(1－20%)＝0.96a ，∴调价结果不都一样，只有(1)(2)相同，最后都没有恢复原价15．已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，求2a ＋b 的值． (导学号 02052050)解：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴2＜5－7＜3，∴m ＝2，n ＝(5－7)－2＝3－7，将m ，n 代入amn ＋bn 2＝1，得a ×2×(3－7)＋b ×(3－7)2＝1，(6－27)a ＋(16－67)b －1＝0，(6a ＋16b －1)＋(－2a －6b )7＝0，∵a ，b 为有理数，∴⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋16b －1＝0－2a －6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12，∴2a ＋b ＝2×32＋(－12)＝3－12＝5216．(2016·重庆A )我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所有3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1; (2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F (t )的最大值．(导学号 02052019)(1)证明：设m ＝n 2＝n ×n ，其中m 和n 均为正整数， ∴F (m )＝nn ＝1；(2)解：由题意得：10y ＋x －(10x ＋y )＝18， 即：y ＝x ＋2，∴t 可能的值为13，24，35，46，57，68，79，当t ＝13时，F (t )＝113，当t ＝24时，F (t )＝23，当t ＝35时，F (t )＝57，当t ＝46时，F (t )＝223，当t ＝57时，F (t )＝319，当t ＝68时，F (t )＝417，当t ＝79时，F (t )＝179， ∴F (t )的最大值为5716．(2015·重庆A )如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (1≤x ≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式． (导学号 02052010)解：(1)四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666(答案不唯一)；任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba (a ，b 为自然数)，则a ×103＋b ×102＋b ×10＋a ＝1001a ＋110b ，∵1001a ＋110b 11＝91a ＋10b ，∴四位数“和谐数”abba 能被11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除；(2)设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx ，则x ×102＋y ×10＋x ＝101x ＋10y ，101x ＋10y11＝9x＋y ＋2x －y 11，∵1≤x ≤4，101x ＋10y 能被11整除，∴2x －y ＝0，∴y ＝2x (1≤x ≤4)(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2。
2022年中考数学分类复习强化练 -第一讲 实数(含答案)
第一讲 实 数专项一 实数及有关概念知识清单1. 实数的分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数负整数实数分数有限小数或无限循环小数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.规定了_____、_____和_____的直线叫做数轴.实数与数轴上的点具有______的关系．3.相反数、绝对值、倒数定 义 性 质 相反数 只有______不同的两个数互为相反数，0的相反数是______若a 与b 互为相反数，则a+b=______ 绝对值 数轴上表示数a 的点到原点的______叫做数a 的绝对值 |a|=(0)00(0)a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞（）＜ 倒数 乘积为______的两个数互为倒数.0是唯一没有倒数的数，倒数等于它本身的数是_____若a 与b 互为倒数，则ab=1 考点例析例1 （2021•模考 福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10 907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为 0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10 907米处，该处的高度可记为 米．分析：在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答即可．解：例2 （2021•模考 郴州）如图，表示互为相反数的两个点是（ ）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案．解：例3 （2021•模考 武威）下列实数是无理数的是（ ）A ．－2B ．16C ．9D ．11 分析：根据无理数的定义逐一分析.解：归纳：判断一个实数是不是无理数，关键是掌握几种常见的无理数：（1）含根号型，如322，等开方开不尽的数；⑵三角函数型：如sin60°，tan30°等；⑶特定结构型，如0.101 001 000 1…（每相邻两个1之间依次多一个0）；⑷与π有关的数：如4π，π-1等．（注：在判断无理数时，不能只根据某些无理数的形式来判断，关键要看化简后的结果，如题中9含根号，但它是有理数）跟踪训练1．（2021•模考 无锡）－7的倒数是（ ）A ．7B ．17C ．－17D ．－7 2.（2021•模考 鄂尔多斯）实数－3的绝对值是（ ）A ．3B ．－33C ．－3D ．333．（2021•模考 天水）下列四个实数中，是负数的是（ ）A ．－（－3） B. （－2）2 C. |－4| D.－54．（2021•模考 烟台）实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．无法确定第4题图5．（2021•模考 株洲）一实验室检测A ，B ，C ，D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）A B C D专项二 科学记数法知识清单科学记数法就是把一个数写成 的形式，其中a 的范围是 ．当表示一个大于10 的数时，n 的值等于原数的整数位数减去1；当表示一个大于0小于1的数时，n 是负整数，且其绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数（包括小数点前的零）.考点例析例1 （2021•模考 成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成，该卫星距离地面约36 000千米，将数据36 000用科学记数法表示为（）A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104分析：根据科学记数法的表示方法表示即可.解：例2 （2021•模考滨州）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米=1.0×10-9米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（）A．1.1×10-9米 B．1.1×10-8米 C．1.1×10-7米 D．1.1×10-6米分析：先将110纳米转化成110×10-9米，再根据科学记数法的表示方法移动小数点即可.解：归纳：对于含有计数（量）单位的数用科学记数法表示时，应先把计数（量）单位转化为数字，然后再表示为科学记数法的形式.常见的计数单位：1千可以表示为103 ，1万可以表示为104 ，1亿可以表示为108 ；常考的计量单位：1毫米可以表示为10-3 米，1纳米可以表示为10-9 米等.跟踪训练1．（2021•模考长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632 400 000 000元，其中632 400 000 000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011 B．6.324×1010 C．632.4×109 D．0.6324×10122．（2021•模考江西）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50 175亿元，比上年增长8.74%．将50 175亿用科学记数法表示为（）A．5.017 5×1011 B．5.017 5×1012 C．0.501 75×1013 D．0.50 175×10143．（2021•模考苏州）某种芯片每个探针单元的面积为0.000 001 64 cm²，0.000 001 64用科学记数法可表示为（）A．1.64×10-5 B．1.64×10-6 C．16.4×10-7 D．0.164×10-54．（2021•模考威海）人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星．至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署．北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为（）A．10×10-10 B．1×10-9 C．0.1×10-8 D．1×109专项三无理数的估算知识清单无理数的估算，最常见的就是对带根号的无理数的估算，通常用“夹逼法”，即将被开方数限定在两个连续的平方数之间，然后确定无理数的整数部分和小数部分.考点例析例1（2021•模考）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间，开方即可求得答案.解：例2 （2021•模考南通）若m＜＜m+1，且m为整数，则m＝．分析：m的值．解：跟踪训练1.（2021•模考 黔东南州）实数 ）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间2.（2021•模考 临沂）设a +2，则（ ）A ．2＜a ＜3B ．3＜a ＜4C ．4＜a ＜5D ．5＜a ＜63.（2021•模考 河南）请写出一个大于1且小于2的无理数 ．4.（2021•模考 最接近的自然数是 ．专项四 实数的大小比较知识清单实数的大小比较有以下几种常用方法：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 ；（2）正数 零，负数 零，正数 负数；两个负数，绝对值大的 ；（3）作差比较法：若a-b>0，则a>b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b<0，则a<b ；（4）平方比较法：,则a>b （a ＞0，b ＞0）.考点例析例1 （2021•模考 聊城）在实数－10，41中，最小的实数是（ ）A ．－1B ．41 C ．0 D 分析：思路一：把这几个数在数轴上表示出来，根据它们在数轴上的位置来比较大小；思路二：根据解：例2 （2021•模考 菏泽）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）A ．﹣5B ．12C ．﹣1 D分析：先求出四个数的绝对值，再进行比较即可得出结果．解：归纳：对含有无理数的实数在比较其大小时，可先估算出无理数的近似值，再和其他的有理数比较大小．跟踪训练1．（2021•模考 内江）下列四个数中，最小的数是（ ）A. 0B. 12020C. 5D. －12．（2021•模考 天门）下列各数中，比－2小的数是（ ）A ．0B ．－3C ．－1D ．|－0.6|3.（2021•模考 大庆）在﹣1，0 ）A ．﹣1B ．0C ．πD 4.（2021•模考 株洲）下列不等式错误的是（ ）A ．﹣2＜﹣1B C ．52．13＞0.3专项五 平方根、立方根知识清单1. 平方根：若一个数的____等于a ，则这个数叫做a 的平方根.一个正数有___个平方根，它们____，0的平方根是_____，负数____平方根.一个正数____的平方根，叫做它的算术平方根，0的算术平方根是 .2.立方根：若一个数的____等于a ，则这个数叫做a 的立方根.正数有一个____的立方根；负数有一个____的立方根；0的立方根是____.3.开平方：求一个非负数a 的______的运算，叫做开平方.4.开立方：求一个数a 的______的运算，叫做开立方.考点例析例1 （2021•模考 烟台）4的平方根是（ ）A ．±2B ．－2C ．2D 分析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例2 （2021•模考 常州）8的立方根是（ ）A ．B ．±C ．2D ．±2分析：根据立方根的定义求解即可.解：跟踪训练1.（2021•模考 0，则x 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．22.（2021•模考 金昌）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A ．B ．3C ．D ．43.（2021•模考 攀枝花）下列说法中正确的是（ ）A ．0.09的平方根是0.3B 4C ．0的立方根是0D ．1的立方根是±14．（2021•模考 恩施州）9的算术平方根是 ．5．（2021•模考 徐州）7的平方根是 ．6．（2021•模考 的结果是 ．专项六 实数的运算知识清单1. 实数的运算法则（1）加法：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；一个数同零相加仍得这个数.（2）减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数.（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积为零.（4）除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不为零的数都得零；除以任何一个不为零的数等于乘以这个数的倒数.2．求______________的运算，叫做乘方，乘方可以转化为乘法运算.3．用字母表示运算律：交换律：a+b=________，ab=________；结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）_________，（ab ）c=________；乘法对加法的分配律m （a+b+c ）=_________．4．实数的运算顺序：先算_____，再算______，最后算______；有括号的要先算_____；同级运算，要按________的顺序依次进行计算．5．若实数0≠a ，m 为整数，则0a =______，m a -=______．考点例析例1 （2021•模考 铜仁）计算：2÷12﹣（﹣1）20200． 分析：先根据除法法则、乘方的意义、算术平方根的定义、零指数幂的运算公式分别求得2÷12=4，（﹣1）2020=1=20=1，然后再进行实数的运算．解：归纳：在进行实数的运算时，一定要养成良好的习惯：运算前要认真审题，确定顺序（包括使用简便方法）；运算过程中，要耐心细致；得出结果后，要认真检查，谨防出错.要特别注意a 0=1（a ≠0），（-1）2n+1=-1（n 是整数），（-1）2n =1（n 是整数）.例2 （2021•模考 ＝0，则（a+b ）2020＝ ．分析：由非负数的意义，得a-2=0，b+1=0，求出a ，b 的值，代入计算即可．解：归纳：对非负数的考查是中考的一个热点，一个数的绝对值a ，一个非负数的算术平方根()0≥a a ，一个数的偶数次方n a 2是初中阶段常见的非负数.在解题时要正确理解并熟练应用非负数的性质：非负数有最小值（为零），但无最大值；如果几个非负数的和等于零，那么每一个非负数都等于零．例3 （2021•模考 娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．189分析：由前三个正方形可知规律为：左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方的数大1，右上方的数是左下方数的2倍，右下方的数为左下方数与右上方数的乘积加上序号数，由此即可求得答案． 归纳：实数问题中的找规律问题是中考的常考内容，解题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后进行归纳总结，得出一般的结论，从而将问题解决. 跟踪训练 1．（2021•模考 凉山州）－12020＝（ ）A ．1B ．－1C ．2020D ．－20202．（2021•模考 咸宁）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（ ）A ．3+（－2）B ．3－（－2）C ．3×（－2）D ．（－3）÷（－2）3.（2021•模考 雅安）已知2a -+|b ﹣2a|＝0，则a+2b 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．（2021•模考 连云港）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是-1℃，则这天的日温差是 ℃．5．（2021•模考 常州）计算：|－2|＋（π－1）0＝ ．6．（2021•模考 随州）（－1）2＋9＝ ．7．（2021•模考 张家界）观察下面的变化规律：213⨯＝1－13，235⨯＝13－15，257⨯＝15－17，279⨯＝17－19，…根据上面的规律计算：213⨯+235⨯+257⨯+…+220192021⨯＝ ． 8．（2021•模考 宜宾）计算：()()1020*******π-⎛⎫----+- ⎪⎝⎭． 专项七 数轴与数形结合知识清单数和形是数学研究的两个方面，数形结合实质就是把问题中的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系来解决问题，这样可以使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化. 考点例析例1 （2021•模考 北京）实数a 在数轴上对应点的位置如图1所示，若实数b 满足－a ＜b ＜a ，则b 的值可以是（ ）A ．2B ．－1C ．－2D ．－3图1分析：根据数轴可得1＜a ＜2，所以-2＜-a ＜-1.如图1，在数轴上找出-a 的对应点，即可确定符合条件的b 的值．解：例2 （2021•模考 铜仁）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图2所示，下列结论正确的是（ ）A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b图2分析：先由数轴，得-2＜a＜-1，0＜b＜1，所以1＜-a＜2，-1＜-b＜0，再根据实数的大小比较方法进行比较即可求解．解：归纳：实数与数轴上的点具有一一对应的关系，把数和点对应起来，也就是说把“数”和“形”结合起来，二者相互补充，相辅相成，把许多复杂问题转化为简单的问题.跟踪训练1.（2021•模考盐城）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则（）A．a＞0 B．a＞b C．a＜b D．|a|＜|b|第1题图2．（2021•模考福建）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是（）A．－1 B．1 C．2 D．3第2题图3.（2021•模考枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（）A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1第3题图参考答案专项一实数及有关概念例1 －10 907 例2 B 例3 D1．C 2．A 3．D 4．A 5．D专项二科学记数法例1 B 例2 C1．A 2．B 3．B 4．B专项三无理数的估算例1 B 例2 51．C 2．C 3．2专项四实数的大小比较例1 D 例2 B1．D 2．B 3．C 4．C专项五平方根、立方根例1 A 例2 C1．C 2．A 3．C 4．3 5 6．3专项六实数的运算例1 0．例2 1 例3 C1．B 2．C 3.D 4．5 5．3 6．4 7．202020218．1.专项七数轴与数形结合例1 B 例2 D1．C 2．C 3．D。
第1讲 实 数
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10．(2013· 包头)若|a|＝－a，则实数 a 在数轴上的 对应点一定在( B A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 解析：∵|a|＝－a，∴a 是负数或 0.在数轴上表示 时，在原点或原点左侧．故选 B. )
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考点二 近似数、科学记数法 例 2 (2013· 南充 )“一方有难，八方支援．” 2013 年 4 月 20 日四川省芦山县遭遇强烈地震灾害， 我市某
校师生共同为地震灾区捐款 135 000 元用于灾后重建， 把 135 000 用科学记数法表示为 ( A． 1.35×106 C． 1.35×105
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)
B ． 13.5× 105 D． 13.5×104
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【点拨】135 000的整数位数是6，∴135 000用科学记数 法表示为1.35×105.故选C.
【答案】 C
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考点三
无理数、实数
例 3 (2013· 威海)下列各式化简结果为无理数的是 ( ) A. C. 3 －27 8 B．( 2－1)0 D. －22
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【点拨】 － 27＝－ 3， ( 2－ 1) ＝ 1， 8＝ 2 2，
3
0
－ 22＝ 2，－ 3,1,2 都是有理数，只有 2 2是无理数， 故 8的化简结果为无理数．故选 C. 【答案】 C
第一轮复习讲练(1)《实数的有关概念》
2018中考数学第一轮总复习课时1．实数的有关概念【课前热身】1. 2的平方根是（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2±2.下列运算正确的是( )．A . 0(3)1-=-B . 236-=-C .9)3(2-=-D . 932-=- 3.2的相反数是 ． 4.3-的绝对值是（ ）A ．3-B ．3C ．13-D ．135．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米2），这个数用科学记数法表示为（ ）A.7³10－6B. 0.7³10－6C. 7³10－7D. 70³10－8 【考点链接】1．有理数的意义⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应.⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ，b 互为相反数，则b a += .⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ，b互为倒数，则ab = .⑷ 绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0( )0( )0( a a a a ． ⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a＜10的数，n 是整数.⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的数起，到止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．2.数的开方⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫_______________. 没有平方根，0的算术平方根为______.⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 . ⑶ =2a ⎩⎨⎧<≥=)0( )0( a a a .3. 实数的分类 和 统称实数. 4．易错知识辨析（1）近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14³105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位． （2）绝对值 2x =的解为2±=x；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．（3）在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.【典例精析】例1 在“()05，3.14 ，()33，()23-，cos 600 sin 450”这6个数中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例2 ⑴2--的倒数是（ ）A ．2 B.12 C.12- D.－2⑵若23(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．4⑶如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）A.7B. 7-C. 3.2-D. 10-例3 下列说法正确的是（ ）A ．近似数3．9³103精确到十分位B ．按科学计数法表示的数8．04³105其原数是80400C ．把数50430保留2个有效数字得5．0³104.D ．用四舍五入得到的近似数8．1780精确到0．001例4、下列各组数中，互为相反数的是（ ）3- 2- 1- O 1 2 3PA ．2和21B ．-2和－21 C ． -2和|-2| D ．2和21【中考演练】1.-3的相反数是____,-12的绝对值是___,2-1=______,2008(1)-= ．2. 某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm （φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm ，该零件 .（填“合格” 或“不合格”）3. 下列各数中：－3，14，0，32，364，0.31，227，2π，2.161 161 161…，（－2 005）是无理数的是___________________________．4．全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字）5．若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 ．6. 2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.7.51-的倒数是 ( ) A ．51- B ．51 C ．5- D ．58．点A 在数轴上表示+2，从A 点沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所表示的实数是（ ）A ．3B ．-1C ．5D ．-1或3 9．下列计算错误的是（ ）A ．－（－2）=2B ．822=C ．22x +32x =52x D ．235()aa =10．计算1123-的结果是（ ）(A)733- (B)3323-(C)3 (D)533-11．16的算术平方根是（ ）A.4B.－4C.±4D.16 12.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a 与b的大小关系是（ ）A ．a > bB ． a = bC ． a < bD ．不能判断13．若x 的相反数是3，│y│＝5，则x ＋y 的值为（ ） A ．－8 B ．2 C ．8或－2 D ．－8或214． 如图，数轴上A 、B 两点所表示的两数的（ ）A. 和为正数B. 和为负数C. 积为正数D. 积为负数15、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录(用A - C 表示观测点A 相对观测点C 的高度)：A - C C - D E - D F - E G - FB - G 90米80米-60米50米-70米40米根据这次测量的数据，可得观测点A 相对观测点B 的高度是( ) 米.A ．210B ．130C ．390D ．-210 16、下列计算中，正确的是（ ）A ． 22-=-B ． 523-=C ． 325a a a ⋅=D ． 22x x x -=17、将正整数按如图5所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是 ．obaABO-3第一排 第二排 第三排 第四排6 ┅┅ 1098 73 21 54 图5输入x 输出y平方乘以2 减去4若结果大于0否则总复习课时2.实数的运算与大小比较【课前热身】1.某天的最高气温为6°C ，最低气温为－2°C ，同这天的最高气温比最低气温高__________°C ．2.计算：=--2)32(_______.3.比较大小：3- 31-.（填“>，<或=”符号）4. 计算23-的结果是（ ）A. －9B. 9C.－6D.65.下列各式正确的是（ ）A ．33--=B ．326-=- C ．(3)3--= D ．0(π2)0-=6．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2³1＝2，3！＝3³2³1＝6，4！＝4³3³2³1，…，则100!98!的值为（ ）A.5049B. 99!C. 9900D. 2！【考点链接】1. 数的乘方 =na，其中a 叫做 ，n 叫做 . 2. =0a（其中a 0 且a 是 ）=-pa（其中a 0）3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算 里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行.4. 实数大小的比较⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大.⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的． 5．易错知识辨析在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷51³5. 【典例精析】例1 计算：⑴20080＋|-1|-3cos30°＋ (21)3； ⑵232(2)2sin 60---+ .（3）化简：0293618(32)(12)23+--+-+-例2 计算：1301()20.1252009|1|2--⨯++-.﹡例 3 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，求2||4321a b m cd m ++-+的值．【中考演练】1. 根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为 . 2. 比较大小：73_____1010--.3.计算(－2)2－(－2) 3的结果是（ ）A. －4B. 2C. 4D. 124. 下列各式运算正确的是（ ） A ．2-1＝-21B ．23＝6C ．22²23＝26D ．(23)2＝26 5. －2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）A. 10 B ．20 C ．－30 D ．186. 计算：⑴4245tan 21)1(10+-︒+--；⑵201()(32)2sin 3032---+︒+-；⑶ 01)2008(260cos π-++- .7. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子2n （n 是正整数）来表示．有规律排列的一列数：12345678----，，，，，，，，…（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ （2）它的第100个数是多少？（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？﹡8．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的自然数四个，将这个四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于2 4．例如：对1，2，3，4，可作运算：（1＋2＋3）³4＝24．（注意上述运算与4 ³(2＋3＋1）应视作相同方法的运算.现“超级英雄”栏目中有下列问题：四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，（1）_______________________，（2）_______________________，（3）_______________________．另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_____________________ ，使其结果等于24． 9、（2009，佛山）（1）有这样一个问题：2与下列哪些数相乘，结果是有理数？A ．32B ．22-C ．23+D ．32E ．0 问题的答案是（只需填字母）： ；（2）如果一个数与2相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）.10、（2009,邵阳）阅读下列材料，然后回答问题。
2013年中考数学专题复习第1讲：实数(含答案)
2013年中考数学专题复习第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类：1、按实数的定义分类： 实数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。
如：2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =⎪ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪⎨ ⎧ 正无理数无理数 负分数 ＿ 零 正整数 整数 有理数无限不循环小数⎩⎨⎧⎩⎨⎧负有理数负零正无理数正实数实数（a ＞0）（a ＜0）0 （a =0）有限小数或无限循环数因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a +b 的相反数是 ，a －b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
2013版中考总复习数学(人教版 全国通用)基础讲练 第1讲 实数(含答案点拨)
第一单元数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.知识梳理一、实数的分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫负无理数无限不循环小数二、实数的有关概念及性质1．数轴(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴；(2)实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零；(2)a与b互为相反数⇔a＋b＝____.3．倒数(1)实数a(a≠0)的倒数是____；(2)a与b互为倒数⇔______.4．绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.(2)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)， (a ＝0)， (a <0).5．平方根、算术平方根、立方根(1)平方根①定义：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根(也叫二次方根)，数a 的平方根记作______．②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根． (2)算术平方根①如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即0＝0.②算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)．③(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(3)立方根①定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根)，数a 的立方根记作______．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 6．科学记数法、近似数、有效数字 (1)科学记数法把一个数N 表示成______(1≤a ＜10，n 是整数)的形式叫做科学记数法．当N ≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当N ＜1时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．(2)近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质 1．常见的三种非负数|a |≥0，a 2≥0，a ≥0(a ≥0)． 2．非负数的性质(1)非负数的最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算 1．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝______.(2)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝________. (3)乘法交换律：ab ＝____.(4)乘法结合律：(ab )c ＝______.(5)乘法分配律：a (b ＋c )＝__________. 2．运算顺序(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a 0＝____(a ≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a －p ＝______(a ≠0，p 为正整数)． 五、实数的大小比较 1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 2．作差比较法(1)a －b ＞0⇔a ＞b ；(2)a －b ＝0⇔a ＝b ；(3)a －b ＜0⇔a ＜b . 3．倒数比较法 若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b . 4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122～123页) 自主测试1．－2的倒数是( )A ．－12B ．.12C ．－2D ．22．－2的绝对值等于( )A ．2B ．－2C ．12D ．－123．下列运算正确的是( )A ．－|－3|＝3B ．⎝⎛⎭⎫13－1＝－3 C ．9＝±3 D ．3－27＝－34．2012年世界水日主题是“水与粮食安全”．若每人每天浪费水0.32 L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )A ．3.2×107 LB ．3.2×106 LC ．3.2×105 LD ．3.2×104 L5．已知实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．m ＞0B ．n ＜0C ．mn ＜0D ．m －n ＞0 6．计算：|－5|＋16－32.考点一、实数的分类【例1】四个数－5，－0.1，12，3中为无理数的是( )A ．－5B ．－0.1C ．12D ． 3解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，12是分数属于有理数，3开不尽方是无理数，故选D. 答案：D方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．触类旁通1 在实数5，37，2，4中，无理数是( )A ．5B ．37C ． 2D ． 4考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】(1)－15的倒数是__________；(2)(－3)2的相反数是( )A ．6B ．－6C ．9D ．－9(3)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |＋(b －a )2＝__________.解析：(1)－15的倒数为1－15＝－5；(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D ；(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识． 由图可知，a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，所以a ＋b ＜0，b －a ＞0，原式＝－a －b ＋b －a ＝－2a . 答案：(1)－5 (2)D (3)－2a方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出． 2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( ) A ．－5 B ．5C ．－15D ．15考点三、平方根、算术平方根与立方根 【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )A ．2B ．±2C ．－2D ． 2 (2)实数27的立方根是__________．解析：(1)(－2)2的算术平方根，即(－2)2＝|－2|＝2； (2)27的立方根是327＝3. 答案：(1)A (2)3方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a ≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0.2．(3a )3＝a ，3a 3＝a .触类旁通3 4的平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．16 D ．±16考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2012年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )A ．0.69×106B ．6.82×105C ．0.68×106D ．6.8×105解析：用科学记数法表示的数必须满足a ×10n (1≤|a |＜10，n 为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105.答案：D方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a )的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( ) A ．0.05毫米 B ．0.005毫米 C ．0.000 5毫米 D ．0.000 05毫米 考点五、非负数性质的应用【例5】若实数x ，y 满足x －2＋(3－y )2＝0，则代数式xy －x 2的值为__________． 解析：因为x －2≥0，(3－y )2≥0，而x －2＋(3－y )2＝0，所以x －2＝0,3－y ＝0，解得x ＝2，y ＝3，则xy －x 2＝2×3－22＝2.答案：2方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a |，a (a ≥0)，a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.触类旁通5 若|m －3|＋(n ＋2)2＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．4 考点六、实数的运算【例6】计算：(1)2－1＋3cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.(2)(－1)2 011－⎝⎛⎭⎫12－3＋⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＋|33－8sin 60°|. (1)分析：2－1＝12，cos 30°＝32，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.解：原式＝12＋3×32＋5－1＝12＋32＋5－1＝6.(2)分析：⎝⎛⎭⎫12－3＝(2－1)－3＝23＝8，⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＝1，sin 60°＝32. 解：原式＝－1－8＋1＋⎪⎪⎪⎪33－8×32＝－8＋ 3.点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1ap (a ≠0)．(2)a 0＝1(a ≠0)． 方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．考点七、实数的大小比较【例7】比较2.5，－3，7的大小，正确的是( ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D ．7＜2.5＜－3 解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和7的大小即可，由2.52＜(7)2，得2.5＜7，所以－3＜2.5＜7. 答案：A方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( ) A ．－6 B ．0 C ．3 D ．81．(2012湖北黄石)－13的倒数是( )A ．13B ．3C ．－3D ．－132．(2012江苏南京)下列四个数中，负数是( )A ．|－2|B ．(－2)2C ．－ 2D ．(－2)23．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )A ．6.011×109B ．60.11×109C ．6.011×1010D ．0.6011×10114．(2012四川南充)计算2－(－3)的结果是( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．－55．(2012四川乐山)计算：⎪⎪⎪⎪－12＝__________. 6．(2012重庆)计算：4＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋⎝⎛⎭⎫13－2.1．下列各数中，最小的数是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－ 2 2．若|a |＝3，则a 的值是( )A ．－3B ．3C ．13D ．±33．下列计算正确的是( )A ．(－8)－8＝0B ．⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1 C ．－(－1)0＝1 D ．|－2|＝－24．如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3，若点A 关于点B 的对称点为C ，则点C 所表示的实数是( )A ．23－1B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．23＋15．(1)实数12的倒数是____．(2)写出一个比－4大的负无理数__________．6．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．7．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝1a ＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．8．如图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.参考答案导学必备知识 自主测试1．A 1－2＝－12.2．A3．D A 中－|－3|＝－3，B 中⎝⎛⎭⎫13－1＝3，C 中9＝3.4．C 0.32×100万＝320 000＝3.2×105.5．C 因为从数轴可知：m 小于0，n 大于0，则mn ＜0，m －n ＜0. 6．解：|－5|＋16－32＝5＋4－9＝0. 探究考点方法触类旁通1．C 因为5是整数，37是分数，4＝2是整数．触类旁通2．A 因为5的相反数是－5，－15的相反数是15，15的相反数是－15.触类旁通3．B触类旁通4．C 因为0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.000 5＝5×10－4,0.000 05＝5×10－5，故选C.触类旁通5．B 因为|m －3|≥0，且(n ＋2)2≥0，又因为|m －3|＋(n ＋2)2＝0，所以m －3＝0且n ＋2＝0.所以m ＝3，n ＝－2，所以m ＋2n ＝3＋2×(－2)＝－1.触类旁通6．A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可． 品鉴经典考题1．C ∵－3×⎝⎛⎭⎫－13＝1，∴－13的倒数是－3. 2．C A 中，|－2|＝2，是正数，故本选项错误；B 中，(－2)2＝4，是正数，故本选项错误；C 中，－2＜0，是负数，故本选项正确；D 中，(－2)2＝4＝2，是正数，故本选项错误．3．C 因为科学记数法的形式为a ×10n ，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a ＜10，n 是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×1010.4．A 原式＝2＋3＝5.5．12根据负数的绝对值是它的相反数，得⎪⎪⎪⎪－12＝12. 6．解：原式＝2＋1－5＋1＋9＝8. 研习预测试题1．D 因为正数和0都大于负数，2＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2最小．2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．3．B (－8)－8＝－16，⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1，－(－1)0＝－1，|－2|＝2. 4．A 因为数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3， 所以OA ＝1，OB ＝ 3.所以AB ＝OB －OA ＝3－1. 由题意可知，BC ＝AB ＝3－1.所以OC ＝OB ＋BC ＝3＋(3－1)＝23－1. 5．(1)2 (2)－4＋2(答案不唯一)6．7 因为－3＜0，11＞3,1＜7＜3. 7．56 因为2☆3＝12＋13＝36＋26＝56. 8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A 点．9．解：原式＝2＋1－1＝2.。
实数(第1课时)-七年级数学下册讲练课件(人教版)
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
感受中考
4.（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（
A．2和3之间
B．3和4之间
）
C．4和5之间
D．5和6之间
【解答】解：∵ 17 4.12 ，
∴ 17 的值在4和5之间．
故选：C．
）
典例分析
例1：将下列各数分别填入下列相应的括号内：
3
1
9 , ， 7 , π, 16, 5, 3 8,
4
4
25, 0.3232232223
, 0,
9
无理数： 9,
3
7, π, 5, 0.3232232223
1
4
，
3
, 0, 25
有理数： 4 16, 8,
9
1
4
为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，那么点 A 表示的数
是
．
（3）如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，
求新的正方形的面积和边长．
解：
（1）设拼成的正方形的边长为 a，
则 a2＝5，
a= 5，
即拼成的正方形的边长为 5，
故答案为： 5；
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
分数
含开方开不尽的数
无理数：
无限不循环小数
含有
π 的数
有规律但不循环的小数
（2）按性质分：
＝﹣3 5 +3；
（4）| 6 − 2|+| 2 −1|﹣|3− 6|
刘瑞梅用第1讲实数的有关概念
2017年中考复习教案备课教师：刘瑞梅使用班级：139班乌加河学校2017.3.1第1讲 实数的有关概念 学生姓名【教学目标】1．了解有理数、无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应． 2．理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值． 3．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，4．了解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数．在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算 【重点、难点】重点是实数的有关概念，难点是学生能力的培养 【教学过程】一、 考点梳理【考点1】相反数、倒数、绝对值与数轴 1. 知识点：(1)数轴：规定了原点、正方向和长度单位的一条直线叫数轴．．。
实数与数轴上的点一一对应。
(2)相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。
a 的相反数是a -，0的相反数是0.数轴上在原点两旁且与原点距离相等的两个点所表示的两个实数互为相反数，当a 与b 互为相反数时有0=+b a 。
（3）倒数：实数a 的倒数是1a(a ≠0)；a 与b 互为倒数ab ＝1；0没有倒数。
（4）绝对值(1)数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的绝对值，记作|a |.(2)|a |＝⎩⎨⎧a (a >0)，0(a ＝0)，－a (a <0).2.例题【例1】 (1)－15的倒数是__________；(2)(－3)2的相反数是( )．(3)实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |＋(b －a )2＝__________.3．练习（1）下列各数中，相反数等于5的数是( )A ．－5B ．5C ．－15D ．15 （2）－13的倒数是( )（3）|－3|的相反数是( )．A ．3 B ．－3 C ．13 D ．－13 【考点2】平方根、算术平方根、立方根 1. 知识点：(1)平方根:如果x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根(也叫二次方根)，数a 的平方根记作：±a (a ≥0)．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． (2)算术平方根:正数a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零，即0＝0.（3）立方根：x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根)，数a 的立方根记作：3a任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 2.例题：【例2】 (1)(－1.44)2的算术平方根为______；81的平方根为________；0.04＝________；(2)(－2)－3的立方根是________；立方等于－216的数是________；=33)125(________. (3)实数27的立方根是__________．（4）在1,2,3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有个 3.练习：（1）16的算术平方根是 ；364= （2）估算110+的值在（ ）A .2和3之间B .3和4之间C .4和5之间D .5和6之间 （3）一个正数a 的平方根是23-x 和65+x ，则=a 【考点3】科学记数法、近似数、有效数字 1、知识点： （1）科学计算法：把一个数N 表示成a ³10n (1≤a ＜10，n 是整数)的形式叫科学记数法．当N ≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当N ＜1时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．（2）近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。
第1讲实数的概念
D.实数。 实数。 实数 （ A）
C. 3
−2
=9
1 3 1 D. ( − ) = 2 8
5、计算－ 1+2 的结果是 、计算－ 的结果是 A. －3 B.-1 C.1
（ C ） D. 3 年江苏南京） （2007年江苏南京） 年江苏南京
6、（2007湖南长沙）如图，点A,B在数轴上 对应的实数分别为m、n，则A,B间的距离 是 n-m ．（用含m、n的式子表示） A B m 0 n
如图，a 如图，
d
b
e
c
，， d e ，其中 a b ， c 是三个连续偶数 (a<b)，， 是两
个连续奇数
(d <e)
a+b+c=d+e ，例如 25 4 7 6 且满足
．请你在0到20之间 选择另一组符号条件的数填入下图： 请你在 到 之间 选择另一组符号条件的数填入下图：
典型例题解析
、（1） 例1、（ ） − 3 的倒数是 1/3 、（ ； （2） 3 －2的绝对值是 2 － 3 ） 的绝对值是 ； （3）若 x = 1, y = 2 ，且xy>0，x+y= ） ，
−1
° 整数集合：{ 3 − 27 ;tan45°; － 3 }； 整数集合： }； 3-1；3.14；227;sin30°；｜ ｜；-0.32·1· ； ； °；｜-3.2｜； ｜； 分数集合： }； 分数集合：{ } ； ； ； ° ° ｜ ｜ 有理数集合： 3-1；3-27；3.14；227；sin30°；tan45°-3;-0.321;｜-3.2｜ ； 有理数集合： 无理数集合： }。 无理数集合：{ 8 ;-π；0.100110001… }。
D．−3 ．
第1课时实数的有关概念
第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时 实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。
中考数学复习 第1讲 实数
考向一 实数的有关概念1．（2020·湖北孝感·中考真题）如果温度上升3℃，记作3+℃，那么温度下降2℃记作（ ） A ．2-℃ B ．2+℃C ．3+℃D ．3-℃2．（2020·贵州遵义·中考真题）在0，-2，5，14，-0.3中，负数的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3D ．41.（2020.浙江衢州中考模拟）在12，0，1，﹣9四个数中，负数是 A ．12B ．0C ．1D ．﹣92．（2020·云南中考真题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为7+吨，那么运出面粉8吨应记为___________吨．1．（2020·湖南永州·中考真题）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，2020-的相反数为（ ） A ．12020- B ．2020 C ．2020- D ．120202．（2020·辽宁朝阳·中考真题）的绝对值是（ ）A ．B ．7C D ．3．（2020·江苏无锡·中考真题）﹣7的倒数是（）A．17B．7C．-17D．﹣71．（2020·福建三明·中考模拟）下列各组数中互为相反数的是（）A．-2B．-2C．-2与12-D．2与|-2|2．（2020·江苏南京·中考真题）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．3．（2020·广东新会·初三一模）2020的相反数和倒数分别是（）A．﹣2020，12020-B．﹣2020，12020C．2020，12020-D．2020，120204．（2019·江苏南京·中考真题）﹣2的相反数是_______；12的倒数是__________．1．（2020·浙江宁波·中考真题）实数8的立方根是_____．2．（2020贵州安顺·的算术平方根为（）A．B C．2±D．2 3．（2020·江苏南京·中考真题）3的平方根是（）A．9B C．D．4．（2019·山东临沂·）一般地，如果()40x a a =≥，则称x 为a 的四次方根，一个正数a 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为10=，则m =_____．1．（2019·江苏南京·中考真题）面积为4的正方形的边长是（ ） A ．4的平方根 B ．4的算术平方根C ．4开平方的结果D ．4的立方根2．（湖北随州·中考真题）4的算术平方根是__）9的平方根是__））27的立方根是__）3.（2020•荆门中考模拟）的倒数的平方是 A ．2 B ．12C ．-2D ．12-考向二 实数的分类1．（2020·四川遂宁·中考真题）下列各数3.1415926 1.212212221…，17，2﹣π，﹣2020中，无理数的个数有_____个．2．（2020·南昌市第一中学初三期中）有下列四个论断：①﹣13是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个1．（2020·北京延庆·初三一模）下列实数中，无理数的个数是（）①0.333 ②17④π⑤6.18118111811118……A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．（2019·全国初二课时练习）把下列各数序号分别填入相应的集合内：14，④π-，⑤52-，⑧，⑩0.979779777···（相邻两个9之间7的个数逐次增加1）考向三无理数的估算1．（2020•自贡中考真题）与√14−2最接近的自然数是．2．（2020•河南）请写出一个大于1且小于2的无理数．1.（2020•河北省中考模拟）有理数可以在数轴上表示出来，实数与数轴上的点成一一对应，A点表示的数．2．（2020·成都初三诊断）已知5的小数部分是a ，5-b ，则2019()a b +=________．考向四 实数与数轴1．（2020·北京中考真题）实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b 满足a b a -<<，则b 的值可以是（ ） A ．2B ．-1C ．-2D ．-32．（2020·内蒙古中考真题）点A 在数轴上，点A 所对应的数用21a +表示，且点A 到原点的距离等于3，则a 的值为（ ） A ．2-或1 B ．2-或2C ．2-D ．11．（2019·广东中考真题）实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )A ．a b >B ．a b <C ．0a b +>D ．0ab<2．（2020·丰台·初一期中）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m 、n 、p 、q ，如图2，先让圆周上表示m 的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示-2020的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）A ．mB ．nC ．pD ．q考向五 实数的运算1．（2020·辽宁沈阳·中考真题）计算：()2012sin 60202023π-︒⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭2．（2020·四川中考真题）计算：（﹣2）-2﹣﹣2|+02cos30°．3．（2020·云南昆明·中考真题）计算：12021（π﹣3.14）0﹣（﹣15）-1．4．（2020·广东省华南师大附中初三模拟）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!1=，2!21=⨯，3!321=⨯⨯，4!4321=⨯⨯⨯，…，那么计算2020!2019!的值是（ ） A ．2018 B ．2019C ．2020D ．20211．（2020·河南许昌·初三一模）计算：21(1)|2|2π-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭_____．2．（2020·湖南益阳·中考真题）计算：2(3)21)-+⨯--3．（2020·北京101中学初三一模）对于正整数n ，定义()()2,10,10n n F n f n n ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，其中()f n 表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：()26636F ==，()221231310F =+=．规定()()1F n F n =，()()()1k F n F F n +=（k 为正整数），例如，()()112312310F F ==，()()()()21123123101F F F F ===．按此定义，则由()14F =__________，()20194F =___________．4．（2019·江苏江阴·初一期中）对于实数a 、b ，定义运算：()(0)0b b a a b a a b a a b a -⎧>≠⎪∆=⎨≤≠⎪⎩，，，，例如-321232424168，∆==∆==，照此定义的运算方式计算：()()()2441⎡⎤⎡⎤∆-⨯-∆-⎣⎦⎣⎦=_____________.考向六 实数的大小比较1．（2020·浙江温州·中考真题）数1，0，23-，﹣2中最大的是（ ） A ．1 B ．0C ．23- D ．﹣22．（2020四川成都·中考模拟）____58（填“＞”、“＜”或“＝”）．1．（2020·四川乐山·中考真题）用“>”或“<”符号填空：7-______9-．2．（2020·辽宁盘锦·中考真题）在有理数1，12，-1，0中，最小的数是（ ） A ．1B ．12C ．1-D ．0考向七 非负性的运用1．（2020·广东中考真题）|1|0b +=，则2020()a b +=_________．2．（2020·湖北黄冈·中考真题）若|2|0x -=，则12xy -=__________．1．（2020·山东潍坊·中考真题）若|2|0a -=，则a b +=_________．2．（2020·广东东莞·可园中学初三二模）若实数a ，b 满足|2|0a -=，则（ab ）2020的值为_____．考向八 近似数和科学记数法1．（2020·四川成都·中考真题）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ） A ．33.610⨯B ．43.610⨯C ．53.610⨯D ．43610⨯2．（2020·海城市第四中学初三月考）2019-nCoV 新型冠状病毒的直径约为0.00000012m ，0.00000012这个数用科学计数法表示为（ ） A ．61.210-⨯ B ．71.210-⨯ C ．81.210-⨯ D ．91.210-⨯3．（2020·湖北·中考模拟）下列说法中，正确的是（ ）A ．近似数3.76与3.760表示的意义一样B ．近似数13.2亿精确到亿位C ．3.0×103精确到百位，有4个有效数字D ．近似数30.000有5个有效数字1．（2020·福建宁化·）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为( ) A ．91.210⨯个 B ．91210⨯个 C ．101.210⨯个 D ．111.210⨯个2．（2020·山东滨城·初三二模）截止到6月12日14时，美国新冠病毒确诊感染人数累计约209万人，死亡人数累计约为51.1610⨯人．下列用科学记数法表示感染人数和用原数表示死亡人数正确的是（ ） A ．62.0910⨯和11600 B ．62.0910⨯和116000 C ．520.910⨯和116000 D ．72.0910⨯和116003．（四川达州·中考真题）今年我市参加中考的学生人数约为人.对于这个近似数，下列说法正确的是（ ）A ．精确到百分位，有3个有效数字B ．精确到百位，有3个有效数字C ．精确到十位，有4个有效数字D ．精确到个位，有5个有效数字1．（2020·江苏仪征·初三一模）一个数的相反数是－2020，则这个数是( )A ．2020B ．－2020C ．12020D ．12020-2．（2020·辽宁鞍山·中考真题）12020-的绝对值是（ ） A ．12020B ．12020-C ．2020-D ．20203．（2020·福建南安·初三其他）下列各数中，为负数的是（ ） A ．﹣（﹣3） B ．|﹣3|C ．13D ．﹣34．（2020·山东烟台·中考真题）4的平方根是） ）A ．±2B ．）2C ．2D5．（2019·青州市邵庄初级中学月考）a ，b 在数轴上位置如图所示，则a ，b ，a -，b -的大小顺序是( )A ．a b a b -<<<-B ．b a b a <-<-<C ．a b b a -<-<<D ．b a a b <-<<-6．（2020·湖南郴州·中考真题）如图表示互为相反数的两个点是（ ）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D7．（2020·重庆第二外国语学校初三其他）下列命题正确的是（ ） A ．绝对值等于本身的数是正数 B ．绝对值等于相反数的数是负数 C ．互为相反数的两个数的绝对值相等 D ．绝对值相等的两个数互为相反数8．（2020·黑龙江克东·初一期末）﹣12的倒数的相反数等于（ ）A ．﹣2B ．12C ．﹣12D ．29．（2018·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是( )A 3=±B 3=-C 3=D =10．（2020·福建南平·初三二模）若m 、n 满足21(2)0m n ++-=，则n m 的值等于（ ）. A ．-1 B ．1C ．-2D ．1411．（2020·河北中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ) A ．2和-2 B ．-2和12C ．－2和12-D ．12和212．（2020·浙江嘉兴·中考真题）2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m ．数36000000用科学记数法表示为（ ） A ．0.36×108 B ．36×107C ．3.6×108D ．3.6×10713．（四川成都·中考真题）比较12-，13-，14的大小，结果正确的是（ ） A ．12-＜13-＜14 B ．12-＜14＜13- C ．14＜13-＜12- D ．13-＜12-＜1414．（2020·湖北随州·中考真题）2020的倒数是（ ） A ．12020B ．12020-C ．2020D ．-202015．（2020·四川大竹·初三期末）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a |＜|b |，下列各式中正确的个数是（ ））a +b ＜0；）b ﹣a ＞0；③11b a>- ；）3a ﹣b ＞0；）﹣a ﹣b ＞0．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．（2020·南昌市第一中学初一期中）有下列四个论断：①﹣13是有理数；② 2是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个17．（2019·江苏南京·中考真题）面积为4的正方形的边长是（ ） A ．4的平方根 B ．4的算术平方根 C ．4开平方的结果 D ．4的立方根18．（2020•台州中考真题）无理数√10在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间19．（2020·福建省泉州实验中学初三其他）计算下列各式，值最小的是（ ） A ．20+19 B ．2019 C ．2019 D ．201920．（2020•达州中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ） A ．3.14 B ．103C ．√12D ．√1721．（2020·四川内江·中考真题）下列四个数中，最小的数是（ ） A ．0 B ．12020- C ．5 D ．1-22．（2019·广东中考真题）实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )A ．a b >B ．a b <C ．0a b +>D ．0ab<23．（2020·四川达州·中考真题）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．10B ．89C ．165D ．29424．（江苏南京·中考真题）设边长为3的正方形的对角线长为a ，下列关于a 的四种说法：① a 是无理数；② a 可以用数轴上的一个点来表示；③ 3<a<4；④ a 是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D ．①③④25．（2020·云南峨山·初二期末）△ABC 的三边的长a 、b 、c 满足：2(1)0a c -=，则△ABC 的形状为（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形26.（2020•福州中考模拟）若a ＜√28−√7＜a +1，其中a 为整数，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．427．（2020·湖北宜昌·中考真题）向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，“体重减少1.5kg ”换一种说法可以叙述为“体重增加_______kg ”．28．（2019·福建中考真题）如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是－4和2, 点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是_______.29．（2020·江西抚州·初一期末）定义32a b a b ⨯=-，则()()231-=※※_______________________________．30．（2020·陕西其他）201()22sin 45(3)2π---︒+-.31．（2020·江苏新北·初三一模）2sin45°+（13）﹣1﹣|2|．1．（2020·山东烟台·中考真题）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（ ）A ．按键即可进入统计计算状态B ．计算8的值，按键顺序为：C ．计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D ．计算器显示结果为13时，若按键，则结果切换为小数格式0.3333333332．（2020·湖南娄底·中考真题）﹣2020的倒数是（ ） A ．﹣2020 B ．﹣12020C ．2020D ．120203．（2020·黑龙江绥化·中考真题）化简3|-的结果正确的是（ ）A 3B ．3C 3D ．34．（2020·浙江湖州·中考真题）4的算术平方根是（ ）A ．-2B ．2C ．2±D5．（2020·江苏常州·中考真题）8的立方根是（ ）A ．B ．±2C ．D ．26．（2020·湖南怀化·中考真题）下列数中，是无理数的是（ ）A ．3-B ．0C ．13D7．（2020·山东日照·中考真题）数2020的相反数是（ ） A ．12020B ．12020-C ．2020D ．2020-8．（2019·四川中考真题）在0，1-，2，3-这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A ．0 B ．1-C ．2D ．3-9．（2020·江苏盐城·中考真题）实数,a b 在数轴上表示的位置如图所示，则（ ）A ．0a >B ．a b >C ．a b <D ．a b <10（2019·山东潍坊·中考真题）利用计算器计算时，依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ） A ．2.5 B ．2.6C ．2.8D ．2.911．（江苏南京·中考真题）如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是（ ）A ．4的算术平方根B ．4的立方根C ．8的算术平方根D ．8的立方根12．（2020·山东滨州·中考真题）下列式子中，正确的是（ ）A ．|﹣5|=﹣5B ．﹣|﹣5|=5C ．﹣（﹣5）=﹣5D ．﹣（﹣5）=513．（2020·浙江温州·中考真题）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（ ） A ．51710⨯ B ．61.710⨯ C ．70.1710⨯ D ．71.710⨯14．（2020·湖北荆门·中考真题）据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示为（ ） A ．100.82610⨯ B ．98.2610⨯ C ．88.2610⨯ D ．882.610⨯15．（2020·四川乐山·中考真题）数轴上点A 表示的数是3-，将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点B ．则点B 表示的数是（ ）A ．4B ．4-或10C ．10-D ．4或10-16．（2020·广西中考真题）有理数2，1，﹣1，0中，最小的数是（ ） A ．2 B ．1 C ．﹣1 D ．017．（2020·湖南湘西·中考真题）下列各数中，比2-小的数是（ ） A ．0 B ．1- C ．3- D ．318．（浙江丽水·中考真题）在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是（ ） A ．-3 B ．-2 C ．0 D ．319．（2020·湖南衡阳·中考真题）下列各式中正确的是（ ）A ．22--=B 2=±C 3=D ．031=20．（2020·黑龙江大庆·中考真题）若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）A ．－5B ．5C ．1D ．－121．（2020·四川雅安·中考真题）|2|0b a -=，则2+a b 的值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．1022．（2019·四川中考真题）用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是（ ） A ．131000 B ．60.13110⨯C ．51.3110⨯D ．413.110⨯23．（2020·福建中考真题）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为100+米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为_________米．24．（2020·湖北荆州·中考真题）若()112020,,32a b c π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是_______．（用<号连接）25．（2020·湖北咸宁·中考真题）点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的相反数是________．26．（2020·四川宜宾·中考真题）定义：分数nm（m ，n 为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作1211....n m a a ∆++=：例如711111....19511119222221177111515222∆====++++++++=，719的连分数是11211122+++，记作71111192122∆+++=，则________________111123∆++=．27．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）计算：22|13-⎛⎫- ⎪⎝⎭；28．（2020·湖北孝感·112sin 604⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭。
著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).教师版
内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题 实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实 数困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥． 平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】 判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【难度】1星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．例题精讲【难度】2星【解析】A 22(16)a +，故A 的算术平方根为216a +．【答案】216a +【巩固】设a a 的值是________． 【难度】2星【解析】a 48a 必须是完全平方数， 因为24843=⨯整数的整数a 为3．【答案】3【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1； （2 （3（4） ； （5）； （6；【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0x ≥；（2）x =0；（3）2x ≤；（4）x 为任意数；（5）x >1；（6）112x -≤≤．对计算的考察【例3】 求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【难度】1星【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【例4】 求下列各式的值（1） （2（3 （4（5 （6【难度】1星（1）2612⨯=； （27512=+=；（30.30.80.5-=-； （4290.91365=⨯=；（520===； （6110.8250.25 5.245=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12； （2）12； （3）0.5-； （4）965； （5）20； （6）5.2．【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【难度】1星【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．对非负性的考察【例5】 如果3a b -+【难度】2星【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得4353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【例6】已知2b =，求11a b+的平方根． 【难度】2星【解析】由题可知940490a a -≥⎧⎨-≥⎩，49a ∴=，b =2，=【答案】【巩固】已知x ，y ，z满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值． 【难度】2星 【解析】由题可知441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y -1111()()22416=--⨯-=．【答案】116总结： （1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<的算术平方根的大致范围．模块二 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（ ）A ．- B ．114± C ． 114 D ．114-（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 （4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ）A ．= B ．3C 1-D ．4【难度】1星 【解析】略【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【难度】2星 【解析】略【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8）对计算的考察【例8】 求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2．【例9】 求下列各式的值（1 （2（3） （4）3（5 （6（7【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【巩固】（1）填表：（2（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．【难度】2星 【解析】略【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ②0.7696．总结 ：（1） 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．（2）a =，3a =（3） 若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<<综合应用【例10】 2(27)b +的立方根． 【难度】2星【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+=．【答案】1【例11】 已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根． 【难度】2星【解析】Q2(2)=±，6x ∴=；Q 3=，8y ∴=，10==±．【答案】10±总结：平方根与立方根的区别与联系： 区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略． （2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数． （3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-；联系：（5）平方根与立方根相等的数是0．（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．模块三 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小． ５ 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】 判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ） （5）若x =则x =（ ） 【难度】2星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【例13】 下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【难度】1星 【解析】略【答案】D【例14】 下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【难度】1星 【解析】略 【答案】A对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【难度】1星 【解析】略【答案】【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______． 【难度】1星 【解析】略【答案】-3.141π；【例17】 若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】1或1-实数的分类【例18】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）－1 3.14-、1、7.0&、0；（2、π（3）－10（4π、1、7.0&；（5）－1、 3.14-、比较大小【例19】 估 ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【难度】1星【解析】略 【答案】C【例20】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6< 【难度】２星【解析】略【答案】B【例21】 一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【难度】1星【解析】略【答案】A【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-， 【难度】1星【解析】略 【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．对计算的考察【例22】 计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++ 【难度】1星【解析】（1）32716949+-71333=-+=-；（2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．综合应用【例23】 写出符合条件的数． （1）小于25的所有正整数； （2）绝对值小于22的所有整数．【难度】2星【解析】略【答案】（1）1，2，3，4；（2）1-，2-，0，1，2．【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【难度】1星【解析】设这个水底的底边长为x ，则有2143150x =，解得15x =．【答案】15【例25】 已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【难度】2星【解析】91116<<Q ，∴3114<<，11∴的整数部分为3，小数部分为113-，3,113a b ∴==-，32()(3)a b -++32(3)(1133)271116=-+-+=-+=-．【答案】16-总结：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b >；若2()a ＜2()b ，则a b <； 若2()a ＝2()b ＞，则a b =．（2）比较被开方数的大小：a ＞0，b ＞0， 若a ＞b ，则a b >； 若a ＜b ， 则a b <；若a ＝b ，则a b =．（3）作差法：若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，则a ＜b ．（4）作商法：a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ．【练习1】下列说法正确是（ ）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【难度】1星课堂检测【解析】略【答案】A【练习2】下列命题中，真命题是（ ）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C6=± D ．若22a b =【难度】1星【解析】略【答案】D【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（ ）输出y输入xA ．6 BCD．【难度】２星【解析】略【答案】B【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ．【难度】1星【解析】略【答案】2π【练习5】计算：（1（2【难度】1星【解析】（1585355245420+=-+=-； （2340.60.4-+=-． 【答案】（1）3220-；（2）0.4-．【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy +3的值． 【难度】2星【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出x ，y 的值，代入即可解决问题．【答案】21.通过本堂课你学会了 ．2.通过本节课，你复习的知识点 ．3.掌握的不太好的部分 ．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】1星【解析】错误的有（1），（2），（4）．【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【难度】1星【解析】略【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到，则A′的坐标为 ．【难度】2星【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减．【答案】(22,33)-+-4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【难度】1星 课后作业 总结复习【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =． 【答案】21x x x>>>5.计算:（1 （2）2(2)-【难度】1星【解析】（111213333=-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【难度】1星【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．【难度】2星【解析】Q 0a +，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【难度】2星【解析】nQ 2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+Q ，1n n ∴<<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【难度】2星【解析】（5=（6=【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【难度】3星 【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=Q ，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-Q ，b a ∴≥，2,4a b ∴==，==。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第1讲 实数的概念及数的开方(讲义)解析版
第1讲 实数的概念及数的开方模块一实数的概念和分类 知识精讲知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；与π与π-，称它们互为相反数． 3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 例题解析例1.写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112． 【难度】★ 【答案】2π、0.1313313331…． 【解析】无限不循环小数都是无理数． 【总结】考查无理数的概念．例2.判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数．（ ） （3）带根号的数都是无理数．（ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （）【难度】★【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数； （3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．例3.a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么． 【难度】★ 【答案】一样．【解析】a 是非负无理数实质上就是说a 是正无理数，因为0不是无理数． 【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．例4.若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之， 亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由． 【难度】★★【解析】移项得：()()a c d b x -=-， 因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而a c -是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0d b -=，从而0a c -=， 于是有：a c b d ==，，当a c b d ==，时，等式a bx c dx +=+成立． 【总结】考查有理数、无理数的运算性质．例?请说明理由． 【难度】★★★p q=， 又因为p 、q 没有公因数可以约去，所以pq是最简分数．p q=两边平方，得223p q =，即223q p =．由于23q 是3的倍数，则p 必定是3的倍数．设3p m =， 则2239q m =， 同理q 必然也是3的倍数，设3q n =，既然p、q都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设pq是最简分数矛盾，【总结】考查对无理数的理解及证明．模块二：数的开方知识精讲一、开平方：1、定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这个数a叫做被开方数．如21x=，1x=±，1的平方根是1±．说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算．3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；22是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，读作“三次根号a ”，a 叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 三、开n 次方：1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根． ★注意：1）实数a a 是任意一个数，根指数n 是大于1的奇数；2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，负n 次方根用“表示．其中被开方数0a >，根指数n 是正偶数（当2n =时，在中省略n ）； 3）负数的偶次方根不存在；4）零的n 0．例题解析例1.写出下列各数的平方根：（1）9121； （2【难度】★【答案】（1）311±； （2）3±． 【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根． 【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个． 例2.写出下列各数的正平方根：（1）225；（2【难度】★【答案】（1）15；（2【解析】（1）15； （23=，3 【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解． 例3.下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根；（3）π-是2π-的平方根； （49±．【难度】★【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．【解析】（1）错误：1的平方根是1±；（2）正确；（3）错误：2π-是负数，没有平方根；（4）2π-9=，9的平方根是3±．【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根． 例4.写出下列各数的立方根：（1）216； （2）0；（3）1-； （4）3438-； （5）27．【难度】★【解析】（1）6；（2）0；（3）1-；（4）72-；（5）3．【总结】本题主要考查立方根的概念．例5.判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4）2±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【难度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根是1；（37=；（4）正确；（5）错误：还与n的奇偶性有关．【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．例6.写出下列各数的整数部分和小数部分：（1（2（3）9【难度】★★【解析】（1）因为89=，8，8；（2）因为78==77；（3）因为34=，所以596<<，所以95，小数部分为4- 【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．例7.求值：（1 （2）；（3）2； （4）2(．【难度】★★【解析】（1）12； （2）0.1- ； （3）4； （4）11． 【总结】考查对平方根的理解及运用． 例8.求值：（1（2 （3； （4【难度】★★【解析】（1）4； （2）35-； （3）原式54=-； （4）原式2-．【总结】考查实数的立方根的运用． 例9.求值：（1 （2 （3；（4【难度】★★【解析】（1）6 ； （2）3 ； （3）3- ； （4）2． 【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．例10.求值：（1（2）（3．【难度】★★【解析】（1）0.5 ； （2）原式=95； （3）原式60=． 【总结】考查实数的立方根运算．例11.小明的房间面积为17.62m ，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? 【难度】★★ 【答案】0.4m ．【解析】设每块地砖的边长是x 米，则有：211017.6x =，化简得20.16x =，解得：0.4x = 即每块地砖的边长是0.4m ．【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．例12.已知2a -1的平方根是3±，3a +b -1的算术平方根是4的值． 【难度】★★ 【答案】3．【解析】由题意知：219a -=，3116a b +-=，即210a =，173b a =-解得：5a =，2b =，所以2549a b +=+=3=． 【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值． 例13.若a 的平方根恰好是方程3x +2y =2的一组解，求x y a a +的值．【难度】★★ 【答案】125716()1616或． 【解析】由题意，因为a 的两个平方根是相反数，那么y x =-，则有：32322x y x x +=-=，即2x =，2y =-．那么由题意可得：4a =，所以22125744161616x y a a -+=+=+=． 【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．例14.3=，3(43)8x y +=-，求2()n x y +的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意可得：49432x y x y -=⎧⎨+=-⎩， 解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以222()(12)(1)1n n n x y +=-=-=．【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦． 例15.用“>”把下列各式连接起来：【难度】★★2-23-1=，【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．例16. 1.732≈ 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______； （2____________；（3≈_________； （4≈______________；（5___________；（6≈_____________．【难度】★★★【解析】（1 1.7321017.32⨯=；（2 5.4771054.77≈⨯=；（3 1.732100173.2⨯=；（45.4770.10.5477≈⨯=；（51.7320.10.1732⨯=；（65.4770.010.05477≈⨯=．【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．例17.填写下表，并回答问题：（1） 数a ?（2） 0.1738 1.738=，求a 的值．【难度】★★★【解析】（1）由题可知，被开方数a相应地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知： 5.25a ．【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．例18.阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．【难度】★★★【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>；⑥>；⑦>：（2）当n =1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）>．【解析】（1）①12 <21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；（2）当n=1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。
2019年中考数学专题复习第1讲《实数及有关概念》(含详细参考答案)
2019年中考数学精品专题复习第一章 数与式第一讲 实数及有关概念★★★核心知识回顾★★★知识点一、实数的分类 1．按实数的定义分类：⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎪⎩整数有限小数或无限循环小数有理数实数：无限不循环小数 2．按实数的正负分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正实数正无理数实数零负有理数负实数知识点二、实数的基本概念和性质1．数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴，实数和数轴上的点是一一对应的。
2．相反数：（1）只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ； （2）a+b=0⇔a 、b 互为 ；（3）在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离 。
3．倒数：（1）乘积为 的两个数互为倒数，用数学语言表述为：1ab =，则a ，b 互为 ； （2）1和 的倒数还是它本身， 没有倒数。
4．绝对值：（1）一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值。
（2）(0)||0(0)(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩（3）因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 和 。
知识点三、平方根、算术平方根、立方根 1．平方根： （1）一般地，如果一个数的 等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根，记作 ； （2）正数的平方根有两个，它们互为 ，0的平方根为 ， 没有平方根。
2．算术平方根：（1）一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作 ；（2）正数的算术平方根为 ，0的算术平方根为 。
3．立方根： （1）一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根或三次方根，记作 ； （2）正数的立方根为 ， 0的立方根为 ，负数立方根为 ；每个实数有且只有一个立方根。
知识点四、科学记数法科学记数法：把一个较大或较小的数写成写成10na ⨯的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是科学记数法。
学而思初一数学寒假班第1讲.实数初步.学生版 (2)
实数8级 实数的计算与化简 实数7级 实数初步实数6级 绝对值“实数”的风波漫画释义满分晋级阶梯1实数初步题型切片（三个）对应题目题型目标平方根的定义与性质例1；例2；例3；例8；演练1，2，3；立方根的定义与性质例4；例5；演练4,5；实数例6；例7；演练6定义示例剖析平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若2x a=，则x就叫做a的平方根．()224±=，2±就叫做4的平方根平方根的表示：一个非负数a的平方根可用符号表示为“a±”．5的平方根可表示为5±总结：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.知识导航模块一平方根的定义与性质知识互联网题型切片对新概念的理解能力【例1】 ⑴ 求下列各数的平方根与算术平方根：①4964； ②0.0001； ③5； ④()23-； ⑤16.⑵ 求下列各式的值：①25； ②0.01±； ③169-； ④()22-； ⑤()26-； ⑥416a⑶ 解关于x 的方程：①2449x =； ②231080x -=；③()225136x -=⑷ 比较下列各数大小：①2___3 ②2___3 ③140___12⑸ 一个正数的平方根是31a +和5，则a =_________.算术平方根的概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，规定：0的算术平方根为0．4的平方根是2±，其中2叫做4的算术平方根.算术平方根的表示：一个非负数a 的算术平方根可用符号表示为“a ”． 5的算术平方根可表示为5 双重非负性： 在式子a 中，0a ≥且0a ≥.式子1x -有意义，101x x -≥≥， 总结：一个正数有一个算术平方根；零的算术平方根是零；负数没有算术平方根. 平方根计算：求一个数的平方根的运算，叫做开平方（开方），开方运算和平方 运算互为逆运算.()()20,a a a =≥()2(0)||00(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩夯实基础非负性的考查【例2】 ⑴ 若230x y ++-=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．6 （北京中考）⑵若()24a -与5b +的值互为相反数，则2a b +的平方根是 . ⑶若()22320070a b c -+-+-=，求()22ca b -的值．综合应用能力 【例3】 ⑴已知225(1)2005x xy x -+-=+-⋅，求x y 的值.⑵已知2211604n m m m-++-=-，则2mn n +-的倒数的算术平方根为_______.⑶已知20102011a a a -+-=，求22010a -的值.知识导航模块二 立方根的定义与性质能力提升对新概念的运用能力【例4】 ⑴ 求下列各数的立方根：①1-； ②8； ③338； ④64； ⑤ ()25-；⑵ 比较大小①310 311； ②9 327⑶ 求出下列各式中的a ：①若30.343a =，则a = ； ②若33213a -=，则a = ； ③若31250a +=，则a = ；④若()318a -=，则a = ．⑷ 下列四种说法中，正确的是（ ）A 、33x -没有意义B 、一个数的某个平方根恰与它的立方根相等，这个数一定是0C 、一个正数有两个立方根D 、互为相反数的立方根也互为相反数考查综合运用能力定 义示例剖析立方根概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根.328=， 2就叫做8的立方根表示：一个数a 的立方根可用符号表示3a ，3a 读作“三次根号a ”.5的立方根可表示为35总结：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根.正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.()333333,,a a a a a a ==-=-夯实基础能力提升【例5】 ⑴3311x x -+-中的x 的取值范围是 ，11x x -+-中的x 的取值范围是 ．⑵ 若331y -和312x -互为相反数，求xy的值.对新概念的运用能力【例6】 ⑴ 下列说法正确的个数为（ ）定 义示例剖析无理数：无限不循环小数叫无理数332523-π，，，，…都叫做无理数实数：有理数和无理数统称实数.5和35都是实数实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.分类：0⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数正分数实数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数夯实基础知识导航模块三 实数①无理数都是实数 ②实数都是无理数 ③无限小数都是无理数 ④带根号的数都是无理数 ⑤没有绝对值最小的实数A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个⑵ 在33320.318127 3.1470.4829 1.020020002...90.523π------，，，，，，，，，，中，无理数有_________个.⑶ 求下列各数的相反数及绝对值：①6-；② 3.14π-；③312-；④32-⑷ 已知x 是4的平方根，32y =-，25z =，求2x y z +-的值.实数与数轴的一一对应关系【例7】 ⑴如图所示，在点A 和点B 之间表示整数的点共有_________个.5-3B A⑵如图所示，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点C 到点A 的距离与点B 到点A 的距离相等，则C 所表示的数是（ ） A 、21- B 、12- C 、22- D 、22-无理数的估算问题【铺垫】⑴ 若404m =-，则估计m 的范围为（ ）A.1<<2mB.2<<3mC.3<<4mD.4<<5m（实验中学期中）真题赏析能力提升B A O 221⑵ 若实数k 的整数部分是3，则k 的取值范围是___________.⑶ 观察例题：∵4<7<9，即2<7<3， ∴7的整数部分为2，小数部分为72-. 请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果2的小数部分为a ，3的小数部分为b ，求a b ，的值.【例8】 （2012海淀期末考试）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算13的近似值。
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第1课时 实 数 巩固练习训练单
40分钟 (A 层完成1-32题 B 层完成1-30题）
1. (2019河北)规定：(→2)表示向右移动2记作＋2，则(←3)表示向左移动3记作( )
A. ＋3
B. －3
C. －13
D. ＋13
2. (2019十堰)下列实数中，是无理数的是( )
A. 0
B. －3
C. 13
D. 3
3. (2019湘潭)下列各数中是负数的是( )
A. |－3|
B. －3
C. －(－3)
D. 13
4. (2019内江)－16的相反数是( )
A. 6
B. －6
C. 16
D. －16
5. (2019深圳)－15的绝对值是( )
A. －5
B. 15
C. 5
D. －15
6. (2019徐州)－2的倒数是( )
A. －12
B. 12
C. 2
D. －2
7. (2019甘肃省卷)如图，数轴的单位长度为1，如果点A 表示的数是－1，那么点B 表示的数是(
)
第7题图
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8. (2019包头)实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
第8题图
A. a＞b
B. a＞－b
C. －a＞b
D. －a＜b
9. 2019年9月25日，北京大兴国际机场正式投入运营，其航站楼总面积约1430000平方米，其中数据1430000用科学计数法表示为()
A. 1.43×107
B. 1.43×106
C. 1.43×105
D. 143×104
10. (2019天水)自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为()
A. 73×10－6
B. 0.73×10－4
C. 7.3×10－4
D. 7.3×10－5
11.(2019德州)据国家统计局统计，我国2018年国民生产总值(GDP)为900300亿元．用科学记数法表示900300亿是()
A. 9.003×1012
B. 90.03×1012
C. 0.9003×1014
D. 9.003×1013
12. (2019重庆A卷)下列各数中，比－1小的数是()
A. 2
B. 1
C. 0
D. －2
13. (2019安徽)在－2，－1，0，1这四个数中，最小的数是()
A. －2
B. －1
C. 0
D. 1
14. (2019成都)比－3大5的数是()
A. －15
B. －8
C. 2
D. 8
15. (2019天津)计算(－3)×9的结果等于()
A. －27
B. －6
C. 27
D. 6
16. (2019福建)计算22＋(－1)0的结果是( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
17. 实数a , b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a －b ________0(填“＞”“＜”或“＝”)．
第17题图
18. (2019绥化)某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为－20 ℃，绥化市的平均气温约为－23 ℃，则两地的温差为________℃.
19. (2019陕西黑马卷)比较大小：4________13.(填“＜”、“＝”或“＞”)
20. (2019河南)计算：4－2－1＝________．
21. (2019重庆A 卷)计算：(π－3)0＋(12
)－1＝________. 22. 在实数－2，－5，0，π，7中，最大的一个数是________．
23. (2019临沂)计算：12
×6－tan45°＝________． 24. (2019十堰)计算：(－1)3＋|1－2|＋38.
25. 计算：25－|4－20|＋(－15
)0.
26. 计算：27－|2－tan60°|＋(12
)－3.
27. 计算：(－6)×(－8)－3－2－|1－3|.
28. 计算：8－|4－32|＋(π－3.14)0.
29. 计算：－3×6－|2－2|＋(π－3)0.
30. 计算：8×2－2－|2－3|－
43.
31. 计算：(－12
)－2＋|2－5|－3×15.
32. 计算：(－1)2020＋(13
)－1＋|3－3|＋3tan30°.。