第三章 第五节 灵敏度分析
第3章 灵敏度分析
管
理
运
筹
学
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使用敏感性报告进行敏感度分析
• （1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品） 增至3.5（元/单位产品），那么，已求得的 最优解、最优目标值会变化吗？ • 由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知， 产品A的系数在允许的变化范围[3-3，3+1]， 即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现 在产品A的利润系数是3.5，是在允许的变化 范围内，所以最优解不变，仍然是X=100， Y=350。 • 要注意的是，最优目标值将发生变化。原来 是3100，现在是3.5*100+8*350=3150。
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敏感性报告
• 灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法 进行分析，例如可用数学公式计算目标函数 的系数或约束条件右边变化对最优解与目标 值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运 用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。
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• 敏感性报告由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格 A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影 响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束 条件右边变化对目标值的影响。见下图1
• 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是指其 他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许 变化范围。
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• 表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其 中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址， 名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左 边的终值。 • 在本题中，有三个约束条件，它们分别是原材料1 使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们 在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20， $B$21，其终值分别为1300，350和1600。 • 第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。 • 第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通 常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件 右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的 供应量，它们分别是1800，350，1600。 • 第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它 们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内 变化时，影子价格不变。
2.灵敏度分析1
8
b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变
第三章 灵敏度分析
0
x6
cj-zj
3
0
9
0
8 。。。。。。 4/3 -1/3
2
50 0 1
1/2
19 1 0 0
0
0 2/3 -1/6
1
0 -10/3
19 +△c4 50
x4 x3 cj-zj
2 1
2 -1/2
-4-2 △c4 -2/3-4/3 -4 -2/3 △c4 0
4/3 -10/3 -13/3 -10/3 -2/3 △c4 +10/3△c4 13/3
2019/3/30 19
cj CB 19 50 0 XB x4 x3 x7 cj-zj b 2 1 8
9 x1 2 -1/2 2 -4
8 x2 1 -1/3 1 -2/3
50 x3 0 1 1 0
19 x4 1
0 x5
0 x6 -10/3 4/3 0 -10/3
0 x7 0 0 1 0
2/3 变为0 0 -1/6 2 0 0 -13/3
2019/3/30 4
cj CB 0 0 XB x5 x6 cj-zj 19 50 x4 x3 cj-zj 2 1 b 18 3
9+△c x1 3 0 9 2 -1/2 -4 +△c
8 x2 2 0 8
50 x3 10 2 50 0 1 0
19 x4 4 1/2 19 1 0 0
0 x5 1 0 0 2/3 -1/6 -13/3
19 x4 4 1/2 19 1 0 0 -3/10 2/5 -1
0 x5 1 0 0 2/3 -1/6 -13/3 -1/5 1/10 -5
0 x6 0 1 0 -10/3 4/3 -10/3 1 0 0
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
3.5 灵敏度分析
8
2x1 =16
5
C
D
2x2 =10
问题1：c1不 变，c2增加时， 发生什么变化？
3
B Z=37
4 8
0
c2≧4
A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
OR:SM
三、右端常数b的灵敏度分析
CB XB 检验数
CB XB I 0
CN XN B N CN-CBB N
b 8 5 4 37 3 x1 0 0 1 0 5 x2 0 1 0 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 4/3 1/2 -2/3 -1/2 0 x5 -2/3 0 1/3 -1
M axZ 3 x 1 5 x 2 16 2 x1 2 x 2 10 s .t . 3 x 1 4 x 2 32 x1 0 x 2 0
二、价值系数 C 的变化分析
1.非基变量价值系数的改变 若非基变量的价值系数cj 变为cj ’= cj +△cj ，则xj 的检验数 为：
j ' c j ' C B B 1 Pj
c j c j C B B 1 Pj (c j C B B 1 Pj ) c j j c j
方法 1 ： 比值法
M ax{
j
a kj'
| a k j 0 } c B k M in {
'
j
a kj '
| a kj ' 0 }
1 1/ 2 Max a 2 j 0 c B 2 Min a2 j 0 0 1/ 2 1 c B 2
第3章 灵敏度分析
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1
• 1目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响 • 当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦， 它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改 变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利 润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、 又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线 变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则 该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这 时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。 • 可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范 围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变 化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发 生变化。
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灵敏度分析的主要内容
• 1目标函数中的系数变化时，表示目标函数 的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交 点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标 函数中的系数变化对最优解与目标值的影响 以及目标函数中的系数改变多少，方可使最 优解发生变化。 • 2约束条件右边变化时，相应的表示约束条 件的直线将平行移动，可性域发生变化，最 优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度 分析是研究约束条件右边变化时对目标值或 最优解的影响状况。
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• 例如本题中，第一个约束条件右边的值 为1800，允许的增量为1E30，允许的 减量为500，因此该约束条件右边在 [1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内 变化时，原材料1的影子价格不变。 • 注意!!! • 这里给出的决策变量的允许变化范围是 指其他条件不变，仅在该决策变量变化 时的允许变化范围。
灵敏度分析
I
θi 300 400 250 50 75
最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50 影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B=(p1, p4,p2 )
B -1
单纯形表
CB c1 c2 ┇ cm -z XB x1 x2 ┇ xm b1' b2' ┇ bm' f
m
上例增加 例 上例增加 3x1+ 2x2≤15，原最优解不 ， 满足这个约束。 满足这个约束。于是
ci cB 2 0 3 0 xB x1 x5 x2 x6 σj 2 b x1 4 1 4 0 2 0 15 3 0 3 0 0 x2 x3 x4 0 0 1/4 0 -2 1/2 1 1/2 -1/8 2 0 0 0 -1.5 -1/8 0 x5 0 1 0 0 0 0 x6 0 0 0 1 0
ci cB 2 0 3 xB x1 x5 x2 B 4 4 2 2 x1 1 0 0 0
2 xB x1 x5 x2 B 4 4 2 x1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
3+Δc2 x2 0 0 1 0
0 x3 0 -2 1/2 -1.5
0 x3 0 -2 1/2
-1.5 -ΔC2/2
0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
束若是小于等于形式可引入非负松弛变量，否则引 束若是小于等于形式可引入非负松弛变量， ），填入最优单纯形表作 入非负人工变量），填入最优单纯形表作
为新的一行， 为新的一行，并通过矩阵行变换把对应 中的列向量变为单位向量。 基中的列向量变为单位向量。 • 进一步用对偶单纯形法求解。 进一步用对偶单纯形法求解。
各列分别对应 b1、b2、b3 的单一变化 因此， 因此，设 b1 增加 4，则 x1 , x5 , x2 ， 分别变为： 分别变为：4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, × × 2+0.5×4=4 × 用对偶单纯形法进一步求解，可得： 用对偶单纯形法进一步求解，可得：
第3章线性规划的灵敏度分析
又获得了10个小时的切割与印染时间，我 们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可 行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足 下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美 元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到： 从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎 样变化。
第三章 第五节 灵敏度分析
5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 σj
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ∆ck， 则σk’= σk+ ∆ck 只要 σk’≤ 0 ,即 ∆ck ≤ - σk ，则 最优解不变；否则，将最优单纯形表 中的检验数 σk 用 σk’取代，继续用单 纯形法的表格计算。
由上式，可得 Δb2≥-4/0.25=-16 ， Δb2≥-4/0.5=-8 ， b2≤2/0.125=16。所以Δb2 的变化范围是［-8， 16］；显然原b2 =16，加它的变化范围后， b2的 变化范围是［8，32］。
2010-10-31 20
5.3
增加一个变量xj的分析
若增加一个新变量 xn+1 则有相应的 pn+1 ,cn+1发生变化。 那么计算出B-1pn+1 , σn+1=cn+1-∑cri ari n+1 填入最优单纯形表, 若 σn+1 ≤ 0 则最优解不变； 否则，进一步用单纯形法求解即可。
例子从略54分析参数aij的变化2707202024参数aij的变化若变量x在最终单纯形表中为基变量则aij的变化将使相应的b和b1发生变化因此有可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情况这时需要引进人工变量将原问题的解转化为可行解再用单纯形法求解例见课本例112707202025增加一个约束之后应把最优解代入新的约束若满足则最优解不变否则填入最优单纯形表作为新的一行引入一个新的非负变量原约束若是小于等于形式可引入非负松弛变量否则引入非负人工变量并通过矩阵行变换把对应基变量的元素变为0进一步用单纯形法或对偶单纯形法求解
b 2/5 11/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) 可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
第三章第五节控制系统灵敏度分析
• 闭环系统对单位阶跃干扰输入的响应曲线w (t)和MATLAB •
程序文本closedtach.m分别示于图3-39(a) (b)。 同前，稳态误差就是w (t)的终值，稳态误差的近似值为
wc () 0.002(弧度 / 秒）
在本例中，闭环系统与开环系统对单位阶跃干扰信号的输 出响应的稳态值之比为 w c ( ) 0.003 w o ( )
考虑到C (s)
C ( s)
G( s) R( s),则输出的改变就是： 1 G( s) H ( s)
G( s) R( s ) [1 G( s) H ( s) G( s) H ( s)][1 G (s ) H (s )]
(3.75)
通常情况下，有G(s)H(s)>>ΔG(s)H(s)，于是：
R1 Rf 0
由于放大器的增益是A，并且是反相接法，所以uc = Aun ，因此 uc un (3.83) A 将(3.83)代入(3.82)，得到 u u u ur (3.84) c c c 0
R1 AR1 Rf AR f
解出输出电压uc ，有
uc A( R f / R1 ) 1 ( R f / R1 ) A ur
(3.85)
(a) 电路原理图 (b) 结构图 图3-36 反相放大器
可重写式(3.85)如下
GB ( s) U c ( s) A U r ( s) 1 R1 / R f A( R1 / R f )
当A>>1时，可忽略R1/Rf项，则
GB ( s ) A 1 Ak
(3.86)
第五节 控制系统灵敏度分析
• 控制系统在参数变化时的灵敏度是一个非常重要
第5讲 灵敏度分析
第5讲 灵敏度分析灵敏度分析是指对系统因环境变化显示出来的敏感程度的分析。
在线性规划问题中讨论灵敏度分析，目的是描述一种能确定线性规划模型结构中元素变化对问题解的影响的分析方法。
前面的讨论都假定价值系数、资源系数和技术系数向量或矩阵中的元素是常数，但实际上这些系数往往只是估计值，不可能十分准确和一成不变。
这就是说，随着时间的推移或情况的改变，往往需要修改原线性规划问题中的若干参数。
因此，求得线性规划的最优解，还不能说问题已得到了完全的解决。
决策者还需要获得这样两方面的信息：一是当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优解会有什么变化；二是这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解（或最优基）不变。
显然，当线性规划问题中的某些量发生变化时，原来已得的结果一般会发生变化。
在单纯形法迭代时，每次运算都和基B 有关，所以可以把发生变化的量经过一定计算，直接反映进最终单纯形表并按表5-1处理。
4.1 资源系数变化的分析资源系数发生变化，即b 发生变化的灵敏度分析；该类问题关键是如何将b 的变化直接反映进原问题的最终单纯形表。
单纯形法的迭代过程，其实不过就是矩阵的初等变换过程；而线性代数的知识告诉我们，对分块矩阵[]I B 进行初等变换，当矩阵B 变为单位矩阵I 时，单位矩阵I 将变为矩阵1-B ，即：[]1-B I由此可知，如果已知最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1-B”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），而最终单纯形表中的每一列均可用其在初始单纯形表中的相应列左乘1-B 来得到；即b B b 1-='。
[例5-1] 已知LP 问题5432104125min Mx x x x x w ++---=1x + 22x 3x + 4x + = 512x 2x -+ 33x 5x + = 20,,,,54321≥x x x x x单纯形求解可得如表5-1所示的最终单纯形表，问（1）2b 在什么范围内变化时，最优解（在此实际上是最优基）保持不变；（2）2b 由2增加至15，求新的最优解。
第3章 电路的灵敏度分析
S xkx S xx 1
T T S1 Sx x
T S1T x S x
T f ( x)
T T Sx nS x kx Sx Sxx n 1 T T Sx Sx n n T y Sx ST y Sx
T1T2 T1 T2 Sx Sx Sx
T1 T2 T1 T2 Sx Sx Sx
U
jL 1 jC R
U
R
题图 3.1.1 【解】 RLC 串联电路谐振角频率 0
0
特性阻抗 品质因数 Q 为
1 LC
L 2C
1
1 2
0 L 1/ 0C
1 1 1 L 1 2 Q R LC 2 R R C
由(3.1.5)式得
(3.1.4)
所以网络输出响应 R ( s ) 对相关参数 p 的绝对灵敏度等于相应网络函数对该参数的绝对灵敏 度与输入激励乘积。 定义 2 相对灵敏度 反映系统中元件参数 p 的相对变化对网络函数 T 相对值的影响程度，记作：
ST p
T T p T ( l n T) p p T p ( l n p)
(3.2.1)
关系式（10）
(T1 T2 ) Sx
x (T1 T2 ) 1 x T1 x T2 T2 T1 T1 T2 x T1 T2 T1 x T2 x
T1 T2 T1 T2 Sx Sx T1 T2 T1 T2
(3.2.2)
, i , i , ri ,
gi
, s)
1
T ( Ri , Li , Ci , i , i , ri , gi , s)
第3章 电路的灵敏度分析
第3章电路的灵敏度分析第三章 网络的灵敏度分析§3.1网络的灵敏度灵敏度用来表征网络特性对元件参数变化的敏感程度。
它在确定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。
网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。
在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。
例如100Ω%5.1±即表示标称值是100Ω，相对误差是%5.1的一个电阻。
当将一个这样的电阻接入电路时，它的真正值可能是99、100、101等值，不一定刚好等于标称值。
另一方面，实际电路在工作时，随着使用时间的增长、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的变化，元件参数值也难免要发生不同程度的变化而偏离标称值，况且有的元件本身就是作为敏感元件使用的。
这些元件参数的变化必将导致网络函数或网络响应的变化，严重时网络无法正常工作。
研究元件参数变化对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。
电路的灵敏度分析还是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情况分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。
在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。
灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。
著名的电路仿真软件PSPICE 和WORKBANCH 均有灵敏度分析功能。
网络函数H 或网络响应R (统一用T 来表示) 对某元件相关参数p (p 可以是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)变化率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作：pTS ∂∂=(3.1a)有时还要用到相对和半相对灵敏度。
相对灵敏度的定义是：pTp T T p S ln ln 00∂∂=∂∂=(3.1b) 相对灵敏度是无量纲量。
半相对灵敏度的定义是：pTp S ∂∂=0(00=T 时)， p T T S ∂∂=01 (00=p 时) (3.1c)式中0p 和0T 分别是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。
[管理学]5、敏感性分析
![[管理学]5、敏感性分析](https://img.taocdn.com/s3/m/8a66ab42a45177232f60a27c.png)
P3 P4 P5 1 0 0 0 1 0 -1 -1 1/2
B B
31
-1
1
3 0
2
2 2
1
0 0
0
1 0
0
0 1
P1 P2 1 3 0 0 0 1
P3 P4 P5 1 0 0 0 1 0 -1 -1 1/2
32 返回
B
-1
原问题变量
原问题松弛变量
XB
x1 x4 x2
b 3 4 3
x1
1 0 0 0
2 1
11 返回
二、分析 bi的变化
bi 的变化影响单纯形表中基变量列数字的变化
b B b 1 1 1 b B (b b) B b B b
1
b变化
∴ bi 的变化反映到最终单纯形表中，只会出 现表1中的第一和第三种情况。
12
1.若设备A和设备C的生产能力不变，而设备B 的生产能力增加到20小时，分析该工厂最优计 划的变化。 1/2 B-1 (b+△b)= -2 0 0 –1/5 1 0 4/5 1/5 12 20 = 15 3 8 3
0 x5 -1/5 4/5 1/5
1 1 -1/5 5 5
θ
Z=15
1 1 即： 0 1 5 5
10
2.若产品Ⅱ的利润不变，而产品Ⅰ的利润变为2 ， 则 在什么范围内变化时则该工厂的最优生产计划 将不发生变化? 2 2 3 0 0 0
CB 0 3
7
max Z= 2x1 +3x2
2x1 + 2x2 12 4x1 16
5x2 15
x1，x2 0
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第五节灵敏度分析
结束放映
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第五节 灵敏度分析
一.灵敏度分析的意义 在通常的决策模型中自然状态
的损益值和概率往往是预测和估计 得到的，一般不会十分准确。因此， 根据实际情况的变化，有必要对这 些数据在多大范围内变动，而原最 优决策方案继续有效进行分析，这 种分析就叫做灵敏度分析。
1
例4.5:有外壳完全相同的木盒100 个，将其分为两组，一组内装白球，有 70盒。另一组内装黑球，有30盒。现从 这100个盒中任取一盒，让你猜，如果 这个盒内装的是白球，猜对得500分， 猜错罚150分。如果这个盒内装的是黑 球，猜对得1000分，猜错罚200分。为 了使希望得分最高，合理的决策方案是 什么？有关数据如4.13所示。
猜黑：0.7×(-150)+0.3×1000=195
显然,按照最大期望值准则,猜白是最 优方案。
现在假设白球出现的概率变为0.8，这时，
猜白：0.8×500+0.2×(-200)=360
猜黑：0.8×(-500)+0.2×1000=80
5
很明显，猜白仍是最优方案。 再假设白球出现的概率变为0.6，这时: 猜白：0.6*500+0.4*(-200)=220 猜黑：0.6*(-150)+0.4*1000=310
7
在实际的决策过程中， 经常要将自然状态的概率和 损益值等，在一定的范围内作几次 变化，反复地进行计算，考察所得 到的数学期望值是否变化很大，影响到 最优方案的选择。如果这些数据稍加变 化，而最优方案不变，那么这个决策方 案就是稳定的。否则，这个决策方案就 是不稳定的，需要进行更深一步的讨论 了。
2
决策 方案
概率
猜白
猜黑
自然状态
白
灵敏度分析
第五节 灵敏度分析面对市场变化，灵敏度分析的任务是须解决以下两类问题：（1）当系数A 、b 、c 中的某个发生变化时，目前的最优基是否仍最优（即目前的最优生产方案是否要变化）？（2）为保持目前最优基仍是最优基，参数A 、b 、c 允许变化范围是什么？灵敏度分析的方法是在目前最优基B 下进行的。
即当参数A 、b 、c 中的某一个或几个发生变化时，考察是否影响以下两式的成立？⎢⎢⎣⎡≥-≥--0011N B C N B C b B这些系数的改变可能会出现下表所列的情况，对这些情况也有相应的处理办法。
注：资源系数的变化在实际问题中反映为可用资源数量的变化。
在表中可能出现第一或第三两种情况。
出现第一种情况时，问题的最优基不变，变化后的b列值为最优解。
出现第三种情况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解。
增加一个变量j x 的分析增加一个变量在实际问题中反映为增加一种新的产品。
其分析步骤为：111.2.3.00mj j j j ij i i j j j j j c z c a y B σσσσ*=-'=-=-'='''≤'≥∑j 。
计算P P 。
若，原最优解不变，只需将计算得到的P 和直接写入最终单纯行表中；若，则按单纯行法继续迭代计算找出最优解。
引例1（生产计划的问题）美佳公司在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ的两种家电产品，已知生产单位产品所需的设备台时、调试时间、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时可获的利润如下表所示。
问应如何安排计划使该公司获利最多？其最终单纯行表如下：例2．在美佳公司例子中，设该公司又计划推出新型号的家电Ⅲ，生产一件所需设备A 、B 及调试工序的时间分别为3h 、4h 、2h,该产品的预期盈利为3元/件，试分析该产品是否值得投产；如投产，对该公司的最优生产计划有何变化。
分析参数ij a 变化ij a 的变化使线性规划的约束系数矩阵A 发生变化。
电力系统运行的灵敏度分析及应用
第三章 电力系统运行的灵敏度分析及应用第一节灵敏度分析分析在给定的电力系统运行状态下，某些量发生变化时，会引起其他变量发 生多大变化的问题。
这一问题当然可通过潮流计算来解决，但计算工作量大。
采用灵敏度分析法，计算量小，并可揭示各量之间的关系。
但变化量大时，灵 敏度分析法的精度不能保证。
一、灵敏度分析的根本方法1、常规计算方法电力系统稳态运行的潮流方程一般性描述为：f (x, u )=0/C 八』(3-1)N = V (x, u)x 为状态变量，如节点电压和相角；u 为控制变量，如发电机输出功率或电 压；y 为依从变量，如线路上的功率。
实际上，(3-1)中f (x, u )=0就是节点功率约束方程，y =y( x , u )是支路功率与节点电压的关系式。
设系统稳态运行点为(x °,u 。
)，受到扰动后系统的稳态运行点变为(x 。
+ A x,u 。
+ A u )。
为了求出控制量变化量与状态量变化量之间的关系，在处将(3-1)按泰勒展开并取一次项，得：cf . c f .f (x 。
十 A x, u 。
+ Au ) = f (x 0, u 0)十——A x十——A u = 0 e x cu y 0 + A y =y (x 。
, u 。
)+ 肖皈 + 皆 A uL ex cu将?(x 0,u 0)=°代入，有： y 0 =y(x 0, u 0) 奇A 工滂再 .A x + . A u = 0< excu(x 0,u 0) (3-2)I y = 乂 x M ux u其中△x = —，堂 i e~Au=SxuA u{_(X J cuI y = —x— u =J x ；ui y Sxu— L u = Syuuxu yux ；u yu(3-4)S—苴 :x :u住ySxu+业):x :u (3-5)Syu为u的变化量分别引起x和y变化量的灵敏度矩阵。
如果控制变量为各节点的有功、无功设定量，那么昌=也皿S xu 就是潮流方程的雅可比矩阵的逆。
运筹学课件 第五节 灵敏度分析
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
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不变；否则，将最优单纯形表中的检验数
j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。 Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}
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A
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举例
例5.2:
Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
下面就各种情况分别按节进行讨论。
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A
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5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 j
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ck，
则k’= k+ ck 只要 k’≤ 0 ,即 ck ≤ - k ，则
最优解不变；否则，将最优单纯形表
中的检验数 k 用 k’取代，继续用单
2的利润在什么范围内变化时，美佳公司最优生 产计划不变？
解 设家电2的利润为(1+λ)元，反映到最终的单纯形表中如 下：
cj→
2 1+λ 0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3 15/2 0
0
1
5/4
-15/2
2
x1 7/2 1
0
0
1/4
-1/2
1+λ x2 3/2 0
1
0
-1/4
3/2
cj-zj
0 0 0 -1/4+λ/4 -1/2-3λ/2
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为使表中的解仍为最优，应有
110, 130
44
22
解得 1 1
3
即家电2的利润变化范围应满足
2 3 c2 2
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5.2 资源数量(右端常数br)变化的分析
资 源 数 量 变 化 是 指 资 源 中 某 系 数 br 发 生 变 化 ， 即 b使r′最=终br表+Δ中b原r。问并题假的设解规相划应问地题变的化其为他系数都不变。这样
(2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的 最优解或最优基不变。后一个问题将在第6节参数线性 规划中讨论。
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A
ห้องสมุดไป่ตู้
1
什么是灵敏度分析
灵敏度分析是要在求得最优解以后，解决以下几 方面的问题： 线性规划问题中的各系数在什么范围内变化，不 会影响已获得的最优基。 如果系数的变化超过以上范围，如何在原来最优 解的基础上求得新的最优解 当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束， 如何在原来最优解的基础上获得新的最优解。
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A
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表 3-10
原 问 题 对 偶 问 题结 论 或 继 续 计 算 的 步 骤 可 行 解 可 行 解 表 中 的 解 仍 为 最 优 解 可 行 解 非 可 行 解用 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 可 行 解 用 对 偶 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 非 可 行 解 引 进 人 工 变 量 ， 编 制 新 的 单 纯 形 表 ， 求 最 优 解
0
0
X5
4
0
0
-2
3+ΔC2 X2
2
0
1
1/2
1/2
1
-1/8
0
从表中看σj 到
0
0 -1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
02.07.20σ可20 得j=c到j-(-c31≤×Δa1jc+2c≤5 1×时aA，5j原+(最c2+优Δ解c2不) 变×。a2j)j=3,140
课本例7
例7 在第二章例1中，若家电1的利润不变，则家电
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线性规划问题中某一个或几个系数发生变化
显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后， 原来已得结果一般会发生变化。当然可以用单纯形法从头 计算，以便得到新的最优解。这样做很麻烦，而且也没有 必要。因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数 矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数，经过一定 计算后直接填入最终计算表中，并进行检查和分析，可按 表3-10中的几种情况 进行处理。
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下表为最优单纯形表,考虑
基变量系数c2发生变化
Ci
2
3
CB
XB
B
X1
X2
2
X1
4
1
0
0
X5
4
0
0
3
X2
2
0
1
σj
0
0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5
0
0
X4
X5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
Ci
2 3+ΔC2
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4
CB XB
b
X1 X2 X3 X4 X5
-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
σj
0 0 -9/5 -8/5 -1/5
CI
-2
-3 -4+Δ c3 0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4 X5
-3
X2 2/5 0
1
-1/5 -2/5 1/5
纯形法的表格计算。
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A
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例题
例5.1:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
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例：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4 0 0
第5节 灵敏度分析
以但前实讨际论上线这性些规系划数问往题往时是，估假计定值α和ij预，b测i,值cj。都如是市常场数条。
件一 而改
变变，；cbji值是就根会据变资化源；投α入ij后往的往经是济因效工果艺决条定件的的一改
变 种
决策选择。
因此提出这样两个问题：
(1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 规划问题的最优解会有什么变化；
-2
X1 11/5 1
0
7/5 -1/5 -2/5
σ j
0
0 -9/5+Δ c3 -8/5 -1/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 )
可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
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2、若 cj 是基变量的系数：
设 cj 变化为 cj + cj ，那么
XB′=B-1(b+Δb) 这里Δb=(0,…，Δbr,0,…，0)T。只要XB′≥0，因最 终表中检验数不变，故最优基不变，但最优解的值发生了 变化，所以XB′为新的最优解。新的最优解的值可允许变 化范围用以下方法确定。
注：B-1 是最终计算表中的最优基的逆
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b列的元素变化