第三章 第五节 灵敏度分析

(2)或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的 最优解或最优基不变。后一个问题将在第6节参数线性 规划中讨论。
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A
1
什么是灵敏度分析
灵敏度分析是要在求得最优解以后，解决以下几 方面的问题： 线性规划问题中的各系数在什么范围内变化，不 会影响已获得的最优基。 如果系数的变化超过以上范围，如何在原来最优 解的基础上求得新的最优解 当线性规划问题增加一个新的变量或新的约束， 如何在原来最优解的基础上获得新的最优解。
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2
线性规划问题中某一个或几个系数发生变化
显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后， 原来已得结果一般会发生变化。当然可以用单纯形法从头 计算，以便得到新的最优解。这样做很麻烦，而且也没有 必要。因在单纯形法迭代时，每次运算都和基变量的系数 矩阵B有关，因此可以把发生变化的个别系数，经过一定 计算后直接填入最终计算表中，并进行检查和分析，可按 表3-10中的几种情况 进行处理。
第5节 灵敏度分析
以但前实讨际论上线这性些规系划数问往题往时是，估假计定值α和ij预，b测i,值cj。都如是市常场数条。
件一 而改
变变，；cbji值是就根会据变资化源；投α入ij后往的往经是济因效工果艺决条定件的的一改
变 种
决策选择。
因此提出这样两个问题：
(1)当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性 规划问题的最优解会有什么变化；
纯形法的表格计算。
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5
例题
例5.1:
Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3
S.t.
-x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4
x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥0
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例：最优单纯形表
CI
-2 -3 -4 0 0
0 0 0 -1/4+λ/4 -1/2-3λ/2
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11
为使表中的解仍为最优，应有
110, 130
44
22
解得 1 1
3
即家电2的利润变化范围应满足
2 3 c2 2
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5.2 资源数量(右端常数br)变化的分析
资 源 数 量 变 化 是 指 资 源 中 某 系 数 br 发 生 变 化 ， 即 b使r′最=终br表+Δ中b原r。问并题假的设解规相划应问地题变的化其为他系数都不变。这样
只要对所有非基变量 j’≤ 0 ，则最优解
不变；否则，将最优单纯形表中的检验数
j 用 j’取代，继续单纯形法的表格计算。 Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}
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8
举例
例5.2:
Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
下面就各种情况分别按节进行讨论。
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5.1 目标函数中价值系数cj的变化分析
考虑检验数 j
1. 若ck是非基变量的系数： 设ck变化为 ck + ck，
则k’= k+ ck 只要 k’≤ 0 ,即 ck ≤ - k ，则
最优解不变；否则，将最优单纯形表
中的检验数 k 用 k’取代，继续用单
2的利润在什么范围内变化时，美佳公司最优生 产计划不变？
解 设家电2的利润为(1+λ)元，反映到最终的单纯形表中如 下：
cj→
2 1+λ 0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3 15/2 0
0
1
5/4
-15/2
2
x1 7/2 1
0
0
1/4
-1/2
1+λ x2 3/2 0
1
0
-1/4
3/2
cj-zj
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表 3-10
原 问 题 对 偶 问 题结 论 或 继 续 计 算 的 步 骤 可 行 解 可 行 解 表 中 的 解 仍 为 最 优 解 可 行 解 非 可 行 解用 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 可 行 解 用 对 偶 单 纯 形 法 继 续 迭 代 求 最 优 解 非 可 行 解 非 可 行 解 引 进 人 工 变 量 ， 编 制 新 的 单 纯 形 表 ， 求 最 优 解
0
0
X5
4
0
0
-2
3+ΔC2 X2
2
0
1
1/2
1/2
1
-1/8
0
从表中看σj 到
0
0 -1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
02.07.20σ可20 得j=c到j-(-c31≤×Δa1jc+2c≤5 1×时aA，5j原+(最c2+优Δ解c2不) 变×。a2j)j=3,140
课本例7
例7 在第二章例1中，若家电1的利润不变，则家电
XB′=B-1(b+Δb) 这里Δb=(0,…，Δbr,0,…，0)T。只要XB′≥0，因最 终表中检验数不变，故最优基不变，但最优解的值发生了 变化，所以XB′为新的最优解。新的最优解的值可允许变 化范围用以下方法确定。
注：B-1 是最终计算表中的最优基的逆
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b列的元素变化
CB XB
b
X1 X2 X3 X4 X5
-3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
σj
0 0 -9/5 -8/5 -1/5
CI
-2
-3 -4+Δ c3 0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4 X5
-3
X2 2/5 0
1
-1/5 -2/5 1/5
-2
X1 11/5 1
0
7/5 -1/5 -2/5
σ j
0
0 -9/5+Δ c3 -8/5 -1/5
从表中看到σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 )
可得到Δc3 ≤ 9/5 时，原最优解不变。
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2、若 cj 是基变量的系数：
设 cj 变化为 cj + cj ，那么
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下表为最优单纯形表,考虑
基变量系数c2发生变化
Ci
2
3
CB
XB
B
X1
X2
2
X1
4
1
0
0
X5
4
0
0
3
X2
2
0
1
σj
0
0
0 X3 0 -2 1/2 -1.5
0
0
X4
X5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
Ci
2 3+ΔC2
0
0
0
CB
XB
B
X1
X2
X3
X4
X5
2
X1
4
1
0
0
1/4