图像正交变换
图象变换1正交变换傅立叶变换
2024年10月13日
第三章 图像变换
31
W的定义表达式W=e-j2π／N，由欧拉公式知系数W是以N为周
期的。这样，W阵中很多系数就是相同的， 且由于W的对称性，
即
N
W2
j 2 N
e N 2
ux N
1,W 2
N
W ux W 2
W ux
因此可进一步减少计算工作量。
例如，对于N=4， W阵为
W 0 W 0 W 0 W 0
2024年10月13日
第三章 图像变换
11
一维傅立叶变换的定义
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
F (u) f (x)e j2uxdx
其反变换为：
f (x) F (u)e j2uxdu
式中：j 1 ，x称为时域变量，u为频域变量。
通常傅立叶变换为复数形式F(u)=R(u)+jI(u)
1 N 1
2ux
2ux
f (x)(cos j sin ) (3 1)
N x0
N
N
完成全部DFT运算的计算量与N2成正比。特别是当N较大 时，其运算时间将迅速增长， 以至于无法容忍。
为此，研究离散傅立叶变换的快速算法（Fast Fourier Transform，FFT）非常必要。
2024年10月13日
1
幅度谱： F (u) R2 (u) I 2 (u) 2 相位谱： (u) arctan[I (u) / R(u)]
2024年10月13日
第三章 图像变换
12
变换分析的直观说明
2 1.299
1
h( t)
4
2
0
2
4
1
第三章 图像信号的正交变换.
x(t)
X (k0 )e jk0t
k
1
X (k0 ) T
T / 2 x(t )e jk0t dt
T / 2
• 二、一维傅立叶变换
• 定义：
f (t) F(s)e j2stds
F(s) f (t)e j2stdt
• 来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。 • 存在性:被积函数满足 具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。 一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上
p(t) (x n) n
f (t) p(t) f (t) (t nT ) n
• 时域的相乖相当于频域卷积，因此，时域信号的采样相 当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致 频域的周期化。
• 内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品， 逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函 数作卷积。
f (x, y)e N
N x0 y0
f (x, y)
1
N 1 N 1
j 2 (uxvy )
F (u, v)e N
N u0 v0
• 2、性质：
• 可分离性：
F (u, v)
1 N
N 1 N 1
j 2 uy j 2u x
f (x, y)e N e N
x0 y0
f (x, y)
( f (t) g(t)) F(s) G(s)
3、位移定理
[ f (t a)] e j2asF(s)
• 4、卷积定理
[ f (t) g(t)] F(s)G(s) 1(F (s) G(s) f (t)g(t)
• 通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题， 可变换到另一个域中作处理。
图像的正交变换.
g (3)
x(2)
g(N
)
g(N 1)
g(1) x(N )
• 对于一个线性系统，对于输入信号矢量
与信号输出矢量间的关系矩阵若是正交
的且满足逆矩阵与共轭矩阵的转置相等，
则该处理过程为酉变换，关系矩阵为酉
矩阵。
若一组向量集合
a11
•
for(int fi=0;fi<fftWidth;fi++) {
•
fRData[fi]=0; fIData[fi]=0;
•
}
•
for(DWORD j=0;j<fftWidth;j++){
•
fRData[j]=ptrRData[i+j*fftWidth];
•
fIData[j]=ptrIData[i+j*fftWidth];
一般用“*”表示卷积，写为：y(t) g(t) * x(t)
卷积的离散形式为: y(i) g(i) * x(i) g( j)x(i j)
j
卷积的矩阵形式为: g(1) g(N ) g(2) x(1)
y(i)
g(i) *
x(i)
G
x
g (2)
g (1)
F(u) 1 N1 f (x) exp j2ux / N
N x0
N 1
f (x) F(u) exp j2ux / N u0
其中：x 0,1,2, N 1 0,1,2, N 1
F(u) F(uu) u 0,1,2,, N 1
数字图像处理PPT——第十章 图像的正交变换
x =0 y =0 M −1 N −1 M −1 N −1
图像处理
− j 2π xu M − j 2π yv N
⋅e
yv xu − j 2π ⎡ ⎤ − j 2π M N = ∑ ⎢ ∑ f ( x, y ) ⋅ e ⎥e x =0 ⎣ y =0 ⎦
f ( x, y )e
⇔ F (u − u0 , v − v0 )
xu0 yv0 − j 2π ( + ) M N
f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u , v)e
二维DFT的主要性质
图像处理
旋转性 空间域函数旋转角度 θ 0 ，那么在变换 域此函数的Fourier也旋转同样的角度。 反之，若 F(u,v) 旋转某一角度，则 f (x, y) 在空间域也旋转同样角度。
−
j 2πux N
1 = N
N / 2 −1
∑ f ( x)W
x =0
N −1
ux N
1 2 = [ 2 N
N / 2 −1
∑
x =0
2 2 ux f (2 x)WN + N
∑
x =1
u f (2 x + 1)WN ( 2 x +1) ]
N 1 1 M −1 1 M −1 ux ux u MΔ [ ∑ f (2 x)WM + f (2 x + 1)WM WN ] ∑ 2 2 M x =0 M x =1 k 1 u W2kN = WN / 2 = [ Fe (u ) + WN Fo (u )] 2 0≤u≤M
−∞
j 2πux
du
x为时域变量，u为频率变量，以上公式称 为Fourier变换对。
第11章-图像正交变换
x0
x0
M 1
Fe (u)
f (2 x)WMux u, x 0,1,, M 1
x0
M 1
Fo (u)
f (2 x 1)WMux u, x 0,1,, M 1
x0
7.2.2 快速离散傅立叶变换
于是 F (u) Fe (u) W2uM Fo (u)
将一个N点的离散傅立叶变换分解成
第11章 图像正交变换
问题的提出： 视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域
中讨论时，有其非常方便分析的一面。 图像变换的目的： ❖ 使图像处理问题简化 ❖ 有利于图像特征提取 ❖ 有助于从概念上增强对图像信息的理解
变换问题的引入
• 空间域 灰度
• 频率域 幅值与频率
什么是图像变换
M 1
F (u)
f ( x)W2uMx
f (2 x)W2uM(2 x)
f (2 x 1)W2uM(2 x1)
x0
x0
x0
W 2ux 2M
(e j 2 / 2M )2ux
(e j 2 / M )ux
WMux
定义
M 1
M 1
F (u) f (2x)WMux f (2x 1)WMuxW2uM
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
f (x, y)
F (u, v)e
MN
u0 v0
M 1 N 1
j 2 vy
j 2 ux
{[ F (u, v)e M ]e N }
u0 v0
x 0,1,2,, M 1 y 0,1,2,, N 1
逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换
F(u)可以表示为如下形式：
第3章 图像处理中的正交变换
3. 周期性 傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：
F(u,v)=F(u+N,v)= F(u,v+N)=F(u+N,v+N) (3-24)
周期性表明： 尽管F(u,v）对无穷多个u和v的值重复出现， 但只要根据任意周期内的N个值就可以从F(u,v） 得到f(x,y)。即只需一个周期内的变换就可以将 F(u,v）完全确定。 对于f(x,y)在空间域里也同样成立。
1 M 1N 1 ux vy f ( x, y ) = ∑ F (u, v) exp j 2 M + N ∑ MN u=0 =0 x = 0,1,2,, M 1 y = 0,1,2,, N 1
(3—15)
在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情 况下总是 M N 。因此，二维离散傅里叶变换多采 用下面两式形式。
(3—17) 式中符号 F (u , v) 可称为空间频率。
a) 原始图像
b) 离散傅立叶频谱
图3-5 二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
在图3-5b中可以看到图像的低频能量（反映景物的概貌）都集 中在中心部分，而高频能量（反映景物的细节）集中在四周，这样 就便于以后对图像频谱进行各种处理（如滤波、降噪等）。
4. 共轭对称性
如果
F (u , v)
是
f ( x , y ) 的傅里叶变换， * (u,v) F
是 f ( x , y ) 傅里叶变换的共轭函数， 那么
F (u, v) F * (u,v)
（3－25）
5. 旋转性
如果空间域函数旋转的角度为 0 ，那么在 变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度， 即
3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.可分离性 式（3－16）和（3－17）可以分离成如下形式：
数字图像处理 第三讲 正交变换
正交变换
6、二维卷积定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
7、相关定理
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G * (u, v) f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v) G (u, v)
二维离散傅立叶变换对可表示为：
ux vy f ( x, y) exp j 2 N x 0 y 0 u, v 0,1,2,, N 1 1 F (u, v) N
N 1 N 1
ux vy F (u, v) exp j 2 N u 0 v 0 x, y 0,1,2,, N 1 1 f ( x, y ) N
x 0 y 0
N 1 N 1
ux vy f ( x, y) exp j 2 N exp j 2 mx ny x 0 y 0 当m，n为整数时， j 2 mx ny 为单位值 exp
N 1 N 1
正交变换
8、平均值 二维离散函数的平均值定义为：
1 f ( x, y ) 2 N
f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
将u=0,v=0代入二维离散傅立叶变换式中有：
1 F 0,0 2 N
f ( x, y) f ( x, y)
x 0 y 1
N 1 N 1
u mN x v nN y f ( x, y ) exp j 2 N
F (u mN , v nN ) F (u , v)
实验1图像正交变换
实验1图像正交变换实验⼀图像变换⼀．实验⽬的1.掌握傅⽴叶变换及逆变换的基本原理⽅法。
2.掌握离散余弦变换的基本原理⽅法。
3.掌握沃尔什-哈达玛变换的基本原理及⽅法。
⼆．实验原理及内容：内容：1．对标准图像进⾏离散傅⾥叶变换并在计算机屏幕观测其频谱，验证⼆维傅⾥叶变换的常⽤性质。
2．对标准图像进⾏离散余弦变换并在计算机屏幕观测其频谱，验证⼆维余弦变换的常⽤性质，了解⼆维余弦变换⽤在图像压缩中的原因。
3．对标准图像离散傅⾥叶变换和离散余弦变换的频谱进⾏⽐较。
4．对标准图像进⾏沃尔什-哈达玛变换并在计算机屏幕观测其频谱。
基本要求：1．加深理解DFT、DCT、Walsh变换的原理和基本性质。
2．掌握DFT、DCT变换的算法流程，并能根据流程编程实现。
3．分析变换域内频谱的特征。
三．实验程序与结果（1）对标准图像进⾏离散傅⾥叶变换I=imread('L:/lena.jpg');J=rgb2gray(I); %换成灰度图像subplot(2,2,1);imshow(I);title('原始图像');subplot(2,2,2);imshow(J);title('灰度图像');f=fftshift(fft2(J)); %离散傅⾥叶变换，并将中⼼移到原点subplot(2,2,3);imshow(log(abs(f)),[8,10]) %输出频谱⼆维图像title ('傅⾥叶变换');（2）对标准图像进⾏离散余弦变换i=imread('L:/lena.jpg');h=rgb2gray(i);DCT=dct2(h);DCT(abs(DCT)<10)=0;IDCT=idct2(DCT);subplot(2,2,1);imshow(i);title('原始图像');subplot(2,2,2);imshow(h);title('灰度图');subplot(2,2,3);imshow(DCT);title('DCT 变换图');subplot(2,2,4);imshow(log(abs(DCT)),[]);title('⼆维变换图');（3）对标准图像进⾏沃尔什-哈达玛变换clear;clc;close all;n=512;filename=('L:/lena.jpg');A=double(rgb2gray(imread(filename))); B=zeros(n,n); B(1:size(A,1),1:size(A,2))=A;H(1)=[1];for k=2:log2(n)+1H=[H H;H -H];endW1=1/n/n*H*B*H;figure(2);subplot(1,2,1);imshow(uint8(B));title('原图');subplot(1,2,2);imshow(uint8(1000*W1));title('沃尔什-哈达玛变换结果');四．实验过程及结果分析实验过程：通过编写程序，调⽤各种变换函数来处理已知路径的图像并显⽰图像的原始图、灰度图及各种变换后的频谱图来观察实验的结果。
实验六 图像的正交变换
实验六图像的正交变换姓名张克勤学号6102213942序号20 班级通信134班一、实验目的1.了解图像变换的意义和手段；2.熟悉傅里叶变换的孩本性质；3热练掌握FFT酌方法反应用；4通过实验了解二维频谱的分布特点；5通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅立叶变换。
二、实验原理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。
通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。
对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。
实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。
三、实验程序和结果P=imread(‘C:\Users\ashel\Pictures\poker.jpg’; %读入原图像文件I=rgb2gray(P);figure;subplot(121);imshow(I); %显示原图像fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部A=sqrt(RR.^2+II.^2); %计算频谱幅值A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化Subplot(122); %设定窗口imshow(A); %显示原图像的频谱I=imread('C:\Users\ashel\Pictures\poker.jpg');I1=rgb2gray(I);subplot(121);imshow(I1);title('原图'); %将灰度图像的二维不连续Fourier 变换的零频率成分移到频谱的中心s=fftshift(fft2(I1));[M,N]=size(s); %分别返回s的行数到M中 列数到N中n1=floor(M/2); %对M/2进行取整n2=floor(N/2); %对N/2进行取整%ILPF滤波 d0=5 15 30 程序中以d0=5为例d0=5; %初始化d0for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2); %点 i,j 到傅立叶变换中心的距离if d<=d0 %点 i,j 在通带内的情况h=1; %通带变换函数else %点 i,j 在阻带内的情况h=0; %阻带变换函数ends(i,j)=h*s(i,j); %ILPF滤波后的频域表示endends=ifftshift(s); %对s进行反FFT移动%对s进行二维反离散的Fourier变换后 取复数的实部转化为无符号8位整数s=uint8(real(ifft2(s)));subplot(122); %创建图形图像对象imshow(s); %显示ILPF滤波后的图像title('ILPF滤波 d0=5)');。
-第3章 图像变换
v 0,1,...,N 1 u, v 0,1,...ห้องสมุดไป่ตู้ N 1
x
N-1
(4.2.19) (4.2.20)
x
N-1
u
f ( x, y)
N-1
F ( x, v )
v
N-1 N-1
F (u , v)
v
y
4.3 离散傅里叶变换的若干性质
3．平移性质 傅里叶变换对的平移性可表示为：
f ( x, y)e j 2 (u0 xv0 y ) / N F (u u0 , v v0 )
例：灰度图像及其傅频谱的显示
djhw
例：彩色图像及其傅频谱的显示
djhw
傅里叶变换结果的频率成分的分布
四角周围对应于低频成分，中央部位对应于高频成分。为使直流成分 出现在变换结果数组的中央，可采用对角的换位方法。注意；换位后的 数组再进行反变换时，必须先反换位。
4.3 离散傅里叶变换的若干性质
imshow(log(abs(J)),[8,10])；
4.4 离散傅里叶变换的Matlab实现
例4.3 二维离散傅里叶变换的旋转性。
I=zeros(256,256); ％构造图像并显示 I(28:228,108:148)=1; imshow(I) J=fft2(I); F=abs(J); ％变换后显示 J1=fftshift(F);imshow(J1,[5,50]) K=imrotate(I,45,'bilinear','crop');imshow(K) J=fft2(K); F=abs(J); J2=fftshift(F);imshow(J2,[5,50])
F (u, v) [ R 2 (u, v) I 2 (u, v)]1/ 2
图像信号的正交变换
定义
哈达玛变换是一种离散数学中的正交 变换，它将一个有限维的实数向量空 间映射到其自身，并保持向量的欧几 里得范数不变。
应用
哈达玛变换在图像处理、信号处理、数 据压缩等领域有广泛应用，特别是在图 像压缩编码中，可以有效地去除图像中 的冗余信息，提高图像压缩效率。
凯泽变换
定义
凯泽变换是一种离散数学中的正交变换，它将一个有限维的实数向量空间映射到其自身，并保持向量的欧几里得 范数不变。
小波变换在图像处理中的应用
01
02
03
图像压缩
小波变换可以将图像分解 成不同频率和方向的子图 像，从而去除冗余信息， 实现高效的图像压缩。
图像增强
通过调比度、锐 度等。
图像去噪
小波变换能够检测到图像 中的噪声，并通过滤波器 去除噪声，提高图像质量。
图像信号的正交变换
目
CONTENCT
录
• 正交变换简介 • 傅里叶变换 • 离散余弦变换 • 小波变换 • 其他正交变换方法
01
正交变换简介
正交变换的定义
正交变换是一种线性变换，它将输入信号从一种表示形式转换到 另一种表示形式，同时保持信号的能量不变。
正交变换具有正交性，即变换的逆变换与原变换是相互正交的， 这意味着逆变换可以恢复出原始信号。
对于连续信号，傅里叶变换可以表示为积分形式。
傅里叶变换的基本思想是，任何周期函数都可以由 一组正弦和余弦函数构成，而每个正弦和余弦函数 都有一个频率。
傅里叶变换的性质
线性性
如果 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个信号，且 $a$ 和 $b$ 是常数，那么 $a f(t) + b g(t)$ 的傅里叶变 换等于 $a F(w) + b G(w)$，其中 $F(w)$ 和 $G(w)$ 分别是 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的傅里叶变换。
第3章 图像处理中的正交变换
f
(u,
y) e xp[j2ux
N
]
其中f
(u,
y)
N
1 N
N1F(u,v)e xp[j2vy
v0
N],
y
0,1,2,,
N
1
由分离性可知：一个二维傅里叶变换可以由连续两次运 用一维傅里叶变换来实现。
8．旋转性质
对 f(x 于 ,y )旋0 的 转傅F 里 (u ,v)也 叶旋 变 0 . 转
其傅里叶变换为：（DFT ）
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v)
f ( x, y)e
MN
x0 y0
逆变换为：（IDFT ）
f ( x, y)
1
M 1 N 1
j 2 ( ux vy )
F (u, v )e M N
MN u0 v 0
在图像处理中,一般选择方阵,即取M=N
( t 2 j 2 st )
e
dt
( jS ) 2 S 2 F ( S ) e s 2 e ( t js ) 2 dt
进行变量替换：设 u t jS , du dt
则 F ( S ) e s 2 e u 2 du
由于高斯积分
e u 2 du 1
F (u) R(u) jI(u) 或 F (u) F (u) e j(u) ,
其 中 ，F (u)
R2(u) I 2(u),
(u)
arctg
I (u) R(u)
那 么 ，F (u) 被 称 为f (t )的 （ 傅 里 叶 ） 幅 度 谱 ；
(u)被 称 为 （ 傅 里 叶 ） 相谱 位；
二维图像及其离散傅立叶频谱的显示
第四章 图象处理中的正交变换
图像增强:频域过滤
Butterworth过滤器截止频率的设计
选择2： H(u,v) = 1/2 当 D0 = D(u,v)时
H (u, v)
1 ( 2 1)D(u, v) / D0
1
2n
1 0.414D(u, v) / D0
1
2n
图像增强:频域过滤
图像增强:频域过滤
x(t)
y(t)
当输入信号沿时间轴平移T，有： x(t - T) y(t - T) 则称该线性系统具有平移不变性
卷
卷积 – 卷积的定义
积
– 离散一维卷积 – 二维卷积的定义 – 离散二维卷积
– 卷积的定义 对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一 个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的 分析，将大有帮助 卷积积分就是这样的一般表达式
频域图像（幅度谱）
均值性
–均值性的描述：
离散函数的均值等于该函数傅立 叶变换在(0,0)点的值
M-1N-1
F(0,0) = 1/MNf(x,y)e0
x=0 y=0
周期与共轭对称
– 周期性的描述：离散傅立叶变换DFT和
它的逆变换是以N为周期的 对于一维傅立叶变换有： F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F(u + M,v+N)
为中心的共轭对称函数 对于一维傅立叶变换有： 对于二维傅立叶变换有：
周期与共轭对称 – 共轭对称性的描述：傅立叶变换结果是以原点 F(u) = F*(-u)
F(u,v) = F*(-u ,-v) * 表示对于复数的标准共轭操作
快速傅立叶变换（FFT）及编程实现 离散余弦变换 沃尔什变换 哈尔函数及哈尔变换 斜矩阵与斜变换 小波变换
第3章 图像信号的正交变换1
H(k)=he(k)+ho(k) Σx(i)h(k-i)=x(k)*h(k) x(k)*h(k) ←→ X(n)H(n) x(i)h(k+i)=x(k)☉h(k) x(k)h(k) ←→ 1/N•X(n)*H(n)
|H(n)|2
数字图像处理
傅立叶性质小结：
图像的正交变换
1、傅立叶变换是线性积分变换，在时间（或空间） 域的复数函数和频率域的复数函数间建立起唯一 对应。
2、傅立叶变换保持奇偶性。
3、函数和的傅立叶变换等于它们分别变换再求和 （加法定理）。
4、平移函数的原点将在傅立叶谱中引入一个相位 移（与频率成正比），它改变了谱的实部和虚部 的能量分配，但不改变总能量（位移定理）。
18
数字图像处理
注意观察对应关系
图像的正交变换
19
数字图像处理
(3) 二维DFT的实现
图像的正交变换
0
N-1 y
行变换 0
N-1 v
0
列变换
N-1 v
N-1 f(x,y)
N-1 F(x,v)
N-1 F(u,v)
x
x
u
20
数字图像处理
图像的正交变换
(3) 二维DFT的实现
转置 f(x,y) F列［f(x,y)］=F(u,y) －F(u,y)Ｔ
Gu
1
1 (N 1) 2
j2 ux
g(x)e 2N
2N x 1 (N 1) 2
1 2N x
1
2
j ux
g(x)e N
1 (N 1) 2
1
1 (N 1) 2
j ux
数字图像处理-正交变换
2.2 傅立叶变换
2.2.1 一维傅立叶变换
1. 一维连续函数的傅立叶变换（FT） 定义：若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件：
1）具有有限个间断点；
2）具有有限个极值点； 3）绝对可积， 则把下列变换成立： 傅立叶正变换： F ( u )
f ( x ) exp
j 2 ux dx
数字图像处理
1 基本概念
模拟图像处理
包括光学处理和电子学处理。如照相、电视 图像等的处理； 速度快，但精度不高。 利用计算机或其他硬件对图像进行处理。 精度高，但是速度较慢。
数字图像处理
1.1 数字图像
从物理的角度来看，一幅图像记录的是 物体辐射能量的空间分布。
I f ( x, y, , t )
3. 如何提高FFT的速度？ （1）减少乘法次数；（2）基4、基8算法；（3）实数FFT； （4）硬件实现（DSP芯片，FFT集成块） 因为：
w w w w
0
1 e e e
j 2 N
1
e
j
4
w w w w
4
w w w w
0
1
5
1
2
j
2 3 4
m
n0
2.2.3 离散傅立叶变换
2. 快速傅立叶变换流程图
x(0) x1(0) x1(1) x1(2) x1(3)
-1 -1 -1
基2、时间抽取算法，N=8
x2(0)
x2(1) x2(2) x2(3) x2(4) x2(5) 1
w
-1 -1 -1
数字图像处理 第四章 图像的正交变换
cos sin
F (, ) 2 f (r, )e j 2 rcos( ) rdrd 00
将图像旋转 θ 角度时
F(, 0)
0
2 f (r, )e2 j rcos[( 0 )]rdrd
0
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
原图
原图的频谱
将原图旋转
旋转 θ 后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
- j 2 ( u0 x v0 y )
DFT ( f (x, y) e M N )
f (x, y) e M N e
MN
x0 y0
M 1 N 1
j 2 ( (u u0）x (v v0 ) y )
f (x, y) e
M
N
x0 y0
F (u u0 , v v0 )
当
u0
M 2
, v0
4.1.1 傅里叶变换的定义
原始图像
图像的傅立叶频谱
如果频谱图的亮点在中心区域比较集中，说明图像含有较多的低频分量； 如果频率图的亮点在边缘部分比较集中，则说明图像含有较多的高频分量。
4.1.1 傅里叶变换的定义
图像的幅度谱
图像的相位谱
4.1.1 傅里叶变换的定义
人为加入噪声后的图像
人为加入噪声后图像的频谱
（五）、尺度变换性 给定标量 a，则有下式成立：
af x, y aF u,v
图像尺度上的变化不影响图像的频谱分布。
4.1.2
(a)原始图像
(b)将原始图像放大1.5倍后的图像
(c)原始图像频谱
(d)将原始图像放大1.5倍后图像的频谱
4.1.2 图像傅里叶变换的性质
（六）、离散卷积定理
实验图像的正交变换
实验三图像的正交变换一、实验目的1.了解傅立叶变换、离散余弦变换及其在图像处理中的应用2.了解Matlab线性滤波器的设计方法二、实验步骤1、打开MATLAB软件，设置工作路径，新建M文件。
2、将图片放到当前工作路径下3、写入图像正交变换（包括傅里叶变换、离散余弦变换）程序保存并调试运行。
程序具体要求：（1）傅立叶变换A) 绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
B) 利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。
读入图像‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
( 2 ) 离散余弦变换(DCT)A)使用dct2对图像‘linyichen.jpg’进行DCT变换。
B)将上述DCT变换结果中绝对值小于10的系数舍弃，使用idct2重构图像并与原图像比较。
4、保存实验结果并完善实验报告。
三、实验程序1、傅立叶变换A)绘制一个二值图像矩阵,并将其傅立叶函数可视化。
f=zeros(30,30);f(5:24,13:17)=1;imshow(f,'notruesize')F=fft2(f);F2=log(abs(F));figure,imshow(F2,[-1 5],'notruesize');colormap(jet);F=fft2(f,256,256); %零填充为256×256矩阵figure,imshow(log(abs(F)),[-1 5],'notruesize');colormap(jet);F2=fftshift(F); %将图像频谱中心由矩阵原点移至矩阵中心figure,imshow(log(abs(F2)),[-1 5],'notruesize');colormap(jet);B)利用傅立叶变换分析两幅图像的相关性，定位图像特征。
读入图像‘cameraman.tif’，抽取其中的字母‘a’。
第五章 图象正交变换
f ( x)
傅立叶变换对：F（u）
f（x）
5.1 傅立叶变换
2. 一维离散傅立叶变换（DFT） 傅立叶正变换：
2 F (u ) f ( x) exp j ux N x 0 u 0,1, , N 1
N 1
傅立叶反变换：
1 N 1 2 f ( x) F (u ) exp j N ux N u 0 x 0,1, , N 1
ux n N 1 2
x 0 x为奇数
第 五 章
图象正交变换
什么是图象变换
• 将图象看成是线性叠加系统 • 图象在空域上相关性很强 • 图象变换是将图象从空域变换到其它域 如频域的数学变换 • 常用的变换：傅立叶变换、离散余弦变 换、沃尔什变换、离散K-L变换、小波 变换等
连续函数集合的正交性
• 正交函数集合 U {u 0 (t ), u1 (t ), }
a
k 1
n
ki
a kj
C 0
i j i j
当C=1时，称归一化正交
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
满足：
AT A AAT I
一维正交变换
对于一向量f，用上述正交矩阵进行 运算： g = Af
二维情况下，则有：
F (u, v)
u 0 v 0
N 1 N 1
2
f ( x, y)
x 0 y 0
N 1 N 1
2
酉变换的性质(2)
4. 均值和方差
设f(x,y)的均值和协方差为μf和Σf 则F(u,v)的均值为：
图像正交变换
H(u,v) g(,)exp[ j2(u v)]dd
G(u,v)H(u,v)
傅立叶积分定理
) , (ℱ)],1( )] , ( [
[ ℱ ℱ1
yxf
) , (ℱ)] , (ℱ)] , ( [ 1 1
[
可分离变量性
若 f (x, y) fx(x)f y(y)
相似性定理
若
F{f (x,y)} F(u,v)
则：
Ffax,by 1 Fu v,
ab a b
相似定理说明原面数空域坐标(x,y)“伸展”，其频谱函数在频 率域中是“收缩”，并且高度也有相应变化。而当原函数在空 域坐标中“收缩”时，则其频谱函数在频率城中变宽。
位移定理
2π
3π
5π
7π
绘图如下：
3、指数形式
通过欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联系 起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形式 。
若g(x)的周期为T，在一个周期内只有有限个极值点和
不连续点，并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展开
成傅立叶指数级数：
g(x)
C e
Cne n1
jn x
T Cne
2 jn x T
2
cosn x jsinn x
n1
2
T
T
a0
2
an cos n
n1
2
2
x T
bn
sin
n
T
x
得证。
傅立叶级数
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u 0,1,2,, M 1;
v 0,1,2,, N 1
(2) 二维离散傅立叶逆变换
若已知频率二维序列F(u，v) （u=0,1,2,3, …,M-1；v=0,1,2,3, …,N-1），则二维离散序 列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：
M 1 N 1 ux vy j 2 ( ) M N
傅立叶变换在卷积中的应用 直接进行时域中的卷积运算是很复杂 的。傅立叶变换将时域的卷积变换为 频域的乘积。
f (i, j )
G(S )
f g (i, j )
fg g f
Fg ( , ) G( , ) F ( , )
f g FFT 1 ( Fg )
离散傅立叶变换
离散傅立叶变换的定义
1 f ( x, y ) F (u, v)e MN u 0 v0 x 0,1,2,, M 1
y 0,1,2,, N 1
Δx、Δy和Δu、Δv，分别为空间域采样 间隔和频率域采样间隔 两者之间满足如下关系：
1 x Mu 1 y N v
（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 （2）可以将卷积运算化为乘积运算。 （3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段。 （4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不 同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决 的问题在频域却是显而易见的。
傅立叶变换的定义
若f(x)为一维连续实函数， 则它的傅里叶变换可定义为：
根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅立 叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二维离散 序列f(x，y)，（x=0,1,2,3, …,M-1；y=0,1,2,3, …,N-1）其傅立叶变换为：
F (u, v) f ( x, y)e
x 0 y 0
M 1 N 1
ux vy j 2 ( ) M N
F(u，v)可以表示为如下形式：
F (u, v) R(u, v) jI (u, v)
式中序列 R(u ， v) 和 I(u ， v) 分别表示离散序列 F(u ， v)的实序列和虚序列。 二维序列 f(x ， y) 的频谱（傅立叶幅度谱）、相位 谱和能量谱（功率谱）分别如下：
| F (u, v) | [ R 2 (u, v) I 2 (u, v)]
离散傅立叶正变换:
F (u ) f ( x)e
x 0 N 1 j 2ux N
u 0,1,2,, N 1
离散傅立叶逆变换:
1 f ( x) F (u )e N u 0
N 1 j 2ux N
x 0,1,2,, N 1
二维傅立叶变换
1. 二维连续函数傅立叶变换的定义
1 2
|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，
(u ) 称为F(u)的相角。
E (u ) | F (u ) |
2
E (u ) 称为函数f(x)的能量谱或功率谱。
傅立叶变换在图像滤波中的应用
首先，我们来看Fourier变换后的图像， 中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。 因此，我们可以在Fourier变换图中，选 择所需要的高频或是低频滤波。
二维傅立叶正变换:
F (u, v)
f ( x, y)e
j 2 ( ux vy )
dxdy
二维傅立叶逆变换:
f ( x, y)
F (u, v)e
j 2 ( ux vy )
dudv
2. 二维离散函数傅立叶变换的定义 (1) 二维离散傅立叶正变换
I (u, v) (u, v) arg tan( ) R(u, v)
1 2
E (u, v) | F (u, v) | 2
二维离散傅立叶变换的性质 (1) 线性特性
DFT [k1 f1 ( x, y) k1 f1 ( x, y)] DFT [k1 f1 ( x, y)] DFT [k 2 f 2 ( x, y)]
= k1 F1 (u, v)] k2 F2 (u, v)
(2) 比例性质
1 u v DFT [ f (ax, by)] F ( , ) ab a b ab 0
(3)平移性质
j 2 ( u0 x v0 y ) M N
DFT [ f ( x, y)e
] F (u u0 , v v0 )
要在数字图像处理中应用傅立叶变换， 还需要解决两个问 题：一是在数学中进行傅立叶变换的 f(x) 为连续（模拟）信 号， 而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上 采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常， 将 受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（ Discrete Fourier Transform，DFT)。
F (u ) f ( x)e j 2ux dx
傅立叶逆变换定义如下：
f ( x) F (u )e
j 2ux
du
Байду номын сангаас
函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变换对。 即对于任一函数f(x)，其傅立叶变换F(u) 是惟一的； 反之，对于任一函数F(u)，其傅立叶 逆变换f(x)也是惟一的。
变换问题的引入
• 空间域 灰度 • 频率域 幅值与频率
什么是图像变换
将图像看成是线性叠加系统 图像在空域上相关性很强 图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的 数学变换
常用的变换： 傅立叶变换、沃尔什变换、哈达玛变换、离散余弦 变换、离散K-L变换、小波变换
11.1 傅立叶变换
傅立叶变换的作用
傅里叶变换的条件
傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足 如下狄利克莱条件：
(1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积;
F(u)可以表示为如下形式：
F (u) R(u) jI (u)
2 2
| F (u) | [ R (u) I (u )]
I (u ) (u ) arg tan( ) R(u )
二维傅立叶变换的移位特性表明，当用 u x v y j 2 ( ) 乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离 M N e 散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面 坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。