《简单的轴对称图形》第三课时参考课件
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个角的两边的距离相等。
（×）
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×）
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
√
不必再证全等
角的两边的距离相等。
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.
(2)猜想: 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
D P E A C
B
练一练
1、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB 又 ________________
A
∴PD=PE ( 角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
) C
B
D
P O
E
2、在Rt△ABC中，BD是角平分线， DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？ 为什么？
E
A D B C
3 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、 E,PD=4cm,则 PE=__________cm. 4
E
B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O E D
A
C
P
B
定理的作用： 证明线段相等。
辨一辨
A D O P E C B
如图，OC平分 ∠AOB，PD与PE 相等吗？
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
N C O M E N
A
C
E
O
B
M
用尺规作角的平分线的方法 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
A
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
２．分别以Ｍ，Ｎ为
Ｍ
Ｃ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
将∠AOB对折，再折出一个直 角三角形（使第一条折痕为斜边）， 然后展开，观察两次折叠形成的三 条折痕，你能得出什么结论？
A D C P
B
E
O
思考：
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
D
你会吗？ E
A
B
小结
拓展
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质： 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
A
证明：
在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） D CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） C ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 E 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
B
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作 一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
3 简单的轴对称图形（第3课时）
A
A B C
D
D
B C E
A
C O B
（对折）
Βιβλιοθήκη Baidu
再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
A
结论：
O B
C
角是轴对称图形，对称轴是角平分 线所在的直线.
对这种可以折叠的角可以用折叠方 法的角平分线，对不能折叠的角怎 样得到其角平分线？
有一个简易平分角的仪器（如 图），其中AB=AD,BC=DC,将 A 点放角的顶点， AB 和 AD 沿 AC 画 一 条 射 线 AE,AE 就 是 ∠BAD的平分线，为什么？
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
D A
C
P
E B
角平分线上的 点到角两边的 距离相等。
利用此性质怎样书写推理过程?
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O 的距离相等) 1 2
（×）
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
（×）
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
√
不必再证全等
角的两边的距离相等。
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距 离,这两个距离相等.
(2)猜想: 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
D P E A C
B
练一练
1、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB 又 ________________
A
∴PD=PE ( 角的平分线上的点
到角的两边的距离相等
) C
B
D
P O
E
2、在Rt△ABC中，BD是角平分线， DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？ 为什么？
E
A D B C
3 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、 E,PD=4cm,则 PE=__________cm. 4
E
B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O E D
A
C
P
B
定理的作用： 证明线段相等。
辨一辨
A D O P E C B
如图，OC平分 ∠AOB，PD与PE 相等吗？
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
N C O M E N
A
C
E
O
B
M
用尺规作角的平分线的方法 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ．
A
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
２．分别以Ｍ，Ｎ为
Ｍ
Ｃ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
将∠AOB对折，再折出一个直 角三角形（使第一条折痕为斜边）， 然后展开，观察两次折叠形成的三 条折痕，你能得出什么结论？
A D C P
B
E
O
思考：
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
D
你会吗？ E
A
B
小结
拓展
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质： 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
A
证明：
在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） D CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） C ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 E 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
B
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作 一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
3 简单的轴对称图形（第3课时）
A
A B C
D
D
B C E
A
C O B
（对折）
Βιβλιοθήκη Baidu
再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
A
结论：
O B
C
角是轴对称图形，对称轴是角平分 线所在的直线.
对这种可以折叠的角可以用折叠方 法的角平分线，对不能折叠的角怎 样得到其角平分线？
有一个简易平分角的仪器（如 图），其中AB=AD,BC=DC,将 A 点放角的顶点， AB 和 AD 沿 AC 画 一 条 射 线 AE,AE 就 是 ∠BAD的平分线，为什么？
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP O ∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
D A
C
P
E B
角平分线上的 点到角两边的 距离相等。
利用此性质怎样书写推理过程?
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。
A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边 O 的距离相等) 1 2