高一数学平面向量PPT精品课件
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高一数学《平面向量基本定理》(课件)
A
C
a
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
C
a
A
e1
a
O
C'
e2B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
a
A
e1
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O
C'
e2B
N
平面向量基本定理:
平面向量基本定理:
N
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
高一数学平面向量知识点复习ppt公开课获奖课件
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
第8页
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
第14页
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
第12页
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
第6页
例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
第8页
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
第14页
六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
第12页
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
第6页
例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
高一数学平面向量知识点复习课件.ppt
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
高一数学平面向量复习课件
数乘向量
要点一
总结词
数乘向量是将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向 量。
要点二
详细描述
数乘向量是一种扩展了向量加法的运算。给定向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x, y)$和一个实数$k$， 数乘后的向量$koverset{longrightarrow}{a} = (kx, ky)$ 。当$k > 0$时，数乘后的向量方向与原向量相同；当$k < 0$时，数乘后的向量方向与原向量相反；当$k = 0$时 ，数乘后的向量为零向量。
VS
详细描述
正定性指的是当两个向量的夹角为锐角时 ，它们的数量积大于0；当夹角为直角时 ，数量积等于0；当夹角为钝角时，数量 积小于0。负定性指的是当两个非零向量 的夹角为π弧度时，它们的数量积小于0 。齐次性指的是向量的数量积满足齐次性 ，即对于任意实数λ和μ，有 (λa+μb)·c=λ(a·c)+μ(b·c)。
高一数学平面向量复
习课件
汇报人：
202X-12-30
• 平面向量的基本概念 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积 • 平面向量的应用
目录
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义
总结词
平面向量是二维空间中的有向线段，由起点和终点唯一确定 。
详细描述
平面向量是一种数学对象，表示为起点和终点的有向线段。 它具有方向和长度，通常用箭头表示。在平面直角坐标系中 ，一个向量可以用一个带箭头的线段表示，起点固定在坐标 原点。
向量积的几何意义
方向
向量积的方向垂直于作为运算对 象的两个向量，并遵循右手定则
。
大小
向量积的大小等于作为运算对象的 两个向量的模长与其夹角的正弦值 的乘积。
平面向量的概念课件(共34张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
平面向量的基本定理PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
高一数学新课标平面向量课件
在平面上，如果选取互相垂直 的向量作为基底，将为我们研究问 题带来方便.
探究新知
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数(即它的坐标)表示．那么，如何表示直角坐标平面 内的一个向量呢？
如图，i，j是分别与x轴、y轴方向 相同的单位向量， 取{i，j}作为基底，则有且只有一对 实数x，y，使得
巩固练习
3．若点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)则AB与CD 有什么位置关系？证明你的猜想.
解：AB∥CD. 证明如下：
因为 AB =(1,-1),CD =(1,-1), 所以 AB=CD . 又因为AB与CD不共线，
所以AB∥CD.
课堂小结 向量
向量基本定理
基本定理 正交分解
a a
e1
e2
m n
( 1()1 )
( 2()2 )
a e1 2e2
a 3 n 3m 2
思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量
解比较简单？
进行分
探究新知
正交分解
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．
重力G可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 垂直于斜面的压力F2
a＝xi+yj
探究新知
向量的坐标表示
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把 有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作
a＝（x, y）． ① 其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， ①叫做向量a的坐标表示．
追问：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？ i =(1, 0) j =(0, 1) 0 =(0, 0)Leabharlann 加法坐标表示坐标表示
减法坐标表示
探究新知
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序 实数(即它的坐标)表示．那么，如何表示直角坐标平面 内的一个向量呢？
如图，i，j是分别与x轴、y轴方向 相同的单位向量， 取{i，j}作为基底，则有且只有一对 实数x，y，使得
巩固练习
3．若点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1)则AB与CD 有什么位置关系？证明你的猜想.
解：AB∥CD. 证明如下：
因为 AB =(1,-1),CD =(1,-1), 所以 AB=CD . 又因为AB与CD不共线，
所以AB∥CD.
课堂小结 向量
向量基本定理
基本定理 正交分解
a a
e1
e2
m n
( 1()1 )
( 2()2 )
a e1 2e2
a 3 n 3m 2
思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量
解比较简单？
进行分
探究新知
正交分解
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．
重力G可以分解为两个分力： 平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 垂直于斜面的压力F2
a＝xi+yj
探究新知
向量的坐标表示
平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把 有序数对(x, y)叫做向量a的坐标，记作
a＝（x, y）． ① 其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， ①叫做向量a的坐标表示．
追问：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？ i =(1, 0) j =(0, 1) 0 =(0, 0)Leabharlann 加法坐标表示坐标表示
减法坐标表示
高一数学平面向量精品PPT课件
答案： AD=2 b BE=2 c BF= c－a FC=2 a
思考： a、b、c 有何关系？
A a B
b C
b =a + c
cF
0
E
D
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习3 已知点A（2，－1）、B（－1，3）、C（－2，－5） 求 （1）AB、AC的坐标；（2）AB+AC的坐标； （3） AB－AC的坐标.
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1x22y1y22
知识结构
平面向量复习
抵达民宿时，太阳已落下了帷幕，温馨点点的灯光在落寞的黑夜中显得无比温暖。
热情周到的女主人迎接我的到来，放下随身物品后，我在小镇上随意寻觅了些小食，就来到了后院安静坐下。
头顶上是浩瀚的星空 眼前是闪烁的灯火
心中却是平和幽静的情感
远离了呼啸而过的地铁呼啸声；远离了川流不息的车流声； 等到了一个此时此刻，用我的五官感受到了一个真正美好寂静的夜晚，属于自己的夜晚。
进行变形.
解：（1）原式= AB +（BO + OM + MB）
= AB + 0 = AB （2）原式= AB + BD + DA －（BC + CA）
例1
= 0－BA = AB
平面向量复习
知识结构 知识要点 例题解析 巩固练习 课外作业
高一数学平面向量复习课件
详细描述
向量数量积的几何意义在于它表示了两个向量的长度和它们之间的夹角之间的关系。具体来说，当两个非零向量 的夹角为锐角时，它们的数量积为正；当夹角为直角时，数量积为零；当夹角为钝角时，数量积为负。
向量数量积的运算律
总结词
掌握向量数量积的运算律，包括 交换律、结合律和分配律。
详细描述
向量数量积满足交换律，即 a·b=b·a；结合律，即 (a+b)·c=a·c+b·c；分配律，即 (λa)·b=λ(a·b)，其中λ是标量。
向量积的性质
向量积的性质
1. 向量积的方向与两个向量的夹角和大小有 关，其方向垂直于两个给定向量所确定的平 面；2. 向量积的模长为|a×b|=|a||b|sinθ； 3. 向量积满足结合律但不满足交换律；4. 向量积可以用来表示向量的旋转关系。
性质的应用
在解析几何中，向量积可以用来解决与旋转 、速度和加速度有关的问题；在物理中，向 量积可以用来描述力矩、角速度等物理量。 通过理解这些性质和应用，学生可以更好地
向量积的运算律
向量积的运算律
交换律a×b=-b×a，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c。这些运算律与标量积 的运算律类似，但要注意向量积不满足结合 律。
运算律的理解
交换律表明向量积的方向与夹角有关，而分 配律表明向量积与向量的线性组合是可分配 的。这些运算律对于理解向量积的性质和计 算非常重要。
混合积的性质
非负性
向量a、b、c的混合积为非负数，当且仅当a、b、c三个 向量共面时取值为0。
线性性质
混合积满足线性性质，即对于任意标量m和n，有 $(mvec{a} + nvec{b}) cdot vec{c} = mvec{a} cdot vec{c} + nvec{b} cdot vec{c}$。
向量数量积的几何意义在于它表示了两个向量的长度和它们之间的夹角之间的关系。具体来说，当两个非零向量 的夹角为锐角时，它们的数量积为正；当夹角为直角时，数量积为零；当夹角为钝角时，数量积为负。
向量数量积的运算律
总结词
掌握向量数量积的运算律，包括 交换律、结合律和分配律。
详细描述
向量数量积满足交换律，即 a·b=b·a；结合律，即 (a+b)·c=a·c+b·c；分配律，即 (λa)·b=λ(a·b)，其中λ是标量。
向量积的性质
向量积的性质
1. 向量积的方向与两个向量的夹角和大小有 关，其方向垂直于两个给定向量所确定的平 面；2. 向量积的模长为|a×b|=|a||b|sinθ； 3. 向量积满足结合律但不满足交换律；4. 向量积可以用来表示向量的旋转关系。
性质的应用
在解析几何中，向量积可以用来解决与旋转 、速度和加速度有关的问题；在物理中，向 量积可以用来描述力矩、角速度等物理量。 通过理解这些性质和应用，学生可以更好地
向量积的运算律
向量积的运算律
交换律a×b=-b×a，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c。这些运算律与标量积 的运算律类似，但要注意向量积不满足结合 律。
运算律的理解
交换律表明向量积的方向与夹角有关，而分 配律表明向量积与向量的线性组合是可分配 的。这些运算律对于理解向量积的性质和计 算非常重要。
混合积的性质
非负性
向量a、b、c的混合积为非负数，当且仅当a、b、c三个 向量共面时取值为0。
线性性质
混合积满足线性性质，即对于任意标量m和n，有 $(mvec{a} + nvec{b}) cdot vec{c} = mvec{a} cdot vec{c} + nvec{b} cdot vec{c}$。
高一数学平面向量ppt课件
最后它们的判断方向.
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
a∥b
x1y2－x2y1=0
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
平面向量的基本定理 动画演示(几何画板)
设 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该
平面内的任何一个向量 a ，有且只有一对实数λ1、λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2
不共线的向量 e1和 e2 叫做表示这一平面 内所有 向量 的一组基底
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习1
已知向量a=（5，m）的长度是13，求m. 答案： m = ± 12
知识结构
平面向量复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
1.向量的加法运算 三角形法则
AB+BC= AC
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
高一数学必修课件第二章平面向量
共线向量与共面向量
共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做共线 向量。任意两个共线向量都可以表示 为$lambdavec{a}$（$lambda in R$）的形式，其中$vec{a}$为非零 向量。
共面向量
平行于同一平面的两个或多个向量叫 做共面向量。在平面直角坐标系中， 任意两个向量都可以看作是共面向量 。
05 平面向量在解析 几何中的应用
直线的倾斜角和斜率关系
倾斜角定义
直线与x轴正方向之间的夹角，取 值范围为[0,π)。
斜率定义
直线上任意两点的纵坐标差与横坐 标差之商，即k=(y2-y1)/(x2-x1) 。
倾斜角与斜率关系
当倾斜角不为90°时，斜率k=tanα （α为倾斜角）；当倾斜角为90°时 ，斜率不存在。
向量的共线与垂直
两个向量共线的充要条件是它们的坐 标成比例。两个向量垂直的充要条件 是它们的数量积为零。
向量的线性运算
包括向量的加法、减法和数乘。向量 的加法满足交换律和结合律，向量的 减法可以转化为加法进行运算。数乘 向量满足分配律和结合律。
平面向量的基本定理
平面内任意两个不平行的向量都可以 作为基底，平面内的任意一个向量都 可以由这两个基底唯一线性表示。
向量定义
向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，有向 线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。
向量表示方法
向量可以用小写字母$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$等表示 ，也可以用表示它的有向线段的起点和终点字母表示，如 $vec{AB}$。
零向量、单位向量与相等向量
两条直线平行或垂直条件
平行条件
两条直线的斜率相等，即k1=k2 。
高中数学平面向量完整_ppt课件
a ,b ,c 为 共 线 向 量
b
c
bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量的
19.04.2021
概念中应注精意选零PPT向课件量的特殊性
12
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
19.04.2021
精选PPT课件
BACK
20
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
19.04.2021
精选PPT课件
BACK 21
练习： 在质量、重力、速度、加速度、身 高、面积、体积这些量中，哪些是 数量？哪些是向量？
5
一、向量的定义 既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
19.04.2021
精选PPT课件
11
12
精选PPT课件
17
练习：
1、单位向量是否一定相等？
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
19.04.2021
精选PPT课件
BACK
18
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
b
c
bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量的
19.04.2021
概念中应注精意选零PPT向课件量的特殊性
12
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
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精选PPT课件
BACK
20
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
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精选PPT课件
BACK 21
练习： 在质量、重力、速度、加速度、身 高、面积、体积这些量中，哪些是 数量？哪些是向量？
5
一、向量的定义 既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
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精选PPT课件
11
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精选PPT课件
17
练习：
1、单位向量是否一定相等？
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
一定
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精选PPT课件
BACK
18
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
6.1平面向量的概念课件共45张PPT
即时训练1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
(2)单位向量都相等;
解:(2)不正确,单位向量的模均相等且为1,但方向并不确定.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(3)四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当=;
(4)一个向量方向不确定当且仅当模为 0;
有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
即时训练 1-1:判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
→
→
(1)向量与是共线向量,则 A,B,C,D 四点必在同一直线上;
解:(1)不正确,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不
→
→
要求两个向量,在同一直线上.
(3)两个特殊向量:
①零向量与非零向量:
长度为0的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写
→
时,可写为.长度不为 0 的向量称为非零向量.
②单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
2.向量间的关系
(1)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,向量
图所示的向量中,
→
→
(1)分别找出与, 相等的向量;
→
→
→
→
解:(1)=,=.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
图所示的向量中,
→
(2)找出与共线的向量;
→
→
→
→
解:(2)与共线的向量有,,.
[例 2] O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在如
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
高一数学最新课件-平面向量dayi 精品
（3）a∥b(a≠0) 存在唯一
λ(λ∈R)使λa=b
例2 设a，b是两个不共线向量。
AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b
A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b
2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1 k=-λ k=-1
7 3
C.
-
7 3
D.
-
3 7
10、在△ABC中，三内角A,B,C对应
的三边分别为a,b,c,已知c=3,∠C=60。
,a+b=5，则cos
A B 的值是（）
2
A.
5 12
B.
5 6
C.
3 4
D.
2 3
11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c), 则∠A=（）
A.30。 B.60。 C.120。 D.150。
（3）①若a=(x1,y1) b=(x2,y2)， 则a±b=(x1±x2,y1±y2)
② A(x1,y1) B(x2,y2)
AB=(x2-x1,y2-y1) ③若a=(x,y)则λa=(λx,λy)
④ a=(x1,y1) b=(x2,y2)(b≠0)
a∥b x1y2-x2y1=0
例5 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a 解：设a=(x,y)
△=0 2h-k-5=0
1-k=(3-h)2 ∴h=2 k=0 a=(2,0)
例13 把y=2x 图象 c按a=(-1,2)平移
得c′则c′解析式___
x′=x-1 y′=y+2
∴
λ(λ∈R)使λa=b
例2 设a，b是两个不共线向量。
AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b
A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b
2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ ∴λ=-1 k=-λ k=-1
7 3
C.
-
7 3
D.
-
3 7
10、在△ABC中，三内角A,B,C对应
的三边分别为a,b,c,已知c=3,∠C=60。
,a+b=5，则cos
A B 的值是（）
2
A.
5 12
B.
5 6
C.
3 4
D.
2 3
11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c), 则∠A=（）
A.30。 B.60。 C.120。 D.150。
（3）①若a=(x1,y1) b=(x2,y2)， 则a±b=(x1±x2,y1±y2)
② A(x1,y1) B(x2,y2)
AB=(x2-x1,y2-y1) ③若a=(x,y)则λa=(λx,λy)
④ a=(x1,y1) b=(x2,y2)(b≠0)
a∥b x1y2-x2y1=0
例5 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a 解：设a=(x,y)
△=0 2h-k-5=0
1-k=(3-h)2 ∴h=2 k=0 a=(2,0)
例13 把y=2x 图象 c按a=(-1,2)平移
得c′则c′解析式___
x′=x-1 y′=y+2
∴
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5.1
如图中的小船，由A地向 西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这 里，如果仅指出“由A地 航行15n mile”，而不 指明“向西北方向”航 行，那么小船就不一定 到达B地了。
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本 章所要研究的向量。
有向线段：在线段的两个端
点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点，就说 线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
7
a
b
C
O BA
c
例 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图 中与向量 OA,OB相,OC 等的向量.
解：
B
A
O A C B D O ;
O D F O .
D
F E
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
有关向量的概念：
➢ 向量长度：向量的大小，亦称模.
➢ 零向量：长度为零的向量. ➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ➢ 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量. 共线向量：即平面向量. 如图，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任 取一点O，则可在l上分别作出 O A a ,O B b ,O C c 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
B（终点） A（起点）
表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
三要素：起点—起点一定在终点前面 方向—在有向线段的终点处画上箭头表 示方向
长度—已知AB，线段AB的长度,记作| AB |
定义：既有大小又有方向的量.
向量表示法： •有向线段法——-有向线段的方向表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向. •其他表示法——-用字母a,b,c等表示，或用表 示向量的有向线段的起点和终点字母表示.
如图中的小船，由A地向 西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这 里，如果仅指出“由A地 航行15n mile”，而不 指明“向西北方向”航 行，那么小船就不一定 到达B地了。
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本 章所要研究的向量。
有向线段：在线段的两个端
点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点，就说 线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
7
a
b
C
O BA
c
例 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图 中与向量 OA,OB相,OC 等的向量.
解：
B
A
O A C B D O ;
O D F O .
D
F E
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
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有关向量的概念：
➢ 向量长度：向量的大小，亦称模.
➢ 零向量：长度为零的向量. ➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ➢ 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量. 共线向量：即平面向量. 如图，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任 取一点O，则可在l上分别作出 O A a ,O B b ,O C c 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
B（终点） A（起点）
表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
三要素：起点—起点一定在终点前面 方向—在有向线段的终点处画上箭头表 示方向
长度—已知AB，线段AB的长度,记作| AB |
定义：既有大小又有方向的量.
向量表示法： •有向线段法——-有向线段的方向表示向量的大 小，箭头所指的方向表示向量的方向. •其他表示法——-用字母a,b,c等表示，或用表 示向量的有向线段的起点和终点字母表示.