201X春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切习题课件(新版)北师大版

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九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案北师大版

九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案北师大版§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第1课时）教学目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计一、复习已学过的直角三角形性质和定理（勾股定理和其逆定理，300定理，斜边中线定理等等）二、新课讲授1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ABC 8mα5m 5mβ13m3、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论?4、正切函数（1）明确各边的名称（2）的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

（4） tanA 的值越大，梯子越陡 5、巩固练习如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2）若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；3）若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；三、讲解例题例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。

这是上述结论的直接应用。

ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC例2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6，43tanB ，求BC 、AB 的长。

初中数学教材知识梳理-九年级下册

初中数学教材知识梳理·系统复习北师大版本初中数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA3313知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；第二章二次函数实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.第三章圆第1讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论O4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第2讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第3讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：lrrlππ=•=221S圆锥侧2S rlrππ+=全在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。

北师版九年级数学下册作业课件第一章直角三角形的边角关系锐角三角函数第1课时正切

5．(8 分)(教材 P4 习题 1.1T2 变式)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 tan A
＝5 12
，AB＝26，求 AC 和 BC 的长．
解：∵tan A＝BC ＝ 5 ，∴可设 AC＝12x，BC＝5x，∴AB＝ AC2＋BC2 ＝ AC 12
（12x）2＋（5x）2 ＝13x＝26，∴x＝2，∴AC＝12x＝24，BC＝5x＝10
＋∠ADB ＝90°，∴∠DCE＝∠BAD，∴DCEE ＝tan ∠DCE ＝tan ∠BAD＝13 .设 DE
＝x m，则 CE＝3x m．在 Rt△CDE 中，∵CD2＝CE2＋DE2，∴3.22＝x2＋(3x)2，解
得 x≈1.012，∴CE＝3x≈3.036(m)＞2.8(m)，∴货车能顺利进入地下停车场
(2)∵AD＝ AE2＋DE2 ＝ 62＋82 ＝10，∴AC＝AD＋CD＝10＋8＝18.又∵在
Rt△ABC中，tan A＝BACC ＝43 ，∴BC＝43 AC＝43 ×18＝24，∴tan ∠DBC＝DBCC ＝
8 24
＝13
【素养提升】 16．(14 分)某公园要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的坡度为 1∶3，一楼到地下停车场地面的垂直高度 CD＝3.2 m，一楼到地平线的距离 BC＝1 m. (1)为保证斜坡的坡度为 1∶3，斜面 AD 的长度应为多少米？(结果精确到 0.01 m，参考数据： 10 ≈3.16) (2)若给该地下停车场送货的货车的高度为 2.8 m，则按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．
7．(8 分)如图，两架长度分别为 17 m，15 m 的梯子 AB，CD 靠墙摆放，且 BE ＝8 m，DF＝12 m，则哪一架梯子比较陡？请说明理由．

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1_1锐角三角函数教案新版北师大版

《锐角三角函数》锐角三角函数是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第一章第一节内容，本章主要研究直角三角形的边角关系；本节要求经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。

；所以本节的重点是理解tanA的数学含义和公式。

【知识与能力目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。

【过程与方法目标】1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。

2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。

3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

【情感态度价值观目标】1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。

2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。

【教学重点】理解tanA的数学含义和公式。

【教学难点】现实情境中理解tanA的数学含义，以及公式的应用。

课前准备教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；教学过程第一课时创设情境引入课题[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题在活动1中教师应重点关注:(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。

(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。

通过熟悉的物体（梯子），不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备。

梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。

定义在在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边从而引出正切的定义利用这个梯子模型引入，可以帮助学生直观理解正切的概念。

北师大版初三数学9年级下册第1章 1.1.1 锐角三角函数(第1课时) 课件(共24张PPT)

课堂练习
1.一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
2.以下对坡度的描述正确的是(
)
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
例题讲解例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
解：甲梯中，tan
4 8
1 2
.
乙梯中， tan
因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.
5
5
.
132 52 12
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
探究新知知识点一正切
梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
┌ A ∠A的邻边b C
谢谢聆听
其实就是坡角的正切．
例题讲解例4 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2米，则斜坡AB的长是( )

北师大版初中九年级数学下册第一章集体备课教案教学设计含教学反思

第一章直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时正切【知识与技能】让学生理解并掌握正切的含义，并能够举例说明；会在直角三角形中说出某个锐角的正切值；了解锐角的正切值随锐角的增大而增大.【过程与方法】让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维的习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】能激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索、合作交流，培养学生的创新意识.【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比.一、情景导入，初步认知你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望。

.二、思考探究，获取新知（1）Rt△AB1C1和 Rt△AB2C2有什么关系？（2）111B CAC有什么关系（3）如果改变B2的位置（如B3C3）呢？(4)由此你得出什么结论？【教学说明】通过相似沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨，符合学生的认知规律此时学生的思维豁然开朗，同时培养了学生思维的深刻性.此环节的设计正是数学思维的开阔性，多角度、多方位性的展现师生的共同努力，淋漓尽致地演绎了数学体现在思维艺术上的美，从而解决了本节课的第一个难点.【归纳结论】在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定.这个比叫做∠A 的正切.记作：tanA =A A ∠的对边∠的邻边当锐角A 变化时，tanA 也随之变化。

(5)梯子的倾斜度与tanA 有关系吗？【教学说明】借助几何画板，从运动的角度来实施动态化、形象化、直观化教学.【归纳结论】在这些直角三角形中，当锐角A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与∠A 的邻边的比值总是唯一确定的.所以，倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度.三、运用新知，深化理解1. 见教材P 3上第1题.2. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C= 90。

北师大版九年级数学下册第一章：直角三角形的边角关系第1课时正切(教案)

北师大版九年级数学下册第一章：直角三角形的边角关系第1课时正切（教案）
一、教学内容
北师大版九年级数学下册第一章：直角三角形的边角关系，第1课时正切。本节课将涵盖以下内容：
1.探究直角三角形中，锐角三角函数正切的定义；
2.学习正切函数的表示方法和性质；
3.应用正切函数解决实际问题，如测量角度等；
4.通过实际操作和练习，加深对正切概念的理解，提高解决问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正切的基本概念。正切是直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比值。它是描述直角三角形边角关系的重要函数，广泛应用于测量、建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量旗杆高度，展示正切在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
c.结合实际情境，如测量旗杆高度等，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导学生运用正切函数求解。
2.教学难点
-正切函数的理解及其在实际问题中的应用；
-在不同情境下，如何正确选择正切函数解决问题；
-与其他锐角三角函数（正弦、余弦）的区别和联系。
举例解释：
a.正切函数的理解难点在于其定义在直角三角形中较为抽象，需要通过具体的图形和实例，帮助学生建立直观认识；
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了直角三角形的边角关系，特别是正切的概念和应用。整体来看，学生们对正切的定义和性质掌握得还不错，但在实际应用方面，感觉还有一些困难。我想从以下几个方面进行反思：
首先，关于正切的定义，我觉得通过引入生活中的实例来讲解，学生们的理解更加直观。但在教学过程中，我注意到有些学生对直角三角形中“对边”和“邻边”的概念还不是很清楚，导致他们在计算正切值时出现错误。针对这个问题，我考虑在下一节课开始时，再次强调这两个概念，并设计一些简单的练习题，帮助学生巩固。

北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1梯子的倾斜程度与正切教学设计

-终结性评价：通过课后作业、单元测试等形式，评估学生对正切函数知识的掌握程度。
4.教学拓展：
-引导学生探索其他三角函数的定义和性质，为后续学习打下基础。
-结合实际生活，让学生寻找身边的直角三角形，运用所学知识解决实际问题。
-开展数学实践活动，如制作教具、编写小论文等，提高学生的数学素养。
四、教学内容与过程
4.能够通过绘制直角三角形图形，观察和分析边角关系，形成直观的几何认识。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下过程与方法达到学习目标：
1.探究活动：通过小组合作，让学生通过实际操作，如使用直尺和量角器，绘制不同倾斜程度的梯子，观察直角三角形的边角变化。
2.数学建模：引导学生从实际问题中抽象出数学模型，建立正切函数的概念，并应用于具体问题的解决中。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1.1梯子的倾斜程度与正切教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解直角三角形中，角的度量与边的关系，特别是锐角三角函数正切的定义及性质。
2.学会使用计算器或手工计算直角三角形中，给定一边长度和角度时，求解另一边长度的方法。
3.能够运用正切函数解决实际生活中与角度和边长有关的问题，如梯子的倾斜程度问题。
2.增强学生合作学习的意识，通过小组讨论和探究，培养学生团队协作解决问题的能力。
3.让学生认识到数学知识在解决生活问题中的重要性，体会数学与实际生活的紧密联系，增强学生学以致用的意识。
4.引导学生理解数学的简洁美和逻辑美，提高学生对数学学科价值的认识，培养学生的数学素养。
在教学实施中，教师应注重学生个体的差异，鼓励学生积极参与，充分调动学生的学习积极性，确保每个学生都能在原有基础上得到提高。通过多样化的教学活动，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面得到全面发展。

九年级数学下册1锐角三角函数第1课时正切教案新版北师大版

正切教学目标【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用tanA表示直角三角形中两边的比.2.理解坡度的概念,并能够计算坡面的坡度.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,体会数学在解决实际问题中的应用.【情感、态度与价值观】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.重点难点【重点】锐角三角函数的概念,坡比的概念.【难点】锐角三角函数概念的理解.教学过程一、创设情境,导入新知师:高架桥的起始一段有倾斜的部分,这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢?学生思考.二、共同探究,获取新知1.正切的概念.教师多媒体课件出示:在下图中,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡?你是怎样判断的?生:A1B1更陡.师:你是怎样判断的呢?生甲:这两个中同样是100的一段,对应的高度A1B1上升得多.生乙:(2)倾斜得厉害.教师多媒体课件出示:师:这个图里,你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗?学生观察后回答:A1B1更陡.师:为什么?生:……教师多媒体课件出示:如图,在锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线,垂足为C,得到Rt△ABC;再任取一点B1,自点B1向另一边作垂线,垂足为C1,得到另一个Rt△AB1C1……这样,我们可以得到无数个直角三角形,这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中,锐角A的对边与邻边之比、、……究竟有怎样的关系?教师读题后学生思考.生:锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的.师:对,在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与邻边的比值总是一个定值.教师边操作边讲解:在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA===.2.坡度、坡角的概念.教师边作图边讲解:正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=,坡度通常写成h∶l的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角),记作α,于是有i==tanα.你能得到坡度与坡角之间的关系吗?生:能.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.师:很好!三、举例应用,巩固新知教师多媒体课件出示:【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.tanA===.师:你能计算出∠A和∠B的正切吗?学生思考后回答:能.师:怎样计算?教师找一生回答.生:tanA==,tanB==师:你回答得很好!现在请同学们看课本第114页练习的第3题.学生读题后,教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:AC===≈199.64,∴引桥的坡度为:tan∠BAC===≈0.06.四、练习新知1.师:下面让我们一起来看几道习题.教师板书习题:(1)为测量如图所示的上山坡道的倾斜度,小明测得数据如图所示,则该坡道倾斜角α的正切值是( )A. B.4 C. D.【答案】C(2)晓敏由地面沿坡度i=1∶2的坡面向上前进了10 m,此时她距离地面的高度为( )A.5 mB.4 mC.2 mD. m【答案】C(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则tanA的值为 .【答案】(4)在△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,则AC的长是 .【答案】9五、课堂小结师:本节课你又学习了什么内容?学生回答.师 :你还有什么疑问?学生提问,教师解答.教学反思本节课采用问题引入法,从教材探究性问题梯子的倾斜度入手,让学生主动参与学习活动.用特殊值探究锐角的三角函数时,学生们表现得非常积极,从作图、找边角、计算各个方面进行探究,学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出,然后探究:三角函数与直角三角形的边、角有什么关系?三角函数与三角形的形状有关系吗?整节课都在紧张而愉快的气氛中进行.学生非常活跃,大部分人都能积极动脑、积极参与.教学中,我一直比较关注学生的情感态度,对那此积极动脑、热情参与的同学都给予了鼓励和表扬,促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态,从而保证教学活动的有效性.。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 1.1.1 正切

图K－1－6
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第1课时(kèshí) 正切
8．直角三角形纸片 ABC 的两直角边长分别为 6，8，现将△ABC 按
图 K－1－7 中所示方式折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则
tan∠CBE 的值是 ( C )
A.274
B.
7 3
C.274
D.13
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第1课时(kèshí) 正切
(2)过点 B 作 BE⊥AD，垂足为 E. 根据题意可得 EF＝BC＝2 米，BE＝CF＝1.5 米， ∵每级台阶的宽为 0.4 米， ∴DF＝0.4×9＝3.6(米)．在 Rt△ABE 中，∠AEB＝90°.
BE 1 ∵AB 的坡度是 1∶20，∴AE＝20. ∵BE＝1.5 米，∴AE＝30 米， ∴AD＝AE＋EF＋DF＝30＋2＋3.6＝35.6(米)． 20答21/：12斜/11坡底部点 A 与台阶底部点 D 的水平距离 AD 为 35.6 米．
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第1课时(kèshí) 正切
7．2017·湘潭期末如图 K－1－6，已知山坡 AB 的坡度为 1∶2，
坡高 BC＝1，则坡长 AB 为( B )
A. 3
B. 5
C．2
D．4
[解析] B ∵山坡 AB 的坡度为 i＝1∶2，坡高 BC＝1， ∴BACC＝21，∴AC＝2.根据勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2 ＝ 22＋12＝ 5.故选 B.
18 cm，宽为30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点
为A，斜坡的起始点为C.现设计(shèjì)斜坡BC的坡度为1∶5，则AC的长度是