数学--浙江省温州市2022-2023学年高三上学期11月第一次适应性考试(一模)

温州市普通高中2023届高三第一次适应性考试
数学试题卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则
（）
A. B. C. D.
2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虛部是（）
A. B. C. D. 2
3. 浙江大学2022年部分专业普通类平行志愿（浙江）录取分数线如下表所示，则这组数据的第85百分位数是（）
专业名称分数线专业名称分数线人文科学试验班663 工科试验班（材料）656
新闻传播学类664 工科试验班（信息）674 外国语言文学类665 工科试验班（海洋）651 社会科学试验班668 海洋科学653
理科试验班类671 应用生物科学（农学）652
工科试验班664 应用生物科学（生工食品）656
A. 652
B. 668
C. 671
D. 674
4. 若，则（）
A. 5
B.
C. 3
D.
5. 一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分的数学期望等于（）
A. 3.8分
B. 4分
C. 4.2分
D. 4.4分
6. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：）
A3h B. 4h C. 5h D. 6h
7. 已知P为直线上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，则原点到直线距离的最大值为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
8. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据
，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据
，新数据的平均数为，标准差为，则（）
A. B.
C. D.
10. 已知向量，，，其中，则下列命题正确的是（）
A. 在上的投影向量为
B. 的最小值是
C. 若，则
D. 若，则
11. 已知实数a,b满足:且,则（）
A. B.
C. D.
12. 若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）
A B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于__________（写出一个值即可）．
14. 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为______．
15. 已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为__________．
16. 定义在R上的函数满足，，若
，则__________，__________．
四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合
元素个数为．
（1）求，的值；
（2）求最小自然数n的值，使得．
18. 记锐角的内角的对边分别为，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的最大值．
19. 如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面的内接正三角形，
．
（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
20. 2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在
2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势．电动汽车生产过程主要包括动力总成系统和整车制造及总装．某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统．
（1）动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不影响．已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为，，．
（ⅰ）求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；
（ⅱ）动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估，此检测程序需先经过智能自动化检测，然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为95%，求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率．
（2）随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平．现针对汽车续航能力的满意度进行用户回访．统计了100名用户的数据，如下表：
对续航能能力否满意
产品批次
合计技术革新之前技术革新之后
满意28 57 85
不满意12 3 15
合计40 60 100 试问是否有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联？
参考公式：，
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706
3.841 6.635 7.879
10
828
21. 已知双曲线的左右焦点分别为，，P是直线上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，斜率为的直线与双曲线交于C，D两点．
（1）求的值；
（2）若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点P，满足，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
22. 已知，函数的最小值为2，其中，．（1）求实数a的值；
（2），有，求的最大值．
答案及解析
1. 【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合的补集，再求出即可.
【详解】因，
所以，
因为，
所以，
故选：B
2. 【答案】D
【解析】
【分析】根据复数运算法则求得z即可求得虚部.
【详解】由已知，故，
故z的虛部是2.
故答案为：D
3. 【答案】C
【解析】
【分析】先对这12个数排列，然后利用百分位数的定义求解即可.
【详解】这12个数从小到大依次为651，652，653，656，656，663，664，664，665，668，671，674，
因为，
所以这组数据的第85百分位数是第11个数671，
故选：C.
4. 【答案】B
【解析】
【分析】由二项式定理展开左边的多项式后可得．
【详解】，则．
故选：B.
5. 【答案】C
【解析】
【分析】确定的取值，求出概率，由期望公式计算期望．
【详解】由题意的取值是3，4，5，
，，，
，
故选：C．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可
【详解】由题意可知，
所以，
又因为，
所以，
所以
，
比较接近3，
故选：A
7. 【答案】B
【解析】
【分析】设，然后表示出两条切线方程，从而可表示出直线的方程，再利用点到直线的距离公式表示出原点到直线距离，从而可求出其最大值.
【详解】设，切点为，
由，得，则，
所以在点处的切线方程为，即，
因为，所以
在点处的切线方程为，即，
因为，所以
因为两切线都过点，
所以，，
所以直线的方程为，即，
所以原点到直线距离为
，当且仅当时取等号，
所以原点到直线距离的最大值为，
故选：B
8. 【答案】D
【解析】
【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值．
【详解】设，在等腰中，，设的外心是，外接圆半径是，则，∴，
设外接球球心是，则平面，平面，则，同理，，
又平面，所以，是直角梯形，
设，外接球半径为，即，
则，所以，
在直角中，，，
，，∴，
，
令，则，
，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值是．
故选：D.
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．
9. 【答案】BC
【解析】
【分析】由平均数与标准差的定义求解判断．
【详解】由题意，
，
同理
两式相加得，
，
所以，．
故选：BC．
10. 【答案】ABD
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求得在上的投影向量判断A，求出向量的模，由函数性质得最小值判断B，计算，根据其正负确定的范围，然后判断的正负，从而判断CD．
【详解】，
在上的投影向量为，A正确；
，
，
所以时，取得最小值，B正确；
，，无法判断的符号，C错误；
，，则，D正确．
故选：ABD．
11. 【答案】ACD
【解析】
【分析】构造,求导判断单调性来确定A,D选项的正误,
将特殊值代入确定选项B的正误,根据分析确定取值范围,确定选项C的正误即可. 【详解】解:由题知,
当且仅当时取等,
故有:
关于选项A,构造
,
所以在上单调递增,
,
即,
故选项A正确;
关于选项B,
不妨取代入,
可得不成立,
故选项B错误;
关于选项C,
,
,
故选项C正确;
关于选项D,
构造,
令,
在单调递减,
当时，,
,
即
即单调递减,
,
即,
,
,
,
故选项D正确.
故选:ACD
12. 【答案】ABC
【解析】
【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，百选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．
【详解】A，，
，时，，取得最大值，
直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；B，，，时，，，，此时是函数的最大值，
直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；C，，，
时，，，
过点的切线方程是，即，因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；
D，，，令，
则，所以即是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．
故选：ABC．
【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的．
13. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】先求出与x轴的所有交点，再结合题意得到恒成立，整理得，分类讨论，与三种情况，结合恒成立可得到，从而得解.
【详解】因为，
令，即，得，即，则图象与x轴的所有交点为，
因为其中点离原点最近，所以恒成立，
不等式两边平方整理得，
当时，，因为，故恒成立；
当时，，即恒成立，因为，则，故；当，即时，显然上述不等式恒成立，
综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 【答案】##
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量后可求线面距.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，故，
而平面，平面，故平面，
故直线FC到平面的距离为即为到平面的距离.
设平面的法向量为，
又，故，取，则，
而，故到平面的距离为，
故答案为：.
15. 【答案】##.
【解析】
【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围
可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.
【详解】因为，
所以，
所以当时，取得最大值，
因为，所以的最小值为，
因为的最大值是它的最小值的2倍，
所以，
所以，所以，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
16. 【答案】①. ②.
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再由
，可得，即可求出，从而得到
且，再根据，即可求出，，，最后利用并项求和法计算可得.
【详解】解：因为，所以，
所以，则，
所以是以为周期的周期函数，
所以，又，所以，
又，所以，
即且，
由，所以，，，
所以
.
故答案为：；
17. 【答案】（1），；
（2）11
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的性质求得公差，得通项公式，写出时的集合可得元素个数，即；
（2）由（1）可得，然后分组求和法求得和，用估值法得时和小于2022，时和大于2022，由数列的单调性得结论．
【小问1详解】
设数列的公差为，由，，成等比数列，得，
，解得，所以，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为；
【小问2详解】
由（1）知，
，
时，=2001<2022，时，=4039>2022，
记，显然数列是递增数列，
所以所求的最小值是11.
18.【答案】（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；
（2）根据（1）中结论运用正弦定理得，然后等量代换出，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.
【小问1详解】
证明：由题知，
所以，
所以,
所以
因为为锐角，即，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，
因为，
所以，
因为由正弦定理得：，
所以,
所以，
因为，
所以，
所以
因为是锐角三角形，且，
所以，
所以，
所以，
当时，取最大值为，
所以最大值为：.
19. 【答案】（1）存在，劣弧的长度为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面平行得到线面平行即可求得点位置，再根据是的内接正三角形及，即可求得以及的半径，从而可得劣弧的长度；
（2）分别求得平面和平面的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【小问1详解】
如图过点作的平行线交劣弧于点D，连接，，
因为∥，平面，平面，则∥平面
同理可证∥平面，，且平面，平面
所以平面∥平面，又因为平面，所以∥平面
故存在点满足题意.
因为为底面的内接正三角形，
所以，即，
又因为，
所以的半径为，
所以劣弧的长度为.
【小问2详解】
如图取的中点为，连接，以为轴，为轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，又因为，设中点为.
故，，，，，，，易知平面的法向量
设平面的法向量为，
又因为，
故即，令得
易知平面和平面夹角为锐角，
所以平面和平面夹角的余弦值为
20. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）；
（2）有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联.
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）根据独立事件的概率公求出三个系统不产生次品的概率，再利用对立事件的概率公式可求得结果；（ⅱ）根据题意利用条件概率公式求解即可；
（2）利用公式求解，然后由临界值表判断即可.
【小问1详解】
（ⅰ）由题意得在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率为
；
（ⅱ）设自动化检测合格为事件，人工检测为合格品为事件，则，
所以；
【小问2详解】
根据题意得
，
所以有有99.9%的把握可以认为用户对续航能力的满意度与该新款电动汽车动力总成系统的制造水平有关联.
21. 【答案】（1）；
（2）存在或满足题意．
【解析】
【分析】（1）设出，然后计算即可得；
（2）假设存在，设设，写出直线方程，设，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得，代入到式子中，同理设
，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算，然后由条件求得得定点坐标．
【小问1详解】
由已知，，设，，
∴，，；
【小问2详解】
设，（），∴，
∴直线的方程是，设，，
代入双曲线方程得，
即，
，，
，
同理的方程为，设，，
仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：
，
，，
∴
．
由得，
整理得，∵，∴，
∴存在或满足题意．
【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得
，代入到式子中，最后利用已知条件求得，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．
22. 【答案】（1）；
（2）1.
【解析】
【分析】(1)根据题意求出函数的解析式，利用导数讨论函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程，解之即可；
(2)根据题意可得，即在上恒成立且
在上恒成立，利用导数分别研究函数
和的单调性，进而求出、，由可得，即可求解.
【小问1详解】
由题意知，，
则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，解得，
经检验，符合题意.
故.
【小问2详解】
由，得
，即，
对于，可得不等式R上恒成立，
即在R上恒成立，
设，则，
若，则，函数在R上单调递增，
且，符合题意；
若，令，令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，即①；
对于，可得不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
若，则，函数在上单调递增，不符合题意；
若，令，令，
所以上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，即②.
当时，无法确定最大值，
当时，由①②得，，即，
综上，的最大值为1.
【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的方法
(1)分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；
(2)把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.。