排列组合典型题大全含答案
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排列组合典型题大全
一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重
复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,
则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策
略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数
【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法?
(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?
(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?
【解析】:(1)43(2)34(3)34
【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,
第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有67种不同方案.
【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()A、38 B、83 C、38A D、
3
C
8
【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有38种不同的结果。所以选A
1、4封信投到3个信箱当中,有多少种投法?
2、4个人争夺3项冠军,要求冠军不能并列,每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还,问最后有多少种情况?
3、4个同学参加3项不同的比赛
(1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?
(2)每项竞赛只许一名同学参加,有多少种不同的结果?
4、5名学生报名参加4项比赛,每人限报1项,报名方法的种数有多少?又他们争夺这4项
比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少? 5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种?
6、(全国II 文)5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种
(B) 20种
(C) 25种
(D) 32种
7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组,每个兴趣小组只能有一个人来负责,负责人可以兼职,则不同的负责方法有多少种?
8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,不同的分法有多少种?
思考:4名不同科目的实习教师被分配到3个班级,每班至少一个人的不同的分法有多少种?
二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有
【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4
424A =种
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行
排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
522522480A A A =种不同的排法
乙
甲丁
丙
【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,
22223242C A A A =432 种
其中男生甲站两端的有12222
23232A C A A A =144,符合条件的排法故共有288
例2、6名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有( C )种。
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
A )720
B )360
C )240
D )120
三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排
列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有2
6A 种,不同的排法
种数是52563600A A 种
【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答)
【解析】: 111789A A A =504或分类
【例3】 高三(一)班学要安=排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
【解析】:不同排法的种数为52
56A A =3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工 程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同排法种数是
【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可
得有25A =20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目, 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变, 则该晚会的节目单的编排总数为 种.
【解析】:111
91011A A A =990
【例6】.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的 二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3
5C 种方 法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒 模型可使问题容易解决.