重复元素的排列组合问题
1.2.3排列组合问题的常用方法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.
2 A4 先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种，
1 A4 再排后4个位置上的特殊元素有_____种，
A55 其余的5人在5个位置上任意排列有_____种，
1 A42 A4 A55 则共有____________种.
一般地，元素分成多排的排列问题， 可归结为一排考虑，再分段研究。
实际操作穷举策略
例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2 3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五 个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,. 有多少投法？
C5 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应， 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 装法 3 4 5
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选7-1=６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对 应地分给７个班级，每一种
C96 插板方法对应一种分法共有_____种分法。
将 n 个相同的元素分成 m 份（n、m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为
小集团排列问题中，先整体后局部， 再结合其它策略进行处理。
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元素相同问题：隔板法
应用背景： 1、相同元素的名额分配问题 2、不定方程的正整数解问题
隔板法的使用特征：
相同的元素，分成若干部分，每部分至少一个。
元素相同问题(隔板法)
例：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个, 有多少种分配方案？
组合数学 第一章 排列组合4允许重复的排列与组合及不相邻的组合
设所求方案数为p(m+n；m，n)
则P(m+n；m，n)·m!·n!=(m+n)!
故P(m+n;m,n)=
—(mm—+!nn—!)!
=
(
m+n m
)
=(m+nn
)
=C(m+n,m)
设c≥a,d≥b,则由(a,b)到(c,d)的简单格路数
为|(a,b)(c,d)|=(
(c-a)+(d-b) c-a
y y=x
(m,n)
y x-y=1
(m,n. )
(0,1) . .
0 (1,0)
x (0,0) .. ..
x
(1,-1)
容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与
(1,0)到(m,n)的格路(必穿过x=y)一一对应
故所求格路数为( m+mn-1)－( mm+n-1-1)
=
(—m+—n-1—)!
例A {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，取3个作不相邻的组合的组合数。
例 已知线性方程 x1 x2 ... xn b, n和b都是整数，n 1, 求此方程的非负整数解的个数
例
简单格路问题
|(0,0)→(m,n)|=(
m+n m
)
从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步
走一个单位，最终走到(m,n)点，有多少
m!(n-1)!
－(m—+n—-1)—!
(m-1)!n!
=(m—(m-1+—)!n(-n—1-)1!)—!
( m1—
－
1n—)
=
—n-n—m
(
排列组合常见题型及解答
排列组合常见题型一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法"可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】 (1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科,有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果?（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法?【解析】：（1)43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案,第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ )A、38 B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”，每个“客"有8种可能,因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】A，B,C,D，E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A=种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( )A。
360 B。
188 C。
216 D。
96【解析】：间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A=432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A=144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
排列与组合的应用举例(常见排列组合问题的解题方法)
解析：（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有个 ，
个，合并总计300个,
或
个。
5.不相邻问题插空法: 对于某两个元素或者几个元素要条件的元素按要求 插入排好元素的空档之中即可 .
解析：方法一（排除法）：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只 取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
解析：把4名学生分成3组有 种方法，再把三组学生分配到3所学校
有种,则不同的保送方案共有
种
解决排列组合问题的一般过程如下： 1、认真审题弄清要做什么事。 2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同 时进行，确定分多少步及多少类。 3、确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数 是多少及取出多少个元素。 4、解决排列组合综合性问题，往往分类与分步交叉，因此必须掌握一 些常用的解题方法，根据题目的条件，我们就可以选取不同的方法来解 决问题.对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用 把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。
人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的
选法共有
。
7.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: “至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：抽取两类混合
元素不能分步抽.
例7.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型 电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
算法中的排列与组合排列组合公式不含重复元素的排列组合含有重复元素的排列组合如果产生的组合和排列可以包含有重复的元素，其实这类问题在苏荷数学上是多种集的排列和组合问题。
多重集的排列问题设S是有k种不同类型对象的多重集合，每个元素都有无限的重复数。
那么s的r排列数目是krk^rkr.需要注意的是，只要每种元素的数目大于r，对于r组合来说就是无限多的。
怎么理解上面的定义呢，举个例子，冰淇淋有3种口味可以选择，我可以选择3种相同口味，也可以选择不同口味，每次选择即可相同也可不相同。
再举个例子抛硬币3次，很显然，可能会出现3次都是正面，硬币出现正反面是可重复的。
这很好理解，一次有k种选择，第二次有k?k种选择，……，第r次有krk^rkr种选择。
剑指offer中的面试题17.打印从1到最大的n位数，就是这类问题。
可以假设一共有0-9十种对象，每种对象都有无数个(无数个和大于等于n个一样，因为排列的最长长度是n)，n位数就是十种对象的n排列，一共有10n10^n10n种。
其实很好理解，第一位数字有10种选择，第二位也有10种选择，… 第n位也有10种选择。
设s是多重集合，有k种类型的对象，且每种类型的有限重复数是n1,n2,……,nk。
s的大小是n=n1+n2+n3+……+nk。
那么s的全排列数目等于：result=n!(n1!?n2!?……?nk!)result=frac{n!}{(n1!*n2!*……*nk !)}result=(n1!?n2!?……?nk!)n!?例子：词MISSISSIPPI中字母的排列数是？分析：词含有的字母总个数是11，M:1，I：4，S:4，P:2。
所以result=11!-(1*4!*4!*2!).多重集合的组合设S是有k种类型对象的多重集合，每种元素均有无限的重复数。
那么S的r组合的个数等于：C(r+k-1,r)==C(r+k-1,k-1).需要注意的是，只要每种元素的数目大于r，对于r组合来说就是无限多的。
排列组合问题的解法
排列组合问题是数学中的一个重要概念，它涉及到从n个不同元素中取出m 个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列是指按照一定的顺序将元素进行排列，而组合则是指不考虑顺序地选取元素。
排列组合问题的解法通常包括以下几个步骤：
1.确定问题类型：首先需要确定问题是排列问题还是组合问题，因为两者
的解法不同。
2.确定元素范围：确定问题的元素范围，即从多少个不同的元素中取出多
少个元素。
3.计算排列或组合数：根据排列或组合的公式计算结果。
4.检验答案：最后需要检验答案是否符合题目的要求，比如是否需要考虑
重复元素、是否需要考虑顺序等。
下面是一个具体的例子，假设有5个人（A、B、C、D、E）参加一个比赛，其中A和B不能同时参加比赛，问有多少种不同的参赛组合？
首先，确定问题类型：这是一个组合问题，因为我们要从5个人中选取若干人参加比赛，不考虑顺序。
其次，确定元素范围：有5个人（A、B、C、D、E）参加比赛。
然后，计算组合数：根据组合的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n是总元素个数，m是选取的元素个数。
在这个例子中，n=5, m=3（因为要选3个人），所以C(5, 3) = 5! / (3!2!) = 10。
最后，检验答案：由于A和B不能同时参加比赛，所以我们需要排除A、B、C和B、A、C这两种组合，因此最终的答案是10-2=8种不同的参赛组合。
排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、3A D、83C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共 (A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。
浅析排列组合中的重复计算问题
例析排列组合中的重复计算的产生及对策无锡市洛社高级中学 戎钢学生在解排列组合的题目时，往往容易出现考虑不周全，漏解的情况。
另外有些类型的排列组合题目较容易出现重复计算的问题，而且此类问题较隐蔽，学生不容易发现。
在解题时，应做到既不重复遗漏，又能判断解题的正误，并能加以剖析。
这样对于学生解题能力的提高大有好处。
一、分步引起的重复计算例1:从4台甲型机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型机各1台，则不同的取法有多少种？【错解】先保证各1台，在从剩下的机子中任取一台。
即分三步：第一步从甲型机中取一台，有14C 种取法；第二步从乙型机中取一台，有15C 种取法；第三步从剩下的七台机子中取一台，有17C 种取法，根据乘法原理，共有111457140C C C ⋅⋅=种取法。
【分析】设甲型机种有a 、b 两台机子 ，乙型机中有A 、B 两台机子，根据上述选法，其中有一种取法可以是“先选a ，再选A ，再选b ”,另外一种取法是“先选b ，再选A ，再选a ”。
而很明显，上述两种取法是同一种结果，出现重复。
究其原因是本题使用的是分类计数原理（分步原理）。
而分步必然有先有后，也就有顺序，跟排列有关。
本题中无论是取两台甲型机还是两台乙型机，对于这两台机而言，只是一个组合，没有先后，因此重复了两遍。
【正解】根据结果分类，第一类：两台甲型机，有2145C C ⋅种取法；第二类：两台乙型机，有1245C C ⋅种取法，根据分类计数原理，共有2112454570C C C C ⋅+⋅=种取法。
二、涉及到平均分组中的重复计算例2:袋中有红、白、黄球各一个，每次任取一球，记下颜色后放回，当各种颜色均被取到时结束，则取球结束时，一共取了五次的不同取法有多少种？【错解】由题意，第五次一定是第三种颜色的球。
前四次取到其他两种颜色的球。
先分步，第五次有13C 种颜色的可能，再分类讨论前四次的情况，第一类：剩下的两种颜色的球，一种颜色的取到三次，另外一种取到一次。
排列组合常见题型及解答
一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名方法（2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果（3）将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒，则有多少种不一样投法【分析】：（1）（ 2）（ 3）【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法【分析】：达成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案，第二步：将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有种不一样方案 .【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军，获取冠军的可能性有（）A、B、C、D、【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进随意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，所以共有种不一样的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，那么不一样的排法种数有【分析】：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，种【例 2】（ 2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】：间接法 6位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，，此中男生甲站两头的有，切合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例 1】七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样的排法种数是【分析】：除甲乙外，其余 5 个摆列数为种，再用甲乙去插 6 个空位有种，不一样的排法数是【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不一样的插法（数字作答）【分析】：【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不一样排法的种数是【分析】：不一样排法的种数为＝3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成，此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行，工程丙必须在工程乙达成后才能进行，有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。
排列组合二项定理知识点总结
排列组合二项定理知识点总结一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列.从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==nn n C C 2. 含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a1，a2,…...an 其中限重复数为n1、n2……nk ，且n = n1+n2+……nk , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmm nm n -=+--== ⑶两个公式：①;mn nm n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m nC C C--=⋅一类是不含红球的选法有m nC ） ②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 nn nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用mn m n m nC C C11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n nx x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nnC2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m mA 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mmn n A A /. ⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kknnn n k n kn AC C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CC C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n mn AAA/1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11 (21321)，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C. ⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k rn r r A A --. 1x 2x 3x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法.排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略，能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力。
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
复巩固：1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
3.分类计数原理和分步计数原理的区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事。
2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素。
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
一。
特殊元素和特殊位置优先策略：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C3^1种方法，然后排首位共有C4^1种方法，最后排其它位置共有A4^3种方法，根据分步计数原理得到答案为C4^1 × C3^1 × A4^3 = 288.入问题或空位法来解决。
重复元素的排列组合问题
重复元素的排列组合问题
1. 问题描述
在数学中，我们经常遇到需要对一组元素进行排列组合的问题。
通常情况下，我们要求的是不含重复元素的排列组合。
然而，在实
际应用中，我们也会遇到包含重复元素的排列组合问题。
本文将讨
论如何解决这类问题。
2. 使用集合方法求解
一种解决重复元素的排列组合问题的方法是使用集合。
对于一
个包含 n 个元素的集合，如果其中有重复元素，我们可以先计算出
每个元素的出现次数，然后根据这些次数求解排列组合。
具体步骤如下：
1. 统计每个元素的出现次数；
2. 根据出现次数计算排列数和组合数。
例如，假设我们有一个包含 10 个元素的集合 {A, A, B, C, C, C, D, D, E, F}，我们可以统计每个元素的出现次数如下：
然后，我们可以根据这些出现次数计算排列数和组合数。
3. 结论
通过使用集合方法，我们可以解决包含重复元素的排列组合问题。
首先，我们需要统计每个元素的出现次数，然后使用这些次数计算排列数和组合数。
这种方法可以帮助我们更好地处理实际应用中的排列组合问题，提高问题求解的效率。
以上是关于重复元素的排列组合问题的简要介绍。
参考文献：。
排列组合中“重复”的产生及纠正(新)
排列组合中“重复”的产生及纠正有些类型的排列、组合应用题是较容易出现错误解法的，其中产生的错误原因之一是由于重复造成的。
现举几例对排列组合问题中“重复”现象产生的原因加以剖析、纠正，以期望对于提高解排列、组合应用题及分析解决问题的能力能有较大益处。
一、“至少”问题易重复例1：在100件产品中有3件次品，从这些产品中取出4件，至少有1件次品的抽法有多少种？解法1：先在3件次品中抽出1件，抽法有13C 种；然后在其余的99件产品（含未被抽出的2件次品）中任意抽出3件，抽法有399C 种，这样抽出的4件产品至少含1件次品。
根据分步计数原理，符合题意的抽法有47054739913=⋅C C （种）。
点评：解法1 是错的，假设A 、B 、C 分别为三件次品，D 为某一合格品，“先抽出A （13C 的一种可能），再抽B 、C 、D （399C 的一种可能）”与先抽出B ，再抽A 、C 、D 是相同的抽法，所以解法1含3件次品的抽法重复而导致错误。
又，假设E 是另一合格品，“先抽出A ，再抽出B 、D 、E ”与“先抽出B ，再抽出A 、D 、E ”是相同的抽法，所以解法1中多出的种数还有含2件次品的抽法重复在内。
正确方法：直接法456385197332972339713=⋅+⋅+⋅C C C C C C 或间接法4563854974100=-C C 种。
2、均分组问题易重复例2：将8个不同的小球分成四堆，每堆2个，共有多少种不同的分堆方法？解法1 ：分四步完成。
首先，从8个不同的小球中任意取出2个作为一堆 ，有28C 种取法；然后，从其余的6个小球中任取2个作为一堆，有26C 种取法；再者，从剩下的4个小球中任取2个作为一堆，有24C 种取法；最后，留下的2个作为一堆，有22C 种取法；根据分步计数原理，共有不同的分堆方法种数为252022242628=⋅⋅⋅C C C C 种。
点评：解法1是错误的，比如将8个不同的小球编号，对应号码分别为1，2，3，…，8。
排列组合+局部定序与相同元素消序、隔板法+课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
----局部元素定序或相同元素消序问题
萌山高级中学---------数学教研组
-------Mr.Yao
排列组合方法：
①局部元素定序消序问题:
例1：三个球分别标号为1，2，3，其中1,2号为篮球，
3号为黑球，一共有____
A ___种方法？
例2：将这三个球排序，其中篮球按序号（2个元素定
所以方法数为：C = 种
练习巩固:
1.
若将10个相同的球随机放入编号为1，2，3，4
的盒子里，要求每个盒子至少有两个球则不同
的投放方法有________种方法？
C = 种
2.
将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四
个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，
则不同放法总数有多少种？
练习巩固：
1. x+y+z=10的正整数解有（B ）组
A.35
B36
C. 37
D 38
2. x+y+z=10的非负整数解有（ D ）组
A.63
B.64 C.65
D. 66
3.把16名选手名额分配到高三年级的1∽4班，每
班至少一个名额的方法数？
此题方法同上相当于把16个相同的小球分为4
堆，每堆至少1个。所以方法数为：
C =455
②进阶隔板法（增加球数隔板法）：
例1：8个相同的篮球分发给甲，乙，
丙，丁4人，共有多少种不同的方法？
解题分析：8个相同的篮球分发给不同的4人，这里每个人分的球不确
①
②
至少一个
至少两球
小学排列组合的入门知识？
排列组合是数学中的一个重要概念，而在小学阶段，学生可以初步了解一些基础的排列组合概念和应用。
以下是小学阶段排列组合的入门知识：
1. 排列（Permutation）：排列是指从一组元素中选出若干个元素，按照一定的顺序进行排列。
例如从数字1、2、3中选出两个数字进行排列，得到的所有可能的结果有(1, 2)、(1, 3)、(2, 1)、(2, 3)、(3, 1)、(3, 2)共6个。
2. 组合（Combination）：组合是指从一组元素中选出若干个元素，不考虑顺序，即不区分元素的排列顺序。
例如从数字1、2、3中选出两个数字进行组合，得到的所有可能的结果有(1, 2)、(1, 3)、(2, 3)共3个，不考虑顺序。
3. 排列与组合的计算：对于给定的元素个数和需要选取的元素个数，可以使用以下公式进行排列和组合的计算：
- 排列公式：P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n 表示元素的总个数，k 表示需要选取的元素个数。
- 组合公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n 表示元素的总个数，k 表示需要选取的元素个数。
4. 含有重复元素的排列组合：当元素中含有重复的数时，排列和组合的计算会有所不同。
需要考虑重复元素带来的影响，并在计算时进行调整。
在小学阶段，排列组合的应用主要集中在解决一些简单的计数问题，如从一组物品中选择几个进行排列或组合的问题。
这有助于培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
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重复元素的排列组合问题
简介
在排列组合问题中，有时会涉及到重复的元素。
这篇文档将介
绍如何解决重复元素的排列组合问题。
问题描述
重复元素的排列组合问题指的是在一个集合中存在多个相同的
元素，在进行排列组合时需要考虑这些重复元素的情况。
简单来说，就是要找出所有可能的排列组合，而不考虑元素的顺序。
解决方法
解决重复元素的排列组合问题有几种常用的方法：
1. 使用集合
可以使用集合来存储元素，从而去除重复的元素。
然后，对于
每个集合中的元素，分别计算其排列组合。
最后将所有的排列组合
合并起来，得到最终的结果。
2. 使用递归
可以使用递归的方式来解决重复元素的排列组合问题。
首先选
择一个元素，然后对剩余的元素进行递归计算其排列组合。
最后将
选择的元素插入到每个递归计算的结果中，得到最终的排列组合。
示例
下面通过一个示例来说明如何解决重复元素的排列组合问题：
假设有一组数字 {1, 2, 2}，要求找出所有可能的排列组合。
使用集合
首先去除重复的元素，得到集合 {1, 2}。
然后计算集合 {1, 2}
的排列组合，得到结果 {1, 2} 和 {2, 1}。
接下来考虑重复的元素2，将其插入到排列组合的每个位置中，得到结果 {1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2}、{2, 1}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
使用递归
首先选择元素 1，然后递归计算剩余元素 {2, 2} 的排列组合。
得到结果 {2, 2} 和 {2, 2}。
然后将选择的元素 1 插入到递归计算的结果中，得到结果 {1, 2, 2} 和 {1, 2, 2}。
最后将元素 2 插入到递归计算的结果中，分别得到结果 {2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
最终得到所有可能的排列组合为 {1, 2, 2}、{1, 2, 2}、{2, 1, 2} 和 {2, 2, 1}。
结论
重复元素的排列组合问题可以通过使用集合或者递归的方法来解决。
根据具体情况选择合适的方法，并根据实际需求进行调整。
希望本文对您解决重复元素的排列组合问题有所帮助！。