☆经典分段函数专题

经典分段函数专题

高考真题

类型一：与周期有关

类型二：与单调性有关

类型三：奇偶性有关

类型四：与零点和交点问题有关

类型五;与求导和函数性质有关

类型六：数形结合

高考真题

2010

11x的围是_____。

2011

11、（分类方程求解）已知实数，函数，若

a的值为________

2012

10．

2

的值为 ▲ ．

2013

11．

（分区间二次不等式求解）已

定义

的奇函数。

，

的解集用区间表示为

．

【答案】(﹣5

，0) ∪(5，﹢∞)

【解析】

的图像，如下图所示。

函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0y ＝

y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

2014

13. （周期函数+R 上且周期为3的函数,

时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值围是 ▲ . 【答案】1

(0,)2

【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2

f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2

f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2

a ∈．

2015

13.（绝对值分类讨论+数形结合求根个数）已知函数|ln |)(x x f =，

⎩

⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为

利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.

2016

11.（方程求解）()f x 定义R 且周期为2的函数，在区[)1,1-(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩

其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则()5f a 的值是 ． 【答案】25

-； 【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

可得11210a -+=，则35a =， 则()()()325311155

f a f f a ==-=-+=-+=-

2017年

14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩

其中集合1{n D x x n

-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8

【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，

在此围，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2q x p q p p

=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n x m n m m =

∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n m

q p

=，则10()n m q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 因此lg x 不可能与每个周期x D ∈对应的部分相等，

只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，

画出函数图象，图点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10

x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．

【考点】函数与方程

【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

类型一：与周期有关

1.（拟周期分段函数）设函数⎪⎩⎪

⎨⎧>-<--=,2),2(2

1;2|,1|1)(x x f x x x f 则方程01)(=-x xf 的根的个数有 个。6

2.已知函数f (x )＝⎩

⎨⎧

e x ，x ≤1，

f (x －1)，x >1，

g (x )＝kx ＋1，若方程f (x )－g (x )＝0有两个不同的实根，则实数k 的取值围是________.

画出函数f (x )的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g (x )＝kx ＋1的图象过A (1，

e)，B (2，e)时直线斜率k 1＝e －1，k 2＝e －12

，并且当k ＝1时，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝e x 相切于点(0,1)，则得到当函数f (x )与g (x )图象有两个交点时，实数k 的取值围是(e －12，1)∪(1，e －1].